数列综合练习题(新)

合集下载

数列的概念综合练习题doc

一、数列的概念选择题1．设数列{},{}n n a b 满足*172700,,105n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（） A ．43a a >B ．43<b bC ．33>a bD ．44<a b2．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（） A ．89B ．23C ．6481D ．1252433．数列23451,,,,,3579的一个通项公式n a 是（） A ．21nn + B ．23nn + C ．23nn - D ．21nn - 4．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（）A ．4-B ．5-C ．4D ．55．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对6．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（） A ．2072B ．2073C ．2074D ．20757．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（） A ．30B ．20C ．40D ．508．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（） A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．在数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（）A ．1-B ．12C ．1D ．211．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（） A ．21B ．10C ．212 D ．17212．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（） A ．12-B ．16-C ．16D ．1214．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（） A ．259B ．145 C ．3111D ．17615．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（） A ．45B ．46C ．47D ．4816．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202217．已知数列{}n a 满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025218．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-19．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（） A ．6-B ．16-C ．16D ．620．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．(),3-∞B ．(),2-∞C ．(),1-∞D ．(),0-∞二、多选题21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=22．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =23．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >24．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =25．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 26．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列27．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <28．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2230．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >31．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <32．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+33．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意有1328010n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】由题意知：1328010n n a a +=+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==，故选：C 【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.2．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n nnn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21n na n =-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.4．B解析：B 【分析】根据已知递推条件()*21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5a【详解】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题5．A解析：A 【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值【详解】由114a =-，111(1)n n a n a -=->知 21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选：A 【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题6．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数，又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项，所以这个数列的第2020项是2025492074+=，故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.8．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--．故选C ．【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围.【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n a f n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】解：211111=1=22a a =--，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=，则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥85212a a a ∴===，故选：B. 【点睛】本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.11．C解析：C 【分析】由累加法求出233n a n n =+-，所以331n a n n n，设33()1f n n n=+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到na n的最小值. 【详解】解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-所以331n a n n n设33()1f n n n=+-，由对勾函数的性质可知， ()f n 在(上单调递减，在)+∞上单调递减，又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662a a ===，所以n a n的最小值为62162a =.故选：C. 【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.12．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.13．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a .【详解】因为1n S n =，所以11111a S ===，因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A14．B解析：B 【分析】由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23na n =-，即可求解. 【详解】由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；2、对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.15．C解析：C 【分析】利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解【详解】当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C16．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，，第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，，第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，，据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，，故选：C.17．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．【详解】依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列，于是所求值为20161(1)151222⨯+=，故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.18．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.19．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.20．A解析：A 【分析】由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立，所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，所以3λ<，故选：A. 【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.二、多选题 21．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，，故C 正确；对于D ，，，，，各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.22．ACD先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意，，A 正确，，C 正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B 错；，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．23．ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.24．ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得，故，故A 正确； ∵，，故有，故B 正确；该数解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-，故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确；该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误；由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.25．BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.26．AC 【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.27．AD 【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.28．ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，，所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD 【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =，所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.29．AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ．【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.30．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；C. 若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．31．BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A 选项，若，则，那么.故A 不正确；B 选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为解析：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=，那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=，所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.32．ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.33．AD【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：解析：AD【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <.故AD 正确，BC 错误.故选：AD.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.34．AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，，则，．．故正确，错误；可得数列的解析：AC【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．35．CD【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；【详解】，，设，则点在抛物线上，抛物线的开口向下，对称轴为，且为的最大值，解析：CD【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=， ∴129291529()2902a a S a +===，故选：CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

2023届新高考数学：《数列》练习题

华南师大附中2023届高考一轮复习《数列》练习题姓名：______________ 班级：______________一、单项选择题1. 数列 −1，3，−5，7，−9，⋯⋯ 的一个通项公式为 ( ) A ． a n =2n −1B ． a n =(−1)n (1−2n )C ． a n =(−1)n (2n −1)D ． a n =(−1)n+1(2n −1)2. S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和，如果 a 4+a 11=10，那么 S 14= ( ) A ． 210 B ． 200 C ． 140 D ． 703. 设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和．若 S 5=25，a 3+a 4=8，则 {a n } 的公差为 ( ) A ． −2 B ． −1 C ． 1D ． 24. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，则“{a n } 是等差数列”是“{Snn } 是等差数列”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ．若 q =2，S 2=6，则 S 3= ( ) A ． 8 B ． 12 C ． 14 D ． 166. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，公比为 q ．若 S n ={2,n =1q n −1,n >1，则 a 3= ( )A ． 8B ． 9C ． 18D ． 547. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ( ) A ． 1 盏 B ． 3 盏 C ． 5 盏 D ． 9 盏8. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 √212．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为 ( ) A ． √23fB ． √223fC ． √2512fD ． √2712f二、不定项选择题9. 若数列 {a n } 满足 a n =q n (q >0,n ∈N ∗)，则下列结论正确的是 ( ) A ． {a 2n } 是等比数列 B ． {1a n} 是等比数列C ． {lga n } 是等差数列D ． {lga n 2} 是等差数列10. 已知数列 {a n } 是正项等比数列，且 2a 3+3a 7=√6，则 a 5 的值可能是 ( )A ． 2B ． 4C ． 85D ． 8311. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1=1，a n+1=2S n (n ∈N ∗)，则有 ( ) A ． S n =3n−1 B ． {S n } 为等比数列 C ． a n =2⋅3n−1D ． a n ={1,n =12⋅3n−2,n ≥212. 设 {a n } 是无穷数列，若存在正整数 k ，使得对任意 n ∈N +，均有 a n+k >a n ，则称 {a n } 是间隔递增数列，k 是 {a n } 的间隔数．下列说法正确的是 ( ) A ．公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B ．已知 a n =n +4n ，则 {a n } 是间隔递增数列C ．已知 a n =2n +(−1)n ，则 {a n } 是间隔递增数列且最小间隔数是 2D ．已知 a n =n 2−tn +2020，若 {a n } 是最小间隔数为 3 的间隔递增数列，则 4≤t <5三、填空题13. 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n =cos nπ2，则它的第 5 项为．14. 中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了 1260 里，第一日，第四日，第七日所走之和为 390 里，则该男子第三日走的里数为．15. 已知数列 {a n } 满足 a na n−1=12(n ≥2,n ∈N ∗)，S n 为其前 n 项和．若 a 5=4，则 S 5= ．16. 在 −5 和 16 中间插入 n 个数，使这 n +2 个数组成和是 88 的等差数列，则公差 d = ．四、解答题17.已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．(1) 求数列{a n}通项公式．(2) 设b n=a n+a n+1，求证：数列{b n}是等差数列．(3) 求数列{b n}的前n项和T n．18.已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，a42=a2a9．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+119.已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=−3，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）数列{a n}的通项公式；（2）S n的最小值，并求S n取得最小值时n的值．条件①：S4=−24；条件②：a1=2a3．20.设公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=8，S2=48，数列{b n}满足b n=4log2a n．(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式．(2) 是否存在m∈N∗，使得b m⋅b m+1是数列{b n}中的项？若存在，求出m的值；若不存在，b m+2请说明理由．。

