高中数学必修二专题03 平面向量的应用(课时训练)(含答案)

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2020-2021学年新教材人教A版必修第二册平面向量的应用课时作业

滚动复习3一、选择题(每小题5分，共35分)1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( B )A ．15B ．59C ．53D ．1解析：由正弦定理得asin A ＝b sin B ，所以sin B ＝59. 2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( C ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理，有b sin B ＝c sin C ，故sin B ＝b sin Cc＝3>1，三角形无解．故选C ．3．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( A ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理及sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，可知a 2＋b 2<c 2，在△ABC 中，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形．故选A ．4．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( B )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若a 2＝b 2＋14c 2，则a cos B c 的值为( C )A ．14 B ．54 C ．58D ．38解析：因为a 2＝b 2＋14c 2，所以b 2＝a 2－14c 2.所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2－14c 22ac＝5c8a.所以a cos Bc ＝a ·5c 8a c ＝58.6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( A )A ．1＋ 3B ．1＋32C ．2＋32D ．2＋ 3解析：由12ac sin30°＝32，得ac ＝6，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos30°＝(a ＋c )2－2ac －3ac ＝4b 2－12－63，得b ＝3＋1.7．(多选)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B ＝( AB )A ．120°B ．60°C ．150°D ．30°解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°.二、填空题(每小题5分，共20分)8．在△ABC 中，a ＝14，A ＝60°，b ∶c ＝8∶5，则△ABC 的面积S △ABC ＝ 40 3 . 解析：在△ABC 中，设b ＝8x ，c ＝5x ，x >0，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即142＝(8x )2＋(5x )2－2×8x ×5x ×12，解得x ＝2，则b ＝16，c＝10，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝40 3.9．△ABC 外接圆半径为3，内角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，若A ＝60°，b ＝2，则a 的值为__3__，c 解析：由正弦定理可得：asin A ＝2sin B ＝c sin C＝23，解得a ＝3；由余弦定理可得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得：9＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －5＝0，解得c ＝1＋6或c ＝1－6(舍去)．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__4__.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以3a ＝2B ．又a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4.11．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则C ＝__45°__.解析：在△ABC 中，因为S ＝a 2＋b 2－c 24，而S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C ，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以cos C ＝sin C ，所以C ＝45°. 三、解答题(共45分)12．(15分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2b sin A ． (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求B ．解：(1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ，因为sin A ≠0，所以sin B ＝12. 因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－2×33×5×32＝7.所以b ＝7. 13．(15分)在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb .又2cos A sin B ＝sin C ，所以cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2. 所以a ＝B ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3aB ．所以4b 2－c 2＝3b 2. 所以b ＝C ．所以a ＝b ＝C ．因此△ABC 为等边三角形．14．(15分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，p ＝(2a,1)，q ＝(2b －c ，cos C )，且p ∥q .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos2C 1＋tan C ＋1的取值范围．解：(1)∵p ∥q ，∴2a cos C ＝2b －C ．根据正弦定理，得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ＝2sin(A ＋C )－sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ． ∵sin C ≠0， ∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)－2cos2C 1＋tan C ＋1＝1－2cos 2C －sin 2C 1＋sin Ccos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝ sin2C －cos2C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π4. ∵0<C <2π3，∴－π4<2C －π4<13π12.∴－22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π4≤1.∴－1<2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π4≤ 2. ∴三角函数式－2cos2C1＋tan C＋1的取值范围是(－1，2]．。

