高中数学 平面向量基础练习及答案
（完整版）平面向量练习题（附答案）
（完整版）平⾯向量练习题（附答案）平⾯向量练习题1 . AC DB CD BA 等于______________ .2. 若向量a =( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是 _____________ .3. ______________ 平⾯上有三个点A (1, 3), B (2, 2), C (7, x),若/ ABC = 90°，贝U x 的值为 .4. _________________________________________________________________________ 向量a、b满⾜|a|=1，bl=J2 ,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹⾓为 _______________ .f f ⼻5. 已知向量a = (1 , 2), b = (3 , 1),那么向量2a ——b的坐标是___________ .6. 已知A (—1 , 2), B (2 , 4), C (4, —3), D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD |的值等于________ .7. 将点A (2 , 4)按向量a =(—5, —2)平移后,所得到的对应点A'的坐标是 ______ .8. 已知a=(1, —2),b=(1,x),若a丄b,则x 等于__9. 已知向量a,b的夹⾓为120,且|a|=2,|b|=5则(2a-b) ? a= _______10. 设a=(2,—3),b=(x,2x),且3a- b=4,则x 等于____11. 已知AB (6,1),BC (x,y),CD ( 2, 3),且BC // DA ,则x+2y 的值为________________12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|z 0,|b|z 0,贝U a与b的夹⾓为__________uuu uuu imr13. 在⼛ABC中，O为中线AM上的⼀个动点，若AM=2 ,则OA OB OC 的最⼩值是___________________ .14. ___________________________________________________________________________将圆x2y22按向量v= (2 , 1 )平移后，与直线x y 0相切，则⼊的值为______________________ .⼆.解答题。
高中数学必修二 6 1 平面向量的概念(精练)(含答案)
6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1．(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量：①角度；①温度；①海拔；①弹力；①风速；①加速度．其中是向量的有( )A．2个B．2个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据题意，在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中，是向量的有①弹力、①风速、①加速度，有3个，故选：B．2．(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．3．(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度；①路程；①速度；①质量；①功；①位移.下列说法正确的是A．①①①是数量，①①①是向量B．①①①是数量，①①①是向量C．①①是数量，①①①①是向量D．①①①①是数量，①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D4．(2021·上海·高一课时练习)下列各量中，哪些是向量(即矢量)，哪些是数量(即标量)？(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量：__________；数量：____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).【题组二 向量的几何表示】1．(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180α︒-的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒， 解得360nα︒=，且3,*n n N ≥∈．故α应满足的条件为360nα︒=，且3,*n n N≥∈．2．(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC=.(1)画出所有的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|①当点C位于点C5或C6时，|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．(1)试以B为起点画一个向量b，使=b a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．4．(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b a=；c=，并说出向量c的终点的轨迹是什么？(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使5【答案】(1)作图见解析；(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意，B为起点画一个向量b，使b a=，如图所示.c=，则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1．(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A．两个单位向量一定相等B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误； 对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D.3．(2021·广西·田东中学)下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量；①若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>； ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；①若a →①,b b →→①c →，则b →①c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于①，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误；对于①，向量是有方向的量，不能比较大小，故①错误；对于①，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故①错误；对于①，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．4．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量；①向量的模是一个正实数；①相等向量一定是平行向量；①向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；①零向量的模为零，故①错；①相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故①正确；①零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即①正确.故选：B.5．