MATLAB模拟演示小孔衍射

《MATLAB语言》课程论文

MATLAB模拟演示小孔衍射

姓名：王照义

学号：12010245259

专业：通信工程

班级：10级通信工程

指导老师：汤全武

学院：物理电气信息学院

完成日期：2011-12-10

MATLAB模拟演示小孔衍射

（王照义12010245259 2010级通信班）

[摘要]以单色标量波衍射理论为基础,研究了均匀平面波从不同角度入射小孔阵列的衍射特性。运用单孔衍射理论,同时考虑相邻小孔间衍射光强的相互影响,建立了小孔阵列衍射的理论模型和光强分布的数值积分式,小孔为硬边小孔。利用Matlab对500 nm波长的平面波入射微小方孔阵列衍射图样进行了计算机仿真,得到了不同几何参量下平面波从不同角度入射时的衍射图样的一维和二维光强分布图。

[关键字] 小孔衍射MATLAB

一、光的衍射种类

包括：单缝衍射、圆孔衍射、圆板衍射及泊松亮斑

光在传播过程中，遇到障碍物或小孔（窄缝）时，它有离开直线路径绕道障碍物阴影里去的现象。这种现象叫光的衍射。衍射时产生的明暗条纹或光环，叫衍射图样。

产生衍射的条件是：由于光的波长很短，只有十分之几微米，通常物体都比它大得多，但是当光射向一个针孔、一条狭缝、一根细丝时，可以清楚地看到光的衍射。用单色光照射时效果好一些，如果用复色光，则看到的衍射图案是彩色的。

1．衍射现象

光绕过障碍物偏离直线传播路径而进入阴影区里的现象，叫光的衍射。

光的衍射和光的干涉一样证明了光具有波动性。

2．光产生明显衍射的条件

小孔或障碍物的尺寸比光波的波长小，或者跟波长差不多时，光才能发生明显的衍射现象。由于可见光波长范围为4×10-7m至7.7×10-7m之间，所以日常生活中很少见到明显的光的衍射现象。

任何障碍物都可以使光发生衍射现象，但发生明显衍射现象的条件是“苛刻”的。

当障碍物的尺寸远大于光波的波长时，光可看成沿直线传播。注意，光的直线传播只是一种近似的规律，当光的波长比孔或障碍物小得多时，光可看成沿直线传播；在孔或障碍物可以跟波长相比，甚至比波长还要小时，衍射就十分明显。

3．衍射的种类：

(1)狭缝衍射

让激光发出的单色光照射到狭缝上，当狭缝由很宽逐渐减小，在光屏上出现的现象怎样？

当狭缝很宽时，缝的宽度远远大于光的波长，衍射现象极不明显，光沿直线传播，在屏上产生一条跟缝宽度相当的亮线；但当缝的宽度调到很窄，可以跟光波相比拟时，光通过缝后就明显偏离了直线传播方向，照射到屏上相当宽的地方，并且出现了明暗相间的衍射条纹，纹缝越小，衍射范围越大，衍射条纹越宽，。但亮度越来越暗。

(2)小孔衍射

当孔半径较大时，光沿直线传播，在屏上得到一个按直线传播计算出来一样大小的亮光圆斑；减小孔的半径，屏上将出现按直线传播计算出来的倒立的光源的像，即小孔成像；继续减小孔的半径，屏上将出现明暗相间的圆形衍射光环。

二、常见的几种衍射现象

（一）圆孔衍射

将一束光投射在一个小圆孔上，并在距孔l~2m 处放置一块毛玻璃屏，可观察到小圆孔的衍射花样。现用上节所得的结论，研究从点光源所发出的光通过圆孔时的衍射现象。现在先计算光到达垂直于圆孔面的对称轴上一点P 时的振幅。

图1

P 点与波面上极点B 0之间的距离为r 0。首先考虑通过圆孔部分波面的面积所含有的完

整的菲涅耳带的数目。这个整数k 与圆孔的半径、光的波长λ以及圆孔的位置(即R 和r 0)有关。

（1）

（2）

如果用平行光照射圆孔， ，则 r k x

0λρ= （3） 如果不用光阑，即相当于圆孔的半径为无限大，也就是整个波面完全不被遮蔽，则由最末一个带所发次波在到达P 点时的振幅ak 为无限小，此时P 点的合振幅为

（4）

此式表明，没有遮蔽的整个波面对P点的作用等于第一个波带在该点的作用的一半。因为波带的面积非常小，例如的绿光时，若R、r

均为1m，第一个波带的面积约为即半径

约为1／2 mm。所以，没有遮藏的整个波面的光能的传播，几乎可以看作沿OP直线进行，这也是一般把光视作直线传播的原因。P点离开光源愈远，a

愈小光强愈弱。在这种情况下

1

屏沿着对称轴线前进时，不发生上述某些点较强某些点较弱的现象。

如果圆孔具有一定大小的半径，观察点P的位置仅使波面上露出第一个带，则

（5）

与不用光阑时比较，振幅为完全不遮藏时的二倍，光强则增加到四倍。

所以光在通过圆孔以后到达任一点时的光强，不能够单独由光源到该点的距离来决定，还取决于圆孔的位置及大小。仅当圆孔足够大、使小到可以略去不计时，才和光的直线传播概念所推得的结果一致。

这些讨论都假定O是理想的点光源。但是实际光源都有一定的大小。光源的每一点各自产生它自己的衍射花样，它们是不相干的。光源的线度应小到使光源上某些点所产生的亮条纹不致落到另外一些点所产生的暗条纹上去。否则由于不

