(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题一 第4讲 导数与函数图象的切线及函数零点问题课件 理
2 3＜a≤e＋e ＋1 时，函数
y＝f(x)－g(x)有两个零点.
探究提高
对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结
合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，
挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0， 列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，
2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值
第4讲 导数与函数图象的切线 及函数零点问题
高考定位
高考对本内容的考查主要有： (1) 导数的几何意
义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上
在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；
(2) 在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命 题的另一热点.
真题感悟
(2015· 江苏卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R). (1)试讨论 f(x)的单调性； (2)若 b＝c－a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同 的零点时，a 求 c 的值.
a＞0， a＜0， 从而 4 3 或 4 3 － a ＜b＜0 0＜b＜－ a . 27 27
又 b＝c－a，所以当 a＞ 0 时， 4 3 4 3 27a －a＋c＞0 或当 a＜0 时，27a －a＋c＜0. 4 3 设 g(a)＝27a －a＋c，因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围
1 x∈e ，e时，由
h′(x)＝0，得 x＝1.
所以
1 h(x)在e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 1 1 2 h e ＝e ＋2e－1， h(e)＝e＋e ＋1， 比较可知
因此 h(x)min＝h(1)＝3.由
1 he ＞h(e)1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)· ex＋(2x－3)· ex＝x· (x－1)ex，
由 f′(x)＞0，得 x＞1 或 x＜0； 由 f′(x)＜0，得 0＜x＜1. ∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 若使 f(x)在[－2，t]上为单调函数， 则需－2＜t≤0， 即 t 的取值范围为(－2，0].
探究提高
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的
切线 ” 的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一
定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线 斜率之间的关系来进行转化 .以平行、垂直直线斜率间的关系为载 体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而
1 x∈e ，e时， 若函数
y＝f(x)－g(x)有两个零点， 求 a 的取值
解
(1)f′(x)＝ln x＋1，所以切线斜率 k＝f′(1)＝1.
又 f(1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为 y＝x－1.
2 y＝－x ＋ax－2， 由 ⇒x2＋(1－a)x＋1＝0. y＝x－1
【训练2】 已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围.
解 由 f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，
得 f′(x)＝x(2＋cos x). (1)因为曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切， 所以 f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a). 解得 a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令 f′(x)＝0，得 x＝0. f(x)与 f′(x)的情况如下：
答案 (1)x－y－2＝0 (2)－2
热点二
利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题 讨论方程根的个数
[微题型 1]
【例 2－1】 (2015· 南京、盐城模拟)已知函数 f(x)＝(x2－3x＋3)· ex 的定义域为[－2，t](t＞－2). (1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在[－2，t]上为单调函数； f′（x0） 2 (2)当 1＜t＜4 时，求满足 ex ＝3(t－1)2 的 x0 的个数. 0
3 3 a∈(－∞，－3)∪1，2∪2，＋∞.综上
c＝1.
考点整合 1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的 斜率f′(x0)，由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，
又
ax3 0＝y0－1，所以
2 2
3 y0＝ ， 2
5 1 代入 C2：x ＋y ＝2，得 x0＝± 2， 1 3 3 将 x 0 ＝± ， y ＝ 代入 y ＝ ax ＋1(a＞0)，得 a＝4. 2 0 2
(2)因为 y′＝12x3－3ax2－12x，y′＝ex，所以曲线 C1，C2 在 x＝1 处的切线斜率分别是 k1＝－3a，k2＝e.又两切线互相垂直，所以 1 k1k2＝－3ae＝－1，解得 a＝3e. 1 答案 (1)4 (2)3e
3 3 恰好是(－∞，－3)∪1，2∪2，＋∞，
则在(－∞， －3)上
3 3 g(a)＜0， 且在1，2∪2，＋∞上
g(a)＞0 均恒
成立.从而 g(－3)＝c－1≤0， 且
3 g2＝c－1≥0，因此
c＝1.
此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a ＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]， 因函数有三个零点，则 x2＋(a－1)x＋1－a＝0 有两个异于－1 的不 等实根， 所以 Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0， 且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0， 解得
也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即 可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋ d(a≠0)的零点分布情况如下： a的符号 a＞0 (f(x1)为极大值， f(x2)为极小值) 零点个数 一个 两个 三个 一个 两个 三个 充要条件 f(x1)＜0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＞0且f(x2)＜0 f(x2)＜0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＜0且f(x2)＞0
f′（x0） 2 f′（x0） 2 2 2 2 (2)∵ ＝ x 0 － x0 ， ＝ (t－1) ，即 x0－x0＝ (t－1)2，令 ex0 ex0 3 3 2 g(x)＝x －x－ (t－1)2，则问题转化为当 1＜t＜4 时，求方程 g(x)＝ 3
2
2 2 2 x －x－ (t－1) ＝0 在[－2，t]上的解的个数.∵g(－2)＝6－ (t－1)2 3 3
2
2 2 1 2 ＝－ (t＋2)(t－4)，g(t)＝t(t－1)－ (t－1) ＝ (t＋2)(t－1)， 3 3 3 ∴当 1＜t＜4 时，g(－2)＞0 且 g(t)＞0， 2 ∵g(0)＝－3(t－1)2＜0，∴g(x)＝0 在[－2，t]上有两解. f ′（x0 ） 2 即满足 ex ＝3(t－1)2 的 x0 的个数为 2. 0
a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值)
3.研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得 出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两
曲线交点的个数.
热点一
函数图象的切线问题
【例 1】 (1)(2015· 衡水中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A
解析
(1)设 A(x0，y0)，则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)＝3ax2 0，
1 x0 C2 在 A 处的切线的斜率为－k ＝－y ， OA 0 又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，
x0 3 所以－y · 3ax2 0＝－1，即 y0＝3ax0， 0
3 3 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，2∪2，＋∞，
解
2a (1)f′(x)＝3x ＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－ 3 .
2
当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单 调递增； 当 a＞0
2a 2a 时， x∈－∞，－ 3 ∪(0， ＋∞)时， f′(x)＞0， x∈－ 3 ，0 2a f(x)在－∞，－ 3 ， (0， ＋∞)上单调递增，
和导数联系起来求解.
【训练1】(1)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示， 则曲线y＝f(x)在点P(2，0)处的切线方程是________.
(2)(2015· 苏、锡、常、镇模拟)若曲线 f(x)＝
x，g(x)＝xa 在
点 P(1， 1)处的切线分别为 l1， l2， 且 l1⊥l2， 则 a 的值为________.
时， f′(x)＜0， 所以函数
2a 在－ 3 ，0上单调递减；
当 a＜0
2a 2a 时，x∈(－∞，0)∪－ 3 ，＋∞时，f′(x)＞0，x∈0，－ 3 2a f(x)在(－∞，0)，－ 3 ，＋∞上单调递增，
时，f′(x)＜0，所以函数
探究提高
研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调
2016版高考数学(江苏专用·理科)二轮复习课件 高考热点追踪(一)
个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参 数使问题获得解决．
二、分离参数——巧妙转化
有些问题，是需要将参变量分离出来，单独放在不等式的一 侧，将另一侧视作为新函数，则可以将问题转化为新函数的
最值问题．
当 x∈R 时，不等式 a＋ cos 2x<5－ 4sin x＋ 5a－ 4恒 成立，求实数 a 的取值范围．
2 2 2
2
2
h（－ 1） >0， 2 记 h(a)＝ a ＋ a＋m＋ 1，则 1 解得 h－2 <0， 3 － 1 ，－ m∈ . 4
[ 名师点评 ]
创新题型在高考中常出现，考查学生对新定义
的理解能力，只有明确新定义的实质，才能使问题得以解 决．
不等式恒成立问题的解题策略
恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约
条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不 易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面谈谈解决此 类问题的常用方法．
一、反客为主——更换主元 有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯 思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困 境．如果打破思维定式，反“客”为“主”，把原来处于相
[解析] 设 g(m)＝ (x － 1)m－ 2x＋ 1，则有
2
2 g （－ 2 ） <0 ， 2 x ＋ 2x－ 3>0， 即 2 g（ 2） <0 2x － 2x－ 1<0.
