高一数学平面向量期末练习题及答案

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平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析1.在中，，是边上任意一点（与不重合），若，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），∵|AB|2=|AD|2+|BD|×|DC|，∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），即d2-b2+（d-b）（c-d）=0，∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，∴b+c=0，即b=-c，∴B与C关于y轴对称，∴AB=AC，则△ABC为等腰三角形．得到∠B=∠C=75°2.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．3.向量，若，则实数的值为．【答案】【解析】【考点】向量的数量积的坐标运算及向量模4.已知为锐角，，且，则为．【答案】或【解析】因为，，故为或．【考点】平行向量的坐标表示5.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】，所以【考点】1．数量积的坐标表示；2．两向量垂直的充要条件6.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对【答案】A【解析】移项得设AB边的中点为D，则所以O在与边垂直的直线上，选A．【考点】向量加减法的几何意义，数量积的性质．7.如图，在四边形中，，且，，记向量则= （）A．B．C．D．【答案】B【解析】作于，与，由题意，且，记向量，，故选B．【考点】（1）向量在几何中的应用（2）向量的加法及其几何意义8.如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界），若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于点落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知与方向相反，与相反，，故选D．【考点】向量加减呼和运算及其几何意义9.已知向量a＝（1,2），b＝（x＋1，－x），且a⊥b，则x＝（）A．2B．C．1D．0【答案】C【解析】两向量垂直坐标满足【考点】向量垂直的判定10.设R，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．10【答案】B【解析】由得：，解得：，所以，，则，所以。

高一数学(平面向量期末复习答案

第一课时：向量的概念及其几何运算【知识梳理】1. 向量的有关概念：向量的概念、向量的模（或长度、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）：加法：物理背景、三角形法则、平行四边形法则。