一轮复习专题31 数列综合练习

专题31数列综合练习一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是()。

A 、1=n aB 、21)1(+-=n n a C 、|2sin |2π-=n a n D 、23)1(1+-=+n n a 【答案】C【解析】由|2sin|2π-=n a n 可得11=a ，22=a ，13=a ，24=a ，…，故选C 。

2．数列}{n a 中“n a 、1+n a 、2+n a (+∈N n )成等比数列”是“221++⋅=n n n a a a ”的()。

A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】+∈N n ，n a 、1+n a 、2+n a 成等比数列，则221++⋅=n n n a a a ，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1、0、0、0、…故选A 。

3．如图，n 个连续自然数按规律排成下表，则从2018到2020的箭头方向依次为()。

A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓【答案】A【解析】选取1作为起点，由图可知，位置变化规律是以4为周期，由于250442018+⨯=，可知2018在2的位置，2019在3的位置，2020在4的位置，故选A 。

4．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为()。

A 、130B 、170C 、210D 、260【答案】C【解析】由已知得30=m S 、1002=m S ，则m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…为等差数列，则30=m S 、702m m S S -、11023=-m m S S ，则2103=m S ，故选C 。

5．将含有n 项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 值为()。

A 、20B 、21C 、22D 、23【答案】A【解析】由题意知这些数构成2+n 项的等差数列，且首末项分别为4和67，由等差数列的求和公式可得7812)2()(21=+⨯+=+n a a S n ，解得20=n ，故选A 。

辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(数列综合题)练习(附答案)

辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(数列综合题)练习1．（2022•新高考Ⅱ）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素的个数．2．（2021•新高考Ⅱ）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）求使n n S a >成立的n 的最小值．3．（2022•沈阳一模）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2414a a +=，246b b a =，且0n b >．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）已知：①1000n b <；②m N +∃∈，使m n a b =．设S 为数列{}n b 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S 的值．4．（2022•沈阳一模）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对于集合B ，定义集合{A B x A -=∈且}x B ∈∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．5．（2022•沈河区校级二模）已知等差数列{}n a 满足59a =，4822a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足2021n S <的n 的最大值．①312b a a =+； ②37S =； ③1n n b b +>．6．（2022•大连模拟）已知等差数列{}n a 的公差为正实数，满足14a =，且1a ，3a ，54a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若11b =，且 ______，求数列{}n n a b +的前n 项和为n T ，以下有三个条件：①21n n S =-，*n N ∈； ②21n n S b =-，*n N ∈； ③121n n S S +=-，*n N ∈．从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列{}n b 为等比数列，并根据题意解决问题．7．（2022•辽宁一模）已知{}n a 是等差数列，36a =，612a =，且1,2,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前2n 项和．8．（2022•辽宁模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，7210126S a a -=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{2}n a n a +⋅的前n 项和为n T ，求满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知单调递增的等比数列{}n a ，满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =-，12n n S b b b =++⋯+，对任意正整数n ，总有1()0n n S n m a +++<成立，试求实数m 的取值范围．10．（2022•辽宁模拟）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，114n n S a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①211(1)n n n n a b S a +++=+；②242221(1)(21013)2n n n n n n n b a a -+-⋅++⋅=⋅．11．（2022•大东区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分． ①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且2212211(log )(log )n n n b a a -+=，证明：12n T <．12．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*21()nn S a n N n=+∈．（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列；（Ⅱ）若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2022•辽宁一模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，11(n n a ka n N ++=+∈，)k R ∈．（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ；（2）记123||||||||n n T a a a a =++++ ，求n T ．14．（2022•辽宁模拟）记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，235a a S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，若782m b a =，求数列{}n b 前m 项的和m T ．15．（2022•抚顺一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数n ，m ，都有2n ma a n m-=--，且530S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设||22na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．（2022•丹东模拟）数列{}n a 中，2112,2(2)n n n a a a ++=-=-．（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：数列{}n S 中任意连续三项按适当顺序排列后，可以组成等差数列．17．（2022•铁东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <．18．（2022•沈河区校级四模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈，（Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．19．（2022•锦州模拟）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且22a =，135a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①11b =，n n S nb =，②231n n S b =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的最小值；若k 不存在，说明理由．问题：设数列{}n b 的前n 项和为n S ，_____，数列{}n n a b -的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得100k T >？20．（2022•大连二模）已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差2d =的等差数列，且满足322b a =，341a b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n c ＝____，求{}n c 的前n 项和n S ．请在①3(1)n n n c a b =+-；②13n n nb c a -=．这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．21．（2022•辽宁模拟）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a n =+．（1）证明：数列1{}n n a a ++为等差数列；（2）求{}n a 的通项公式．22．（2022•辽宁二模）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意正整数n ，有2132n n n a a a ++=-．若12n n n b a a +=-．（1）判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．23．（2022•辽宁模拟）已知等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 满足112a =，11b =，225a b =，332a b =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和数列{}n b 中的所有项分别构成集合A 和B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 前63项和63S ．24．（2022•鞍山模拟）在①231n n S n =--，②123n n a a +=+，12a =-，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且____（只需填入序号）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的n 项和n T ．25．（2022•辽宁三模）已知数列{}n a 中，满足1a a =，2a b =，12()n n n a k a a ++=+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a b ==，且1{}n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．26．（2022•沈阳模拟）已知公差大于1的等差数列{}n a 中，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，求证：1132n S <…．27．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 中，132a =且*1241()n n a a n n N +=+-∈．（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．28．（2022•辽阳二模）①{2}n n a 为等差数列，且358a =；②{}21n a n -为等比数列，且234a =．从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在数列{}n a 中，112a =，_______．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．29．（2022•葫芦岛二模）已知数列{}n a 是等差数列，且101a -，122a +，1444a +分别是公比为2的等比数列{}n b 中的第3，4，6项．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 通项公式为sin()n n n c b a π=，求{}n c 的前100项和100S ．30．（2022•中山区校级一模）已知等差敉列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a =，213a b ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）在①312b =；②211b a =；③22323a b a +=这三个条件中选择一个作为已知条件，使得{}n b 存在且唯一，并求数列{}n a b 的前n 项和n S ．31．（2022•沈阳模拟）设各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且21n n S T +=．（1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．32．（2022•辽宁模拟）已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2128a a -=，384S =，*q N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若112222log log log log n nnn a a n a a b ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．33．（2022•沙河口区校级一模）在下面①和②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．已知数列{}n a 满足16a =，23a =-．____．①若*122()n n n a a a n N +++=∈．设1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列，若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*()n S m n N ∈…，求实数m 的最小值；②若数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，且*1()n n a a n N +>∈，3433a a +=-，求数列{}n a 的通项公式．若数列{}n a 的前n 项和n S ，求||n S ．34．（2022•辽宁三模）已知{8}n a +是公比为2的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且32S S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T ．35．（2022•沈河区校级模拟）已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，公比是q ，且满足：13a =，11b =，2212b S +=，22S b q =．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设332n a n n b λ=- ð，()R λ∈，若数列{}n ð是递增数列，求λ的取值范围．36．（2022•和平区校级模拟）已知数列{}n a 满足12a =，112(*)n na n N a +=-∈．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列1{}n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得213n m m T c c +<对任意的*n N ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．37．（2022•葫芦岛一模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1310a a +=，80S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最大值．38．