考研数学二历年真题答案解析(1997~11)一

1997年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

则
()
(A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值
(B) f (x0 ) 是 f (x) 的极小值
(C) (x0, f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0, f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点
(4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x) x
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
已知
f
(
x)
(cos
x)
x2
,
x 0, 在 x 0 处连续,则 a
.
a,
x0
(2) 设 y ln
1 x 1 x2
,则
y x0
.
(3)
dx x(4 x)
x0
x0
x0
x0
lim e e e lncosx x2
lim ln cos x 洛必达 x0 x2
1 (sin x)
lim cos x
x0
2x
x0
lim sin x
1
e e x0 2xcos x
2
【相关知识点】1.函数 y f (x) 在点 x0 连续：
设函数
f
(
x)
在点
x0
的某一邻域内有定义,如果
程组1T x1 2T x2 3T x3 BX 0 有非零解,因
1 2 0
B
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
0 t

1997年考研数学试题详解及评分参考

（A）为正常数
（B）为负常数
（C）恒为零
（D）不为常数
【答】应选(A).
【解】因函数 e sin t s in t 是以 2p 为周期的周期函数，故
ò ò ò ò F (x) = x+2p esint sin tdt = 2p esint sin tdt = - 2p esint d cos t = 0 + 2p cos2 t esint dt > 0.
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题详解及评分参考
【解】由题意， f (x) 在 x 轴的上方、单调下降且是上凹的，
（如右图所示），设 S1 、S2 、S3 分别为图中所示区域的面积，显然有 S1 < S2 < S3 . 故选（B）.
ò (3) 设 F (x) = x + 2p e sin t s in td t ，则 F (x) x
(B) 连续, 偏导数不存在.
(C) 不连续, 偏导数存在.
(D) 不连续, 偏导数不存在.
【答】应选(C).
【解】
令y
= kx ，则 lim x®0 y =kx
xy x2 + y2
k = 1+ k2
，因 k 不同时， k 1+ k2
的值不同，
( ) 故极限 lim x®0 y®0
xy x2 + y2
……2 分
Ñò ò 于是 I = (z - y)dx + (x - z)dy + (x - y)dz = - 0 (2(sinq + cosq ) - 2cos 2q -1)dq
C
2p
=
-[2(- cosq

2011年考研数学二真题及答案解析

x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3

f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记为曲线 l

考研高数二真题及答案97年到12年

又由于 D3 , D4 关于 x 轴对称，可知在 D3 D4 上关于 y 的奇函数为零，故
D3 D4

x 5 ydxdy 0 。
5 2 因此 x y 1 dxdy dxdy dx D D 2

1
sin x
dy ，故选（D）。
2 2 2
dx
ey
dy ， x 0 、y 0 代入可得，将所以 dy dx dx
0 代入可得
x 0
0
x 0
再次求导得 2 d y e y dy e y d y ，再将 x 0 、 y 0 、 dy 2 2
dx dx dx Nhomakorabeadx
d2y dx 2
(A) x1 x2 , y1 y2 (C) x1 x2 , y1 y2 【答案】：(D) 【解析】： (B) x1 x2 , y1 y2 (D) x1 x2 , y1 y2
f ( x, y ) f ( x, y ) 0， 0 表示函数 f ( x, y ) 关于变量 x 是单调递增的，关于变量 y 是 x y
1
故选（B）。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设 y y ( x) 是由方程 x y 1 e 所确定的隐函数，则 d
2 y
2
y
2 x 0
dx
【答案】 1 ：
________。
【解析】：将 x 0 代入原方程可得 y 0 方程 x 2 y 1 e y 两端对 x 求导， 2 x dy 有
1。
x 0
（10）计算 lim n

2011年考研数学二真题及答案解析

2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。

则DE/AB的值等于（）。

A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。

设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。

由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。

在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。

设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。

在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。

因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。

所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。

2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。

A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。

设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。

整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。

由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。

又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。

当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。

当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。

因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。

1997-2002考研数学二历年真题

量，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 2 2
3 ．若
1
2
3
4 ，求线性方程组
Ax 的通解．
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 二 ) 试题
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 )
3x 1x
1、 lim x1
x2 x 2
=（
）．
2、曲线 e2x y cos(xy) e 1 在点（ 0， 1）处的切线方程为：（
）．
3 ． yy
（
y2
0满足初始条件
y(0) 1, y (0)
1 2
的特解是
）．
4
．
lim 1 [ 1 cos
1 cos2
1 cos n ]
=
nn
n
n
n
（
）．
0 22
5．矩阵 2 2
2 的非零特征值是（
）．
2 22
二、单项选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分． )
１．函数 f (u) 可导， y f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x 1处取得增量 x 0.1时，相应的函
率半径， s
s(x) 是该抛物线上介于点
A（1，1）与 M 之间的弧长，计算
3
d2 ds 2
d (
)2
ds
y
的值（曲率 K＝
3 ）．
(1 y 2) 2
六、（本题满分 7 分） f ( x) 在 [0， + ）可导， f (0) =0，且其反函数为 g (x) ．
f ( x)
若
g (t )dt x2ex ，求 f ( x) ．

