导数的概念及计算、定积分检测题
高中 导数的概念、运算及应用知识点+例题+练习 含答案
教学过程【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．第2讲导数的应用(一)教学效果分析【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．。
导数的概念及运算1
例1. （14分）已知曲线y=31x 3+34. (1)求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y ′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k=y ′|x=2=4. 3分 ∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.6分（2）设曲线y=31x 3+34与过点P （2，4）的切线相切于点 A(x 0，31x 03+34)，则切线的斜率 k=y ′|0x x ==x 02.8分∴切线方程为y-(31x 03+34)=x 02(x-x 0), 即y=x 02·x-32x 03+34.10分∵点P （2，4）在切线上，∴4=2x 02-32x 03+34,即x 03-3x 02+4=0,∴x 03+x 02-4x 02+4=0, ∴x 02 (x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.例 2.【2010·北京丰台一模】函数21(01)y x x =+≤≤图象上点P 处的切线与直线0,0,1y x x ===围成的梯形面积等于S ，则S 的最大值等于 ，此时点P 的坐标是 ．【答案】54 15,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()2101y x x =+≤≤在P ()200,1x x +点处的切线方程为()()200012y x x x x -+=⋅-，即20021y x x x =⋅-+，它与y 轴的交点为201x -，与1x =的交点为20021x x -+．于是题中梯形的面积()()222000001121112S x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅=-++⎣⎦201524x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当012x =时，S 取得最大值为54，此时P 点坐标为211,122⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即15,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．例题3.【2010·湖北理数】复习巩固1.【2010·江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为（ ）【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念学业分层测评(含解析)新人教A版选修22
1.5.3 定积分的概念学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫－13d x ，下列说法正确的是( ) A ．被积函数为y ＝－13xB ．被积函数为y ＝－13C ．被积函数为y ＝－13x ＋CD ．被积函数为y ＝－13x 3【解析】 被积函数为y ＝－13.【答案】 B2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-66f (x )d x ＝( )A ．0B ．16C ．12D ．8【解析】 偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-6 6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.故选B.【答案】 B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x，x <0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )A. ⎠⎛-11x 2d xB. ⎠⎛-112xd x C. ⎠⎛-1 0x 2d x ＋⎠⎛012xd xD. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x【解析】 被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.【答案】 Db[f(x)－g(x)]d x求出的是( ) 4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影【解析】定积分S＝⎠⎛a部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．【答案】 Db f(x)d x的大小( )5．定积分⎠⎛aA．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关【解析】定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．【答案】 A二、填空题3(－3)d x＝__________.6．(2016·长春高二检测)定积分⎠⎛1【解析】由定积分的几何意义知，定积分3(－3)d x表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0⎠⎛13(－3)d x所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛1＝－(2×3)＝－6.【答案】－62－1|x|d x＝__________.7．定积分⎠⎛-1【解析】 如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝52.【答案】 528．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x .【答案】 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x三、解答题9．(2016·济南高二检测)已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .【解】 (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-1111－x 2d x 的值．【解】 y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以⎠⎛-111－x 2d x ＝S 半圆＝12π.[能力提升]1．(2016·黄冈高二检测)设曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ，选B.【答案】 B2．已知和式S ＝1p＋2p＋3p＋…＋npnp ＋1(p >0)，当n 趋向于∞时，S 无限趋向于一个常数A ，则A 可用定积分表示为( )A.⎠⎛011xd xB.⎠⎛01x pd xC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x pd x D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p d x【解析】 S ＝1n ⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1n p＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n p ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n p＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n p ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1n ，∴lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1n ＝⎠⎛01x pd x .【答案】 B3．(2016·深圳高二检测)定积分⎠⎛2 0162 0172 017 d x ＝________________.【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x ＝2 016，x ＝ 2 017与y ＝2 017，y ＝0所围成矩形的面积，所以⎠⎛2 0162 0172 017d x ＝(2 017－2 016)×2 017＝2 017.【答案】 2 0174．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[－2，2，2x ，[2，π，cos x ，[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．【解】 由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝2π＋4π－22＝π2－4，⎠⎛π2πcos x d x ＝0.由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛－22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4。
高考数学导数的概念与运算选择题
高考数学导数的概念与运算选择题1. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率2. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列关于导数的定义，错误的是（）A. 函数f(x)在某一点x0处的导数定义为f(x0+h)-f(x0)/h，当h趋近于0时B. 导数表示函数在某一点的瞬时变化率C. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率D. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率4. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值25. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-16. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率7. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值28. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-19. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率10. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值211. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-112. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率13. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值214. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-115. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率16. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值217. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-118. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率19. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值220. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-121. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率22. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1D. 最大值3，最小值223. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-124. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率25. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值126. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-127. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率28. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值229. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-130. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率31. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值232. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-133. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率34. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值235. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-136. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率37. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值238. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-139. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率40. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值241. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1C. y=-2x+1D. y=-2x-142. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率43. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值244. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1D. y=-2x-145. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率46. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值247. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+148. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率49. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值250. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-1。
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 导数的概念及运算、定积分
有一个公共点. 4.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化
的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数
y＝f(x)在
x＝x0 处的瞬时变化率
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝
lim
x0
ΔΔxy为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝
索引
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当 x＝x0 时，f′(x0)是一
个确定的数，当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，称它为 f(x)的导函数(简称导
数)，y＝f(x)的导函数有时也记作
y′，即
f′(x)＝y′＝
lim
x0
f（x＋Δx）－f（x）
索引
3.(2020·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝x＋ex a.若 f′(1)＝4e，则 a＝_____1___.