图2

相干叠加，衍射花样就会完全模糊了。通常情况下不容易观察到衍射花样正是由于这个缘故。

（二）圆屏衍射

我们讨论一下点光源发出的光通过圆屏边缘时的衍射现象。O为点光源，光路上有一不透明的圆屏。现在先讨论P点的振幅。设圆屏遮蔽了开始的k个带。于是从第k+1个带开始，所有其余的带所发的次波都能到达P点。把所有这些带的次波叠加起来，可得P点的合振幅为

（6）

即不论圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有光。不过圆屏的面积愈小时被遮蔽的带的数目k就愈小，因而愈大，到达P点的光愈强。变更圆屏和光源之间或圆屏和光屏之间的距离时，k也将因之改变，因而也将影响P点的光强。

如果圆屏足够小，只遮住中心带的一小部分，则光看起来可完全绕过它，除了圆屏影子中心有亮点外没有其它影子。这个初看起来似乎是荒谬的结论，是泊松于1818年在巴黎科学院研究菲涅耳的论文时把它当作菲涅耳论点谬误的证据提出来的。但阿喇果做了相应的实验，证实了菲涅耳的理论的正确性。

三、小孔衍射的原理

机械波的衍射实验往往用现成的仪器，通过机械振动产生水波纹来实现，我们能很清楚的观察到衍射图像，对于光的衍射实验可以通过用激光射到一个小球，从而产生衍射图像，但是小孔衍射确没法在普通的高中物理实验室中做出。

但是随着高中多媒体化的普及，教室里面多媒体的应用日益增加，我们完全可以通过数学软件来模拟小孔衍射图像来给学生演示，直观而又简单。

衍射的实质就是当光波在传播过程中遇到障碍物或者透过屏幕上的小孔时，会导致偏离原来入射方向的出射光波。

根据惠更斯-菲涅尔原理，波阵面上的每一点可以认为是产生球面子波的一个次级扰动中心，而以后任何时刻的波阵面则可以看作是这些子波的包络，假定这些次级子波互相干涉，从而产生衍射效应。通俗的说，光的传播是以波的形式传播的，下一时刻的波阵面就是前一时刻波阵面上无数点发出的球面波的叠加。当光波受到扰动（比如尺寸与波长可比的小孔或头发丝等），球面子波发生干涉，从而产生衍射。衍射的实质是干涉。

而小孔成像中的小孔的尺寸应该远大于波长。实际上即使如此，在小孔边缘附近也存在衍射效应。之所以小孔后面会成像，是因为小孔将物体向空间各方向发出的光截取了其中一部分，按照光沿直线传播这一简单的模型，在小孔后白屏上产生物体的像。

产生衍射时，光线不是沿直线传播的。几何光学里，我们认为光是沿直线传播的。波动理论中认为光是以波动的形式传播的。

四、用MATLAB语言演示小孔衍射

在光学中衍射理论的基础是惠更斯原理。这原理假设开始的光波面上每一点可以看作次级光源，它们发射出子波，这些子波叠加后得到向前传播的光波。

图3小孔衍射示意图

可以设屏幕上有一小孔，光波从左边入射，我们要计算通过小孔后在屏幕右边空间各点上光波的强度。这种普遍的解法是很复杂的，实际所用的衍射理论都是一些近似解法。

根据这个计算方法，采用波长为500nm蓝绿光做为衍射光源，编写MATLAB程序，即可得到图像。

MATLAB程序如下：

clear

lamba=500e-9; %波长

a=1e-3;D=1;

ym=3*lamba*D/a; %屏幕上y的范围

n=51; %屏幕上的点数

ys=linspace(-ym,ym,n);

n=51; %屏幕上的点数

yp=linspace(0,a,n);

for i=1:n

sinphi=ys(i)/D;

alpha=pi*yp*sinphi/lamba;

sumcos=sum(cos(alpha));

sumsin=sum(sin(alpha));

B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/n^2;

end

N=256; %确定灰度的等级

Br=(B/max(B))*N;

subplot(1,2,1)

image(ym,ys,Br);

colormap(hot(N)); %色调处理

subplot(1,2,2)

plot(B,ys,'k');

运行结果如图4所示。

图4衍射条纹

五、[结论]

通过图像很直观观察到波的小孔衍射的特征，中间的呈现白光，是各种颜色的光的叠加，两边颜色分别呈现黄色、红色，是因为黄色光和红色光波长较大，不能和别的窄波长的光叠加，只能单一呈现。图像是实际计算出来的数值图像，更加有数学依据。

六、[课程体会]

经过一学期的MATLAB语言课程的学习，我已经初步熟练的应用MATLAB语言，在学习的过程中，我逐步的发现用MATLAB 处理实验数据，过程直观方便，简单的命令就可以完成繁琐的计算，同时也激发了我的学习兴趣，让我摆脱了枯燥无味的重复计算。由于MATLAB具有优秀的数字计算能力、准确科学的数字图形可视化能力以及直观简洁的程序环境，因此可以在大部分课程的实验教学上广泛推广。

本次实验设计只是MATLAB语言应用的一小部分，在以后的学习中我会更多的应用MATLAB语言，它的简便、直观和强大的功能会让我的学习更加的轻松。

[参考文献]

[1] 刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 马文蔚.物理学(上册)（第四版）[M],北京：高等教育出版社，1999.