7－ 1 3＋ 1 解得 <x< . 2 2
[名师点评]
当一个题中有多个变量时，要敢于把其中的一
[名师点评]
若对于x取值范围内的任何一个数都需要
f(x)>g(a)恒成立，则g(a)小于f(x)的最小值；若对于x取值范围
江苏省2016届高考数学模拟试题分类汇编：04导数
导数第22课 导数的概念与运算（苏州期初）12. 已知函数x e x x f 11)(+-=，若直线 :1-=kx y 与曲线)(x f y =相切，则=k e -15．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0) 处的切线方程是 ▲ ． y ＝2x12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是 ▲ ．．2 3（南通三模）9.已知两曲线f (x )=cos x ,g (x )=3sin x ,x ∈(0,π2)相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ,C 两点，则线段BC 的长为 ▲ ．43（苏北三市三模）11．若点P ，Q 分别是曲线y=x +4x 与直线4x+y =0上的动点，则线段PQ长的最小值为 ▲ ．7171716．若函数f （x ）＝lnx ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______．(扬州期中) 11．若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线，则k = ▲ ． 2e(盐城期中)14. 设函数2()||xaf x e e =-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ . 11(,)22-（无锡期末）12、过曲线1(0)y x x x=->上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x = 5（南通调研一）13.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y 和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则21x x 的值是 【答案】43．【命题立意】本题旨在考查导数的概念，函数的切线方程．考查运算能力，推理论证能力及xOyABy ＝3灵活运用数学知识能力，难度中等.【解析】由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12， 函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．所以⎩⎨⎧2x 1＝3x 22x 12＝2x 23，解之得：x 1＝3227，x 2＝89． 所以x 1x 2＝43．第23课 利用导数研究函数的性质(盐城期中) 4．函数()xf x e x =-的单调递增区间为 ▲ . (0,)+∞ (盐城期中)11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在12x =处取得极大值，则正数a 的取值范围是 ▲ . (0,2)（南京期初）11．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为▲________．(32，4)9．函数f (x )＝x e x （e 为自然对数的底数）的最大值是 ▲ ．1e14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是 ▲ ．0和3－1(南京盐城一模)14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ . 1(0,]1e +（苏州期中）14．设()f x '和()g x '分别是函数()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''⋅≤在区间I 上恒成立，则称函数()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反。
江苏省2016年高考理科数学二轮专题复习课件：专题一 函数与导数、不等式第2讲
不等式 f(x)>x
解得：x>5 或－5<x<0.
答案 (－5，0)∪(5，＋∞)
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
归纳总结· 思维升华
4.(2012· 江苏卷)已知正数 a， b， c 满足： 5c－3a≤b≤4c－a， cln b≥a b ＋cln c，则a的取值范围是________. a＋b≤4c， 3a＋b≥5c， 解析 由题意知 a cln b－a≥cln c⇒b≥ ce c . 作出可行域(如图所示).
a＋b＝4c， 由 得 3a＋b＝5c，
7 c a＝2，b＝2c.
b 此时 a max ＝7.
a＋b＝4c， 由 得 b＝ a ， ce c
4c 4ce a＝ ，b＝ . e＋1 e＋1
真题感悟· 考点整合 热点聚焦· 题型突破 归纳总结· 思维升华
4c e b e＋1 此时 a min ＝ 4c ＝e. e＋1 b 所以a∈[e，7].
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
归纳总结· 思维升华
2.(2014· 江苏卷 ) 已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ mx － 1 ，若对于任意 x∈[m ， m
＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________.
解析 二次函数 f(x)对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，
2 2 f（m）＝m ＋m －1<0， 则有 2 f（m＋1）＝（m＋1） ＋m（m＋1）－1<0，
2 解得－ <m<0. 2 2 答案 － ，0 2
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
高考数学热点必会题型第4讲 导数求切线及公切线归类(原卷版)
高考数学热点必会题型第4讲 导数求切线及公切线归类 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求曲线切线的斜率与倾斜角例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x x =+在1x =处的切线的斜率为（ ） A ．2B ．-2C ．0D ．1例2．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行例3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()ln 2f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的定义域是()0,∞+ B ．()f x 有两个零点C ．()f x 在点()()1,1f --处切线的斜率为1-D ．()f x 在()0,∞+递增【题型】二、求在曲线上一点处的切线方程或斜率例4．（2023·上海·高三专题练习）2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（ ） A ．290x y ++= B ．290x y +-= C ．290x y -++=D ．290x y -+-=例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（ ） A ．MNB ．FNC ．PMD ．ON例7．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（ ） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 例8．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()()e e x xf x x -=- ，则（ ）A ．()f x 在()0,∞+单调递增B ．()f x 有两个零点C ．()=y f x 在点()()ln 2,ln 2f 处切线的 斜率为35ln 222+D ．()f x 是奇函数第二天学习及训练【题型】三、利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-例10．（2023·全国·高三专题练习）已知点M 是曲线()22ln 5f x x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 例11．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（理））若()ln f x x x =，则()f x 图像上的点的切线的倾斜角α满足（ ） A ．一定为锐角B ．一定为钝角C ．可能为0︒D ．可能为直角例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 0sin 0x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，，， ()020x kx x g x x >⎧=⎨≤⎩，，，若x 1、x 2、x 3，x 4是方程()()f x g x =仅有的4个解，且x 1<x 2<x 3<x 4，则（ ） A ．0<x 1x 2<1 B ．x 1x 2>1 C ．43πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【题型】四、求在过一点的切线方程例13．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3例14．（2023·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例15．（2023·全国·高三专题练习）过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（ ） A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =例16．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是________．例17．（2023·全国·高三专题练习）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是___________第三天学习及训练【题型】五、利用导数值求出参数值例18．（2023·上海·高三专题练习）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞例19．（2023·全国·高三专题练习）若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1B ．e2C ．2D ．e例20．（2023·全国·高三专题练习）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM 所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =-- C ．232(1)x y =--D ．2364x y =-+例21．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例22．（2023·上海·高三专题练习）设函数()ln f x x x =，()1x g x x =+. (1)若直线12y x b =+是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； (2)证明：①当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-； ②0x ∀>，()()2e-<g x f x .（e 是自然对数的底数，e 2.718≈） 【题型】六、已知切线的斜率求参数方程例23．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()2e ,<1=e ,1x x x f x x -≥⎧⎨⎩若方程()0f x x a --=有三个不同的解，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,e 1-C ．()1,eD ．()e 1,e -例24．