解析 由 f′(x)＝ex（（xx＋＋aa））－2 ex，可得 f′(1)＝（1＋eaa）2＝4e，即（1＋aa）2＝14， 解得 a＝1.
导数的概念及运算专题练习(含参考答案)
数学 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线， 则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)． 因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数概念练习题
导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。
导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。
已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。
已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。
已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。
解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。
解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。
导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。
下面是一些求导数的练习题，供大家参考。
(1)θ=sinx,y=cosx。
(x)=3xx=0为函数的极值点。
随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。
导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。
因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。
高中数学第一章导数及其应用定积分的概念高效测评新人教A版选修
2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念高效测评 新人教A 版选修2-21．由定积分的几何意义可得⎠⎛02x2d x 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.答案： A2．已知f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析： ∵被积函数f (x )是偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等．∴⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.答案： D3．定积分⎠⎛01x d x 与⎠⎛01x d x 的大小关系是( ) A ．⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d x B ．⎠⎛01x d x >⎠⎛01x d xC ．⎠⎛01x d x <⎠⎛01x d xD ．无法确定解析： 由定积分的几何意义结合右图可知⎠⎛01x d x <⎠⎛01x d x .4．函数y ＝⎠⎛－x x(cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．以上都不正确解析： y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t | x－x ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．定积分⎠⎛－12|x |d x ＝________.解析： 如图，⎠⎛－12|x |d x ＝12＋2＝52.答案： 526．下列等式成立的是________．(填序号)①⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x ； ②⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a ； ③⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x ；④⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛0－2πsin x d x ＋∫2π0sin x d x . 解析： 利用定积分的性质进行判断③不成立．例如⎠⎛01x d x ＝12，⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛01x 3d x ＝14，但⎠⎛01x 3d x ≠⎠⎛01x d x ·⎠⎛01x 2d x . 答案： ①②④三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知⎠⎛01e x d x ＝e －1，⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，⎠⎛02x 2d x ＝83，⎠⎛122xd x ＝2ln 2.求： (1)⎠⎛02e xd x ； (2)⎠⎛02(e x ＋3x 2)d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x . 解析： (1)⎠⎛02e x d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛12e x d x＝e －1＋e 2－e ＝e 2－1.(2)⎠⎛02(e x ＋3x 2)d x ＝⎠⎛02e x d x ＋⎠⎛02(3x 2)d x＝⎠⎛02e x d x ＋3⎠⎛02x 2d x ＝e 2－1＋8＝e 2＋7.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛12e x d x ＋12⎠⎛122x d x ＝e 2－e ＋ln 2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5x ∈[－1，1x x ∈[1，πsin x x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分．解析： 由定积分的几何意义知⎠⎛－11x 5d x ＝0.∫3ππsin x d x ＝0(如图所示)．⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－1 1x 5d x ＋∫π1x d x ＋⎠⎛π3πsin x d x ＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)计算⎠⎛－33 (9－x 2－x 3)d x 的值．解析： 如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2d x ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3d x ＝0.由定积分的性质，得⎠⎛－33(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛－339－x 2d x －⎠⎛－33x 3d x ＝9π2.。
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导数的概念及计算、定积分检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x .3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析：选D ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.4.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛0 1 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1＝13.5.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B. [－1,0] C. [0,1]D. ⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 设P (x 0，y 0)，P 点处切线倾斜角为α， 则0≤tan α≤1，由f (x )＝x 2＋2x ＋3，得f ′(x )＝2x ＋2， 令0≤2x 0＋2≤1，得－1≤x 0≤－12.故选A.6.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 021(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选D ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…， ∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 021＝505×4＋1，∴f 2 021(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x .7．已知函数f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选C 由f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，得f ′(x )＝x sin x ＋12x 2cos x ＋cos x －x sin x＝12x 2cos x ＋cos x . 由此可知，f ′(x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1，故选C.8．[数学抽象、逻辑推理]若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.二、填空题（每小题5分，共25分）9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________． 解析：S ＝⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋∫π20cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x |π20＝12＋1＝32. 答案：3210．(2020·重庆质检)若曲线y ＝ln (x ＋a)的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋e b ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln (x ＋a)，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b＝a e －2.∵b>0，∴a>2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)11.若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay(a>0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P(x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e .答案：2e12.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f (x )x，则g ′(4)＝________.解析：g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2.由已知图象可知，直线l 经过点P (0,3)和Q (4,5)， 故k 1＝5－34－0＝12. 由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4,5)在曲线y ＝f (x )上，所以f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′(4)－f (4)42＝4×12－542＝－316.答案：－31613．设函数F (x )＝ln x ＋a x (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、综合题（3个题，共35分）14．（11分）已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.15.（12分）设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2. ∴当x <0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x >0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．16．（12分）已知函数f (x )＝ax ＋bx (x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．16.解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －bx 2(x ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝34，3×2－4f (2)＋4＝0.即⎩⎨⎧a －b 4＝34，5－2⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20， 曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20(x －x 0)． 即y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0. 即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫0，2x 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0,2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0,0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．。