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故①错，①正确；零向量的模等于0，故①错.故选：B.6．(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选：A.7．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；①零向量的方向任意，故错误；①单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；①任意向量与零向量都共线，正确；故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】AAB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；【解析】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//对于①，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故①错误；对于①，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故①错误；对于①，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故①错误.故选：A．【题组四相等向量与平行向量】1．(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE，，，，，都是单位向量;①AB①DE DE，①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA，，.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ，，故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ，，，故①正确;①正确.故答案为：①①①①4．(2021·上海·高一课时练习)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有______个；(2)______；(3)与AB 相等的向量有______；(4)1AA 的相反向量有______．【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；(2)由图可知，1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；(3)由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB 相等的向量有：11A B 、DC 、11DC ；(4)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C 、1D D ； 故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；11A B 、DC 、11DC ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5．(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO 共线的向量；(3)找出与AO 模相等的向量；(4)向量AO 与CO 是否相等？【答案】(1)AO BF =，BO AE =；(2)BF ，CO ，DE ；(3)CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)不相等．【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形， 所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======，AB CD BC AD ===；(1)由题中图形可得：AO BF =，BO AE =；(2)由图形可得，与AO 共线的向量有：BF ，CO ，DE ；(3)与AO 模相等的向量有：CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)向量AO 与CO 不相等，因为它们的方向不相同．6．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．【答案】(1)OD ，BC ，AO ，FE .(2)EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD .(3)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.(2)由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。
(完整版)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题•填空题。
1. AC DB CD BA 等于 ______________ •2. 若向量a=( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是_________________ .3. 平面上有三个点A( 1,3)，B (2, 2), C( 7，x)，若/ ABC = 90°,则x的值为________________ . 4•向量a、b满足|a|=1,|b|= J2 ,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹角为____________ .1 一5.已知向量a=( 1, 2), b =( 3, 1),那么向量2a —© b的坐标是_______________ .6 .已知A (—1, 2) , B (2 , 4), C (4, —3) , D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD | 的值等于 ____________ .7. 将点A (2 , 4)按向量a=(—5 , —2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是________ .8. 已知a=(1, —2), b =(1,x),若a丄b,则x 等于_____9. 已知向量a, b 的夹角为120,且|a|=2,| b |=5,则(2a- b) • a= ________10. 设a=(2, —3), b =(x,2x),且3a • b =4,则x 等于____11. 已知AB (6,1), BC (x, y),CD ( 2, 3),且BC // DA ,则x+2y 的值为_______________12. 已知向量a+3 b, a-4 b分别与7a-5 b,7a-2 b垂直，且|a|z 0,| b |工0，则a与b的夹角为 ______uuu uuur imr13. 在厶ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2 ,则OA OB OC 的最小值是___________________ .2 214•将圆x y 2按向量v=(2 , 1)平移后，与直线x y 0相切，则入的值为—. 二.解答题。
