高中数学 1.5.1-1.5.2 从单位圆看正弦函数的性质 正弦函数的图像课时作业 北师大版必修4

§5 正弦函数的性质与图像
5．1 从单位圆看正弦函数的性质5．2 正弦函数的图像
课时目标 1．掌握正弦函数的图像，会用“五点法”画出正弦函数的图像．2．能借助正弦函数的图像解决有关问题．
1．正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，我们称______为角α的正弦线，P 叫正弦线的______．
2．正弦曲线
由函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像沿x 轴向两方无限延展，就得到正弦曲线．如下图所示：
3．正弦曲线的画法“五点法”
函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上起关键作用的点有以下五个： __________，__________，__________，__________，__________．
一、选择题
1．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)
B ．y ＝sin(x －π2)与y ＝sin(π
2
－x )
C ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )
D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x
2．函数y ＝1＋sin x (x ∈[0,2π])的大致图像是( )
3．函数y ＝sin x (x ∈R )图像的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．直线x ＝π
2
4．不等式sin x <－1
2
，x ∈[0,2π]的解集为( )
A ．(7π6，11π6)
B ．[4π3，5π3]
C ．(5π6，7π6)
D ．(2π3，5π3
)
5．已知函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2
≤x ≤5π2的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那
么此封闭图形的面积( )
A ．4
B ．8
C ．4π
D ．2π 6．方程sin x ＝lg x 的实根的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个
二、填空题
7．在[0,2π]上，满足sin x ≥2
2
的x 的取值范围为________．
8．如果直线y ＝a 与函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32π的图像有且只有一个交点，则a 的取值范围是________．
9．方程2
π
x ＝sin x ，x ∈R 的解集是________．
10．函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2
的定义域为
________________________________________________________________________．
三、解答题
11．求函数y ＝log 2 1
sin x
－1的定义域．
12．研究方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．
能力提升
13．若0<x <π
2
，则2x 与3sin x 的大小关系( )
A ．2x >3sin x
B ．2x <3sin x
C ．2x ＝3sin x
D ．与x 的取值有关
14．如果函数f (x )＝2|sin x |＋sin x (0≤x ≤2π)的图像与直线y ＝k 有相异的两个公共点，试求实数k 的取值范围．
1．正弦曲线在研究正弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图像的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．
§5 正弦函数的性质与图像
5．1 从单位圆看正弦函数的性质 5．2 正弦函数的图像 答案 知识梳理
1．MP 终点 3．(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π，－1 (2π，0) 作业设计
1．D 2．A 3．D 4．A
5．C [数形结合，如图所示．
y ＝2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2
，
5π2的图像与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π
2
， x ＝52π，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2
π－π2×2＝4π．]
6．C [数形结合．画出y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像， 如图所示．
由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]
7．[π4，34
π]
8．[－1,0)∪{1} 9．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2
，0，π2
解析 在同一坐标系内画出直线y ＝2πx ，y ＝sin x 的图像，易知直线y ＝2
π
x 与y ＝sin
x 有三个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1、(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1．所以方程解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2
，0，π2．
10．[－4，－π)∪(0，π)
解析 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
sin x >0
16－x 2
≥0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－4≤x ≤4
sin x >0，
作出y ＝sin x 的图像，如图所示．
结合图像可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)． 11．解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
log 2 1sin x －1≥0sin x >0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
sin x ≤
12sin x >0
，
由正弦函数的图像，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫56π，π．
∴函数的定义域为
⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋56π，2k π＋π (k ∈Z )． 12．解 如图所示，
当x ≥4π时，x 10≥4π
10
>1≥sin x ；
当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，
从而x >0时，有3个交点，
由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点． 即方程有7个根．
13．D
[令x ＝0， 有2x ＝3sin x ；
令x ＝π
6，有2x <3sin x ；
令x ＝π
2
，有2x >3sin x ；作一简图，答案可知，选D ．]
14．解 ∵f (x )＝
⎩⎪⎨
⎪
⎧
3sin x ，x ≤π－sin x ，π<x ≤2π
∴其图像如下图所示，
由图知，k 的取值范围是(1,3)．。