三角函数公式总结与推导--很全很实用

三角函数公式总结与推导1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 ry =αsin ； rx =αcos ； xy =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. yr =αcsc .5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =αααc o t s i n c o s=1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1c o s s e c=α⋅α 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s in )s i n (-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x x x x xx x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n =公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s12s i n αα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tan xy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s (ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)t a n (ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（=T 212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||T πω=，频率1||2f T ωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数： 函数y ＝sin x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－1，1］，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22ππ，－．函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．函数y ＝tan x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数，记作y ＝arctan x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ，．函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．y=|cos2x +1/2|图象II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数）注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x .②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x y a r c t a n =是奇函数，x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞.注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞.⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x a r c y c o t =是非奇非偶.ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞.注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞.②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集①a x =sin 的解集 ②a x =c o s的解集 a＞1 ∅ a＞1 ∅a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|πa＜1 (){}Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|πa＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =c o t 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,o t a r c |π 二、三角恒等式.组一组二∏===nk nn nk12sin2sin 2cos8cos4cos2cos2cos ααααααα∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(ααααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()αββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=n n nαγγββαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++组三 三角函数不等式x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x xxx f sin )(=在),0(π上是减函数 若π=++C B A ，则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++。