高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精讲)(含答案)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精讲)思维导图考点一 向量基底的选择【例1】(2021·全国·高一课时练习)下列向量组中，能作为基底的是( ) A ．12(0,0),(1,2)e e ==- B ．12(1,2),(5,7)e e =-= C ．12(3,5),(6,10)e e == D ．1213(2,3),(,)24e e =-=-【答案】B【解析】对于A ，因10e =，则有12//e e ，1e 与2e 不能作为基底；对于B ，因12(1,2),(5,7)e e =-=，17250-⋅-⋅≠，则有1e 与2e 不共线，1e 与2e 可作基底； 对于C ，因12(3,5),(6,10)e e ==，则有212e e =，1e 与2e 不能作为基底； 对于D ，因1213(2,3),(,)24e e =-=-，则有124e e =，1e 与2e 不能作为基底.故选：B 【一隅三反】1．(2021·北京顺义·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的一组是( ) A ．()10,0e =，()20,1e = B ．()11,2e =-，()23,6e =- C ．()13,4e =，()23,4e =-- D ．()12,1e =，232,4e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】选项A ：因为0100⨯=⨯，所以向量1e ，2e 共线，故A 错误， 选项B ：因为()1623-⨯-=⨯，所以向量1e ，2e 共线，故B 错误，选项C ：因为()()3443⨯-=⨯-，所以向量1e ，2e 共线，故C 错误， 选项D ：因为32124⎛⎫⨯-≠⨯ ⎪⎝⎭，所以向量1e ，2e 不共线，故D 正确，故选：D.2．(2021·湖北武汉·高一期中)下列各组向量中，可以作为平面向量基底的是( ) A ．()0,0a =，()1,2b =- B ．()3,5a =，()6,10b =-- C ．(2,3),(3,5)a b →→== D ．()2,3a =-，()2,3b =-【答案】C【解析】对于A ，因为()0,0a =，所以()0,0a =，()1,2b =-不能作为基底，所以A 不符合题意， 对于B ，因为()6,102(3,5)2b a =--=-=-，所以,a b 共线，所以不能作为基底，所以B 不符合题意，对于C ，若,a b 共线，则存在实数λ，使b a λ=，所以3253λλ=⎧⎨=⎩，方程无解，所以,a b 不共线，所以,a b 可以作为基底，所以C 符合题意，对于D ，因为(2,3)(2,3)b a =-=--=-，所以,a b 共线，所以不能作为基底，所以D 不符合题意， 故选：C3．(2021·浙江温州·高一期末)已知()0,1a =，()1,0b =，2,4c ，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．,a b c - B ．,a b c +C ．,2a b c -D ．,2a b c +【答案】C【解析】由题意若两个向量不可以作为平面内所有向量的一组基底，则两个向量共线， 对于:(1,4)A b c -=--，0(4)1(1)⨯-≠⨯-，∴a 与b c -不共线，A ∴错误， 对于:(3,4)B b c +=，0⨯(4)13≠⨯，∴a 与b c +不共线，B ∴错误， 对于:2(0,4)C b c -=-，0(4)01⨯-=⨯，∴a 与2b c -共线，C ∴正确， 对于:2(4,4)D b c +=，0414⨯≠⨯，∴a 与2b c +不共线，D ∴错误， 故选：C ．考点二 向量的基本定理【例2】(1)(2021·辽宁·抚顺市第六中学高一期末)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OB 的中点，若AC a =， BD b =，则CE 等于( )A ．1124a b -+B ．1124a b -C ．1124ab D ．1124a b --(2)(2021·山西·孝义五中高一月考)如图，在ABC 中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为( )A ．49B ．89C ．23D ．43(3)(2021·重庆·西南大学附中高一月考)如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设xAB AM =，y AC AN =，则11x y+的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)如图：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OB 的中点，则1144OE DB BD ==-，1122CO CA AC ==-， 故11112424CE CO OE AC DB a b =+=-+=--故选：D(2)11212()33333AP AB BP AB BD AB AD AB AB AC=+=+=+-=+⨯2239AB AC 因为AP AB λ=＋μAC ，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89.故选：B(3)延长AG 交BC 与点H , H 为BC 中点,G 为ABC 的重心，()()2211133333111123AG AH AB AC AB AC AM AN A x y x y M AN ⎛⎫∴==⨯+=+=+=+ ⎪⎝⎭M G N 、、三点共线11133x y +=,113x y +=故选:A 【一隅三反】1．(2021·安徽·蚌埠田家炳中学高一月考)已知AD ，BE 分别为ABC 的边BC ，AC 上的中线，设,AD a BE b ==，则BC =( )A ．4233a b +B ．2433a b +C ．2433a b -D ．2433a b -+【答案】B【解析】∵ AD 为边BC 上的中线， ∴ 12AD BD BA BC BA →→→→→=-=-， 又BE 为边AC 上的中线，∴ 111222BE BA AE BA AC BA BC →→→→→→→=+=+=+，又AD a →→=，BE b →→= ∴ 12a BC BA →→→=-，1122b BA BC →→→=+ ∴2433BC a b →→→=+，故选：B.2．(2021·浙江·金乡卫城中学高一月考)在ABC 中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线AN 分别与边AB ，AC 交于M ，N ，若AMxAB =，AN yAC =，则( )A ．3x y +=B ．113x y +=C ．4x y +=D ．114x y+= 【答案】D【解析】因为M ，H ，N 共线， 所以设MH MN λ=， 因为AMxAB =，AN yAC =，所以()MH yAC xAB λ=-，则()1AH AM MH xAB y AC λ=+=-+， 又因为D 是BC 的中点，H 是AD 的中点， 所以111244AH AD AB AC ==+， 则()11144xAB yAC AB AC λλ-+=+， 即()11414x y λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得4x y xy +=，即114x y+=，故选：D3．(2021·河南商丘·高一期末)已知a ，b 是不共线的向量，在平面直角坐标系xOy 中，OA a λ=()λ∈R ，2OB a b =+，3OC a b =-若,,A B C 三点共线，则λ=( )A ．52-B ．23-C ．34D ．73【答案】D 【解析】()12AB OB OA a b λ=-=-+，23BC OC OB a b =-=-，∴若,,A B C 三点共线，则存在实数t ，使AB tBC =，即()()1223a b t a b λ-+=-，由于a ，b 不共线，∴12,23,t t λ-=⎧⎨=-⎩解得7,32,3t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴73λ=.故选：D 考点三 线性运算的坐标表示【例3】(2021·全国·高一课时练习)向量()1,2a =-，()1,3b =，下列结论正确的是( ) A ．//a b B ．a b ⊥C ．()//a a b - D ．()a ab ⊥-【答案】D【解析】由已知可得()2,1a b -=--， 因为1321-⨯≠⨯，则a 与b 不平行，A 错； 因为160a b ⋅=-+≠，则a 与b 不垂直，B 错； 因为()()2122-≠⨯-，则a 与a b -不平行，C 错；因为()()()()12210a a b ⋅-=-⨯-+⨯-=，故()a ab ⊥-，D 对. 