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知0a >，0b >，直线2e y x b-=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（ ） A ．16B ．12C ．8D ．4例25．（2023·全国·高三专题练习）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12B C D ．34例26．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是曲线23ln y x x =-上任意的一点，则点P 到直线2230x y ++=的距离的最小值是（ ）A ．74B ．78C ．2D例27．（2023·全国·高三专题练习）设函数()e 2xf x x =-，直线=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，则2a b +的最大值是__________第四天学习及训练【题型】七、两条切线平行、垂直、重合公切线问题例28．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例29．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切，则直线l 的条数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．无数条例30．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与函数()e x f x =，()ln g x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2例31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x a x =，()e x g x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2eD 例32．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例33．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（ ）A ．-1B ．3C ．1D ．2【题型】八、已知某点处的导数求参数或自变量例34．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线()40y x x x=+<在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直，则点P 的横坐标为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin f x m x b =+在6x π=处的切线方程为1y x =+，则实数b 的值为（ ）A ．12B C ．1 D 例36．（2023·全国·高三专题练习）若实数a ，b ，c ，d 满足ln ,1a b c d =+=，则()()22a cb d -+-的最小值为______.。
【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第4讲导数的热点问题(含答案解析)
第 4 讲 导数的热门问题(2016 ·标全国乙课 )已知函数f(x)＝ (x － 2)e x ＋ a(x －1) 2 有两个零点．(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x 1， x 2 是 f(x)的两个零点，证明： x 1＋ x 2<2.(1) 解 f ′(x)＝ (x － 1)e x ＋ 2a(x － 1)＝ (x －1)(e x ＋ 2a)．①设 a ＝ 0，则 f(x)＝ (x － 2)e x ， f(x)只有一个零点．②设 a>0，则当 x ∈(－ ∞， 1) 时， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (－∞，1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加．又 f(1) ＝－ e ， f(2)＝ a ，取 b 知足 b<0 且 b<ln a，2a223则 f(b)>2(b － 2)＋ a( b － 1) ＝a b － 2b >0， 故 f(x)存在两个零点． ③设 a<0，由 f ′(x)＝ 0 得 x ＝1 或 x ＝ ln(－ 2a)．若 a ≥－e2，则 ln(－ 2a) ≤1，故当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．若 a<－ e2，则 ln( － 2a)>1，故当 x ∈ (1，ln(－ 2a))时，f ′(x)<0 ；当 x ∈ (ln(－ 2a)，＋ ∞)时，f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (1，ln( － 2a)) 上单一递减，在 (ln( － 2a)，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0，＋ ∞)．(2) 证明 不如设 x 1<x 2，由 (1) 知， x 1∈ (－ ∞， 1)， x 2∈(1 ，＋ ∞)，2－ x 2∈ (－ ∞，1)，f(x)在 (－∞， 1)上单一递减，所以 x 1＋ x 2<2 等价于 f(x 1)>f(2－ x 2)，即 f(2 －x 2)<0.2x2因为 f(2－ x 2) ＝x 2 e 2 ＋ a(x 2－ 1) ，而 f(x 2)＝ (x 2－ 2) e x 2 ＋ a(x 2－ 1)2＝ 0， 所以 f(2－ x 2) ＝ x 2e 2 x 2( x 2 2)e x 2 .设 g(x) ＝－ xe 2－ x － (x － 2)e x ，则 g ′(x)＝ (x － 1)(e 2－x － e x )，所以当 x>1 时， g ′(x)<0 ，而 g(1)＝ 0，故当 x>1 时， g(x)<0，进而 g(x 2)＝ f(2－ x 2)<0，故 x 1＋ x 2<2.利用导数探究函数的极值、 最值是函数的基本问题， 高考取常与函数零点、 方程根及不等式相联合，难度较大．热门一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一， 能够间接考察用导数判断函数的单一性或求函数的最值，以及结构函数解题的能力．例 1 已知函数 f(x)＝ e x － x 2＋ a ， x ∈R ，曲线 y ＝ f(x) 的图象在点 (0，f(0)) 处的切线方程为 y＝ bx.(1) 求函数 y ＝ f(x) 的分析式；(2) 2＋ x ；当 x ∈R 时，求证： f(x) ≥－ x(3) 若 f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立，务实数 k 的取值范围．(1) 解 依据题意，得 f ′(x)＝ e x －2x ，则 f ′(0)＝1＝ b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入 y ＝ f(x)，得 a ＝－ 1，故 f(x)＝ e x － x 2－ 1.(2) 证明 令 g(x)＝ f(x)＋ x 2－x ＝ e x － x － 1.由 g ′(x)＝ e x － 1＝ 0，得 x ＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0)时， g ′(x)<0， g(x)单一递减；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g ′(x)>0， g(x)单一递加． ∴ g(x)min ＝ g(0) ＝ 0，∴ f(x) ≥－ x 2 ＋x.f(x)(3) 解f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立等价于 x >k 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立．令 φ(x)＝ f(x)， x>0，得 φ′(x)＝ xf ′(x)－ f(x) x 2xx(e x － 2x) － (e x － x 2－1) (x － 1)(e x － x － 1) .＝x 2 ＝ x 2x由 (2) 可知，当 x ∈(0，＋ ∞)时， e － x － 1>0 恒成立，∴ y ＝ φ(x)的单一增区间为 (1，＋ ∞)，单一减区间为 (0,1)，φ(x)min ＝φ(1) ＝ e －2，∴ k<φ(x)min ＝ e － 2，∴实数 k 的取值范围为 (－ ∞， e － 2)．思想升华 用导数证明不等式的方法(1) 利用单一性：若 f( x)在 [a ，b] 上是增函数，则① ? x ∈ [a ， b] ，则 f(a) ≤f(x) ≤f(b)，②对 ? x 1， x 2∈[ a ，b]，且 x 1<x 2，则 f(x 1)< f(x 2) ．对于减函数有近似结论．(2) 利用最值：若 f(x)在某个范围 D 内有最大值 M(或最小值 m)，则对 ? x ∈ D ，则 f(x) ≤M(或f(x) ≥m) ．(3) 证明 f(x)<g(x)，可结构函数 F(x)＝ f(x)－g(x)，证明 F(x)<0. 追踪操练 1 已知函数 f(x)＝ aln x ＋1(a>0) ．(1) 当 x>0 时，求证： f( x)－ 1≥a 1－ 1；x (2) 在区间 (1， e)上 f(x)> x 恒成立，务实数 a 的取值范围．(1) 证明设 φ(x)＝ f(x)－1－ a 1－1x1＝ aln x － a 1－ x (x>0) ，a ax x 2.令 φ′(x)＝ 0，则 x ＝ 1，当 0<x<1 时， φ′(x)<0 ，所以 φ(x)在 (0,1)上单一递减；当 x>1 时， φ′(x)>0，则φ′(x)＝－所以 φ(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加， 故 φ(x)在 x ＝ 1 处取到极小值也是最小值，故 φ(x) ≥φ(1)＝ 0，即 f(x)－ 1≥a 1－1x .x － 1(2) 解 由 f(x)>x 得 aln x ＋ 1>x ，即 a> ln x .x － 1 x － 1ln x － x 令 g(x) ＝ ln x (1< x<e)，则 g ′(x)＝ (ln x)2 .令 h(x) ＝ln x － x － 1 (1<x<e)，则 h ′(x)＝ 1 － 1>0，x x 2x 故 h(x) 在区间 (1， e)上单一递加，所以 h(x)>h(1)＝ 0.因为 h(x)>0 ，所以 g ′(x)>0 ，即 g(x)在区间 (1， e)上单一递加，x －1则 g(x)<g(e)＝ e － 1，即 ln x <e － 1， 所以 a 的取值范围为 [e － 1，＋ ∞)．热门二利用导数议论方程根的个数方程的根、函数的零点、 函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的观点，解决这种问题能够经过函数的单一性、极值与最值，画出函数图象的走势，经过数形联合思想直观求解．例 2 已知函数 f(x)＝ (ax 2＋x － 1)e x ，此中 e 是自然对数的底数， a ∈R.(1) 若 a ＝ 1，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 若 a＝－ 1，函数 y＝ f(x)的图象与函数g(x)＝1x 3＋1x2＋ m 的图象有3 个不一样的交点，务实32数 m 的取值范围．解 (1)当 a＝ 1 时， f(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x，所以 f′(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x＋ (2x＋1)e x＝ (x2＋ 3x)e x，所以曲线y＝ f( x)在点 (1，f(1)) 处的切线斜率为k＝ f′ (1)＝ 4e.又因为 f(1) ＝ e，所以所求切线的方程为y－ e＝4e(x－ 1)，即 4ex－ y－3e＝ 0.(2)当 a＝－ 1 时， f(x)＝ (－ x2＋ x－ 1)e x，f ′(x)＝( －x2－ x)e x，所以 y＝ f(x)在 ( －∞，－ 1)上单一递减，在 (－1,0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，故 f(x)在x＝－ 1 处获得极小值－3，在ex＝0 处获得极大值－ 1.