机翼设计和复变函数

Ma Ma
Ma 为临界马赫数。
此时称为亚声速机翼。 本节讨论须考虑流体的可压缩性。
亚声速机翼的阻力由粘性阻力和诱导阻力两者构成。
1.8.P1
第八节 跨声速机翼
图示跨声速 机翼，在A点达 到声速，A点后 流动继续膨胀， 流速继续增大，
Ma 1
A
Ma Macr
S

跨声速翼型流动
超声速机翼的常用翼型
超声速翼型的阻力系数总是大于 Cd 平板 。
2.1.P1
第二章 叶栅理论基础
第一节 叶栅概述
叶栅（翼栅）——叶片的组合。 一、叶栅的主要类型 按流体流经叶栅流道的流动分为： 平面叶栅：流体流经叶栅流道的流动是平面 流动。如：轴流涡轮机械（见图）的转轮和导叶、 径向式水轮机、水泵、压缩机的转轮和导叶等。
1.4.P5
（一）变换特点 1） 平面上无穷远点和原点都变换成 z 平面 上的无穷远点。 2） 平面上圆心在坐标原点，半径为 c 的圆 周变换成 z 平面上实轴上长为 4c 的线段。 3） 平面上圆心位于坐标原点，半径 a>c的 圆变换为 z 平面上长半轴为a+c2/a（位于实轴）， 短半轴为 a－c2/a 的椭圆。
薄翼的机动模型
1.6.P1
第六节 有限翼展机翼概述
一、有限翼展机翼的翼端效应及其气动模型
本节讨论流动特点、升力计算及其特有的“诱导
阻力”计算。 （一）翼端效应 图示 ，当绕流有限 翼展时，有向上绕流的 趋势，越接近翼端越明
显，称为翼端效应。
1.7.P1
第七节 亚声速机翼
亚声速机翼绕流指绕流任何位置均有 M a 1 。 对于来流为
压强减少。如果过膨胀，在 S 点处会形成激波， 其后变成亚声速。
AS超声速区压强下降很多，增大了升力。激 波后压强突跃，会形成波阻。
1.9.P1
第九节 超声速机翼
超声速流动中翼型的扰动以马赫波的形式向下 游传播，马赫锥前流体不受扰动。 为避免在翼型前缘出现正激波波阻，前缘都具 有尖劈形状，而后缘应是尖状，且翼型一般都很薄， 如图示。
2.4.P7
三、平面直列叶栅流动的反问题解法 反问题：已知栅前来流 w 和叶栅的部分几何 ω∞ 参数，寻求能给定环量 c c （即产生的流体动力） Г
β 的薄翼的几何形状及安放角 ss 。
确定几何形状的根据：翼型表面必须是流线。 确定安放角的根据：翼型应处于较优的来流攻 角下。 如果 是翼型表面某点的切线与列线的夹角， 则有
Cl
Cd
0
15
0
Cm
翼型的气动力系数曲线
1.3.P3
由图可见： Cl max 约为1.5，对应
约为15°；
15 近似为一直线；0 0 5 。
(4)阻力系数、阻力系数曲线 阻力系数
Cd D 1 2
2
b
阻力系数曲线
Cd Cd ( )
0 附近 Cd 最小。
(5)升阻比
Cl Cd
滑翔系数 Cd Cl
1.3.P4
(6)前缘气动力矩、力矩系数和力矩系数曲线 前缘气动力矩 M 0： 总气动力 R L2 D2 对前 缘点形成的力矩。 力矩系数 Cm 0
M0 1 2 b2
2
力矩系数曲线 Cm0 Cm0 (a) (7)压力中心
2.6.P1
第六节 超声速叶栅
栅前来流
Ma1 1 的叶栅为超声速叶栅。
为取得良好的气动性能，翼型前缘作成又尖又薄，
以避免产生离体激波。这些波系也与叶栅的几何参数有关。 一、理论超声速叶栅 理论超声速叶栅：来流攻角很小，气流在叶栅进 口及流道中无激波产生，气流只进行膨胀或经弱斜激波压缩过程。 二、实际超声速叶栅 实际叶栅前缘不可能 非常尖细，而且叶栅在非设计工况运转时攻角与最 优值差别很大，再加上边界层及气流非均匀性的影 响，使理论流动很难实现。实际叶栅流动不可避免 地要出现一系列强度不等的激波，使流动非等熵。 计算非常困难，下面定性地分析超声速叶栅流动的 特点。
2.4.P1
第四节 奇点分布法 解平面叶栅流动
思路：一个由翼型组成的叶栅对均匀流的扰动 相当于一系列以一定规律分布的流动奇点对流动的 扰动。 它既可以解正问题，也可以解反问题。 一、平面直列叶栅的旋涡系模型及诱导速度
平面上一平面直列叶栅，坐标系及各参数如
图示。
2.4.P4
当积分遇到 s
s0 ，即 u u0、z z0时，会出
一、机翼与翼型的几何参数 由机翼的平面形状图可看出， 主要几何参数有
a)
S
l
b)
面积 S 翼弦 b 翼展 l 平均几何翼弦
br
S
bt
b
b
l
c)
ba s / l
尘削比
b
S
l0
l
bt / br
机翼的平面形状
1.2.P2
机翼分为无限翼展机翼(二元机翼)和有限 翼展机翼(三元机翼)。 二、翼型的几何参数 一般机翼翼型如图示：