（2022•丹东模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为2，1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）证明：(1)n S n n >-；（2）证明：12311112nS S S S ++++<39．（2022•望花区校级模拟）已知数列{}n a 满足11a λ=-，且12(0)n n a a λλ+=+≠，且数列{1}n a +是等比数列．（1）求λ的值；（2）若(2)n n n b a a =+，求123n b b b b +++⋯+．参考答案1．（2022•新高考Ⅱ）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9【过程详解】（1）证明：设等差数列{}n a 的公差为d ，由2233a b a b -=-，得1111224a d b a d b +-=+-，则12d b =，由2244a b b a -=-，得111128(3)a d b b a d +-=-+，即11124(3)a d b d a d +-=-+， 11a b ∴=．（2）由（1）知，1122d b a ==，由1k m b a a =+知，11112(1)k b a m d a -⋅=+-+， ∴111112(1)2k b b m b b -⋅=+-⋅+，即122k m -=，又1500m 剟，故1221000k -剟，则210k 剟，故集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素个数为9个．2．（2021•新高考Ⅱ）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（Ⅰ）26n a n =-；（Ⅱ）7 【过程详解】（Ⅰ）数列n S 是公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =．根据等差数列的性质，3535a S a ==，故30a =，根据244a a S =可得333333()()(2)()()a d a d a d a d a a d -+=-+-+++，整理得22d d -=-，可得2(0d d ==不合题意），故3(3)26n a a n d n =+-=-．（Ⅱ）26n a n =-，14a =-， 2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-， n n S a >，即2526n n n ->-，整理可得2760n n -+>，当6n >或1n <时，n n S a >成立，由于n 为正整数，故n 的最小正值为7．3．（2022•沈阳一模）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2414a a +=，246b b a =，且0n b >．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）已知：①1000n b <；②m N +∃∈，使m n a b =．设S 为数列{}n b 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S 的值．【答案】（1）12n n b -=；（2）见解析【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d 和等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，由111a b ==，2414a a +=，246b b a =，可得11314d d +++=，315q q d ⋅=+，解得3d =，2q =，则13(1)32n a n n =+-=-，12n n b -=；（2）①1000n b <，即121000n -<，解得1n =，2，3，...，10； ②m N +∃∈，使m n a b =，即1322n m --=，可得1m =，1n =；2m =，3n =；6m =，5n =；22m =，7n =；86m =，9n =．所以141664256341S =++++=．4．（2022•沈阳一模）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对于集合B ，定义集合{A B x A -=∈且}x B ∈∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．【答案】（1）31n a n =+，2n n b =；（2）1632【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，设正项等比数列{}n b 的公比为q ，由于满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+，所以22q q =+，解得2q =或1-（负值舍去），故2n n b =，所以332a b =+，所以31331a a d -==-，整理得31n a n =+；（2）由于3091a =，6764121128b b =<<=，所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2，4，8，16，32，64；其中4，16，64三项是数列{}n a 和{}n b 的公共项；所以数列{}n c 前30项由数列{}n a 的前33项再去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这三项构成，所以30123324633(43331)(...)()(41664)16322S a a a b b b ⨯+⨯+=+++-++=-++=．5．（2022•沈河区校级二模）已知等差数列{}n a 满足59a =，4822a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足2021n S <的n 的最大值．①312b a a =+； ②37S =； ③1n n b b +>．【答案】（1）21n a n =-；（2）见解析【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为4822a a +=，所以6222a =，所以611a =，又59a =，所以651192d a a =-=-=，154981a a d =-=-=，所以1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）若选择①②：设等比数列{}n b 的公比为q ，因为11b a =，312b a a =+，所以11b =，34b =，因为37S =，所以23132b S b b =--=，所以212b q b ==，所以1(1)211n n n b q S q -==--，因为2021n S <，所以212021n -<，所以10n …，即n 的最大值为10．若选择①③：设等比数列{}n b 的公比为q ，因为11b a =，312b a a =+，所以11b =，34b =，所以2314b q b ==，2q =±，因为1n n b b +>，所以2q =，所以1(1)211n n n b q S q -==--，因为2021n S <，所以212021n -<，所以10n …，即n 的最大值为10．若选择②③：设等比数列{}n b 的公比为q ，因为37S =，11b =，所以217q q ++=，所以2q =或3q =-，因为1n n b b +>，所以2q =，所以1(1)211n n n b q S q -==--，因为2021n S <，所以212021n -<，所以10n …，即n 的最大值为10．6．（2022•大连模拟）已知等差数列{}n a 的公差为正实数，满足14a =，且1a ，3a ，54a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若11b =，且 ______，求数列{}n n a b +的前n 项和为n T ，以下有三个条件：①21n n S =-，*n N ∈； ②21n n S b =-，*n N ∈； ③121n n S S +=-，*n N ∈．从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列{}n b 为等比数列，并根据题意解决问题．【答案】（1）22n a n =+；（2）见解析【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由14a =得342a d =+，5484a d +=+，由1a ，3a ，54a +成等比数列得2(42)4(84)d d +=+．所以2d =±，由0d >知2d =，从而1(1)42(1)22n a a n d n n =+-=+-=+．（2）若选①：21n n S =-，*n N ∈，则当1n =时，11211b S ==-=；当2n …，*n N ∈时，111(21)(21)2n n n n n n b S S ---=-=---=．当1n =时，也满足上式，所以12n n b -=，*n N ∈．所以11222nn n n b b +-==，所以数列{}n b 为首项为1，公比为2的等比数列．所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．若选②：21()n n S b i =-，当1n =时，11121S b b ==-，*n N ∈，11b =；当2n …时，1121()n n S b ii --=-， ()()i ii 两式相减得：122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，2n …，*n N ∈，所以12nn b b -=．所以数列{}n b 为首项11b =，公比2q =的等比数列，所以12n n b -=，*n N ∈．所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．若选③：121()n n S S i +=-， 2121()n n S S ii ++=-，()()ii i -得：212n n b b ++=，*n N ∈，所以12nn b b -=，数列{}n b 是公比为2q =的等比数列，且1n =时12121a a a +=-，解得11a =，所以12n n b -=，*n N ∈．所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．7．（2022•辽宁一模）已知{}n a 是等差数列，36a =，612a =，且1,2,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前2n 项和．【答案】（1）2n a n =；（2）224(161)2315n n T n n ⨯-=++ 【过程详解】（1）由于{}n a 是等差数列，36a =，612a =，设首项为1a ．公差为d ，所以1126512a d a d +=⎧⎨+=⎩，整理得122a d =⎧⎨=⎩，所以22(1)2n a n n =+-=，（2）由（1）得：21,4,n n n n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数，所以13212224(161)(541)4(161)(44 (4))(59...41)2341215n n n n n n T n n n --++⨯-=++++++++=+=++-． 8．（2022•辽宁模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，7210126S a a -=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{2}n a n a +⋅的前n 项和为n T ，求满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值．【答案】（1）21n a n =-，*n N ∈；（2）6【过程详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则7721S d =+，21a d =+，1019a d =+， 7210126S a a -=+ ，721126(1)(19)d d d ∴+-=+++，解得2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n N ∈．（2）由（1），可知122(21)2n a n n a n +⋅=-⋅，则2462123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，24622221232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减，可得246222312222222(21)2n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅4222222242(21)212n n n ++-=+⋅--⋅- 226520233n n +-=-⋅-，226520299n n n T +-∴=⋅+， 2222920(65)22020(65)2n n n T n n ++∴-=-⋅+-=-⋅，故22920265n n T n +-=-，1240962= ， ∴不等式920409665n T n ->-即为221222n +>，即2212n +>，解得5n >， ∴满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值为6．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知单调递增的等比数列{}n a ，满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =-，12n n S b b b =++⋯+，对任意正整数n ，总有1()0n n S n m a +++<成立，试求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）(-∞，1]- 【过程详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ．依题意32a +是2a ，4a 的等差中项，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，得38a =． 2420a a ∴+=．∴31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解之得12a q ==或132a =，12q =，又{}n a 单调递增， 2q ∴=，12a =，2n n a ∴=；（Ⅱ）2n n n b na n =-=-⋅，23122232...2n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯++⨯① 23121222(1)22n n n S n n +-=⨯+⨯++-+⋅②①-②得，231222...22n n n S n +=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅，由1()0n n S n m a +++<，即1111222220n n n n n n m ++++--⋅+⋅+⋅<对任意正整数n 恒成立， 11222n n m ++∴⋅<-．对任意正整数n ， 112nm <-恒成立．1112n->-，1m ∴-…．即m 的取值范围是(-∞，1]-．