故选：D. 【一隅三反】1．(2021·河南·高一期末)已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是( ) A ．()//a b a + B ．25a b +=C ．向量a ，b 的夹角为34πD ．b 在a【答案】C【解析】对选项A ，()3,1+=-a b ，因为()()3,11,3330-⋅=-=， 所以()a b a +⊥，故A 错误； 对选项B ，()25,5a b +=-，所以(225a b +=+B 错误；对选项C ，2c 210os ,a b a b a b⋅-=⨯⋅==-， 所以向量a ，b 的夹角为34π，故C 正确；对选项D ，b 在a 方向上的投影是25s o ,c b a b ⎛=⨯= ⎝⎭D 错误.故选：C 2．(2021·广东·东莞市光明中学高一月考)已知()12,3P ，2(1,4)P-，且12=2PP PP ，点P 在线段12PP 的延长线上，则P 点的坐标为( )A ．45,33B ．45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()4,5-D ．()4,5-【答案】D【解析】点P 在线段12PP 的延长线上，又12=2PP PP ，122PP PP ∴=.设(),P x y ,则()()221,3,4y x y x -=----,222,382x x y y ∴-=---=-,4,5x y ∴=-=.选D.3．(2021·山东任城·高一期中)若向量(1,2)a =，(0,1)b =，ka b -与2a b +共线，则实数k 的值为( ) A ．1- B ．12-C ．1D ．2【答案】B【解析】∵向量(1,2)a =，(0,1)b =，∴(1,2)(0,1)(,21)ka b k k k -=-=-，2(1,2)2(0,1)(1,4)a b +=+=， 又ka b -与2a b +共线，∴421k k =-，解得12k =-故选：B4．(2021·山西临汾·高一月考)已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(1,3),(3,4),(2,2)-，则顶点D 的坐标为( ) A ．(2,1)- B ．(2,1)C ．(2,1)-D ．(2,1)--【答案】A【解析】设(,)D x y ，由平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(1,3)-，(3,4)，(2,2)， 得到：AD BC =，(1x ∴+，3)(1y -=-，2)-，∴1132x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得2x =-，1y =，则顶点D 的坐标为(2,1)-． 故选：A ．考点四 数量积的坐标表示【例4】(1)(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，1)，且向量b 满足()3b a b ⋅+=，则向量a 在b 方向上的投影为( )AB C ．2 D ．2 (2)(2021·全国·高一课时练习)已知,,a b c 均为单位向量，且1a b +=，则()a b c -⋅ 的取值范围是( ) A ．[0，1] B ．[-1，1]C ．[-D ．[0(3)(2021·全国·高一课时练习)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P 满足BA BC +=2BP ，则PC PD =( )A ．B ．-1C ．-2D ．-【答案】(1)D(2)C(3)B【解析】(1)向量()1,2a =，b ＝(m ，1)，()3b a b ⋅+=， 可得：m 2+m ＝0，解得m ＝0，m ＝﹣1， 当m ＝0时，b ＝(0，1)， 向量a 在b 方向上的投影为||a bb ⋅＝2，当m ＝﹣1时，b ＝(﹣1，1)，向量a 在b 方向上的投影为1||2a b b ⋅==D ．(2)因为,a b 为单位向量，1a b +=， 所以2221a a b b +⋅+=，得21a b ⋅=-， 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=，设a b -与c 的夹角为θ，则()cos 3a b c a b c θθ-⋅=-=，∵cos θ∈[-1，1]，∴()a b c -⋅的取值范围为[-].故选：C (3)建立如图所示的平面直角坐标系， 因为AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1， 所以B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)，D (1，2)， 所以BA =(0，2)，BC =(2，0)，因为BA BC +=2BP ，所以2BP =(0，2)+(2，0)=(2，2)， 故BP =(1，1)，故P (1，1)，PD =(0，1)，PC =(1，-1)，所以()01111·PC PD =⨯+⨯-=-.故选：B.【一隅三反】1.(2021·江西·九江一中高一期中)向量()1,1a =-在向量()3,4b =--上的射影为( )A B ．C ．15D ．15-【答案】D【解析】向量()1,1a =-在向量()3,4b =--上的射影为(1)15(a b b ⋅-⨯==--，故选：D2．(2021·山东莱西·高一期末)在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，24AB CD ==，AD BC ==E 为CD的中点，F 为线段BC 上的点，则EF BF ⋅的最小值是( ) A ．0 B ．95-C ．45-D ．1【答案】B【解析】由题意等腰梯形ABCD 2=，如图，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,2)E ，(1,2)C ，(2,0)B ，设(1,2)(,2)BF tBC t t t ==-=-(01)t ≤≤，则(2,2)F t t -，(2,22)EF t t =--，2239(2)2(22)565()55EF BF t t t t t t t ⋅=--+-=-=--，所以35t =时，EF BF ⋅取得最小值95-． 故选：B ．3．(2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末)已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为___________；DE DC ⋅的最大值为___________． 【答案】4 4【解析】如图分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()()()()0,0,2,0,2,2,0,2A B C D ，设()(),002E x x ≤≤ 所以(),2DE x =-，()0,2CB =-,()2,0DC =则()()0224DE CB x ⋅=⨯+-⨯-= 2DE DC x ⋅=，由02x ≤≤所以当2x =时，DE AC ⋅的最大值为4 故答案为：4，44．(2021·安徽·合肥艺术中学 高一月考)设平面内三点1,0A ，()0,1B ，()2,5C . (1)求2AB AC +；(2)设向量AB 与AC 的夹角为θ，求cos θ； (3)求向量AC 在AB 上的投影向量. 【答案】(1)(3)()2,2-. 【解析】解：(1)()()()0,11,01,1AB =-=-，()()()2,51,01,5AC -==， ∴()()()221,11,51,7AB AC +=-+=-，∴(2AB AC +=-=.(2)(cosAB AC AB ACθ⋅===⋅(3)向量AC 在AB 上的投影向量()cos 262,2AB AC ABθ⎛==- ⎝. 