而 g′(x)＝ x2＋ x，所以 y＝g(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，在 (－ 1,0)上单一递减，在 (0，＋∞)上单一递加．故 g(x) 在 x＝－ 1 处获得极大值1＋ m，在 x＝ 0 处获得极小值 m. 6因为函数y＝ f( x)与 y＝g(x)的图象有 3 个不一样的交点，所以 f( －1)<g(－ 1)且 f(0)> g(0) ，所以－3－1<m<－ 1，即 m 的取值范围为 (－3－1，－ 1)．e 6e6思想升华(1) 函数 y＝ f(x)－k 的零点问题，可转变为函数y＝ f( x)和直线 y＝ k 的交点问题．(2) 研究函数y＝ f(x)的值域，不单要看最值，并且要察看随x 值的变化 y 值的变化趋向．追踪操练 2已知函数 f(x)＝ 2ln x－x2＋ ax(a∈ R)．(1)当 a＝ 2 时，求 f(x)的图象在 x＝ 1 处的切线方程；1， e上有两个零点，务实数m 的取值范围．(2) 若函数 g(x)＝ f(x)－ ax＋m 在e解 (1)当 a＝ 2 时， f(x)＝ 2ln x－x2＋ 2x，2f ′(x)＝x－ 2x＋ 2，切点坐标为 (1,1)，切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，则切线方程为y－ 1＝2(x－ 1)，即 2x－y－ 1＝ 0.(2) g(x)＝ 2ln x－ x2＋ m，2－ 2(x＋ 1)(x－ 1)则 g′(x)＝x－2x＝x.1因为 x ∈， e ，所以当 g ′(x)＝ 0 时， x ＝ 1.1当 e <x<1 时， g ′(x)>0；当 1<x<e 时， g ′(x)<0. 故 g(x) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g(1) ＝ m － 1.又 g1e ＝ m － 2－e12 ，g(e) ＝m ＋2－ e2，g(e)－ g1 21e ＝ 4－ e ＋ 2<0，e则 g(e)<g 1e ，1所以 g(x)在 e ，e 上的最小值是g(e)．1g(x)在 ， e 上有两个零点的条件是g(1) ＝ m －1>0 ，1＝ m － 2－ 1g e e 2 ≤0，1解得 1<m ≤2＋ e 2，1所以实数 m 的取值范围是1， 2＋e 2 .热门三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实质问题受某些主要变量的限制，解决生活中的优化问题就是把限制问题的主要变量找出来， 成立目标问题即对于这个变量的函数，而后经过研究这个函数的性质，进而找到变量在什么状况下能够达到目标最优．例 3某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 )．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假定建筑成本仅与表面积相关，侧面的建筑成本为100 元 / 平方米， 底面的建筑成本为 160 元 /平方米， 该蓄水池的总建筑成本为12 000 π元 ( π为圆周率 )．(1) 将 V 表示成 r 的函数 V(r )，并求该函数的定义域；(2) 议论函数 V( r)的单一性，并确立 r 和 h 为什么值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝ 200πrh(元 )，底面的总成本为 160πr 2 元．所以蓄水池的总成本为(200 πrh ＋ 160πr 2 )元．又依据题意得 200πrh ＋ 160πr 2＝ 12 000 π，12所以 h ＝ 5r (300－ 4r )，π进而 V(r)＝ πr 2h ＝(300r － 4r 3)．5因为 r>0 ，又由 h>0 可得 r<53，故函数 V(r )的定义域为 (0,5 3)．π(2) 因为 V(r )＝ 5(300r － 4r 3)，π 2)，故 V ′(r)＝ (300－ 12r 5令 V ′(r)＝ 0，解得 r 1＝ 5， r 2 ＝－ 5( 因为 r 2＝－ 5 不在定义域内，舍去 )．当 r ∈ (0,5)时， V ′(r)>0，故 V( r)在 (0,5)上为增函数；当 r ∈ (5,5 3)时， V ′(r)<0 ，故 V(r )在 (5,5 3)上为减函数．由此可知， V(r )在 r ＝ 5 处获得最大值，此时h ＝ 8.即当 r ＝ 5，h ＝ 8 时，该蓄水池的体积最大．思想升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 建模：剖析实质问题中各量之间的关系，列出实质问题的数学模型，写出实质问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f(x)．(2) 求导：求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0.(3) 求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝ 0 的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小 )值．(4) 作答：回归实质问题作答．追踪操练3经市场检查，某商品每吨的价钱为x(1< x<14) 百元时，该商品的月供应量为y 1万吨，y 1＝ ax ＋7a 2－ a(a>0) ；月需求量为2y 2万吨， y 2＝－1 x 2－2241112x ＋ 1.当该商品的需求量大于供应量时，销售量等于供应量； 当该商品的需求量不大于供应量时， 销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价钱的乘积．(1) 若 a ＝17，问商品的价钱为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供应量相等时的价钱为平衡价钱，若该商品的平衡价钱不低于每吨 6 百元，务实数 a 的取值范围．1解(1) 若 a ＝7，由 y 2>y 1，得－ 2241x 2－ 1121x ＋1>17x ＋ 72(17)2－ 17.解得－ 40<x<6.因为 1<x<14，所以 1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，y 1·x ， 1<x<6， 则 g(x) ＝y 2·x ， 6≤x<14.1 133 当 1<x<6 时， g(x)＝(x － )x<g(6)＝ . 727当 6≤x<14 时， g(x)＝ (－ 1 x 2－ 1 x ＋1)x ，224 112则 g ′(x)＝－ 1(3x 2＋ 4x － 224)2241＝－ 224( x － 8)(3x ＋28)，由 g ′(x)>0 ，得 x<8，所以 g(x)在 [6,8) 上是增函数，在 (8,14)上是减函数，当 x ＝ 8 时， g(x)有最大值 g(8) ＝367.(2) 设 f(x)＝ y 1－ y 2＝1 217 2－1－ a ，224x ＋ (＋ a)x ＋ a1122因为 a>0，所以 f(x)在区间 (1,14) 上是增函数，若该商品的平衡价钱不低于 6 百元，即函数 f(x)在区间 [6,14) 上有零点，f(6) ≤0， 所以f(14)>0 ，7a 2＋10a －11≤0，17解得即0<a ≤ .7a 2＋13a>0，721 2已知函数 f(x)＝ 2x － (2a ＋ 2)x ＋ (2a ＋1)ln x.(1) 当 a ＝ 0 时，求曲线 y ＝f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 求 f(x)的单一区间；(3) 对随意的 a ∈ 3， 5，x 1， x 2∈[1,2] ，恒有 |f(x 1)－ f(x 2)| ≤λ|1 － 1 |，求正实数 λ的取值范围．2 2x 1 x 2押题依照相关导数的综合应用试题多考察导数的几何意义、 导数与函数的单一性、 导数与不等式等基础知识和基本方法，考察分类整合思想、 转变与化归思想等数学思想方法．此题的命制正是依据这个要求进行的，全面考察了考生综合求解问题的能力．解 (1)当 a ＝ 0 时， f(x)＝12x 2－ 2x ＋ ln x ，f ′(x)＝x － 2＋ 1，且 f(1)＝－ 3， f ′(1)＝ 0，x 2故曲线 y ＝ f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程为3y ＝－ .2(2) f ′(x)＝ x － (2a ＋2)＋ 2a ＋ 1＝[x －(2a ＋1)]( x －1)，x>0.xx①当 2a ＋1≤0，即 a ≤－1时，函数 f(x)在 (0,1)上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加；21f(x)在 (2a ＋1,1)上单一递减，在 (0,2a ＋ 1)， (1，＋ ∞)②当 0<2a ＋ 1<1，即－ <a<0 时，函数2上单一递加；③当 2a ＋1＝ 1，即 a ＝ 0 时，函数 f(x)在 (0，＋ ∞) 上单一递加；④当 2a ＋ 1>1，即 a>0 时，函数 f(x)在 (1,2a ＋ 1)上单一递减，在 (0,1)， (2a ＋ 1，＋ ∞)上单一递加．3， 5(3) 依据 (2) 知，当 a ∈ 2 2 时，函数 f( x)在 [1,2] 上单一递减．若 x 1＝ x 2，则不等式 |f(x 1 2)| ≤λ|1－ 1)－ f(x x 1 x 2|对随意正实数 λ恒成立，此时 λ∈ (0，＋∞)． 若 x 1≠x 2，不如设 1≤x 1<x 2≤2， 则 f(x 1)>f(x 2)， 1> 1 ，x 1 x 2原不等式即 f(x 1)－ f(x 2) ≤λ 1－1，x 1 x 2即 f(x λλ a ∈3 5， x ， x ∈ [1,2] 恒成立，1)－对随意的 ， 2xxλ3 5设 g(x) ＝f(x)－ x ，则对随意的 a ∈ [ 2，2]， x 1， x 2∈ [1,2] ，不等式 g(x 1) ≤g(x 2)恒成立， 即函数 g(x)在 [1,2] 上为增函数，故 g ′(x)≥0对随意的a ∈32，52 ， x ∈ [1,2] 恒成立．2a ＋ 1 λg ′(x)＝ x － (2a ＋ 2)＋ x ＋x 2≥0， 即 x 3－ (2a ＋ 2)x 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ λ≥0，即 (2x － 2x 2)a ＋ x 3－ 2x 2＋ x ＋ λ≥0对随意的 a ∈ 3， 5恒成立．2 2 因为 x ∈ [1,2] ， 2x －2x 2≤0，253 － 2x 2故只需 (2x － 2x) ×＋ x ＋x ＋ λ≥0，2即 x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ≥0对随意的 x ∈ [1,2] 恒成立．令 h(x) ＝x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ，x ∈ [1,2] ，则 h ′(x)＝ 3x 2－ 14x ＋ 6<0 恒成立，故函数 h(x)在区间 [1,2] 上是减函数，所以 h(x)min＝ h(2)＝λ－ 8，只需λ－ 8≥0即可，即λ≥8，故实数λ的取值范围是[8，＋∞)．A 组专题通关1．函数 f(x)的定义域为R，f(－ 1)＝ 3，对随意 x∈R，f′(x)<3 ，则 f(x)>3x＋ 6 的解集为 __________ ．答案(－∞，－ 1)分析设 g(x)＝ f(x)－ (3x＋ 6)，则g′(x)＝ f′(x)－ 3<0 ，所以g(x)为减函数，又g(－ 1)＝ f(－ 1)－ 3＝ 0，所以依据单一性可知g(x)>0 的解集是{ x|x<－ 1} ．2．设 a>0，b>0 ，e 是自然对数的底数，若e a＋2a＝e b＋3b，则a与b的大小关系为________．答案a>b分析由 e a＋2a＝ e b＋ 3b，有 e a＋ 3a>e b＋ 3b，令函数 f(x)＝ e x＋ 3x，则 f(x)在 (0，＋∞)上单一递加，因为 f( a)> f(b)，所以 a>b.3．若不等式 2xln x≥－ x2＋ax－ 3 恒成立，则实数 a 的取值范围为 __________．答案 (－∞， 4]分析条件可转变为 a≤2lnx＋ x＋3(x>0)恒成立．x设 f(x)＝ 2ln x＋ x＋3 x，则 f′(x)＝(x＋ 3)(x－ 1)(x>0)．x2当 x∈ (0,1) 时， f′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减；当 x∈ (1，＋∞)时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 单一递加，所以 f( x)min＝ f(1)＝ 4.所以 a≤4.4．