减法：三角形法则向量的数乘运算的定义 1. 向量加法的运算性质（1）a ＋b=b ＋a ；（2）(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)；（3）若a 与b 为相反向量，则a ＋b ＝0；（4）若b ＋c ＝a ，则c ＝a －b ；（5）|a ±b|≤|a|＋|b|()，|a ±b|≥||a|－|b||(何时取到等号)；（6）向量加法的多边形法则 2.向量数乘的运算性质(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa ；(3) λ(a ＋b)=λa ＋λb ； 3向量的数量积a ²b=|a||b|cos θ.：向量的夹角定义及其范围、内积物理背景（做功）、投影、内积的几何意义4、.向量中重要定理（1）一维向量共线定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa . （2）平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.一个不得不知道的定理：设o 是平面上任意一点，C 点在直线AB 上的条件：存在实数λ μ使1,=++=μλμλ且O B O A O C【课前基础训练】1．两个非零向量相等当且仅当_____________（ A ）（A ）长度相等且方向相同（B ）长度相等且方向不同（C ）长度不相等且方向相同（D ）长度不相等且方向不同2．设O 是正△ABC 的中心，则向量,,是（C ）（A ）有相同起点的向量（B ）平行向量（C ）模相等的向量（D ）相等向量 3．=-+AD BC AB（D ）（A ）（B ）CD （C ）（D ）4．已知非零向量，满足关系式：||||-=+，那么向量，应满足的条件是（ D ）（A ）方向相同（B ）方向相反（C ）模相等（D ）互相垂直 5．向量的加法满足交换律：=+b a ；结合律：=++)( ； 6．设a 表示“向西走3公里”，b 表示“向南走3公里”，则b a +表示； 7．边长为1的正方形ABCD 中，若 a AB =，b BC =，c AC =，则=+-||c b a 2 ；8．已知52-=，25=，则=b 425- a ；9．若c b a +=，则)(2)3(2)2(3b a b c b a +-+-+= a - ；10．与是同一平面不共线的向量，k +与3-共线，则实数k = 31- ；【范例分析】例1在三角形ABC 中，设a = =,已知43,41==,试以,为基底表示向量a b 4321-例2 已知在三角形ABC 中，平面上点o 满足=++，求证:O 是三角形ABC 的重心例3 在平行四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD=3BN ，试推断点M 、N 、C 是否共线？并说明理由.【课后作业】一． 1．若O 是△ABC 内一点，OC OB OA ++＝0，则O 是△ABC 的（ D ）（A ）内心（B ）外心（D ）重心（C ）垂心 2．若O 为□ABCD 的中心，14e AB =，26e BC =，则1223e e -等于（B ）（A ）（B ）BO （C ）（D ）3．如图，D ，E 分别为△ABC 的边BC ，CA 上的中点，且a BC =，b CA =，则=DE（A ）b a 2121+ （B ）b a 2121-（C ）2121+- （D ）2121--9．如图，△ABC 中D 为BC 边的中点，E 是AB 上一点，且AE BE 2=，设=，b CA =，则=DE （C ）（A ）3232+ （B ）6132+ （C ）b a 3261+ （D ）b a 3267+8．21,e e 为平面向量的一组基底，21924e e a -=，211855e e b +-=，则与的关系为（ D ）（A ）共线，且同向（B ）不一定共线（C ）平行，可能相等（D ）共线，且异向二．填空题13．已知||a = 6，||b = 8，||b a -= 10，则||b a += 10 ；14．若点P 是△ABC 的外心，且PB PA +＝PC ，则△ABC 的内角C = 120度．17．向量a 与b 不共线，设-=3，32+=，若存在实数x ，y 使得x －y q =b a -，则=),(y x ⎪⎭⎫⎝⎛111,115 ； 19．若21,e e 是平面向量的一组基底，0)1(2))(1(121=-++--e y e e y x ，则=),(y x ()1.12 ． 20．如图，已知向量，，求作：（1）+；（2）-．2-=21．如图，在△ABC 中，a AB =，b BC =，AD 为BC 边的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG ． 3132+第二课时平面向量的坐标运算及数量积.【数量积的运算性质】（1）a ²b ＝b ²a ；（2）(λa)²b ＝λ(a ²b)＝a ²(λb)；（3）(a ＋b)²c ＝a ²c ＋b ²c ；（4）a ⊥b a ²b ＝0；（5）a 2＝|a|2；（6）|a ²b|≤|a||b|；（6）b a b a ⋅∙=θcos（7）bba a ∙=θcos ab C【向量的坐标表示】（1）设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若a ＝xi ＋yj ，则a ＝(x ，y) （2）若点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1). （3）向量的坐标运算设向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),则（1）a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；（2）a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)；（3）λa ＝(λx 1，λy 1)；（4）a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（5）向量a ，b(b ≠0)共线1221y x y x =⇔ ；（6）a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；（7）|a| 2121y x += ；（8）222221212121cos y x y x y y x x ba ba +∙++=⋅∙=θ【课前基础训练】1．若向量的始点坐标为)1,3(，终点坐标为)3,1(--，则向量的坐标为（ D ）（A ）)3,1(-- （B ）)4,4( （C ）)2,4(-- （D ）)4,4(--2．下列向量为单位向量的是（C ）（A ）+= （B ）)21,21(= （C ）)sin ,(cos αα= （D ）)23,1(-=3．下列向量共线的是（ C ）（A ）)3,2(=，)6,4(-=（B ）i a 3=，3=（C ）)6.3,3(-=，)6.0,21(-=（D ）)1,0(=，)0,2(=4．设A ，B ，C 三点共线，且它们的纵坐标分别是2，5，10，则λ=中实数λ的值（A ）83 （B ）38 （C ）83- （D ）38- （C ）5.给出下面四个命题：①长度相等方向相反的向量叫做相反向量；②同一平面内有两个不共线非零向量b a ,，则b a ,所在平面内的任一向量均可以唯一表示成),(R b a ∈+μλμλ；③∥⇔存在唯一实数λ，使=λa ；其中正确的命题是（A ）（A ）①②（B ）①③（C ）②③ （D ）①②③6．若)4,3(-=，)12,5(=，则a 与b 的夹角的余弦值为（ B ）（A ）6563 （B ）6533 （C ）6533- （D ）6563-7．