考点五 向量与三角函数综合运用【例5】(2021·辽宁·建平县实验中学高一月考)已知两个向量a ，b 满足()1,3a =，()()cos ,sin b x x x R =∈. (1)若2a b -与7a b -垂直，求a b ⋅的值； (2)若//a b ，求11sin cos x x+的值；(3)设()cos f x a b x =⋅-，将()f x 图像上所用点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，再把所得函数图像上的所有点，向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像.求当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 值域.【答案】(1)1；(3)⎡⎢⎣【解析】(1)因为()1,3a =，()()cos ,sin b x x x R =∈ 所以(212a =+，2cos 1b x ==因为2a b -与7a b -垂直，所以()()270a b a b -⋅-= 即2202147a a b b a b -+=⋅-⋅，即222222152727227115a b a b a b ⋅=+=+=⨯+⨯= 所以1a b ⋅=(2)因为()1,3a =，()()cos ,sin b x x x R =∈且//a b ，所以sin x x =，即sin tan cos xx x==22221sin cos 1sin cos sin cos sin cosx xx x x x x x +=+++22tan 1tan 1tan x x x+=++ ()2211+=+(3)因为()1,3a =，()()cos ,sin b x x x R =∈所以cos b x x a =⋅， 又()cos f x a b x =⋅-所以()f x x =，将()f x 图像上所用点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到2y x =，再将函数2y x =的图像上的所有点，向右平移6π个单位，得到22()63g x x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭.因为7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()g x ⎡∈⎢⎣ 【一隅三反】1(2021·福建·永泰县三中高一月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量2(,2m =，(sin ,cos ),(0,)2n x x x π=∈， (1)若m n ⊥，求tan x 的值；(2)若,m n 的夹角为3π，求x 的值. 【答案】(1)1；(2)512π.【解析】(1)()2sin ,cos sin 24m n x x x x x π⎛⎛⎫⋅=⋅=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，m n ⊥，0m n ∴⋅=，即sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，444x πππ∴-<-<，04x π∴-=．即4x π=，tan tan 14x π∴==．(2)依题意sin cossin 34x m n x m nπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭⋅⎛， 即1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，46x ππ∴-=，即56412x πππ=+=．2．(2021·陕西·高新一中高一月考)若向量(cos )a x x ωω=，(sin ,sin )b x x ωω=-，其中0>ω．记函数3()2f x a b =⋅+，若函数()f x 的图象上相邻两个对称轴之间的距离是2π．(1)写出函数()f x 的解析式．(2)若对任意,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2()()10f x mf x --≤恒成立，求实数m 的取值范围．(3)求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-，(0)a >在[0,]n π上恰有2021个零点．【答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)0m ≥；(3)1010n =，a =【解析】(1)由题意()sin cos f x x x ωω=2x ω1sin 222x x ωω=sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图象上相邻两个对称轴之间的距离是2π得T π=，∴222πωπ==，1ω=． 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)因为,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴20,32x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()[0,1]t f x =∈．所以2()()10f x mf x --≤恒成立，即为210t mt --≤在[0,1]恒成立， 令2()1g t t mt =--，[0,1]t ∈，因为()gt 开口向上，且(0)10g =-<， 所以只需(1)0g m =-≤即可满足题意，解得0m ≥．(3)画出()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[0,]π上的草图：可见，当(0)a f ==时，()F x 在[0,]π恰有3(奇数)个零点，所以，要使()F x 在[0,]n π上恰有2021(奇数)个零点i x ，只需()(0)0i F x F ==即可， 此时2021110102n -==．故1010n =，a =3．(2021·宁夏·吴忠中学高二期末(文))设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(1)若a b =，求x 的值；(2)设函数()f x a b =⋅，求()f x 的值域． 【答案】(1)π6x =；(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】(1)由()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，得()()22223sin sin 4sin a x x x =+=，()()222cos sin 1=+=b x x ．又因为a b =，所以24sin 1x =．又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2x =，π6x =．(2)函数()()()23sin ,sin cos ,sin cos sin =⋅=⋅+f x a b x x x x x x x1112cos 2sin 22262x x x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666-≤-≤x ，故1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，π130sin 2622x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
平面向量练习题（附答案）
平面向量练习题（附答案）平面向量练习题一.填空题。