假如函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ cln x(a，b，c 为常数， a>0)在区间 (0,1) 和 (2，＋∞)上均单一递加，在 (1,2) 上单一递减，则函数 f(x)的零点个数为 ________．答案 1分析由题意可得 f′(x)＝2ax＋ b＋c ，xf′(1)＝ 2a＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 6a，所以 f(x)＝ a(x2－ 6x＋ 4ln x)，则极大值 f(1)＝－则c＝ 0，解得c＝4a，f′(2)＝ 4a＋ b＋25a<0 ，极小值 f(2) ＝a(4ln2－ 8)<0 ，又 f(10)＝ a(40＋4ln 10)>0 ，联合函数图象 (图略 )可得该函数只有一个零点．5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ________ dm.答案3227分析设圆柱的底面半径为 R dm，母线长为l dm，则 V＝πR l ＝27π，所以 l ＝R2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表2227表54π表表＝πR＋ 2πRl＝πR ＋ 2π·，所以S′＝ 2πR－2 .令 S′＝ 0，得 R＝ 3，则当 R＝ 3 时， SR R最小．6．对于 x 的方程 x 3－ 3x2－ a＝0 有三个不一样的实数解，则实数 a 的取值范围是 __________ ．答案(－ 4,0)分析由题意知使函数f( x)＝ x3－ 3x2－ a 的极大值大于0 且极小值小于 0 即可，又 f′(x)＝ 3x2－6x＝ 3x(x－ 2)，令 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 0，x2＝2，当 x<0 时， f′(x)>0；当 0<x<2 时， f′(x)<0 ；当x>2 时， f′(x)>0 ，所以当x＝ 0 时， f(x)获得极大值，即f(x)极大值＝ f(0) ＝－a；当 x＝ 2 时， f(x)获得极小值，即f(x)极小值＝ f(2) ＝－ 4－ a，－a>0，所以解得－ 4<a<0.－4－ a<0，7．假如对定义在 R 上的函数 f(x)，对随意两个不相等的实数x1，x2，都有 x1f(x1)＋x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，则称函数 f(x)为“H 函数”．给出以下函数：① y＝－ x3＋ x＋1；② y＝ 3x－ 2(sin x－ cos x) ；③ y＝ e x＋1；④ f( x)＝ln|x|， x≠0，以上函数是0， x＝ 0.“H 函数”的全部序号为 ________．答案②③分析因为 x1f(x1)＋ x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，即 (x1－x2)[f(x1)－ f(x2)]>0 恒成立，所以函数 f(x)在 R 上是增函数．由 y′＝－ 3x2＋ 1>0 得－33，即函数在区间－3， 33 <x< 333π上是增函数，故①不是“H 函数”；由 y′＝ 3－2(cos x＋ sin x)＝3－ 2 2sin x＋4≥3－22>0 恒x“H 函数”；因为④为偶函数，所以成立，所以②为“H 函数”；由 y′＝ e >0 恒成立，所以③为不行能在 R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③ .1324，直线 l： 9x＋ 2y＋ c＝0，若当 x∈ [ － 2,2] 时，函数 y＝f(x) 8．已知函数 f(x)＝ x － x － 3x＋33的图象恒在直线l 下方，则 c 的取值范围是 ________．答案(－∞，－ 6)分析依据题意知13249c在 x∈ [－ 2,2]上恒成立，则－3x－x－3x＋<－ x－3221323423，设 g(x) ＝ x － x ＋x＋，则 g′(x)＝ x － 2x＋3232则 g′(x)>0 恒成立，所以 g(x)在 [ － 2,2] 上单一递加，所以 g(x)max＝ g(2)＝ 3，则 c<－ 6.9.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某景色区的一段界限为曲线C，为方便旅客参观，制定在曲线C 上某点P 处罚别修筑与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM ， PN，且 PM， PN 的造价分别为 5 万元 /百米， 40 万元 /百米，成立以下图的平面直c 1 32342>3x － x ＋2x＋3，42角坐标系xOy，则曲线 C 切合函数y＝ x＋x2 (1 ≤x≤ 9)模型，设 PM ＝x，修筑两条道路PM ，PN 的总造价为f(x)万元，题中所波及长度单位均为百米．(1)求 f(x)的分析式；(2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价．解 (1)在以下图的平面直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为y＝ x＋422(1 ≤x≤ 9)，PM＝ x，x所以点 P 的坐标为(x， x＋422)，直线 OB 的方程为 x－y＝ 0. x则点 P 到直线 x－y＝ 0 的距离为x－ (x＋4242x 2 )24＝x＝22x2.又 PM 的造价为 5 万元 /百米， PN 的造价为 40万元 /百米，则两条道路总造价为f(x)＝ 5x＋432≤x≤ 9)．40·＝ 5(x＋2)(12x x(2) 因为 f(x)＝ 5(x＋32 2 )，x645(x3－ 64)所以 f′(x)＝ 5(1－x3 )＝x3.令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 4，列表以下：x(1,4)4(4,9)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当 x＝4 时，函数 f(x)有最小值，最小值为32f(4) ＝5×(4＋2 )＝ 30.4B 组 能力提升10．定义在0， π上的函数 f(x) ，f ′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f ′(x)tan x 成立，给出以下2四个关系式，此中正确的选项是________．πππ① 3f 4>2f 3 ； ② f(1)<2f 6 sin 1；π ππ π ③ 2f 6 >f 4 ； ④ 3f 6 <f 3 .答案 ④分析∵ f(x)<f ′(x)tan x ，即 f ′(x)sin x －f(x)cos x>0，∴f(x)′＝f ′(x)sin x － f(x)cos xsin x 2>0，sin xf(x) π∴函数 sin x 在 0，2 上单一递加，π πf 6 f 3 π<fπ .进而 < ，即 3f 6 3π πsin6 sin 311．设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f ′(x)，对随意 x ∈ R ，都有 f(x)＋ f(－ x)＝x 2，且 x ∈(0 ，＋∞)时， f ′(x)>x ，若 f(2－ a)－ f(a) ≥2－ 2a ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (－ ∞， 1]分析1 21 22令 g(x)＝ f(x)－ x ，则 g(－ x)＝ f(－ x)－2x ，则 g(x)＋ g(－ x)＝ f(x) ＋f(－ x)－ x ＝ 0，得2g(x)为 R 上的奇函数．当 x>0 时， g ′(x)＝ f ′(x)－ x>0，故 g(x)在 (0，＋ ∞)上单一递加，再联合2g(0) ＝0 及 g(x)为奇函数， 知 g(x)在 R 上为增函数． 又 g(2－ a)－ g(a)＝ f(2－ a)－(2－a)－ [f(a)22－ a2 ] ＝f(2－ a)－f(a)－ 2＋ 2a ≥ (2－ 2a)－ 2＋2a ＝ 0，则 g(2－ a) ≥g(a)? 2－a ≥a? a ≤1，即 a ∈ (－∞， 1]．12．直线 y ＝ a 分别与直线 y ＝ 2(x ＋ 1)，曲线 y ＝ x ＋ ln x 交于点 A ，B ，则 AB 的最小值为 ______．3 答案2分析解方程 2(x ＋ 1)＝ a ，得 x ＝a2－ 1.设方程 x ＋ ln x ＝a 的根为 t(t>0) ，则 t ＋ ln t ＝ a ，则 AB ＝ t － a ＋ 1 ＝ t － t ＋ ln t ＋ 1 ＝ t － ln t ＋ 1 .2 2 2 2设 g(t)＝ t －ln t＋ 1(t>0) ，2 211 t － 1则 g ′(t)＝ 2－ 2t ＝ 2t (t>0) ，令 g ′(t)＝ 0，得 t ＝ 1.当 t ∈ (0,1)时， g ′(t)<0 ；当 t ∈(1 ，＋ ∞)时， g ′(t)>0 ，所以 g(t) min ＝ g(1) ＝ 3 2，3的最小值为 3所以 AB ≥ ，所以 AB2.21 3 1 2＋ k( k ∈R) ．13．已知函数 f(x)＝x ＋ kx32(1) 若曲线 y ＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线的斜率为 12，求函数 f(x)的极值；(2) 设 k<0， g(x)＝ f ′(x)，求 F(x)＝ g(x 2)在区间 (0，2]上的最小值．1 312 2解 (1)函数 f(x)＝x ＋ kx＋ k 的导数为 f ′(x)＝ x ＋ kx.32由题意可得 f ′(2)＝ 4＋ 2k ＝12，解得 k ＝ 4，即 f(x)＝ 1x 3＋ 2x 2＋ 4， f ′(x)＝ x 2＋4x. 3当 x>0 或 x<－ 4 时， f ′(x)>0 ，f(x)单一递加；当－ 4<x<0 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减．可得 f( x)的极小值为 f(0)＝ 4，44f(x)的极大值为f( －4)＝ 3 .2(2) 由题意得 g(x)＝ x ＋kx.2设 t ＝ x 2∈(0,2] ，可得 F(x)＝h(t)＝ t 2 ＋kt ＝ (t ＋ k )2－ k， k<0，－ k>0.242①当－ 4<k<0 时，－ k ∈ (0,2)， h(t)min ＝ h(－ k)＝－ k 2 ；2 2 4k②当 k ≤－ 4 时，－ ∈ [2，＋ ∞)， h(t)在 (0,2) 上单一递减， h(t)min ＝ h(2) ＝ 4＋ 2k.2－ k，－ 4<k<0，综上可得， h(t)min ＝44＋ 2k ， k ≤－ 4.。
江苏省南京市高三数学二轮复习讲座1 函数与导数二轮复习建议
函数与导数二轮复习建议函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用．下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2008年~2011年四年江苏高考基本题型一：函数性质的研究 例1（2011年江西理改）若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为____________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0log 12(2x ＋1)＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12x ＜0，故－12＜x ＜0，答案为（－12，0）．说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质．例2（2010年江苏）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． 【解析】 由g (x )＝e x＋a e －x为奇函数，得g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义解得．说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法．变式：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______．答案：±1．例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (12)＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________．【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图．