给定两个向量)4,3(=，)1,2(-=，且)(x +⊥)(-，则x 等于（C ）（A ）23 （B ）223 （C ）323 （D ）4238．下列三个命题：（1）0=+BA AB ；（2）=-；（3）c b a )(⋅是向量，其中真命题的个数是（ C ）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3【范例分析】例1 已知向量a 、b 满足：|a|=4，且a ²(a －b)=12，求向量b 在a 方向上的投影. 1例2 已知非零向量a 、b 满足： (a －b)⊥b ，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，求向量a 与b 的夹角.60度例3 已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a ＋b ＋c 与a的夹角.150°例4 设向量a 、b 不共线，已知,2kb a AB +=,b a BC +=,2b a CD -=且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值1-例5 设e 为单位向量，且向量a ≠e ，若对任意实数t ，不等式|a －te|≥|a －e|恒成立，求证：(a －e)⊥e.例6 已知向量a 、b 满足：|a|=4，|b|=3，(2a －3b)²(2a ＋b)=61，当t ∈[0，1]时，求tb a +的取值范围[]4,32例7设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c ），d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标.()6,2--例8：已知向量),2,1(),1,3(-==O B O A 且//,⊥求向量的坐标()6,11例9 已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－4， 3)，求向量a 在b 方向上的投影.51例10 设向量a 与b 的夹角为θ，已知 a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8，16)，求cos θ的值.6563-例11 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，—4)，5=c ，若25)(=∙+c b a ，求向量a 与c 的夹角 120°例12 已知点A(0，1)，B(0，—1),C(1,0),O 为坐标原点，动点P 满足2)(2=∙，求向量OP 与OC 的夹角的取值范围⎪⎭⎫ ⎝⎛6,0π向量综合练习一、选择题1．已知36||=a ，1||=b ，9-=⋅b a ，则a 与b 的夹角是（ D ）（A ）30° （B ）45° （C ）135° （D ）150°2．对于向量，和实数λ，给出下列结论：①a =||；②||||||b a b a ≤⋅；③)()(b a b a ⋅=⋅λλ．其中正确结论的个数为（ D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）33．已知||= 2，向量a 在单位向量方向上的投影为3-，则向量a 与的夹角为（ D ）（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 4．若=，且A （2 ，y ），B （－3 ，2），=（x ，1），则有（ B ）（A ）x = －1，y = －1（B ）x = －5，y = 1（C ）x = 5，y = －1 （D ）x = －5，y = 35．在△ABC 中，=（2 ，3），=（1 ，21-），则B cos = （ A ）（A ）651-（B ）21（C ）651 （D ）21-6.已知点A 、B 的坐标分别为（2，-2），（4，3），向量m 的坐标为（2k -1,7）,且AB m //则k 的取值范围为（C ）（A ）109- （B ）109 （C ）1019- （D ）10197．有下列三个命题①0=++CA BC AB ；②c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；③()()22492323b a b a b a -=-⋅+其中，是真命题的有（ D ）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③二、填空题1．若)4,3(-=a ，)2,5(=b ，则+= ()6.2 ；-= ()2,8- ； 2．点)3,4(M 关于点)3,5(-N 的对称点L 的坐标 ()9,6- ；3．△ABC 顶点为)3,2(A ，)2,3(--B ，重心为)1,1(G ，则C 点的坐标为 ()2,4 ； 4．点P 在平面上作匀速直线运动，速度是每秒)5,2(=v ，当t = 0时，P 在)2,6(--处，则t = 5时，点P 的坐标为 ()23,4 ；5．在△ABC 中，设)7,3(A ，)5,2(-B ，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标为 ()7,2-或()5,3-- ．6．||= 5，||= 8，且与的夹角为150°，则⋅= -； 7．若3||||||=-==，则⋅= 23 ；8．若)1,1(=a ，)1,2(-=b ，则⋅= 1 ；b a ⋅-)2(= -2 ；9．已知)3,1(-=，)2,0(=，则a 在b10．已知)2,(λ=a ，)1,2(-=b ，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 ()+∞,1 ．11．已知O （0 ，0）和A （6 ，3）两点，若点P 在直线OA 上，且OP PA 2=，又P 是OB 的中点，则点B 的坐标是 ()2,4 ；12．已知b a m +=2，b a n 2+=，则b a 22-= )(2n m - （用向量，表示）； 13．已知=（3 ，3），=（1 ，0），则⋅-)2(= 1 ；14．已知3,52-=⋅==b a ，则=-|2|b a _6________；15．已知||a = 2，||b = 1，a ，的夹角为60°，又m 3+=，m -=2，且c ⊥，则实数m 的值是 -1或6 ．16．已知三个力)4,3(1=F ，)5,2(2-=F ，),(3y x F =的合力为零，求3F 的坐标____()1,5-____．三、解答题1．已知点A （―1 ，―4），B （5 ，2），线段AB 上的三等分点依次是1P ，2P ，求1P ，2P 点的坐标．()2.11-P ()0,32P2．已知单位向量与的夹角为60°求证：)2(-⊥i ．3．已知两点)2,4(-A ，)4,4(-B ，（1）求方向与AB 一致的单位向量；⎪⎭⎫⎝⎛-53,54（2）过)1,1(C 作向量CD 与AB 共线，且||=4，求D 点坐标．⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-57,521517,511HUO4．如果向量a 与b ，c 的夹角都是45°，而c ⊥b ，且1||||||===c b a ，求)()2(+⋅-的值．22-5．已知8||=a 6||=b ，a 与b 的夹角<a ,b >＝60°求)2()(b a b a -⋅+．32-6．设-=2，23+=，37=，求证A ，B ，C 三点共线．7．已知||a = 4，||b = 3，b a ⋅ = 6，求b a +的模．378．已知△ABC中，A（2 ，－1），B（3 ，2），C（－3 ，－1），BC边上的高AD，求点D和AD的坐标．()1,1()2,1-9．△ABC中，A（－1 ，－4），B（5 ，2），C（3 ，4），求证△ABC是直角三角形，并求△ABC的面积．12。