1. AC+DB+CD+BA 等于 ___________ .2. _____________________________________________________________ 若向量 a =( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是_____________________ .3. 平面上有三个点 A (1, 3), B (2, 2), C (7, x),若/ ABC = 90°，贝U x 的值为 ________ .4?向量a、b满足|a|=1，b l=V2,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹角为_________ .f f 彳5. 已知向量a = (1 , 2), b = (3 , 1),那么向量2a ——b的坐标是___________.6. 已知A (—1 , 2), B (2 , 4), C (4, —3), D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD |的值等于________ .7. 将点A (2 , 4)按向量a =(—5, —2)平移后,所得到的对应点A'的坐标是 ______ .8. 已知a=(1, —2),b=(1,x),若a丄b,则x 等于__9. 已知向量a,b的夹角为120,且|a|=2,|b|=5则(2a-b) ? a= ________10. 设a=(2,—3),b=(x,2x),且3a- b=4,则x 等于___11. 已知AB =(6,1),BC =(x,y),CD =(—2,—3),且BC // D A ,则x+2y 的值为________12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|z 0,|b|z 0,贝U a与b的夹角为_________—4 T t13. 在厶ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2 ,则OAOB OC 的最小值是___________________ .14. 将圆x2y^2按向量v= (2 , 1)平移后，与直线x ? y ? ■ =0相切，则入的值为 _.二.解答题。
高中数学平面向量题及答案
高中数学平面向量题及答案1. 求向量 $\vec{a}=(1,2)$ 的长度。
答案：$\|\vec{a}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 求向量 $\vec{a}=(3,-4)$ 的单位向量。
答案：将向量 $\vec{a}$ 的长度除以它本身，即$\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}$，得到单位向量 $\vec{u}=\frac{3}{5}(-4,3)$。
3. 求向量 $\vec{a}=(3,4)$ 与向量 $\vec{b}=(4,-3)$ 的夹角。
答案：根据向量的点积公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$，可得$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}=\frac{3\times4+4\times(-3)}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{0}{25}=0$，因此夹角 $\theta=90^{\circ}$。
4. 已知向量 $\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(1,2)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 和$\vec{a}-\vec{b}$。
答案：$\vec{a}+\vec{b}=(2+1,1+2)=(3,3)$，$\vec{a}-\vec{b}=(2-1,1-2)=(1,-1)$。
5. 已知向量 $\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(1,2)$，求$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 和 $\vec{a}\times\vec{b}$。
答案：$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times1+1\times2=4$，$\vec{a}\times\vec{b}=2\times2-1\times1=3$，因为向量$\vec{a}\times\vec{b}$ 是一个垂直于向量 $\vec{a}$ 和向量$\vec{b}$ 的向量。
部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案专项训练题
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案专项训练题单选题1、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4733、已知向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(3,0)，若(λa −b ⃑⃗)⊥a ，则实数λ=（ ） A ．0B ．35C ．1D ．34、过△ABC 的中线AD 的中点E 作直线PQ 分别交AB ､AC 于P ､Q 两点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则1m +1n=（ ）A ．4B ．43C ．3D ．15、已知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,3)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3，t )，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．36、已知向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)，则a 与b ⃑ 的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则x +y 的值为（ ）A ．1B ．57C ．1417D ．568、P 是△ABC 所在平面内一点，满足|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=0，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 多选题9、下列说法中正确的是（ ）A ．平面向量的一个基底{e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ }中，e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 一定都是非零向量.B ．在平面向量基本定理中，若a =0⃑ ，则λ1=λ2=0.C ．若单位向量e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角为2π3，则e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影向量是−12e 2⃑⃑⃑ . D ．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.10、(多选题)锐角△ABC 中，三个内角分别是A ，B ，C ，且A >B ，则下列说法正确的是（ ） A ．sin A >sin B B ．cos A <cos B C ．sin A >cos B D ．sin B >cos A11、在ΔABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A =π6,a =2,c =2√3,则角C 的大小是A．π6B．π3C．5π6D．2π3填空题12、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−12，M是BC的中点，则AM的长为____________．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(三十八)参考答案1、答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac=c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B 2、答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C 作CH ⊥BB′，过B 作BD ⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH )=AA′−BB′+100=AD +100， 由题，易知△ADB 为等腰直角三角形，所以AD =DB ． 