10．（2022•辽宁模拟）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，114n n S a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①211(1)n n n n a b S a +++=+；②242221(1)(21013)2n n n n n n n b a a -+-⋅++⋅=⋅．【答案】（1）1(2)2n n a n -=+⋅；（2）见解析【过程详解】（1）13a =，114n n S a ++=，所以2n …时，114n n S a -+=， 11144n n n n n a S S a a ++-=-=-，转换为1122(2)n n n n a a a a +--=-，即1122(2)2n nn n a a n a a +--=-…，当2n =时，23112a ++=，解得28a =；当3n =时，338132a +++=，解得320a =， 322122(2)a a a a -=-，所以数列1{2}n n a a --是从第二项2122a a -=为首项，2为公比的等比数列，所以1122(2)n n n a a n ---=…，可得111222n n n n a a ---=，所以数列{}2n na 是以2为首项，12为公差的等差数列，所以122(2)222n n a n n +=+-=，即有1(2)2(2)n n a n n -=+⋅…，上式对1n =也成立，故1(2)2n n a n -=+⋅；（2）若选择①，1114(2)2n n n S a n +++==+⋅，121111(4)2411(1)(2)2(3)2(2)(3)2(2)2(3)2n n n n n n n n n n a n n b S a n n n n n n +++++++⋅+====-++⋅⋅+⋅++⋅+⋅+⋅，所以数列{}n b 的前n 项和1111111111...6161640(2)2(3)26(3)2n n n n T n n n ++=-+-++-=-+⋅+⋅+⋅；若选择②．②242242222224222221(1)(21013)2(1)(21013)22101311(1)(1)[](2)(3)2(2)(3)(2)(3)n n n n n n n n n n n n n n n n b a a n n n n n n ---+-⋅++⋅-⋅++⋅++===-⋅=-+⋅++⋅++++，可得122221*********((()...(1)[](1)[]91616252536(1)(2)(2)(3)n nn T n n n n -=-+++-+++-++-+++++ 211(1)9(3)n n =-+-⋅+．11．（2022•大东区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分． ①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且2212211(log )(log )n n n b a a -+=，证明：12n T <．【答案】见解析【过程详解】（1）解：若选①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列；所以1(1)6a q +=，32444a a a =+，即22244a q a q =+，解得，2q =，12a =，故2n n a =；若选②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=；所以142332a a a a ==，2312a a +=，所以24a =，38a =，2q =，故222422n n n n a a q --=⋅=⨯=；若选③22n n S a =-，当1n >时，1122n n S a --=-，两式相减得，122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，当1n =时，1122S a =-，即12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2n n a =；（2）证明：由（1）得22122111111((log )(log )(21)(21)22121n n n b a a n n n n -+===--+-+，所以111111111(1)(1)233521212212n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．12．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*21()nn S a n N n=+∈．（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列；（Ⅱ）若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）(-∞，2][7- ，)+∞ 【过程详解】（Ⅰ）证明：依题意，由21n n S a n =+，可得(1)2n n n a S +=，当1n =时，11112a a S +==，解得11a =，当2n …时，111(1)(1)(1)(1)1222n n n n n n n n a n a na n a a S S ---+-+--+=-=-=，即12(1)1n n n a na n a -=--+，整理，可得11(1)()n n n a n a a --=--，构造数列{}n b ，令1n n n b a a -=-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，因为11a =，即11n n a a a -=-，而12132112()()()n n n n a a a a a a a a b b b --=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+，所以1n n a T -=，即(1)n n T n b =-，同理，11(2)n n T n b --=-，两式相减，可得11(1)(2)n n n n n b T T n b n b --=-=---，整理，得1n n b b -=，所以数列{}n b 是一个常数列，当2n …时，1n n a a --的值为一个固定的常数，所以数列{}n a 为等差数列．（Ⅱ）若25a =，则21514d a a =-=-=，所以14(1)43n a n n =+-=-， 1143n n b a n ==-，数列{}n b 的前n 项和12...n n T b b b =+++， 21121221......n n n n n T b b b b b b +++=+++++++，可设211221111 (414581)n n n n n n M T T b b b n n n +++=-=+++=++++++， 11111 (45498189)n M n n n n +=++++++++， 1114808941(89)(41)n n n M M n n n n +---=-=<++++，可得{}n M 为递减数列，所以111145945n M M =+=…，若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立，可得21454545m m -⨯…，解得7m …或2m -…，则m 的取值范围是(-∞，2][7- ，)+∞．13．（2022•辽宁一模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，11(n n a ka n N ++=+∈，)k R ∈．（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ；（2）记123||||||||n n T a a a a =++++ ，求n T ．【答案】（1）见解析；（2）2(15),07211556,822n n n n T n n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩……【过程详解】（1）证明：当1n =时，有211a ka =+，即671k -=-+，解得1k =，所以11n n a a +-=，即数列{}n a 是公差为1的等差数列，故7(1)18n a n n =-+-⨯=-．（2）解：由（1）知，8n a n =-，当07n <…时，0n a <；当8n …时，0n a …，所以当07n <…时，1212(78)(15)||||||()22n n n n n n n T a a a a a a -+--=+++=-+++=-=-；当8n …时，12312789||||||||()()n n n T a a a a a a a a a a =++++=-+++++++ 2777(15)7(715)115()22562222n n n n S S S S S n n -⨯-=-+-=-=-⨯=-+，故2(15),07211556,822n n n n T n n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩……． 14．（2022•辽宁模拟）记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，235a a S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，若782m b a =，求数列{}n b 前m 项的和m T ．【答案】（1）43n a n =-；（2）3906 【过程详解】（1）设正项等差数列{}n a 的公差为0d …，11a = ，235a a S =， 54(1)(12)52d d d ⨯∴++=+，解得4d =． 14(1)43n a n n ∴=+-=-．（2）等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =， 111b a ∴==，225b a ==， ∴公比5q =，15n n b -∴=，782m b a = ，1547823m -∴=⨯-，解得6m =，∴数列{}n b 前6项的和6651390651T -==-．15．（2022•抚顺一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数n ，m ，都有2n ma a n m-=--，且530S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设||22n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n a n =-；（2）65642,16612,7n n n n T n --⎧-=⎨+⎩剟…【过程详解】（1）由已知对任意的正整数m ，m ，都有2n ma a n m-=--，可得等差数列{}n a 的公差2d =-，又530S =，即1545(2)302a ⨯+⨯-=，解得110a =， 122n a n ∴=-．（2）由（1）知122n a n =-，令602na n =-…，得6n …，当6n …时，0n a …，从而126222122264[1()]6422n a a a n n n T -=+++=⋅-=- ，当6n >时，671252222222222612na a a a a n n T ---=++++++=+ ，综上得65642,16612,7n n n n T n --⎧-=⎨+⎩剟…． 16．（2022•丹东模拟）数列{}n a 中，2112,2(2)n n n a a a ++=-=-．（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：数列{}n S 中任意连续三项按适当顺序排列后，可以组成等差数列．【答案】见解析【过程详解】（1）解：24a =-，38a =，猜想12(2)n n a -=-．式子212(2)n n n a a ++-=-可化为112(1)22nn n n na a ++-=-．所以当2n …时， 111213112121213212(1)2(1)(1)()(()12(1)2(1)2(1)1(1)222222221(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=+-+-++-=+-+-++-=+=---- 当1n =时，111(1)2a --=，所以(1)2n n n a =--．于是因此{}n a 的通项公式(2)n n a =--．（2）证明：由（1）可得12n na a +=-，所以{}n a 是以为2首项，2-为公比的等比数列．从而2[1(2)]2[1(2)]1(2)3n n n S --==----于是121222[1(2)],[1(2)]33n n n n S S ++++=--=--因为124[1(2)]23n n n n S S S +++=--=．故1n S +，n S ，2n S +或2n S +，n S ，1n S +成等差数列．于是数列{}n S 中任意连续三项n S ，1n S +，2n S +按适当排列后，可以组成等差数列．17．（2022•铁东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <．【答案】见解析【过程详解】选①，（1）由n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，得2315a =，即25a =，又21a -为11a -与31a +等比中项，则2213(1)(1)(1)a a a -=-+，即16(4)(6)d d =-+，又1d >，则2d =，则52(2)21n a n n =+-=+，（2）证明：由（1）得111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，则1111111111[()()...(2355721236466n T n n n =-+-++-=-<+++，命题得证．选②，（1）由n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，得2315a =，即25a =，又等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =，由21b q b =，得413aa =，则523(5)d d +=-，解得2d =，则52(2)21n a n n =+-=+，（2）证明：由（1）得111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，则1111111111[()()...(2355721236466n T n n n =-+-++-=-<+++，命题得证．18．（2022•沈河区校级四模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈，（Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）n a *21()n n N =-∈ 【过程详解】（Ⅰ）证明：2132n n n a a a ++=- ， 2112()n n n n a a a a +++∴-=-， ∴*2112()n n n na a n N a a +++-=∈-，11a = ，23a =，∴数列1{}n n a a +-是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得*12()n n n a a n N +-=∈， 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋯+-+122221n n --=++⋯++*21()n n N =-∈．