由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t ∈(0，a ) ∪(1，aa)．说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查．2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现．例4（2010年江苏卷）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的范围是 ．【解析】画出函数f (x )的图象，根据单调性，得⎩⎨⎧1－x 2＞2x ，1－x 2＞0．，解得 x ∈(－1，2－1)．说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f (1－x 2)＞f (2x )具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用．变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________________________．答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)．例5（2009年江苏）设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以，－a ＞0，即a ＜0．由a 2≥1，得a ≤－1． （2）记f (x )的最小值为g (a )，f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x － a 3)2＋2a 23，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2， x ≤a ， ②（ⅰ）当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时，g (a )＝－2a 2．（ⅱ）当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2．若x ＞a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a＜0，由②知f (x )≥2a 2＞23a 2．此时，g (a )＝23a 2．所以，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，23a 2， a <0．（3）（ⅰ）当a ∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a , ＋∞)； （ⅱ）当a ∈[－22, 22)时，解集为[a ＋3－2a23，＋∞)；（ⅲ）当a ∈(－62，－22)时，解集是(a , a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a23，＋∞)．说明：1．江苏高考中经常考查含有绝对值的函数问题，解决绝对值问题的基本方法是去绝对值，按零点分类去绝对值、平方去绝对值是两种常用方法．2．二次函数在区间上最值的讨论是对二次函数考查的一个热点问题，应熟练解决．将二次函数与分段函数结合起来，要求较高．（2）中之所以用0来区分，是因为①式中应比较a3与a 的大小，②式中要比较－a 与a 的大小．基本策略：1．基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，因此应该对一些基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等）的图象与性质非常熟悉．掌握一些最基本的复合函数理论及图象变换的相关知识，能将比较复杂的函数化归为一些基本初等函数进行性质的研究．2．应熟练掌握函数常见性质的判别和证明的基本方法和步骤．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用（例2），证明函数具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可．要了解函数的奇偶性与单调性的联系．3．对函数性质的考查，主要有两类问题，一类是判断函数是否具有某种性质，一类是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等．对于第二类问题，函数性质常常有两种呈现方式：（1）直接呈现；（2）隐含在具体函数之中（如例4）．有些时候，直接呈现函数性质时，可能有不同的表述形式．下面两个问题中两种不同的表述都是在呈现单调性．题1 定义在R 上函数f (x )，对定义域内任意的x 都有f'(x )＜0成立，则f (－1)与f (－1)的大小关系是___________________．题2 已知f (x )＝ax ＋b ，对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)均满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，则实数a 的取值范围为___________________．有时还可能用类似于“f (x )＋x f'(x )＜0”的条件，给出了函数y ＝x f (x )的单调性．4．研究函数性质时，必需学会从“数”和“形”两个角度加以考虑，特别是“形”，掌握函数图象是学好函数性质的关键．基本题型二：导数的运算及简单应用例6（2009年江苏）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .【解析】y ′＝3x 2－10＝2，得x ＝2，－2，又因为点P 在第二象限内，2x ∴=-．点P 的坐标为（－2，15）．说明：本题考查导数的几何意义，求曲线的切线包括求曲线在某点处的切线和经过某点处的切线，求曲线在某点处的切线问题又包括已知切点，求切线斜率和已知切线斜率，求切点．例7（2009年江苏）函数f (x )＝x 3―15x 2―33x ＋6单调减区间为 ． 【解析】 f′(x )＝3(x －11)(x +1)，由f′(x )＜0可知：函数f (x )的单调减区间为（－1，11）．说明：确定具体函数的单调区间和已知函数单调性求参数取值范围问题是利用导数研究函数单调性的两种典型题型．这类问题的研究中要特别注意以下两个结论：导数在区间上恒大于零是函数在区间上单调递增的充分非必要条件；导数在区间上恒大于等于零是函数在区间上单调递增的必要非充分条件．易错题：若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是____． 错解：（13，＋∞），正解：[13，＋∞）．例8（2011年广东理）函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝ 处取得极小值．【解析】f′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0，2)，∴f (x )在x ＝2处取得极小值．说明：求函数极值是导数应用的重要方面，闭区间上可导函数的最值只在区间端点或极值点处取得．用导数求极值，我们应该注意的结论是：f ′(a )＝0是x ＝a 为f (x )极值点的必要非充分条件．易错题：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＝______． 错解：4或－3，正解：4．求函数极值的重要环节是检验导函数零点两侧导数符号的变化．例9（2011年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x（x ＞0）的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．【解析】设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，∴M (0，(1－x 0)e x 0)，过点P 的l 的垂线的方程为y －e x 0＝－e －x 0(x －x 0)，∴N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，∴t (x 0)＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0)，t ′(x 0)＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以，t (x 0)在(0，1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，∴x 0＝1，t (x 0)max ＝12(e ＋1e )．说明：本题考查了导数的运算与几何意义、利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的最值，综合性较高，运算过程较复杂，属难题．例10（2010年江苏卷）将边长为1m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是 ．【解析】设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝4(3－x )23( 1－x 2)（0＜x ＜1），方法一：S ′(x )＝43×－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′(x )＝0，得x ＝13，当x ∈(0，13)时，S ′(x )＜0，所以函数S (x )递减；当x ∈(13，1)时，S ′(x )＞0，所以函数S (x )递增；故当x＝13时，S 的最小值是3233． 方法二：令3－x ＝t ，由x ∈(0，1)，得t ∈(2，3)，1t ∈(13，12)，则S ＝43·t 2－t 2＋6t －8＝43·4－1t 2＋6t－1．故当1t ＝38，x ＝13时，S 的最小值是3233．说明：1．导数法是求函数求最值（或值域）的一种最重要方法，一定要熟练掌握．2．“f (x )g (x )”型(其中函数f (x )，g (x )一个为1次、一个为2次）的函数求最值问题在高考中的考查频率非常高，其一般方法除了导数法外，还可以利用复合函数求值域的方法（关键是：换元），将之化归为二次函数或耐克函数求解．基本策略：1．导数运算是导数应用的基础，应该熟练掌握，2011年江苏高考12题（例9）之所以让很多同学望而却步，一点重要原因就是导数运算较为复杂，特别涉及了函数y ＝e －x的求导．2．导数应用的几种常见题型为：求曲线的切线、求函数的单调区间、求函数的最值和值域．在二轮复习中应加强对各种题型的总结、梳理．例如：用导数求曲线的切线方程一般解题步骤是：①设切点（已知切点，则直接用）；②由切点求切线的斜率，进而用点斜式写出切线方程；③由相关条件求出参数的值．用导数求单调区间的步骤是：①求定义域；②解不等式f ′(x )＞0（或f ′(x )＜0）．③写出单调区间．用导数求闭区间上函数的最值的一般步骤：①求导数的极值点；②列表，确定函数的单调性；③比较区间端点和极值点处函数的值的大小，从而确定函数最值．要让学生理解例7、例8说明中提到的几个充分必要条件．3．求函数最值（或值域）的基本方法是导数法和复合函数法（化归为基本初等函数），但两种方法的本质都是在用单调性求最值，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用．利用导数研究函数单调性还有一个优势是能描绘出函数图象的大致的变化趋势，在很多问题中，作出函数的草图，往往效果事半功倍．基本题型三：函数知识综合应用例11已知函数f (x )＝a ln x －bx 2图象上一点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝－3x ＋2ln2＋2．（1）求a ，b 的值；（2）若方程f (x )＋m ＝0在[1e ，e]内有两个不相等的实数根，求m 的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．【解析】（1）f′(x )＝a x －2bx ，f′(2)＝a2－4b ，f (2)＝a ln2－4b ，∴a2－4b ＝－3，且a ln2－4b ＝－6＋2ln2＋2．解得a ＝2，b ＝1．（2）f (x )＝2ln x －x 2，f′(x )＝2x －2x ＝2－2x2x．令f′(x )＝0，得x ＝1，或x ＝－1（舍去）．方程f (x )＋m ＝0，即－m ＝f (x )，则f (x )＋m ＝0在[1e ，e]内有两个不相等的实数根的充要条件是曲线y ＝－m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点．∵2－e 2＜－2－1e 2，∴－2－1e 2≤－m ＜－1，∴m 的取值范围是(1，2＋1e2]．