所以AA′−CC′=DB +100=A′B′+100． 因为∠BCH =15°，所以CH =C′B′=100tan15°在△A′B′C′中，由正弦定理得： A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°， 而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24， 所以A′B′=100×4×√22√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373． 故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100． 3、答案：B分析：根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得λ的值. 因为向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(3,0)，且(λa −b ⃑⃗)⊥a ， 所以(λa −b ⃑⃗)⋅a =0，即λa 2−a ⋅b ⃑ =0， 所以有5λ−3=0，解得λ=35，故选：B.小提示：方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下： （1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式； （2）根据向量数量积运算法则进行化简； （3）利用向量数量积坐标公式求得结果. 4、答案：A分析：由D 为BC 的中点得到 AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)，设PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，结合AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，得到AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，再由AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，得到14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，然后利用AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗不共线求得m ，n 即可.解：由D 为BC 的中点可知，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+12BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)， =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)， 设PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， 则AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， =AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λ(AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=(1−λ)AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λAQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∵ AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∴ AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗∵ AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴ 14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∵ AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗与AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗不共线， ∴ {λn =14(1−λ)m =14，解得{n =14λm =14(1−λ)， ∴ 1m +1n =4 故选：A . 5、答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,t −3)，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0)，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 6、答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ⃗,b ⃑⃗>=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ⃗,b⃑⃗>≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°. 故选：D. 7、答案：C分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ==(x −y2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ 和BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE⃑⃑⃑⃑⃑ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解. 根据向量的线性运算法则，可得AO⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC⃑⃑⃑⃑⃑ )=(x −y)AB⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(2AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y 2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为B,O,F 三点共线，可得x −y2+2y =1，即2x +3y −2=0；又由BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −xBA ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅43BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为A,O,E 三点共线，可得1−x +4y 3=1，即3x −4y =0，联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0 ，解得x =817,y =617，所以x +y =1417.故选：C. 8、答案：B分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，由此可判断出△ABC 的形状. 