部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点精题训练

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点精题训练单选题1、锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =7、b =8，m ⃑⃑ =(12,cosA)，n ⃑ =(sinA ，−√32)，且m ⃑⃑ ⊥n ⃑ ，则△ABC 的面积为（）A ．√3B ．3√3C ．5√3D ．10√32、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√33、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，则△ABC 的面积S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2].已知在△ABC 中，accosB =6,b =2√2，则△ABC 面积的最大值为（）A ．√33B ．2√33C ．2D ．44、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−115、如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在MO,ON 上分别设置两个出口A,B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（）A ．20(√2−1)千米B ．40(√2−1)千米C ．20(√2+1)D ．40(√2+1)6、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．5657、向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(7,−5)，将AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 按向量a =(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标形式为（）A ．(10,1)B ．(4,−11)C ．(7,−5)D ．(3,6)8、下列说法正确的是（）A ．向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线平行于CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a =b ⃑ ,b ⃑ =c ，则a =cD ．共线向量是在一条直线上的向量多选题9、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10、已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列四个命题中正确的命题是（）A ．若a cosA =b cosB =c cosC ，则△ABC 一定是等边三角形B．若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形C．若bcosC+ccosB=b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形11、已知e1⃑⃑⃑ ,e2⃑⃑⃑ 是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A．若实数m，n使me1⃑⃑⃑ +ne2⃑⃑⃑ =0⃑ ，则m=n=0B．平面内任意一个向量a⃗都可以表示成a⃗=me1⃑⃑⃑ +ne2⃑⃑⃑ ，其中m，n为实数C．对于m，n∈R，me1⃑⃑⃑ +ne2⃑⃑⃑ 不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量a⃗，存在两对以上实数m，n，使a⃗=me1⃑⃑⃑ +ne2⃑⃑⃑填空题12、已知向量a⃗,b⃑满足|a⃗|=2,|b⃑|=√2，a⃗与b⃑的夹角为45∘，a⃗⊥(λb⃑−a⃗)，则λ=_______．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(三十)参考答案1、答案：D分析：先由向量垂直得到A=π3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sinA−√32cosA=0，故tanA=√3，因为A∈(0,π2)，所以A=π3，由余弦定理得：cosA=64+c2−492×8c =12，解得：c=3或c=5，当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9−642×7×3<0，故B为钝角，不合题意，舍去；当c=5时，最大值为B，其中cosB=49+25−642×7×5>0，故B为锐角，符合题意，此时S△ABC=12bcsinA=12×8×5×√32=10√3.故选：D2、答案：C解析：利用余弦定理可求ab的值，从而可求三角形的面积.因为C=120°，故c2=a2+b2−2abcos120°=a2+b2+ab，而(a+b)2−c2=4，故c2=a2+b2+2ab−4=a2+b2+ab，故ab=4，故三角形的面积为12×ab×sin120°=√34×4=√3，故选：C.3、答案：D分析：由条件accosB=6,b=2√2得a2+c2=20，由基本不等式得ac≤10，再由S=√1 4[c2a2−(c2+a2−b22)2]可求解.∵accosB=ac·a2+c2−b22ac =a2+c2−b22=6，又∵b=2√2，a2+c2=12+b2=20.∴ac ≤a 2+c 22=10（当且仅当a =c =√10时取等号）.∴S △ABC =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2] =√14(a 2c 2−62)≤√14×(102−62)=4，∴△ABC 面积的最大值为4.故选：D4、答案：C分析：求得BA⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11.故选：C.5、答案：D分析：使用余弦定理及基本不等式，得到AB 2≥(2+√2)ab ，使用正弦定理及三角恒等变换得到ab ≥2−√2，进而求得AB 的最短距离.在△ABC 中，∠AOB =135°，设AO =a,BO =b ，则AB 2=a 2+b 2−2abcos135°=a 2+b 2+√2ab ≥(2+√2)ab ，当且仅当a =b 时取等号，设∠BAO =α，则∠ABO =45°−α，又O 到AB 的距离为20千米，所以a =20sinα，b =20sin (45°−α)，故ab =400sinαsin (45°−α)=2sin (2α+45°)−√2≥2−√2（α=22.5°时取等号），所以AB 2≥√2)2−√2=1600(√2+1)2，得AB ≥40(√2+1)，故选：D 6、答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D.7、答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标.因为平移后，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向相同且长度相等，故A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(7,−5). 故选：C8、答案：C分析：根据共线向量的定义可判断A ，D ；由相等向量的定义可判断B ，C ；进而可得正确选项.对于A ：根据共线向量的定义可知向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ //CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 就是AB⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线与CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B 不正确；对于C ：若a =b ⃑ ,b ⃑ =c ，则a =c ，故选项C 正确；对于D ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D 不正确；故选：C.9、答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.10、答案：AC分析：对于A ．利用正弦定理证明△ABC 是等边三角形，故A 正确；对于B ，利用正弦定理化简得△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，利用正弦定理和三角恒等变换化简得△ABC 是等腰三角形，故C 正确；对于D ，利用余弦定理化简得角C 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形，故D 错误．对于A ．若a cos A =b cos B =c cos C ，则sin A cos A =sin B cos B =sin Ccos C ，即tanA =tanB =tanC ，即A =B =C ，即△ABC 是等边三角形，故A 正确；对于B，若a cos A=b cos B，则由正弦定理得2RsinAcosA=2RsinBcosB，∴sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180∘，即A=B或A+B=90∘，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，若bcosC+CcosB=b，则sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sinB即A=B，则△ABC是等腰三角形，故C正确；对于D，△ABC中，∵a2+b2−c2>0，∴2abcosC>0,∴cosC>0，所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．故选：AC．11、答案：AB分析：根据基底的定义逐项判断即可.解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，n∈R，me1⃑⃑⃑ +ne2⃑⃑⃑ 在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.12、答案：2分析：由已知条件可得a⃗⋅b⃑的值，再由a⃗⊥(λb⃑−a⃗)可得a⃗⋅(λb⃑−a⃗)=0，通过计算即可求出λ的值.因为a⃗⊥(λb⃑−a⃗)，所以a⃗⋅(λb⃑−a⃗)=0，即a⃗2=λa⃗⋅b⃑.又|a⃗|=2，|b⃑|=√2,a⃗与b⃑的夹角为45∘，则a⃗⋅b⃑=|a⃗|⋅|b⃑|cos45∘=2，所以λ=a⃑⃗2=2．a⃑⃗⋅b⃑所以答案是：2.。