19．（2022•锦州模拟）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且22a =，135a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①11b =，n n S nb =，②231n n S b =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的最小值；若k 不存在，说明理由．问题：设数列{}n b 的前n 项和为n S ，_____，数列{}n n a b -的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得100k T >？【答案】（1）12n n a -=；（2）见解析【过程详解】（1）在等比数列{}n a 中，1q >且22a =，135a a +=，则121125a q a a q =⎧⎨+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍)． ∴12n n a -=．（2）选择条件①，11b =，n n S nb =，当2n …时，11(1)n n S n b --=-，可得11(1)n n n n n b S S nb n b --=-=--，整理得1n n b b -=， ∴数列{}n b 为常数列，又11b =，所以1n b =，121n n n a b --=-，211(12)(1222)2112n n n n T n n n -⨯-=+++⋅⋅⋅+-=-=---，令()21x g x x =--，则()2210x g x ln '=->在[1，)+∞上恒成立，则()g x 在[1，)+∞上单调递增，即21n n T n =--在[1，)+∞上单调递增，又657100T =<，7120100T =>，∴存在k ，使得100k T >，k 的最小值为7；选择条件②，231n n S b =-，当1n =时，1112231S b b ==-，得11b =，当2n …时，11231n n S b --=-，可得112()3(3)n n n n S S b b ---=-，即1233n n n b b b -=-，得13n n b b -=，∴数列{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，则13n n b -=，1123n n n n a b ---=-，因为1n …时，1123n n --<，所以0n n a b -<，故不存在正整数k ，使得100k T >．20．（2022•大连二模）已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差2d =的等差数列，且满足322b a =，341a b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n c ＝____，求{}n c 的前n 项和n S ．请在①3(1)n n n c a b =+-；②13n n nb c a -=．这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．【答案】（Ⅰ）13n n a -=，2n b n =；（Ⅱ）见解析【过程详解】（Ⅰ）因为322b a =，341a b =+，所以142b q +=，217q b =+，解得12b =，3q =，所以1113n n n a a q --==，2(1)22n b n n =+-⨯=．（Ⅱ）选择①3(1)3(21)n n n n c a b n =+-=+-，所以123123123(13)(121)13(32)(33)(35)[3(21)](3333)(13521)313222n n n n n n n S n n n +-+-=++++++⋯++-=+++⋯+++++⋯+-=+=⋅+--．选择②12133n n n n b n c a --==，所以123135213333n nn S -=+++⋯+，所以234111352321333333n n n n n S +--=+++⋯++，两式相减得，1123111111(1)21222211212229321333333333313n n n n n n n n n S -+++---+=+++⋯+-=+⨯-=--，所以113n n n S +=-． 21．（2022•辽宁模拟）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a n =+．（1）证明：数列1{}n n a a ++为等差数列；（2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）n a n =，*n N ∈ 【过程详解】（1）证明： 22n n S a n =+，∴2112(1)n n S a n ++=++，两式相减得11221n n n a a a n ++=-++， 121n n a a n +∴+=+，又1212()()[2(1)1](21)2n n n n n n a a a a a a n n +++++-+=-=++-+=，又123a a +=1{}n n a a +∴+是以首项为3，公差为2的等差数列；（2）由（1）知22n n a a +-=，又1121S a =+，11S a =，11a ∴=，由（1）中123a a +=，22a ∴=， ∴数列{}n a 奇数项构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，211(1)221k a k k -∴=+-⋅=-，*k N ∈，n a n ∴=，n 为奇数，*n N ∈； 22(1)22k a k k ∴=+-⋅=，*k N ∈，n a n ∴=，n 为偶数，*n N ∈，综合得n a n =，*n N ∈．22．（2022•辽宁二模）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意正整数n ，有2132n n n a a a ++=-．若12n n n b a a +=-．（1）判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）见解析；（2）(1)21n n S n =-⋅+【过程详解】（1）由2132n n n a a a ++=-，得21122n n n n a a a a +++-=-，又12n n n b a a +=-，所以1n n b b +=， 1212220b a a =-=-= ，且0不能是等比数列中的项， {}n b ∴是以0为首项，以0为公差的等差数列；12n n a a +∴=，即*12()n n a a n N +=∈，{}n a ∴是以11a =为首项，以2为公比的等比数列，1*2()n n a n N -∴=∈；（2）由（1）可知21log n a n +=，则12n n c n -=⋅，所以01112222n n S n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，故12212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，两式相减得121121222222(1)112nn nn n n S n n n ---=+++'''+-⋅=-⋅=---，所以(1)21n n S n =-⋅+．23．（2022•辽宁模拟）已知等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 满足112a =，11b =，225a b =，332a b =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和数列{}n b 中的所有项分别构成集合A 和B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 前63项和63S ．【答案】（1）39n a n =+，13n n b -=；（2）6043【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等比数列{}n b 的公比为(0)q q ≠，由112a =，11b =，225a b =，332a b =，得21251222d q d q +=⎧⎨+=⎩，消去d ，可得2560q q -+=，解得2q =或3q =，当2q =时，5120d q =-<（舍去），当3q =时，5123d q =-=，符合题意， 123(1)39n a n n ∴=+-=+，11133n n n b --=⨯=；（2）633639198a =⨯+=，45381198243b ==<<， ∴数列{}n b 的前5项分别为1，3，9，27，81，其中27与81与数列{}n a 中的项相同，由集合中元素的互异性，可知新数列{}n c 的前63项中，有数列{}n a 中的60项，有数列{}n b 的5项（两项重复）． ∴数列{}n c 前63项和6360596012313960432S ⨯=⨯+⨯+++=． 24．（2022•鞍山模拟）在①231n n S n =--，②123n n a a +=+，12a =-，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且____（只需填入序号）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的n 项和n T ．【答案】见解析【过程详解】选①，（1）由231n n S n =--，则1123(1)1n n S n --=---，两式相减可得：123n n a -=-，(2)n …，又112a S ==-满足上式，即123n n a -=-，()n N +∈；（2）由（1）可得1(3)2n n n b n a n -=⋅+=⋅，则0111222...2n n T n -=⨯+⨯++⨯，()i 则1221222...2n n T n =⨯+⨯++⨯，()ii 由()()i ii -得：21122...22n n n T n --=++++-⨯，故(1)21n n T n =-+．选②，由123n n a a +=+，则132(3)n n a a -+=+，又12a =-，则131a +=，即数列{3}n a +是以1为首项，2为公比的等比数列，即132n n a -+=，即123n n a -=-，()n N +∈；（2）由（1）可得1(3)2n n n b n a n -=⋅+=⋅，则0111222...2n n T n -=⨯+⨯++⨯，()i 则1221222...2n n T n =⨯+⨯++⨯，()ii 由()()i ii -得：21122...22n n n T n --=++++-⨯，故(1)21n n T n =-+．25．（2022•辽宁三模）已知数列{}n a 中，满足1a a =，2a b =，12()n n n a k a a ++=+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a b ==，且1{}n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．【答案】（1）12k =；（2）当12k =时，n S n =；当12k =-时，即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N ++⎧-=-∈=⎨=∈⎩【过程详解】（1）由{}n a 是等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+．所以121()2n n n a a a ++=+，故12k =；（2）因为121a a == 且12()n n n a k a a ++=+，得3421111,1a a k k k=-=--，又且1{}n n a a ++是等比数列，则2231234()()()a a a a a a +=++，即22112(2)k k=-，即12k =±，当12k =时，1n a =，数列1{}n n a a ++ 是以2为首项，公比为1的等比数列，此时{}n a 的前n 项和n S n =；当12k =- 时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，所以211()n n n n a a a a ++++=-+，又1220a a +=≠，所以数列1{}n n a a ++ 以12a a + 为首项，公比为1-的等比数列，又32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，所以当n 是偶数时，123411234112()()()()2n n n n n nS a a a a a a a a a a a a a a n --=++++++=++++++=+= ，当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，1234112311...()...()1(2)22n n n n n n S a a a a a a a a a a a n ---=++++++=++++=+⨯-=-，即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N++⎧-=-∈=⎨=∈⎩，综上可得：当12k =时，n S n =；当12k =-时，即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N ++⎧-=-∈=⎨=∈⎩． 26．（2022•沈阳模拟）已知公差大于1的等差数列{}n a 中，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，求证：1132n S <…．【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）见解析【过程详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为1d >，23a = ，且11a +，31a -，63a -成等比数列， 13a d ∴+=，2316(1)(1)(3)a a a -=+-，即2111(21)(1)(53)a d a a d +-=++-，解得11a =，2d =． 12(1)21n a n n ∴=+-=-．（Ⅱ）证明：111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 11111111(1(123352121221n S n n n ∴=-+-+⋯+-=--++，1111()022123n n S S n n +-=->++ ，∴数列{}n S 单调递增，112n S S ∴<…，即1132n S <…． 27．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 中，132a =且*1241()n n a a n n N +=+-∈．（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）见解析；（2）n S 21224n n n++=--【过程详解】证明：（1）1241n n a a n +=+- ， ∴11222n n n a a +=+-， ∴11112222222222n n n n n n n n n a a a n n n n a a a +++++-++===+++， 11312222a +=+=， ∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列；。