1997-数二真题、标准答案及解析

应选（A）. 由于 e
x + 2π
sin t
sin t 是以 2π 为周期的，因此
2π
F ( x) = ∫
x 2π
esin t sin tdt = ∫ esin t sin tdt
0
= − ∫ esin t d cos t
0
= 0 + ∫ cos 2 t ⋅ esin t dt > 0.
0
2π
故应选（A）. （5）设 g ( x ) = ⎨
方法一：
由
dx 1 = ， dt 1 + t 2 dy dy 2 − y 2 − 2ty + et = 0, dt dt
dy y 2 − et = dt 2 (1 − ty )
2 t 2 dy ( y − e )(1 + t ) = 2 (1 − ty ) dx
得
因而方法二：
由 x = arctan t ，得 t = tan x ，将其代入题目中第二式有
x →−∞
(
4 x2 + x − 1 − x − 1
)
1 2 3− − 2 x x =1 ＝ lim x →−∞ sin x ⎛ 1 1 1⎞ 1+ 2 ⎜ 4 + − 2 +1+ ⎟ x ⎝ x x x⎠
(2)设 y = y ( x ) 由 ⎨ 【详解】
⎧ x = arctan t dy 所确定，求 . 2 t dx ⎩ 2 y − ty + e = 5
可见无论 x0 ( ≠ 0 ) 为何值，都有 f 所以
( x0 ) > 0
x = x0 是 f ( x ) 的极小值点.
(3)设 F ( x ) =

1997-数二真题、标准答案及解析

可见无论 x0 ( ≠ 0 ) 为何值，都有 f 所以
( x0 ) > 0
x = x0 是 f ( x ) 的极小值点.
(3)设 F ( x ) =
∫
x + 2π
x
esin t sin tdt , 则 F ( x )
（B）为负常数. （D）不为常数. 【】
（A）为正常数. （C）恒为零.
【答】【详解】
于是有 f ( x ) > f ( b ) ,
f ( x) < f (a) +
从而
f (b ) − f ( a ) ( x − a ) , a < x < b. b−a
S1 = ∫ f ( x )dx > f ( b )( b − a ) = S2 ,
a b b⎡ f (b) − f ( a ) ⎤ S1 = ∫ f ( x )dx < ∫ ⎢ f ( a ) + x − a ) ⎥dx ( a a b−a ⎣ ⎦ 1 = ⎡ f ( a ) + f ( b )⎤ ⎦ ( b − a ) = S3 . 2⎣
⎧ x2 , x < 0 ⎧ 2 − x, x ≤ 0 则g⎡ , f ( x) = ⎨ ⎣ f ( x )⎤ ⎦为 ⎩ x + 2, x > 0 ⎩ − x, x ≥ 0
（B） ⎨
（A） ⎨
⎧2 + x 2 , x < 0 ⎩ 2 − x, x ≥ 0
⎧2 − x 2 , x < 0 ⎩ 2 + x, x ≥ 0
(2)设在区间 [ a, b ] 上 f ( x ) > 0, f
'
2 tan x lim n − 2 → x 0 n ( n − 1) x

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载

(C) (x0 , f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点 (4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x)
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

1997考研数学二真题及答案解析

特定的 f (x) 来观察结果是什么.例如取 f= (x)
1 x2
,
x
∈[1,
2] ,则
❤
∫ S1
=
2 1
1 x2
dx
=1 2
, S2
=1 4
, S3
=5 8
⇒
S2
<
S1
<
S3
.
【评注】本题也可用分析方法证明如下：
b
∫ 由积分中值定理,至少存在一个点 ξ ,使 f (x= )dx f (ξ )(b − a), a < ξ < b 成立,再由 a
α3
方法 2：利用秩的定义.
α1 由于 r = α2
α3
r= ( A)
2,则矩阵 A 中任一三阶子行列式应等于零.
α1 1 2 −1 1
α 2
=
2
0
t
0
,
α3 0 −4 5 −2
应有
1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 2 0 t = 0 −4 t + 2 = 0 −4 t + 2 = 0 , 0 −4 5 0 −4 5 0 0 3 − t
2
0
−4
−1 t 5
1
0
−2
[2]+[1]×( [3]+[1] [4]+[1]×(
→
−2) −1)
1 0
2 −4
0 −4
[2]×
−
1 4
[3]+[2]×( − t −
[4]+[2]×(−2)
→
2)
1 0
2 1
0
1
,
0 t + 2 5