C
o
vz
x
v
o

z

复平面的保角变换
其流动可作相应变换以求解。
1.4.P4
（三）流动奇点强度在保角变换中的变化 作保角变换时，二平面上的点涡、点源强度有 关系
z
即奇点强度保持不变。 二、儒可夫斯基变换 变换函数
z c2
qz q

式中：c —— 正、实常数。
叶栅中相邻翼型对应点的距离， 翼型弦线与列线夹角，记为 s。 翼型弦长与栅距之比，b/t 。
分为进口、出口安放角，记为 s1 , s 2。 其倒数 t/b 称为相对栅距。 三、叶栅中的流动及流体动力 分析图示坐标系下叶栅中的流动。
2.1.P6
c) 不同流动类型的叶栅
可以分析出流过叶栅时，栅前、栅后流速w1、w2 大小和方向都不相同。
目的：计算转动流体机械的流体动力力矩和功率。
2.1.P3
空间叶栅：流体流经叶栅流道的流动是空间流
动。如：混流式水轮机转轮叶栅。
平面叶栅又可分为直列和环列叶栅，依运动与 否亦可分为运动叶栅和固定叶栅。 分析时常将坐标系固定在叶栅上，视流动为定 常流动，其进出口速度为 其中
w1 w2
1
w u
u u 2
f
f
度。
1.2.P4
相对厚度 t t / b 位置 xt 相对位置 xt xt / b （5）前后缘圆角半径 r1 ， r2
前后缘圆角半径相对值
rl rl / b rt rt / b
1.3.P1
第三节 翼型的空气动力特性
(1)攻角
:翼弦与来流夹角。
y
L R
气动翼弦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
o
D
s
x
如来流成a角（图示），则 平面上绕流复位势
W ( ) ( ei a2

ei )
1.5.P1
第五节 奇点分布法
两种问题： 1、正问题：已知翼型几何特性，求可以替代 的奇点分布，用叠加法求出流动复位势和气动性能。 2、反问题：要获取一定特性的流场，求取相 应机翼的几何特性。 一、薄翼的简化气动模型 图示为一小弯度小厚度翼 型被小攻角来流绕流。简化为 无厚中弧线绕流。
y
f
t
中弧线
rt
rl
xt
x
翼弦
xf
b
翼型及其几何参数
1.2.P3
其几何参数主要有： （1）翼弦 b ：过前后缘圆心连线被截的长度。 （2）中弧线（骨线或中线） ：轮廓线内切圆圆心 连线。 （3）弯度 f ：图示坐标中，中弧线的 ymax 。 相对弯度 f ： f f / b 弯度位置 x f ： ymax 的 x 位置 相对位置 x ：x x f / b。 （4）厚度 t ：翼弦垂线被翼型轮廓截得的最大厚
S : R 与翼弦交点。
其位置 xs ， xs
xs b
。
(8)焦点：攻角改变时气动力对该点的力矩不变。
1.4.P1
第四节 保角变换法、 儒可夫斯基变换
一、保角变换法求解平面势流 可以利用解析的复变函数 z f ( ) 将 平面上 的圆域变换为 z 平面上的实用域，如图。
y Z

Cz

, v
xs
b
作用于型上的气动力
零升力攻角 0 ：攻角为某一负值 为零。 来流方向的直线。
0 时，升力
(2)气动翼弦（空气动力翼弦）：过后缘零升力
1.3.P2
(3) 升力系数、升力系数曲线 升力系数
Cl L 1 2
2
b
升力系数曲线 Cl Cl ( )
Cm , Cd , Cl
由图中的三种情况可分为三类叶栅：a)收敛叶 栅，流道断面收敛，流体加速， 2 1 ，压强下降， 如水轮机转轮。b)扩压叶栅，流道断面扩张，流速
2.1.P8
下降、压强上升。如轴流泵转轮。c) 冲击叶栅，栅前、 后速度、压强相等。但速度方向改变。
四、叶栅流动的解法 正问题：已知叶栅几何参数和栅前来流，求作用 于叶栅上的流体动力。 可有三种解法：保角变换法、旋涡运动理论和叶 栅特征方程解法。 五、等价平板叶栅 等价叶栅：两个由不同翼型组成的栅距相同的叶 栅在任何来流下都有相同的流体动力。 其中一个叶栅为平板叶栅，则称为等价平板叶栅。 可以证明任一叶栅都存在与其等价的平板叶栅。
现不定式 0/0 ，此时须借助有关诺模图另加处理。
二、平面直列叶栅流动的正问题解法
正问题：已知叶栅几何参数和无穷远来流，求 取环量密度 （S） 和流场及流体动力。 γ s 将 s 作变量代换
b s cos 2
b ds sin d 2
，
式中， b 2 s b 2 时有 0
1.1.P1
第一章 机翼理论基础
第一节 机翼升力原理
机翼升力可由儒可夫斯基升力公式计算，即：
L
两者构成。


其阻力由边界层理论知由摩擦阻力和压差阻力 Γ
机翼的翼型 和位置产生一定的环量 与来流叠加产生升力
失速状态：绕流气流分离和旋涡加大使环量大大 减小，致使升力完全消失。
1.2.P1
第二节 机翼与翼型的几何参数
——相对速度 ——绝对速度 ——牵连速度
2.1.P4
二、叶栅的主要几何参数
叶栅的几何参数
（1）列线 叶栅中各翼型相应点连线。依其 形状可将叶栅分为直列叶栅和环列叶栅。 （2）栅轴 直列叶栅指垂直于列线的直线（涡 轮机的转轴），环列叶栅指涡轮转轴。
2.1.P5
（3）栅距 记为 t 。 （4）安放角 （5）稠密度