由|CB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，可得|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，即|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|， 等式|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|两边平方，化简得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， 因此，△ABC 是直角三角形. 故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题． 9、答案：ABC分析：由平面向量基本定理，依次判定即可选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 一定都是非零向量，故A 正确； 选项B ：a =0⃑ =0⋅e 1⃑⃑⃑ +0⋅e 2⃑⃑⃑ ，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1=λ2=0，故B 正确；选项C ：e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影向量为：e 1⃑⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑⃑ |e 2⃑⃑⃑⃑ |e 2⃑⃑⃑ =−12e 2⃑⃑⃑ ，故C 正确； 选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误 故选：ABC 10、答案：ABCD分析：由正弦定理得出A >B ⇔sinA >sinB ，判断A ，由余弦函数性质判断B ，由正弦函数性质及诱导公式判断CD ． 因为asinA =bsinB ，所以A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立.函数y=cos x在区间[0，π]上是减函数，∵A>B，∴cos A<cos B，故B成立.在锐角三角形中，∵A+B>π2，∴A>π2−B，函数y=sin x在区间[0,π2]上是增函数，则有sin A>sin(π2−B)，即sin A>cos B，C成立，同理sin B>cos A，故D成立.故选：ABCD．11、答案：BD解析：由正弦定理可得asinA =csinC,所以sinC=casinA=√32,而a<c,可得A<C,即可求得答案.由正弦定理可得asinA =csinC,∴sinC=ca sinA=√32,而a<c,∴A<C,∴π6<C<56π,故C=π3或2π3.故选:BD.小提示：本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.12、答案：√7分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.在△AMC中，CA=b=2，CM=a2=1，由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7，所以AM=√7.所以答案是：√7.。
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基础练习
1、若(3,5)AB = ，(1,7)AC = , 则BC =
（ ）
A ．（－2，－2）
B ．（－2，2）
C ．（4， 2）
D ．（－4,－12）
2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→
b ＝(1，－1)，则向量12→a －32
→b ＝ ( )
A 、(－2，－1)
B 、(－2，1)
C 、(－1，0)
D 、(－1，2)
3、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a
垂直，则λ是（ ）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
4、若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=，则b
=（ ）
A ．（－1，2）
B ．（－3，6）
C ．（3，－6）
D ．（－3，6）或（3，－6）
5、在ABC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02
是（ ）
A ．锐角三角形
B ． 直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝（ ）
（A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）23
7.在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四
边形ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形
C.梯形
D.菱形
8.已知()()
3,4,223,a b a b a b ==++=
那么a 与b 夹角为（ ）
A 、60︒
B 、90︒
C 、120︒
D 、150︒
9.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且=a ，=b
，=c ,
则下列各式： ①=21c －21b
②=a +2
1b
③CF =－21a +2
1b
④++CF =0
其中正确的等式的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 10.已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．
11.设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
12.四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===y x （1）若//，试求x 与y 满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。
基础练习参考答案
B D A B B
C 7.C 【解析】 ∵=++=－8a －2b =2，∴//. ABC
D 为梯形.C B
10.解：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-
． ∴ b ＝（2， 38
-） ． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 2
3
）．
而b －c ＝（2，38-）－（2，2
3）＝（0，－25
6），
∴ |b －c |＝25
6
．
11. 解：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522
<++t t ，
解之2
1
7-
<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,2
14
-=-
=λt ， ∴)2
1,214()214,7(--⋃-
-∈t ． 12. ),(y x = )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x
（1）DA BC // 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得：02=+y x （2）)1,6(++=+=y x BC AB AC )3,2(--=+=y x CD BC BD
又⊥ 则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x 化简有：015242
2
=--++y x y x 联立⎩⎨
⎧=--++=+01524022
2y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==1
2
y x // ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形
当⎩⎨⎧=-=3
6y x )0,8()4,0(-==BD AC 此时1621==S ABCD
当⎩⎨⎧-==1
2y x )4,0()0,8(-== 此时1621
==S ABCD。