数列综合试题

数列综合练习题一、选择题1. 数列{}n a 满足a 1=2，*110()n n a a n N +-+=∈，则此数列的通项a n 为（）A.3－nB.1－nC.3＋nD.1＋n2. 在等差数列{}n a 中，前15项之和15S =90，则8a = （）A ．6B 。

454 C.12 D. 4523.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（）A.－4B.4C.±4D.54. 等差数列｛a n ｝中，a 1>0 , d ≠0, 311S S =,则n S 中的最大值为（）A. 7S 和8SB.14SC.7SD.无最大值5. 数列｛a n ｝满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则此数列的通项可表示为（）A.121(1)()n a a n a a =+--B.121()n a a n a a =+-C.1211()n n a a a a -= D.211()n n aa a a = 6.等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为（）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知等差数列{}n a 中15,652==a a ，若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于（）A ．186B ．90C ．45D ．30 8．等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,由此数列偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =（）Ａ．3n－1 B ．3(3n－1) Ｃ．419-n 4n9.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（）.A 22112n n n ++- .B 2212n n n ++-.C 22121n n n -+-+ .D 2212nn n ++10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =（） A ．16-B ．16C ．31D ．3211．一个等比数列的首项为1，公比为2，则2222123...n a a a a ++++= （）A ．2(21)n -B ．1(21)3n - C ．41n - D ．1(41)3n -12.等差数列}{n a 中，3,121==a a ，数列}1{1+n n a a 的前n 项和为3115，则n 的值为（）A ．15B ．16C ．17D ．1813．在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 814．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （）（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）815．{a n }是等比数列，0>n a 且,187465=+a a a a 则=+⋅⋅⋅++1032313log log log a a a （）A ．12B ．10C ．8D ．2+5log 3 16．数列{}n a 的通项公式是11++=n n a n ,若前n 项和为10,则项数=n（）A.11B.99C.120D.12117.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = （） A.12-n B.1)23(-n C.1)32(-n D.121-n二、填空题18、等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，且{a n }为递增数列，则a 4= ． 19、已知{a n }是等差数列,且有a 2+a 3+a 10+a 11=48, 则a 6+a 7=_____________.20、一个等差数列共2n+1项,其中奇数项之和为305,偶数项之和为300,则第n+1项为______21、已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。