说明：解（2）的思路是：①将方程f (x )＋m ＝0变形为－m ＝f (x )，把方程有解问题转化为研究函数图象有交点问题；②再将图象有交点问题化归为函数y ＝f (x )的取值范围问题．用函数方法解决方程问题，是函数应用的一个热点，2011年北京理科卷中就出现了这样一类问题：（2011年北京理13）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．答案： (0，1)． 例12已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a ＞0．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）若在区间[－12，12]上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3；f' (x )＝3x 2－3x ， f' (2)＝6．所以曲线y ＝f (x ) 在点（2，f (2)）处的切线方程y －3＝6(x －2)，即6x －y －9＝0． （2）方法一：f' (x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)，令f' (x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a．以下分两种情况讨论：① 若0＜a ≤2，则1a ≥12，当x 变化时，f' (x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]上，f (x )＞0等价于⎩⎨⎧f (－12)＞0， f (12)＞0，即⎩⎨⎧5－a 8＞0， 5＋a 8＞0．解不等式组得－5＜a ＜5．因此0＜a ≤2．② 若a ＞2，则0＜1a ＜12，当x 变化时，f' (x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]上，f (x )＞0等价于⎩⎨⎧f (－12)＞0， f (1a )＞0，即⎩⎨⎧5－a 8＞0，1－12a2＞0．解不等式组得22＜a ＜5，或a ＜－22．因此2＜a ＜5． 综合①和②，可知a 的取值范围为(0，5)．方法二：f (x )＞0即ax 3－32x 2＋1＞0，即ax 3＞32x 2－1．当0＜x ≤12时，即a ＞32x 2－1x ＝32x －1x ；当－12≤x ＜0时，a ＜32x －1x3．令g (t )＝32t －t 3，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．则g' (t )＝32－3t 2．列表得在区间[－12，12]上，f (x )＞0恒成立，则x ∈[－12，0)时，a ＜32x －1x 3恒成立，由上表得32x －1x 3≥5，∴a ＜5．x ∈(0，12]时， a ＞32x －1x 3恒成立，由上表得32x －1x3≤－5，∴a ＞－5，． 当x ＝0时，即0＞－1，恒成立，a ∈R ．综上，根据已知条件a ＞0，则a 的取值范围为(0，5)．说明：研究不等式f (x )＞0在区间A 上恒成立，求其中参数a 的取值范围问题，一般有两种方法：第一种方法，直接转化为研究带参数的动态函数y ＝f (x )在区间A 上的最小值．由于函数y ＝f (x )带有参数，它在区间A 上的单调性会由于参数a 的不同而变化，因此需要分类讨论．由于函数y ＝f (x )的单调性和其导函数在区间A 上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y ＝f' (x ) 在区间A 上的零点个数进行分类讨论．问题（2）中的方法一就是遵循这一思路．第二种方法，是将不等式f (x )＞0作变形，将参数a 和变量x 进行分离，将不等式转化为h (a )＞g (x )(或h (a )＜g (x ))，利用极值原理，将问题转化为研究函数y ＝g (x )在区间A 上的最大值（或最小值）的问题．问题（2）中的方法二就是这一思路．由于y ＝g (x )不含参数，其在区间A 上的单调性是确定的，就不需要分类讨论．但要注意的是，有时候由于函数y ＝g (x )形式比较复杂，研究起来也不一定方便．用函数方法研究本等式问题是函数应用的另一个重要方面．由不等式恒成立，求参数取值范围问题成为各地考试函数压轴题的一个主要命题点．江苏2008年第14题和本题非常类似．（2008年江苏）f (x )＝ax 3―3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f (x )≥0成立，则a ＝ ． 答案：4．例13（2010年江苏）设f (x )是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1，＋∞)都有h (x )＞0，使得f′(x )=h (x )(x 2―ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P (a )．（1）设函数f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1(x ＞1)，其中b 为实数． (i)求证：函数f (x )具有性质P (b )； (ii)求函数f (x )的单调区间．（2）已知函数g (x )具有性质P (2)．给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围．【解析】（1）(i) f ′(x )＝1x －b ＋2（x ＋1）2＝x 2－bx ＋1x （x ＋1）2，∵x ＞1时，h (x )＝1x （x ＋1）2＞0恒成立，∴函数f (x )具有性质P (b )；(ii)当b ≤2时，由于x ＞1，令φ(x )＝x 2－bx ＋1≥x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以f′(x )＞0，故此时f (x )在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，φ(x )图像开口向上，对称轴x ＝b2＞1，方程φ(x )＝0的两根分别为x 1＝b －b 2－42，x 2＝b ＋b 2－42，其中b ＋b 2－42＞1，0＜b －b 2－42＜1， 所以当x ∈（1，b ＋b 2－42）时，φ′(x ) ＜0，f′(x )＜0，所以，此时f (x )在区间(1，b ＋b 2－42)上递减；同理，得f （x ）在区间(b ＋b 2－42，＋∞)上递增．综上所述，当b ≤2时， f (x )在区间(1，＋∞)上递增； 当b ＞2时， f (x )在(1，b ＋b 2－42)上递减； f (x )在(b ＋b 2－42，＋∞)上递增．（2）由题设知，g (x )的导函数g ′(x )＝h (x )(x 2－2x ＋1)，其中函数h (x )＞0对于任意的x ∈(1，＋∞)都成立．所以，当x ＞1时，g ′(x )= h (x )(x －1)2＞0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．①当m ∈(0，1)时，有α＝mx 1＋(1－m )x 2＞ mx 1＋(1－m )x 1＝x 1，α＝mx 1＋(1－m )x 2＜mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，得α∈(x 1，x 2)，同理可得β∈(x 1，x 2)，所以由g (x )的单调性知g (α)，g (β)∈(g (x 1)，g (x 2))，从而有|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，符合题设．②当m ≤0时，α＝mx 1＋(1－m )x 2＞ m x 2＋(1－m )x 2＝x 2，β＝(1－m ) x 1＋mx 2≤(1－m )x 1＋mx 1＝x 1，于是由α＞1，β＞1及g (x )的单调性知g (β)≤g (x 1)＜g (x 2)≤g (α)，|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符,舍去．③当m ≥1时，同理可得α＜x 1，β＞x 2，得|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符，舍去．综合①、②、③得， m 的取值范围是(0，1)．说明：（1）(ii) 求函数f (x )的单调区间不是不等式恒成立问题，而是在区间(1，＋∞)研究不等式x 2－bx ＋1＞0的解集，但问题最后依然是化归为讨论二次函数y ＝x 2－bx ＋1在区间的零点个数问题，其中b ＞2时就x 1，x 2范围的判别是难点（可用韦达定理辅助研究）．不在定义域范围内考虑单调区间是这类问题最常见的错误．（2）的综合性很强，问题的实质是利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为讨论自变量的大小．例14（2011年江苏）已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx, f′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a ＞0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (2)设a ＜0且a ≠b ，若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【解答】 f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋b .（1）由题意知f ′(x )g ′(x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a ＞0，故3x 2＋a ＞0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞)．（2）方法一：①当b ＜a ＜0时，因为函数f (x )和g (x )在(b ，a )上单调性一致，所以，任意x ∈(b ，a )，f′(x )g ′(x )≥0恒成立，即任意x ∈(b ，a )，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0恒成立．因为任意x ∈(b ，a )，2x ＋b ＜2a ＋b ＜0，所以任意x ∈(b ，a )，a ≤－3x 2恒成立，所以b ＜a ≤－3b 2．设z ＝a －b ，考虑点(b ，a )的可行域，函数y ＝－3x 2的斜率为1的切线的切点设为(x 0，y 0)．则－6x 0＝1，x 0＝－16，y 0＝－112，z max ＝－112－(－16)＝112，所以|a －b |max ＝112．②当a ＜b ＜0时，因为函数f (x )和g (x )在(a ，b )上单调性一致，所以，任意x ∈(a ，b )，f′(x )g ′(x )≥0恒成立，即意x ∈(a ，b )，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0恒成立．因为任意x ∈(a ，b )，2x ＋b ＜3b ＜0，所以任意x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，所以a ≤－3a 2，∴－13≤a ≤0，(b －a ) max ＜13，所以|a －b |max ＜13．③当a ＜0＜b 时，因为f (x )和g (x )在(a ，b )上单调性一致，所以，任意x ∈(a ，b )，f′(x )g ′(x )≥0恒成立，即意x ∈(a ，b )，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0恒成立．因为(3×02＋a )(2×0＋b )＝ab ＜0，不符合题意，舍去．④当a ＜0＝b 时，由题意，任意x ∈(a ，0)，3x 2＋a ≤0，3a 2＋a ≤0，所以－13≤a ≤0，|a －b |max ＝b －a ＝13．综上可知，|a －b |max ＝13．方法二：令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a3. 若b ＞0，由a ＜0得0∈(a ，b )．又因为f ′(0)g ′(0)＝ab ＜0，所以函数f (x )和g (x )在(a ，b )上不是单调性一致的．因此b ≤0.现设b ≤0.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0；当x ∈(－∞，－－a3)时，f ′(x )＞0，因此当x ∈(－∞，－－a3)时，f ′(x )g ′(x )＜0. 