（完整版）高一数学平面向量期末练习题及答案

（完整版）⾼⼀数学平⾯向量期末练习题及答案平⾯向量⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分。

1、下列向量组中能作为表⽰它们所在平⾯内所有向量的基底的是（）A ．)0,0(=a ρ)2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρC ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρD ．)3,2(-=a ρ)9,6(=b ρ2、若ABCD 是正⽅形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( )A ．a b 21+B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 21- 3、若向量a r 与b r 不共线，0a b ?≠r r ，且()a a b c a a b=-r r rr r r r ，则向量a r 与c r的夹⾓为（） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设，是互相垂直的单位向量，向量m 3)1(-+=，m )1(-+=，)()(-⊥+,则实数m 为（）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（）A ．长⽅形B ．平⾏四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（）（1）)()()(λλλ?=?=?；（2）||||||?=?；（3）?+?=?+)( （4）)()(??=??；（5）设,,为同⼀平⾯内三个向量，且c 为⾮零向量，,不共线，则)()(?-?与垂直。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三⾓形ABC 中，设a BC =，b CA =，c AB =，则a c c b b a ?+?+?的值为（ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量=（-1，1），且与+2⽅向相同，则?的范围是（）A ．（1，+∞）B ．（-1，1）Ｃ．（-1，+∞）Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，=（2cos α，2sin α），=（5cos β，5sin β），若?=-5，则S △OAB = （） A ．3 B ．23Ｃ．35 Ｄ．23510、若⾮零向量、满⾜||||b b a =-，则（）A. |2||2|->B. |2||2|-<C. |2||2|->D. |2||2|-< ⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。

高一数学平面向量测试题及答案

第二章平面向量一、选择题1.若三点P （1；1）；A （2；-4）；B （x ；-9）共线；则（） A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5；4)平行的向量是（） A.（-5k ；4k ）B.(-k 5；-k4) C.(-10；2) D.(5k ；4k)3.若点P 分AB 所成的比为43；则A 分BP 所成的比是（） A.73B.37 C.- 37 D.-734.已知向量a 、b ；a ·a =-40；|a |=10；|b |=8；则向量a 与b 的夹角为（）° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-；|a |=4；|b |=5；则向量a ·b =（）3B.-103C.102D.106.已知a =(3；0)；b =(-5；5)；则a 与b 的夹角为( ) A.4πB.43π C.3πD.32π 7.已知向量a =(3；4)；b =(2；-1)；如果向量a +x ·b 与b 垂直；则x 的值为（）A.323 B.233 C.2 D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ；且点P 在有向线段21P P 的延长线上；则λ的取值范围是（）A.(-∞；-1)B.(-1；0)C.(-∞；0)D.(-∞；-21) 9.设四边形ABCD 中；有DC =21AB ；且|AD |=|BC |；则这个四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.将y=x+2的图像C按a=(6；-2)平移后得C′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后；得到y=x2的图像；则a等于（）A.(2；-1)B.(-2；1)C.(-2；-1)D.(2；1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a；b)；B(-b；a)；C(0；0)；则它的第4个顶点D的坐标是（）A.(2a；b)B.(a-b；a+b)C.(a+b；b-a)D.(a-b；b-a)二、填空题13.设向量a=(2；-1)；向量b与a共线且b与a同向；b的模为25；则b= 。

高中数学平面向量题及答案

高中数学平面向量题及答案1. 求向量 $\vec{a}=(1,2)$ 的长度。

答案：$\|\vec{a}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。

2. 求向量 $\vec{a}=(3,-4)$ 的单位向量。

答案：将向量 $\vec{a}$ 的长度除以它本身，即$\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}$，得到单位向量 $\vec{u}=\frac{3}{5}(-4,3)$。

3. 求向量 $\vec{a}=(3,4)$ 与向量 $\vec{b}=(4,-3)$ 的夹角。

答案：根据向量的点积公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$，可得$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}=\frac{3\times4+4\times(-3)}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{0}{25}=0$，因此夹角 $\theta=90^{\circ}$。

4. 已知向量 $\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(1,2)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 和$\vec{a}-\vec{b}$。

答案：$\vec{a}+\vec{b}=(2+1,1+2)=(3,3)$，$\vec{a}-\vec{b}=(2-1,1-2)=(1,-1)$。

5. 已知向量 $\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(1,2)$，求$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 和 $\vec{a}\times\vec{b}$。