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：1。

向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。

这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。

高一数学(必修二)平面向量的概念及其应用练习题及答案

高一数学（必修二）平面向量的概念及其应用练习题及答案一、单选题1．下列说法错误的是（） A ．向量CD 与向量DC 长度相等 B ．单位向量都相等C ．0的长度为0，且方向是任意的D ．任一非零向量都可以平行移动2．设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ===，则()a ab ⋅+=（） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足1a b ==，23a b +=，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，D 是AB 上靠近B 的四等分点，E 是AC 上靠近A 的四等分点，F 是DE 的中点，设AB a =，AC b =，则AF =（）A ．344a b - B ．344a b + C ．388a b + D ．388a b - 6．已知向量a ＝（－1，2），b ＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥()a b +”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45A =︒，2a =，2b =B 的大小为（） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒8．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM x AB y AD =+，则yx等于（） A ．52B ．52-C ．43D ．43-二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线10．在ABC 中，已知π32A C ==，3CD DB =，则（） A ．+AB AC BC = B ．2AC AD = C ．13+44AD AB AC =D ．AD BC ⊥11．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,212．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（） A ．“ABC 为锐角三角形”是“sin cos A B >”的充分不必要条件 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题D ．若8a =，10c =，π3B =，则符合条件的ABC 有两个三、填空题13．P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________.14．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，若3BC DE =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=______． 15．已知||1a =，()1,3b =，()b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为______．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin A =2c sin B ，cos B =14，b =3，则△ABC 的面积为________．四、解答题17．设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线； (3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.18．化简：(1)()()532423a b b a -+-； (2)()()()111232342a b a b a b -----；(3)()()x y a x y a +--．19．已知4a =，2b =，且a 与b 夹角为120°，求： (1)2a b -；(2)a 与a b +的夹角；(3)若向量2a b λ-与3a b λ-平行，求实数λ的值．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+，求23x y +的值； (2)若6,60AB BAD ∠==，求AC EF ⋅.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．22．已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =． (1)若5||2b =且a b +与b 垂直，求a 与b 的夹角θ ； (2)若()1,1b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．AC 13．()1,0- 14．409 15．2π31691517．（1）证明：因为()121212124891284324BD BC CD e e e e e e e e AB=+=++-=-=-=，所以AB 与BD 共线.因为AB 与BD 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线.（2）因为122e e λ+与12e e λ+共线，所以存在实数μ，使()12122e e e e λλμ=++. 因为1e ，2e 不共线，所以2,1,λμλμ=⎧⎨=⎩所以22λ=±. （3）假设12e e λ+与12e e λ+共线，则存在实数m ，使()1212e e m e e λλ+=+.因为1e ，2e 不共线，所以1,,m m λλ=⎧⎨=⎩所以1λ=±.因为12e e λ+与12e e λ+不共线，所以1λ≠±.18．（1）()()()()532423*********a b b a a a b b a b -+-=-+-+=-. （2）()()()111131211232342342322a b a b a b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-----=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111123a b =-+.（3）()()()()2x y a x y a xa xa ya ya ya +--=-++=. 19．（1）解：因为()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=，所以2221a b -=（2）因为()2222168412a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以23a b +=，又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=，所以()123cos ,43a ab a a b a a b⋅+<+>===⨯+ 所以a 与a b +的夹角为6π．（3）因为向量2a b λ-与3a b λ-平行，所以()233a b k a b k a kb λλλ-=-=-，因为向量a 与b 不共线，所以23k kλλ=⎧⎨=⎩，解得6λ=±20．（1）因为1122CF CD AB ==-，2CE EB =所以2233EC BC AD ==，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=-，所以12,23x y =-=，故231x y +=.（2）AC AB AD =+，()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴===，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯=，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=.21．（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =．（2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得22312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅，即22312323c c c -=+-，整理，得22390c c --=，由0c >得3c =，所以11133sin 33222ABC S bc A ==⨯=△ 22．（1）解：由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，即2+0a b b ⋅= ，所以254a b b ⋅=-=-，得514cos 2552a b a bθ-⋅===-⋅⨯，又[]0,πθ∈，所以2π3θ=；（2）解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++ 所以()0a a b λ⋅+>，则512403λλλ+++>⇒>-，由//a a b λ+得0λ=，由与a 与a b λ+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭。

平面向量的应用同步习题高中数学新苏教版必修第二册(2022年)