故由题设得a ≥－－a3，且b ≥－－a 3，从而－13≤a ＜0，于是－13≤b ≤0，因此|a －b |≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x (x2－19)，从而当x ∈(－13，0)时f ′(x )g ′(x )＞0，故函数f (x )和g (x )在(－13，0)上单调性一致．因此|a －b |的最大值为13.说明：（2）的方法一，是常规的分类讨论，想法比较容易，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0恒成立的讨论比较困难，该过程没有直接利用例12的两种方法，因为含有两个参数，而且区间含有参数，直接讨论有困难，方法一中通过限制参数的范围，将含两参数的三次不等式恒成立问题转化为单参数的二次不等式恒成立问题，对不能转化的范围，利用特殊值的方法进行否定．（2）的方法二则是先依据特殊与一般的关系，缩小参量的取值范围，简化不必要的讨论，先得到|a －b |≤13，再说明可以取得13，从而说明|a －b |的最大值为13．两种方法难度都比较大，但其处理问题的方法，值得我们好好反思．基本策略：1．利用函数方法研究方程与不等式问题是函数综合应用的重要方面，应引起足够重视；2．方程恒有解问题，往往可以转化为两条曲线（其中一条曲线可能为垂直于坐标轴的直线）的交点问题．利用导数研究函数单调性，进而绘制函数图象，对问题的解决大大有益． 3．不等式恒成立问题，往往转化为函数的最值问题，研究的函数可能是含参数的动态函数，也可以是作参变量分离后的定函数．含参数的动态函数的最值需要对其单调性进行分类讨论．在很多问题中，这种讨论最终总是转化为二次函数在区间上零点个数的讨论． 在用函数方法处理不等式问题时，还应该注意两种问题的区别，问题一：对任意x ∈A ，a ≤f (x )恒成立；问题二：存在x ∈A ，a ≤f (x )成立．4．和不等式恒成立，不等式能成立，方程恒有解问题一样，近年来高考出现的一些新定义的问题，也出现过一些新的说法，它们都不直接表述为对函数的研究，但最终都是转化为对函数性质的研究，2010年和2011年高考都是如此．再如：题1 已知两个函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 3＋5x 2＋4x ，（1）对任意的x∈[－3，3]都有f(x)≤g(x)，则实数k的取值范围是_________．（2）对任意的x1，x2∈[－3，3]都有f(x1)≤g(x2)，则实数k的取值范围是_________．答案：（1）[45，＋∞)；（2）[141，＋∞)；题2（2011年湖南文改）已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为_________．答案：（2－2，2＋2）．5．对于含参数的函数问题，在解题过程中要能够准确地进行分类讨论．江苏高考函数解答题中经常出现多个变量的问题，这一点应该引起我们足够的重视．分类讨论时，如果能注意应用一些特殊值或必要条件，缩小参量的取值范围，往往能让问题得以简化．本单元二轮专题和课时建议：。
(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题四 立体几何课件 理
因为 BC⊂ 平面 SBC ，所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC ， AF∩AB ＝ A ，
AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
1.求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.
(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥， 有时可采用等体积转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形， 圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. (4)注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的 一部分，不包括底面积，而表面积包括底面积和侧面积.
考点整合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六
面体、长方体之间的关系.
2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； 1 ②S 锥侧＝ ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； 2 1 ③S 台侧＝2(c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高)； ④S 球表＝4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； 1 ②V 锥体＝ Sh(S 为底面面积，h 为高)； 3 1 ③V 台＝3(S＋ SS′＋S′)h(不要求记忆)； 4 ④V 球＝3πR3.
3.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3) 面 面 平 行 的 判 定 定 理 ： a⊂ β ， b⊂ β ， a ∩ b ＝ P ， a∥α ，
b∥α⇒α∥β.
高考数学二轮复习 专题一第4讲导数及其应用课件 理 苏教版
2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)＝c f(x)＝xn(n∈N*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0 且
a≠1) f(x)＝ex
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f′(x)＝axln a
f′(x)＝ex
f(x)＝logax (a>0 且 a≠1)
f′(x)＝xln1 a
f(x)＝ln x
f′(x)＝1x
(2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ③[uv((xx))]′＝u′(x)v([xv)－(x)u]2(x)v′(x)(v(x)≠0)．
热点分类突破
题型一 导数几何意义的应用 例 1 已知曲线 y＝1x.
(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点 Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程． 思维启迪 利用导数的几何意义确定曲线在某点处的
切线斜率，进而使问题获解．
解 (1)∵y′＝－x12. 又 P(1,1)是曲线上的点， ∴P 是切点，所求切线的斜率为 k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在 P 点处的切线方程为 y－1＝－(x－1)． 即 y＝－x＋2. (2)显然 Q(1,0)不在曲线 y＝1x上，则可设过该点的切线 的切点为 A(a，a1)，则该切线斜率为 k1＝f′(a)＝－a12. 则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1,0)代入方程①得 0－1a＝－a12(1－a)， 解得 a＝12，故所求切线方程为 y＝－4x＋4.
2016届高考数学(江苏专用)二轮复习 专题四 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质 (理科)
第1讲函数的图象与性质【自主学习】第1讲函数的图象与性质(本讲对应学生用书第31～34页）自主学习回归教材1。
(必修1 P28例6改编）画出函数f(x）=x2+1的图象,若0<x1〈x2，则f（x1）f（x2）。
【答案】〈【解析】作出函数图象，不难得出结论.2。
（必修1 P25复习题3改编)已知函数f（x)=(x—1)2+1，x∈｛-1,0,1，2，3｝，则函数的值域为.【答案】{1,2，5｝【解析】分别代入，即可求得.3。
（必修1 P40练习2改编）已知函数f(x）=｜x+1|,则函数f(x）的单调增区间为.【答案】［—1,+∞）4。
（必修1 P45思考11改编)已知函数y=f(x）是R上的奇函数，且当x〉0时,f(x）=1，则函数y=f(x)的解析式为.【答案】f（x)=10 00 -10>⎧⎪=⎨⎪<⎩xxx，，，，，【解析】由于y=f（x)是R上的奇函数，所以f（0）=0.当x<0时，-x>0，所以f(-x）=1=—f（x),即f(x)=—1，所以f（x）=10 00 -10.>⎧⎪=⎨⎪<⎩xxx，，，，，5. （必修1 P53拓展15改编)若函数f（x）满足f(x+y)=f（x)+f(y)，则函数f（x ）是函数.【答案】奇【解析】令x=y=0,得f(0）=0，再令y=-x，得f(—x)=—f（x），即函数f(x）是奇函数。
【要点导学】要点导学各个击破函数的单调性与奇偶性例1 (2014·南通一模)已知a为实常数，y=f(x）是定义在(—∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x<0时，f（x)=2x-32ax+1。
（1) 求函数f(x)的单调区间;（2) 若f(x)≥a-1对一切x〉0恒成立，求实数a的取值范围.【分析】(1） 由奇函数的性质研究函数的单调区间，只需研究在区间(—∞，0）上的单调性即可，然后根据对称性即可得；(2） 先求出在x >0时f (x )的表达式，然后就a 进行讨论求解。
(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题一 第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题课件 理
导数与函数的单调性、极值、 最值问题
高考定位
高考对本内容的考查主要有： (1) 导数的运算是
导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法
则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置
试题，是解决导数应用的第一步； (2) 利用导数研究函数的 单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数 研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.
热点二 导数与函数的极值、最值
[微题型1] 求含参函数的极值(或最值)
【例2－1】 (2015· 南京、盐城模拟)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R). (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.
解 f′(x)＝3x2－2kx＋1. (1)当 k＝1 时，f′(x)＝3x2－2x＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， 所以 f′(x)＞0 恒成立，故 f(x)在 R 上单调递增. 故函数 f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间. (2)当 k＜0 时，对∀x∈[k，－k]，都有 f(x)－f(k)＝x3－kx2＋x－k3＋k3－k＝(x2＋1)(x－k)≥0， 故 f(x)≥f(k)； f(x)－f(－k)＝x3－kx2＋x＋k3＋k3＋k＝(x＋k)(x2－2kx＋2k2＋1)＝(x ＋k)[(x－k)2＋k2＋1]≤0， 故 f(x)≤f(－k).而 f(k)＝k＜0，f(－k)＝－2k3－k＞0， 所以 f(x)max＝f(－k)＝－2k3－k，f(x)min＝f(k)＝k.
解
（6x＋a）ex－（3x2＋ax）ex (1) 对 f(x) 求 导 得 f′(x) ＝ ＝ x 2 （e ）
－3x2＋（6－a）x＋a ， ex 因为 f(x)在 x＝0 处取得极值，所以 f′(0)＝0，即 a＝0. －3x2＋6x 3x2 3 3 当 a＝0 时，f(x)＝ x ，f′(x)＝ ，故 f(1)＝ ，f′(1)＝ ，从 e ex e e 3 3 而 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－e ＝e (x－1)，化简得 3x－ey ＝0. －3x2＋（6－a）x＋a (2)由(1)知 f′(x)＝ . ex 令 g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由 g(x)＝0，