等差数列、等比数列综合习题

等差数列等比数列综合练习题一．选择题1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比21=q ，那么它的前5项的和5S 的值是（） A ．231 B ．233 C ．235 D ．2373. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S7=35，则a4=( )A. 8B.7C.6D.54. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-85. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（）A. 第4项B.第5项C. 第6项D. 第7项6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22等于（）A ．1B ．21C ．41D ．817.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a •=+=则2010a a =( ) A.23 B.32 C.23或 32 D.23-或 32-8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( )A.5 B .10 C.15 D .20 二．填空题9．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________10. 在等比数列}{n a 中，1682=•a a ，则5a =__________11．在等差数列{an}中，若a7＝m ，a14＝n ，则a21＝__________12.等差数列{an}的前n 项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值_________13.已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于_________三.解答题14. 设三个数成等差数列，其和为6，其中最后一个数加上1后，这三个数又成等比数列，求这三个数.15. 已知数列{}n a 中，111,23n n a a a -==+，求此数列的通项公式.16. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是253n s n n =+,求它的前3项，并求它的通项公式.等差数列、等比数列同步练习题等差数列一、选择题1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）A 、89B 、 -101C 、101D 、-892．等差数列{an}中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的（）A 、第60项B 、第61项C 、第62项D 、不在这个数列中3、在-9与3之间插入n 个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n 为A 、 4B 、 5C 、 6D 、不存在4、等差数列{an}中，a1+a7=42， a10-a3=21，则前10项的S10等于（）A 、 720B 、257C 、255D 、不确定5、等差数列中连续四项为a ，x ，b ，2x ，那么 a ：b 等于（）A 、B 、C 、或 1D 、6、已知数列{an}的前n 项和Sn=2n2-3n ，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{Cn}，其通项公式为（）A 、 Cn=4n-3B 、 Cn=8n-1C 、Cn=4n-5D 、Cn=8n-97、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）A 、 6项B 、8项C 、10项D 、12项8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）A 、 0B 、 100C 、10000D 、505000答案1． A 2、 B 3、B 4、C 5、B 6、 D 7 、 A 8、 C二、填空题9、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。

数列综合练习题1

数列综合练习题一、选择题1．在等差数列{n a }中，已知42=a ，83=a ，则5a 的值为（）A ．20B ．16C ．12D ．102．已知 ,2,2,1为等比数列，当28=n a 时，则n 等于（）A ． 6B ． 7C ．8D ．93．已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则3a = （）A ．–4B ．–6C ． –8D ． –104．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若36642=++a a a ，则S 7等于（）A ．108B ．96C ．84D ．485．数列1，211+，3211++，，n++++ 3211的前n 项和为（） A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．12+n n 6．已知数列{}n a 中，1211,2a a ==，*11112(1)n n nn n a a a -++=>∈N 且，则数列{}n a 的第n 项等于（） A ．32n - B ．23n - C ．121-n D ． 1n 7．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +是等差数列，则n S 等于（） A ．2n B ．3n －1 C ．122n +- D ．31n -8、已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（）Ａ．23- Ｂ．13- Ｃ．13 Ｄ．239．已知数列}{n a满足110,n a a +==n ∈N*），则30a =（） A ．3- B ．0 C ．23 D ．310、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于（）A ．7B ．8C ．15D ．16二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．在等差数列{}n a 中，S n 为其前n 项和，若0,019181=+>a a a ，则当S n 取得最大值时，n = ．12．已知数列{}n a 的前n 项和为kn n S n +=25，且182=a ，则k = ．13．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______． 14．在数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +1 (n≥1)，则该数列的通项a n =__________．15．设{a n }是公差为1的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 30=600，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 30= ．16、在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________.三、解答题 17．设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+a 5=b 4，b 2b 3=a 8．分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10．18．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .19．已知S n 是等比数列 {a n } 的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．20．数列}{n a 的前n 项为n S ，∈-=n n a S n n (32N )*．（1）证明：数列{}3+n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；21．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)求a n 及S n ；(Ⅱ)令b n ＝1a 2n－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .22．已知数列2{log (1)}n a -（n ∈N*）为等差数列，且13a =，39a =．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明213211111n n a a a a a a ++++<---．。

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（）万元.（四舍五入，精确到整数）（参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元．（1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++；（Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

Ⅰ题型归类
练习1．已知等比数列{}n a ，12a =，且2525(3)2n n n a a -⋅≥=，试求
21222log ()log ()log ()n a a a ++
+
例1．数列
121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，
求
练习15。

练习2例1．
练习1
类型3．1()n n a a f n +=+ ⇒1()n n a a f n +-=⇒利用累加法(逐差相加法)
求解
例3．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n
+=++，求n a 。

练习3．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n n +=++，求n a 。

类型4
例4
练习4
类型5
例5．已知数列{}n a 中，满足12a =，121n n a a +=+，求n a 。

解：由条件得：12()n n a t a t ++=⨯+
⇒ 1t =
⇒112(1)n n a a ++=⨯+ ⇒ 令1n n b a =+，则{}n b 是以1113
b a =+=为首项，2为公比的等比数列
⇒ 132n n b -=⨯ ⇒ 1321n n a -=⨯- 练习5．已知数列{}n a 中，满足11a =，124
n n a a +=+，求n a 。

类型6．1n n n a pa q +=
+(其中p,q 均为常数，(1)(1)0pq p q --≠)。

一般在原递推公式两边同除以1n q +，得：
11
1n n n n a p a q q q
q ++=⨯+ ⇒ 引入辅助数
列{
n b 例6
练习6
类型1
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例1．{}n a 为等差数列，1
1n
n n b a a +⋅=
，求数列{}n b 的前n 项和n
S 。

解
：
由
条
件
知
：
1
111()
n n n b a a d +=⨯-
⇒
1211
11111()()n n n n S b b b a a d a a nd +⋅=++
+=⨯-=
+ 练习1．求和111
112123
123n
++++++++++
+。

类型2
若例1．1n nx -+
+
1
23(1)n nx x x n x -++++++-
1n x nx -+-x 123n ++++=练习11(21)n n x --
类型2．数列与不等式
例1．已知数列{}n a 的前n 项和292008n S n n =-+，求满足58k
a <<的k
值。

解：由题知：11
12000210(2)n
n n a S a S S n n -⎧⎪⎨⎪⎩===-=-≥
⇒ 52108k <-<
⇒ k=8
练习1．数列{}n a 的通项公式是关于x 的不等式2*()x x nx n N -<∈的解集中的整数个数，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

12321,,1222,
n -++++前n 项和。

4．{a }n 通
5．已知数列{}n a 的前n 项和*(2),,1n
n S p pa n N p p =-+∈>≠且2
(1)证明：数列{}n a 是等比数列；
(2)对一切*1,n n n N a a +∈>，求实数p 的取值范围。

Ⅲ温故·强化
1
)
2
3n a
54．已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，且点*1)()n a n N +∈在函数
21y x =+的图像上：
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列{}n b 满足11
1,2n n n b b b +==+，求证：221n n n b b b ++⋅<。