9.4平面向量的应用一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知两个力F 1⃗⃗⃗ =(1,2)，F 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3⃗⃗⃗⃗ ，则F 3⃗⃗⃗⃗ =( )A. (1,−5)B. (−1,5)C. (5,−1)D. (−5,1)【答案】A【解析】【分析】本题考查向量在物理中的应用，属于基础题．为使物体平衡，即合外力为零，即3个向量相加等于零向量．【解答】解：由物理知识知F 1⃗⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ +F 3⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故F 3⃗⃗⃗⃗ =−(F 1⃗⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ )=(1,−5)．故选A ．2. 在△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 是( ) A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的加、减运算和几何应用，属于基础题．由题意，得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得三角形的形状．【解答】解：由题意，得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 是等边三角形．故选A3. 三个不共线的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |)=0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查的重点是向量加法的几何意义和向量数量积的性质，属于中档题．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |是单位向量，且由向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为邻边构成的四边形是菱形，得到OA 在∠BAC 的平分线上，即可得出结论．【解答】解：向量a ⃗ |a ⃗ |的模等于1，因而向量a ⃗ |a ⃗ |是单位向量， ∴向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等都是单位向量， ∴由向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为邻边构成的四边形是菱形， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=0，可得OA 在∠BAC 的平分线上，同理可得OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴O 是△ABC 的内心．故选C ．4. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过勾3股4弦5的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有△ABC 满足勾3股4弦5，如图所示，其中AB =4，D 为弦BC 上一点(不含端点)，且△ABD 满足勾股定理，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗A. 25144B. 25169C. 16925D. 14425【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．根据数量的投影定义即可求解．【解答】解：由等面积法得AD =3×45=125依题意可得AD ⊥BC ，则在上的投影为．．故选D ．5. 若点P 是△ABC 内一点，且满足PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S△PAB S △ABC =( ) A. 12 B. 13 C. 23 D. 14 【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的加减运算以及在几何图形中的应用，属于中档题．(1)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). (2)G 为△ABC 的重心⇔GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．根据向量关系得到线段比，即可得到面积比．【解答】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故点P 是△ABC 的重心，所以S △ABC =3S △PAB ，即S △PAB S△ABC =13．故选B ．6. O 是△ABC 所在平面内的一定点，P 是△ABC 所在平面内的一动点，若(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PC ⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗ )·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则O 为△ABC 的( ) A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了向量的几何应用，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题．设M 为BC 的中点，N 为AC 中点，则由数量积运算法则得出OM ⊥BC,ON ⊥AC ，从而得出OA =OB =OC ，即可确定选项．【解答】解：设M 为BC 的中点，N 为AC 中点，由(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PC ⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得： CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OM ⊥BC,ON ⊥AC ，所以OB =OC ，OC =OA ，即OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心．故选B ．7. 如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是线段AO 的中点，点F 是线段BC 的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −74CO ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23CO ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −54CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的有关概念，向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理，属于中档题．以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，分别表示向量CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平向量的基本定理以及相等向量建立方程组，解之即可得出结论．【解答】解：以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底， CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y (−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )．所以{14x −12y =1,−34x −12y =12,解得{x =12,y =−74. 即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −74CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A ．8. 如图所示，半圆的直径AB =4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是( ) A. 2B. 0C. −1D. −2【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用、平面向量的数量积、结合图形分析是解决问题的关键．根据图形知O 是线段AB 的中点，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解：由平行四边形法则得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO⃗⃗⃗⃗⃗ ，故(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ，又|PC ⃗⃗⃗⃗ |=2−|PO⃗⃗⃗⃗⃗ | 且PO⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 反向，设|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t(0≤t ≤2)，则(PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =−2t(2−t) =2(t 2−2t)=2[(t −1)2−1]．∵0≤t ≤2，∴当t =1时，(PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−2．故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 若点P 为△ABC 的外心，且PA⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ，则 ( ) A. 四边形ACBP 为菱形B. 四边形ACBP 为矩形C. ∠ACB =120°D. ∠ACP =60°【答案】ACD【解析】【分析】本题考查平面向量的加法和几何应用，属于基础题．根据题意得四边形ACBP 为菱形，再逐个判断即可．【解答】解：由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 知四边形ACBP 为平行四边形，又点P 为外心，∴四边形ACBP 为菱形，且PA =PC =AC ，得∠ACP =60∘，∠ACB =120∘．故选ACD ．10. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境(如下图).假设行李包所受重力为G ⃗⃗ ，两个拉力分别为F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ ，若|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |，F 1⃗⃗⃗ 与F 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ.则以下结论正确的是( )A. |F 1⃗⃗⃗ |的最小值为12|G ⃗⃗ |B. θ的范围为[0,π]C. 当θ=π2时，|F 1⃗⃗⃗ |=√22|G ⃗⃗ | D. 当θ=2π3时，|F 1⃗⃗⃗ |=|G⃗⃗ |【答案】ACD【解析】【分析】本题考查受力分析，物理只是在数学中的应用，主要考查学生运算能力，物理与数学的转换能力，属于基础题．利用受力分析的应用逐项分析即可．【解答】解：根据受力分析：对于A:当行李包处于平衡状态时，若F 1⃗⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ 竖直向上，则|F 1⃗⃗⃗⃗ |和|F 2⃗⃗⃗⃗ |最小，此时|F 1⃗⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=12|G ⃗ |，故 A 正确;对于B:当θ=π时，没有向上的分力，故 B 错误;对于C:当θ=π2时，|F 1⃗⃗⃗⃗ |=√22|G ⃗ |，故C 正确; 对于D:当θ=2π3时，解得|F 1⃗⃗⃗⃗ |=|G ⃗ |，故D 正确．故选ACD ．11. (多选)下列命题中正确的是( )A. 对于向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗B. 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件C. 对于向量a ⃗ ，b ⃗ ，若a ⃗ =b ⃗ ，b ⃗ =c ⃗ ，则a⃗ =c ⃗ D. 对于向量a ⃗ ，b ⃗ ，a ⃗ =b ⃗ 的充要条件是|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗【答案】BC【解析】【试题解析】【分析】本题考查平面向量的有关概念、充分、必要条件的判断和平面向量的几何语言，属于基础题．对选项逐个判断即可．【解答】解：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，故A 不正确；∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 正确； ∵a ⃗ =b ⃗ ,∴a ⃗ ,b ⃗ 的长度相等且方向相同，又b ⃗ =c ，∴b ⃗ ，c的长度相等且方向相同， ∴a ⃗ ，c 的长度相等且方向相同，故a ⃗ =c ，故C 正确；当a ⃗ //b ⃗ 且方向相反时，即使|a ⃗ |=|b ⃗ |，也不能得到a ⃗ =b ⃗ ，故|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ 不是a ⃗ =b ⃗ 的充要条件，故D 错误．故选BC ．12. 下列说法正确的是( )A. 在▵ABC 中，若AD →=12AB →+12AC →，则点D 是边BC 的中点 B. 已知a =(−1,2)，b =(x,x −1)，若(b −2a )//a ，则x =−1C. 已知A ，B ，C 三点不共线，B ，C ，M 三点共线，若AM →=xAB →+(2x −1)AC →，则x =12D. 已知正方形ABCD 的边长为1，点M 满足DM →=12MC →，则AM →⋅AC →=43【答案】AD【解析】【分析】本题主要考查向量的基本定理和坐标运算，属于基础题．利用向量的基本定理和坐标运算依次判断各个选项即可．【解答】解：对于A ，取BC 中点E ，则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则E 点与点D 重合，所以D 是边BC 的中点.所以A 正确；对于，b ⃗ −2a ⃗ =(x +2,x −5),a ⃗ =(−1,2),(b ⃗ −2a ⃗ )//a ⃗ ,所以x =13，所以B 不正确．对于C ，若x =12，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2x −1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以M 为AB 的中点，但条件没有，所以C 不正确．对于D ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+13=43．所以D 正确．故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一辆小车在拉力F ⃗ 的作用下沿水平方向前进了|s ⃗ |m ，拉力F ⃗ 的大小为|F⃗ |N ，方向与小车前进的方向所成角为α，如图所示，则F⃗ 所做的功W =______．【答案】|F ⃗ ||s |cosα【解析】解：拉力F ⃗ 可以分解为与s 平行(水平方向)的分力F ⃗ 1和与s 垂直(坚直方向)的分力F⃗ 2之和，即F ⃗ =F 1⃗⃗⃗⃗ +F ⃗ 2，其中|F ⃗ 1|=|F ⃗ |cosα,|F 2⃗⃗⃗⃗ |=|F ⃗ |sinα，所以力F ⃗ 对物体所做的功W =|F ⃗ ||s |cosα．故答案为：|F ⃗ ||s |cosα．先求出拉力F ⃗ 在水平方向的分力，再求出F⃗ 所做的功W ．本题考查平面向量在物理中的应用，属于基础题．14. 飞机以300 km/ℎ的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是_________km/ℎ．【答案】150√3 【解析】【分析】本题主要考查向量在运动学中的应用，属基础题.根据题意画出图形，即可求得答案．【解答】解：如图所示，| v 1⃗⃗⃗ |=| v ⃗ |cos 30°=300×√32=150√3(km/h)．15. 如图，在△ABC 中，已知AB =10，AC =5，，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为．【答案】√21【解析】【分析】本题主要考查平面向量的几何应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．通过平面向量的基本定理求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用模长公式即可求解．【解答】解：因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数x 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−x 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为C ，P ，M 三点共线，所以存在实数y 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则{x =y 21−x 3=1−y ⇒{x =25y =45, 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=125(4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) =125×(4×102+4×10×5×12+52)=21，所以|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21，故答案为√21．16. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD交于点N ，P 是平面上一点，满足2OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为．【答案】−7【解析】【分析】本题考查向量的几何运用，根据题意可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，进而可得OP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2−16λ+84=4λ2−4λ+2，从而利用向量的数量积公式及二次函数的性质即可求得结果，属于中档题．【解答】解：由2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，因此OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2−16λ+84=4λ2−4λ+2，所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PO⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PO⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4λ2−4λ+2−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当λ=12,|OM|取最大值时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−7．故答案为−7．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力大小|F 1⃗⃗⃗ |=24 N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力大小|F 2⃗⃗⃗⃗ |=12 N ，求F 1⃗⃗⃗ 和F 2⃗⃗⃗⃗ 的合力．【答案】解：如图以OA 、OB 为邻边作平行四边形AOBC ，在△OCA 中，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，∠OAC =60°，则∠OCA =90°，∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3， ∴F 1⃗⃗⃗⃗ 和F 2⃗⃗⃗⃗ 的合力大小为12√3N ，方向为与F 2⃗⃗⃗⃗ 成90°角竖直向上．【解析】本题主要考查向量的物理运用，向量的加法及向量的模．以OA 、OB 为邻边作平行四边形AOBC ，由向量加法，解三角形OCA ，可得F 1⃗⃗⃗⃗ 和F 2⃗⃗⃗⃗ 的合力大小及方向．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗(1)作出满足条件的四边形ABCD 。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立．故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565，故选：D.多选题9、下列说法正确的有（）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确；对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________．答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1，故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6，所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