答案：$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times1+1\times2=4$，$\vec{a}\times\vec{b}=2\times2-1\times1=3$，因为向量$\vec{a}\times\vec{b}$ 是一个垂直于向量 $\vec{a}$ 和向量$\vec{b}$ 的向量。

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平面向量一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．)0,0(=a)2,1(-=b B ．)2,1(-=a )4,2(-=bC ．)5,3(=a )10,6(=bD ．)3,2(-=a)9,6(=b2、若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( ) A ．a b 21+B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 21- 3、若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a a bc a a b⋅=-⋅，则向量a 与c 的夹角为（） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量j i m a 3)1(-+=，j m i b )1(-+=，)()(b a b a -⊥+,则实数m 为（）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（）A ．长方形B ．平行四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（）（1）)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅；（2）||||||b a b a ⋅=⋅；（3）c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)( （4）)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅；（5）设c b a ,,为同一平面内三个向量，且c 为非零向量，b a ,不共线，则b ac a c b )()(⋅-⋅与c 垂直。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三角形ABC 中，设a BC =，b CA =，c AB =，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅的值为（ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则b a ⋅的范围是（）A ．（1，+∞）B ．（-1，1）Ｃ．（-1，+∞）Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若OB OA ⋅=-5，则S △OAB = （） A ．3 B ．23 Ｃ．35 Ｄ．235 10、若非零向量a 、b 满足||||b b a =-，则（）A. |2||2|b a b ->B. |2||2|b a b -<C. |2||2|b a a ->D. |2||2|b a a -< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11、若向量)4,3(-=a ，则与a平行的单位向量为________________ ，与a垂直的单位向量为______________________。

12、已知)3,2(=a，)4,3(-=b ，则)(b a -在)(b a +上的投影等于___________ 。

13、已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -， ,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝_____．14．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b的“向量积”：b a ⨯ 是一个向量，它的模θsin ||||||⋅⋅=⨯b a b a.若)3,1(),1,3(=--=b a ，则=⨯||b a.三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．（本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（-1，2），向量OB OC ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD 。

16．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---．（Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 17、（本小题满分14分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos α,sin α)，(0<α<π)。

（1）若7||=+OC OA （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若BC AC ⊥，求tan α的值。

18、（本小题满分14分）如图，O ，A ，B 三点不共线，OA OC 2=，OB OD 3=，设a OA =，b OB =。

（1）试用b a ,表示向量OE ；（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ， N ，试证明L ，M ，N 三点共线。

19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC •20、（本小题满分14分）已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-，且[0,]2x π∈，求：（1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值。

平面向量测试题参考答案一、选择题：（每小题5分） DBAAD BBCDA二、填空题：（每小题5分） 11、)54,53(;)54,53(-- )53,54(;)53,54(-- 12、526-13、 3 14、 2三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．解：设OC =（x ,y ），∵OB OC ⊥，∴0=⋅OB OC ，∴2y – x =0，①又∵BC ∥OA ，BC =（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴OC =（14，7），则OD =OC -OA =（11，6）。

16、解：（Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =(2,1),AC x y =-- ∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠（Ⅱ）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．17、解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ，∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α．又),0(πα∈，∴3πα=，即3π=∠AOC ，又2π=∠AOB ，∴OB 与OC 的夹角为6π． ⑵)sin ,2(cos αα-=AC ，)2sin ,(cos -=ααBC ，由BC AC ⊥，∴0=⋅BC AC ，可得21sin cos =+αα， ①∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππα∈，又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－27，②由①、②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α．18、解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴OE =x OC +(1-x )OB =2 x a+(1-x )b ，①同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，OE =y a+3(1-y)b ，②比较①，②得，⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴OE =b a5354+。

（2）∵2b a OL +=，103421b a OE OM +==，232)(21ba OD OC ON +=+=， 10126b a OM ON MN +=-=，102ba OM OL ML +=-=， ∴ML MN 6=，∴L ，M ，N 三点共线。

19、解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=又2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=,得8t =±(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--(2)(sin 8,)AC k t θ=-AC 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ== (8,0)(4,8)32OA OC ∴•=•=20、解：（1）33coscos sin sin cos 22222x x x xa b x ⋅=-= ||(cosa b +=2|cos |x ===又0cos ]2,0[≥∴∈x x π从而||2cos a b x +=（2）2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--12)(cos 222---=λλx由于[0,]2x π∈ 故0cos 1x ≤≤①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值221λ--，由23122-=--λ及01λ≤≤得12λ=③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3142λ-=-，得58λ=与1λ>矛盾综上所述，12λ=即为所求。