第18讲特殊的平行四边形复习课

B
E
O
G C
F
AC⊥BD且AC=BD （3）添加条件_______________，则四边 形EFGH为正方形。
我发现：
顺次连接任意的四边形各边中点得 平行四边形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点得 菱形；
顺次连接对角线互相垂直四边形各边中点得 矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边 中点得 正方形.
1、理解矩形、菱 形、正方形与平行 四边形的关系。
2、掌握特殊平行 四边形的有关性质 及判定方法，并能 应用所学知识解决 相关问题。
四边形知识结构（定义）图
矩形
两组对边平行
四边形
平行四边形
一角为直角且一组邻边相等
正方形
菱形
攀
勇
二、几种特殊四边形的性质：
边
平行且相等
角
对角相等 邻角互补 四个角
它们的周长和面积怎样？你能说说吗？
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 5、两组对角分别相等 2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
平行 四边形
矩形
1、定义：有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
A
P
D
G
B E
F C
5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC， 若 对角线 AC=6cm，则你能求什么？角？ 边？周长？面积？
D O A
C
A
O
D
B
B
C
6.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，∠BAD=120°，你可以求什么？
我想到：菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半. 我发现：当矩形对角线夹角为60°时，以等边三角形为突破口；
当菱形有一个内角为60°时，以等边三角形为突破口.
注：如果四边形的两条对角线互相垂直，则该四 边形的面积等于两对角线乘积的一半。
中点四边形考点
1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
边AB、BC、CD、DA的中点，请判断四边形EFGH A 的形状，并说明理由。 H
D
AC=BD （1）添加条件_______，则 四边形EFGH为菱形； AC⊥BD （2）添加条件_______，则 四边形EFGH为矩形；
相信自己，学好数 学并不难！
李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，鱼塘四 个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树，现在李 大爷想把鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼 塘周围的面积足够大）.又不想把树挖掉（四棵大 树要在新建鱼塘的边沿上）. (1)若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆 形鱼塘的面积;(2)若按正方形设计,请画出你设计的 示意图.
A
O
B
C P
∴ 四边形CODP是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
D
∴四边形CODP是菱形
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交 A 于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC， 连结CP，试判断四边形CODP的形状. D P
B O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论 应变为什么？ 如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又 应变为什么？ A B
A O F B E M C M F B C E A D O D
A P Q M C
已知：△ABC中 AB=AC=a，M为底边BC 上任意一点，过点M分别 作AB、AC的平行线交 AC于P，交AB于Q.
（1）线段QM、PM、AB 之间有什么关系？ （2）图中的三角形之间有 什么关系？
B
A Q P
已知：△ABC中 AB=AC=a，M为底边BC 上任意一点，过点M分别 作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q. 探究:当M位于BC的什么 位置时, 四边形AQMP是 菱形？并说明你的理由.
C
D
E
O
B
∟
合作探究
A
D
B
C
A
(1)若按圆形设计, 请画出你设计的 示意图,并求出圆 形鱼塘的面积;
D
O
B
C
(2)若按正 方形设计, 请画出你 设计的示 意图.
A
D
B
C
(3)你在(2)所设计的正方形鱼塘中, 有无最大面积？为什么？
你知道吗？
当直角三角 形的斜边一定 A 时,两直角边 满足什么条件 时直角三角形 的面积最大？
变式：如上图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪 下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的 角的度数为： A、60° B、30° C、45° D、90°
小试牛刀
1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作 DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形 状.
解:四边形CODP是菱形 ∵ DP∥OC, DP=OC
菱形
正方形
试一试
一、选择： 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质（
A、四边都相等 B、对角线互相垂直且平分C、 对角线相等 D、对角线平分一组对角 2、下列命题中（ B ）是假命题.
C）
A、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
B、两条对角线相等的四边形是矩形. C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形. D、两条对角线相等的菱形是正方形.
考考你
3、检查一个门框是矩形的方法是（ B ）
A、测量两条对角线是否相等. B、测量有三个角是直角.
测量两条对角线是否互相平分. 测量两条对角线是否互相垂直. A、矩形 B、菱形 C、梯形 D、正方形
C、 D、
4、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（
B）
二、填空：
你准行
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边 长＿＿＿，面积是＿＿＿. 5 24 2、矩形的对角线长为8，两对角线的夹角 为60º，则矩形的两邻边分别长＿＿＿和 4 ＿＿＿. 4 3 A O B 1题 D C A O 2题 D C
A
B
O D C
O
P
D P
C
图一
图二
3.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在；
（2）当∠BAC等于 150° 时，四边形ADFE是矩形；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
对角线
对称性
互相平分
中心对称图形 中心对称图形
平行且相等
平行 且四边相等 平行 且四边相等
都是直角 对角相等
互相平分且相等
互相垂直平分，且每一 条对角线平分一组对角
轴对称图形 中心对称图形
轴对称图形 邻角互补 四个角 互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 都是直角 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
当△ABC满足什么条件菱 形AQMP是正方形？
B
M
C
如何设计花坛？
在一块正方形花坛上，欲修建两条直的小 路，使得两条直的小路将花坛分成全等的四 部分（不考虑道路宽度），你有几种方法？ （至少说出三种）
课堂小结 通过本 节课的学习，你 有哪些收获 ？
课 堂 小 结
1、请理解并熟记特殊平行四边形的性质和 判定. 2、在解题时，首先，应有战胜困难的决心 和信心；其次，抓住图形中的位置关系 与条件中的数量关系；再次，注意每一 个判断都应有充分的理由 和依据. 送给同学们一句话：
思考1
折叠问题
1、在矩形ABCD中，AB=16，BC=8.
将矩形 沿AC折叠，点D落在点E处，且 CE交AB于点F，求AF的长.
点拨：对于折叠
问题，可以从折叠 前后的两个图形是 全等图形入手进行 分析.
D A F E
C
B
2、现将一张矩形的纸对折后再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，打开，得到的是（ ） A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
B
抢 答3：
要使
要使
我说我所想
ABCD成为矩形，需增加的条件是______
ABCD成为菱形，需增加的条件是______
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使四边形ABCD成为正方形，需增加的条件是 ______
4、在正方形ABCD中，E在BC上， BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和 PC的长度之和最小可达到 _____________
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
D F
60° B
A
60°
E C
如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E 是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M， AM交BD于点F （1）求证OE=OF
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB 的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都 不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给 出证明；如果不成立，请说明理由