高中数学必修二专题03 平面向量的应用(重难点突破)(含答案)

专题03 平面向量的应用一、考情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．二、经验分享1.向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则(1)|λa|＝|λ||a|；3.如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.4、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.（2）平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（3）三点共线的判断方法：判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 5、平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|. 6、平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 7、平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b |≤|a||b|.8、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .9、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10、主要问题归类与方法：1）几何图形中的向量关系与计算问题方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示；方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标． 2）方法选择与优化建议：解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点．三、题型分析（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.例1.（1）【四川省2020届高三适应性考试数学试题】在平面四边形中，满足，则四边形是（）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形【答案】C 【解析】因为，所以，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形是菱形.（2）.【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则ABCD 0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=ABCD 0AB CD +=AB CD DC =-=ABCD ()0AB AD AC DB AC -⋅=⋅=ABCDA ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OB OA +=-+4OM =0，即2（OA OB -）+12OM =0，可得AB =6OM ，即OM ∥AB ，故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论．【变式训练1】．【湖师范大学附属中学2020届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD +C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.【变式训练2】．．（2020·北京高二学业考试）如果正的边长为1，那么等于A ．B ．C ．1D ．2【答案】B 【解析】正的边长为1，，故选：B ．（二）平面向量的坐标运算（平行与垂直）：例2．【福建省宁德市2020届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ，∴145⋅=--=-a b ，故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能【变式训练1】．（2020·上海外国语大学附属大境中学高二期末）已知为两个单位向量，那么下列四个命题中正确的是（） A ． B ．若，则C ．D ．【答案】D 【解析】若，则，且方向相同中，方向未规定；中，方向相同或相反，均不能得到，则错误；中，，错误；中，，，正确.故选：【变式训练2】．（2019·河南高三月考）设向量，，且，则实数的值为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，解得：本题正确选项：【变式训练3】．（2020·浙江高三月考）设向量，若向量与向量垂直，则实数的值为（）,a b a b =//a b a b =1a b ⋅=22a b =a b =a b =,a b A ,a b B ,a b a b =,A B C []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=<>=<>∈-C D 221a a ==221b b==22a b ∴=D D ()4,2a =()2,1b k k =--a b ⊥k 1-123a b ⊥()()4221260a b k k k ∴⋅=-+-=-+=3k =D (1,2),(1,1)a b ==-a λb +a λA ．B ．1C ．D ．【答案】D【解析】由已知得，向量与向量垂直，.即，解得.故选D.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.例3．（1）.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．例3．（1）（2020·河南高三月考）已知的重心恰好在以边为直径的圆上，若，则（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B431-5-(1,2)a b λλλ+=-+a λb +a ()0a b a λ∴+⋅=(1)1(2)20λλ-⨯++⨯=5λ=-ABC ∆G AB 8AC CB ⋅=-AB =【解析】设的中点为，则.因为的重心恰好在以边为直径的圆上，所以且，解得.（2）.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.AB M 2GA GB GM +=ABC ∆G AB 0GA GB ⋅=2.GC GM AC CB =-⋅()()AG GC CG GB =+⋅+2AG CG GC AG GB GC GB =⋅-+⋅+⋅2()GC GA GB GC =⋅+-2222GC GM GC GC =⋅-=-22||8AB =-=-||2AB=∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．【变式训练1】．（2020·黑龙江大庆一中高考模拟）已知向量，，且，则实数_____．【答案】1 【解析】；故答案为：．【变式训练2】（2020·陕西省黄陵县中学高一期末）已知向量，，则与的夹角等于_______. 【答案】【解析】cos θ＝1||||2a b a b ⋅-==又由两向量夹角的范围是0[0,180]0150θ∴=.（四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a，或坐标公式||=a,8a m ＝（）3,2b -＝（）()a b b +⊥m ＝()3,6;a b m +=+()a b b +⊥()()•33120;a b b m ∴+=+-=1.m ∴=1(1,3a =-()3,1b =-a b 150（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．（3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.例4．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2020届高三5月校际联合考试数学试题）已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为A ．1BC ．12D 【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ，所以向量a 在b 方向上的投影的数量为cos ,2⋅===a b a a b b ，故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.【变式训练1】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b ，则实数m =A ．2±B ．2C ．D【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2||(||cos )2m==⋅=θb a a b ，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面:（1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b （此时⋅a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb；（3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）. 【变式训练2】已知向量,a b 满足1=a ，,2t t b，-a b 与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．2B ．1CD ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ．又由-=a b 所以当1t =时，-a b 取得最小值1．故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得-=a b（五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．例5、已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c ·(a ＋2b )＝－5，则|c |的最小值为．【答案】．577【解析】解法1（基向量和定义法）：因为2|2|(2)a b a b +=+=2244a b ab ++==，设c 与a ＋2b 的夹角为θ，由c ·(a ＋2b )＝－5得：|||2|cos c a b θ⨯+=－5，即||c =1cos 0θ-≤<，所以，当cos 1θ=-时，|c |的最小值为577.解法2（坐标法）：建立平面直角坐标系，设 a (1,0)=，b 1,22⎛= ⎝⎭，c (,)x y =，因为c ·(a ＋2b )＝－5，所以(,)5x y ⋅=-，即250x ++=，所以点(,)C x y 为直线250x ++=上的动点，又|c |OP == （O 为坐标原点），所以|c |的最小值即为坐标原点到直线250x ++=的距离，即|c |min ==. 【变式训练1】在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________．【答案】13【解析】解法1(基底法) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝λAC →＋(1－λ)AB →，所以AM →·BC →＝[λAC →＋(1－λ)AB →]·(AC →－AB →)＝λ|AC →|2＋(λ－1)|AB →|2＋(1－2λ)AB →·AC →＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos 120°＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，3)，设点M 的坐标为(x ，y)，则(x －3，y)＝λ(－1－3，3)，即⎩⎨⎧x ＝3－4λ，y ＝3λ，故AM →·BC →＝(3－4λ，3λ)·(－4，3)＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.（六）平面向量数量积中的隐圆问题通过建系运用相关点法即可求得点的轨迹方程，通过点的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．例6、已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________. 【答案】 7－23【解析】解法1 以A 为原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(3，0)，AC →＝⎝⎛⎭⎫32，332，设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)，由AQ →＝23AP →＋13AC →，得AQ →＝⎝⎛⎭⎫23x ′＋12，23y ′＋32，即⎩⎨⎧x ＝23x ′＋12，y ＝23y ′＋32，所以⎩⎨⎧23x ′＝x －12，23y ′＝y －32，两式平方相加得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝49(x ′2＋y ′2)，因为点P (x ′，y ′)在以A 为圆心的单位圆上，所以x ′2＋y ′2＝1，从而有⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝49，所以点Q 是以M ⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，R ＝23的圆上的动点，因此BQ min ＝BM －R ＝⎝⎛⎭⎫3－122＋⎝⎛⎭⎫0－322－23＝7－23.【变式训练1】已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1.若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是________．【答案】[6－1，6＋1]【解析】如图，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝OA →＋OB →，因为|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝1，所以|OD →|＝|OA →＋OB →|＝()2OA OB+＝222OA OA OB OB ++＝6，由|OA →＋CB →|＝1得|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OD →－OC →|＝|CD →|＝1，所以点C 在以点D 为圆心，1为半径的圆上，而|OC →|表示点C 到点O 的距离，从而|OD →|－1≤|OC →|≤|OD →|＋1，即6－1≤|OC →|≤6＋1，即|OC →|的取值范围是[6－1，6＋1]．【变式训练2】已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________．【答案】[－9，0]【解析】思路分析1 注意到圆是中心对称图形，因此，利用圆心来将所研究的向量关系进行转化，进而将问题转化为研究MO →的模的问题来进行求解．思路分析2 注意到这是与圆有关的问题，而研究与圆有关的问题在坐标系中研究较为方便，因此，通过建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标来进行求解．解法1 因为MA →＝MO →＋OA →，MB →＝MO →＋OB →，又OB →＝－OA →，因此MA →·MB →＝MO →2＋MO →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝MO →2－OA →2＝MO →2－16.因为M 是弦CD 上的动点，所以MO max ＝4，此时点M 在圆上，MO min ＝16－9＝7，此时点M 为弦CD 的中点，故MA →·MB →∈[－9，0]．解法2 以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设M (x ，y )，则A (4，0)，B (－4，0)，从而MA →＝(4－x ，－y )，MB →＝(－4－x ，－y )，故MA →·MB →＝x 2＋y 2－16.又因为点M 为弦CD 上的动点，且CD ＝6，所以7＝16－9≤x 2＋y 2≤16，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．。

2021高一数学新教材必修2课时作业(设计)(九) 平面向量的应用

―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
―→ ―→
＋ CA · CB ＝ AB 2＋ CA · CB ，∴ CA · CB ＝0，∴ CA ⊥ CB ，∴△ABC 是直角三角
形．故选 C.
3.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F
―→ ―→
―→ ―→
在边 CD 上，若 AB · AF ＝ 2，则 AE · BF 的值是( )
6．一条河宽 400 m，一船从 A 出发垂直到达正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为
12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________．
解析：合速度|v 合|＝
202－122＝16(km/h)＝800(m/min)，∴t＝400÷800＝1.5(min)．
3
3
答案：1.5 min
―→ ―→ 7．已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB|＝ 5，则 AC · CB ＝________.
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 解析：由弦长|AB|＝ 5，可知∠ACB＝60°，故 AC · CB ＝－ CA · CB ＝－| CA || CB |cos
∠ACB＝－5. 2
―→ ―→ 由 OA ⊥ OB 得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，
―→ ―→ 所以|a|＝|b|，由| OA |＝| OB |得|a－b|＝|a＋b|，
所以 a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，
―→ ―→ 所以| OA |＝| OB |＝
2，所以 S△OAB＝12×
∴―AC→·―BD→＝(―A→B ＋―AD→)·(―AD→－―A→B )＝|―AD→|2－|―A→B |2＝0.

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专题03 平面向量的应用A 组基础巩固1.（2020·山东高三期中）（多选题）下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【解析】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD2. （2020·北京高二学业考试）（多选题）给出下面四个命题，其中是真命题的是（） A ．0AB BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=【答案】AB 【解析】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误； 0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .3.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC 满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD 满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=（）A.14425B.25144C.16925D.25169【答案】A【解析】由题意求出125AD =2212144()()525AD CB CA AD AB AD AB AD AD AB -==⋅===，故选A. 4.（多选题）ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量,a b 满足2AB a =,2AC a b =+,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．b 为单位向量C ．a b ⊥D ．(4)a b BC +⊥【答案】AD【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2,2AB a =,∴||2||2AB a ==,∴||1a =,故A 正确；∵2AC AB BC a BC =+=+,∴BC b =,∴||2b =,故B 错误；由于2,AB a BC b ==,∴a 与b 的夹角为120°,故C 错误；又∵21(4)4||412402a b BC a b b ⎛⎫+⋅=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭, ∴(4)a b BC +⊥,故D 正确.5. （2020·北京高二学业考试）已知平面向量满足，且与夹角为60°，那么等于( )A ．B ．C ．D ．1【答案】C【解析】因为，故选：C. 6.已知O 为ABC ∆内部一点，且5()2AB OB OC =+,则AOB BOC S S ∆∆=（） A. 1 B. 54 C. 2 D.52 ,a b 1a b ==a b a b ⋅14131211cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=【答案】：D.【解析】由题意，5()2OB OA OB OC -=+，即2350OA OB OC ++=。

如图所示，令2,3,5OD OA OE OB OF OC ===,则0OD OE OF ++=,即O 为DEF ∆的重心，则DOE FOE S S ∆∆=,可得52AOB BOC S S ∆∆=。

7．（2020·陕西高二期中）平面向量与的夹角为60°，且，，则（） A ．B ．C ．19D ．【答案】B【解析】依题意.故选：B. 8. 已知ABC ∆中，2AD DC =，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+，则2λμ-的值为（）A. 2B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】由已知得：AD BA AC BA BC 23+=+=()ED AE BA ++=23 ()AE AB BA AE BA 325223+-=++= 所以253-==μλ，.2λμ-8= 9.在△ABC 中，角A 为3π，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知32=AD ,且)(31R AC AD AB ∈-=λλ,则AB 在AD 方向上的投影是（）a b 30()a =，1b =2a b +=319232a b +=222(2)44a b a a b b +=+⋅+9431cos60419=+⨯⨯⨯+=A.1B.23 C.3 D,233 【答案】D10．（2019·广东高三月考）已是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，，∴，，，∴.ABC ∆,D E ,AB BC DE F 2DE EF =AF BC 58-1814118BA a =BC b =11()22DE AC b a ==-33()24DF DE b a ==-1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=B 组能力提升11.（2020•潍坊校级模拟）（多选题）设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b B ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=- 【答案】AB 【解析】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λab ，A 选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.12.（2019秋•南京期中）如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =，M 是边BC 上一点，且3BM MC =，若24AM AD =，则AM BD = ．【分析】根据条件可得出34BM AD =，从而根据24AM AD =得出3()244AB AD AD +=，从而可求出12AB AD =，进而得出3()24()4AM BD AM AD AB AB AD AB =-=-+，进行数量积的运算即可求出答案．【答案】解：3BM MC =，且//BC AD ，BC AD =，∴3344BM BC AD ==，且24AM AD =，4AD = ∴233()122444AB AD AD AB AD AD AB AD +=+=+=，∴12AB AD =，且6AB =，∴()AM BD AM AD AB =-AM AD AM AB =-324()4AB AD AB =-+23244AB AB AD =-- 32436124=--⨯21=-．故答案为：21-．【点睛】本题考查了向量数乘、加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．13.（2020江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若 6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是 .【解析】设()2AD AB A AO C λλ==+，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+，13EC AC AE AB AC =-=-+， 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+= 221322AB AB AC AC -+⋅+，因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+，所以221322AB AC =，所以223ABAC=，所以AB AC=. 14．（2019·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；【答案】（1；（2）. 【解析】由题得；由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2）.15．（2020·浙江高一期中）已知向量. （1）当时，求的值；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）[-，]．【解析】（1）由向量=（sin x ，），=（cos x ，-1），又， ,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+73sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭a b tan 2x ()()f x a b b =+⋅0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦125122a 32b a b ∥得（-1）×sin x =，所以tan x =-，所以tan2x ==. （2）f （x ）=（）•==sin x cosx+cos 2x -==，因为x ∈[0，]，所以2x +∈[，]，所以∈[-，]. 16．（2020·浙江高二期中）已知（1）求与的夹角；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）；； ;;，. （2），两边平方可得，即，解得或；的取值范围为 17．设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2x x x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b 32cosx 32221tanx tan x -125a b +b 2a b b ⋅+12112222sin x cosx +24sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π4π4π54π224sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭122||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-+=•a b θ|||||2|a b a b λ+≥+λ23πθ=442,,33⎛⎡⎫--+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-+=•224346427461a b a b a b ∴--=--=••6a b ∴=-•1cos 2||||a b a b θ∴==-•[0,]θπ∈23πθ∴=|||||2|a b a b λ+≥+22(||||)(2)a b a b λ+≥+2924||120λλ+-≥4||3λ-+≥43λ-∴≤43λ-+≥λ∴423⎛⎡⎫-+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭（I ）若||||=a b ，求x 的值；（II ）设函数()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值．【解析】（I ）由2222)(sin )4sin a x x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得，又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II ）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+=1112cos 2sin(2)22262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 18．在平面直角坐标系xoy 中，点(1,2)A --、(2,3)B 、(2,1)C --．（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值．【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-= 所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则: E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC =、AD =（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =-所以115t =-．或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==-．。