高三数学数系的扩充与复数的引入PPT优秀课件
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人教高中数学选修1-2：3.1数系的扩充与复数的概念 课件（34张ppt）
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
自然数 集
实数
? 虚数
整数 集
有理数 集
复
数 集
自然数
整数
有理数
负整数
分数 无理数
实数 集
正整数
零
复数的分类：
复数z=a+bi (a,bR)
条件
数的类型
b=0
实数
a=b=0
实数0
b≠0
虚数
a=0且b≠0
纯虚数
复数 z=a+bi (a,bR)
实数 (b=0)
等或不相等两关系，而不能比较大小
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
例2:已知 (x y)(x2y) i (2x5)(3x y) i
求实数 x与 y
解: 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组
x y 2x5 x 2y 3x y
解得:
x
y
3 2
转化
求方程组的解的问题
1、若x，y为实数，且
【问题1】在自然数集中方程 x 4 0 有解吗? 【问题2】在整数集中方程 x 4 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
【问题3】在整数集中方程 3x 2 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
有理数
整分 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
2．复数的概念
(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,
通常用字母 z 表示.
高中数学数系的扩充与复数的引入PPT课件
考 情
O→Z＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自
3．复数的运算
高 考
主 落 实
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
体 验 ·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
b i
为纯虚数的必要不充分条
件．”
典 例 探
(2)∵z＝－12＋i＝－1－i，
课 后
究
· 提
∴|z|＝ （－1）2＋（－1）2＝ 2，
作 业
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
新课标 ·文科数学（安徽专用）
第五节 数系的扩充与复数的引入
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
落
1．复数的有关概念
体 验
实
·
· 固
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中
明 考
基
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(共52张PPT)
A.充分不必要条件 C.充要条件
√B.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
解析 因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定 成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R. 而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立. 所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.
(1)虚数；
解 当mm＋2－32≠m0－，15≠0，即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)纯虚数；
解 当m2m－＋m3－6＝0， 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. m2－2m－15≠0，
(3)实数. 解 当mm＋2－32≠m0－，15＝0， 即 m＝5 时，z 是实数.
延伸探究 本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
12345
4.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝__1__，y＝___1__. 解析 ∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝ ＝11， ， 或xy＝＝－－11，(舍).
12345
5.已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}， 则实数a＝_－__1___. 解析 由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3， ∴aa22－ －53aa－ －61＝ ＝03， ， 解得 a＝－1.
4.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 020i＝2－bi，则a2＋bi等于
A.2 020＋2i
B.2 020＋4i
C.2＋2 020i
√D.4－2 020i
解析 因为a＋2 020i＝2－bi， 所以a＝2，－b＝2 020， 即a＝2，b＝－2 020， 所以a2＋bi＝4－2 020i.
数系的扩充与复数的引入课件ppt
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
【变式训练】 2.计算：
(1)－1＋ii32＋i；
1＋2i2＋31－i
(2)
2＋i
.
解析： (1)－1＋ii32＋i＝－－3＋i i＝－1－3i.
(2)1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i
＝15＋25i.
栏目导引
【变式训练】 3.若复数 z1 与 z2 在复平面上所对应的点关于 y 轴对 称，且 z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝ 2，求 z1.
解析： 设 z1＝a＋bi，则 z2＝－a＋bi(a，b∈R)， ∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝ 2，
a＋bi3－i＝－a＋bi1＋3i， ∴a2＋b2＝2，
则表示复数1＋z i的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析： 由图知复数 z＝3＋i， ∴1＋z i＝31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. ∴表示复数1＋z i的点为 H. 答案： D
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
1．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵z＝i(1＋2i)＝－2＋i，∴复数z在复平面内对应的点为
Z(－2,1)，该点位于第二象限．
答案： B
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
方法二：∵z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i
高中数学数系的扩充与,复数的概念(公开课)(共12张ppt)
数系的扩充与 复数的概念
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
4-4第四节 数系的扩充与复数的引入(45张PPT)
A．b＝2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1
解析 由于 1＋ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2＋bx＋c＝0 的一 个根， 则(1＋ 2i)2＋b(1＋ 2i)＋c＝0， 整理得(b＋c－1)＋(2 2＋ 2
【答案】 (1)D (2)A
【规律方法】
解决此类问题，一方面要了解复数的几何意
义(如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复 数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式 的四则运算．
变式思考 2 (1)(2013· 四川卷)如右图，在复平面内，点 A 表 示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
答案 1
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 【例 1】 为( ) A．2 1 C．－2 B．－2 1 D.2
复数的概念
1＋ai 设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 2－i
听课记录
1＋ai 1＋ai2＋i 2－a 2a＋1 ＝ ＝ ＋ i，由纯虚数 5 5 2－i 2－i2＋i
A．A C．C
B．B D．D
(2)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B， 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( A．4＋8i C．2＋4i B．8＋2i D．4＋i )
解析
(1)z＝a＋bi，则 z ＝a－bi，故选 B.
(2)复数 6＋5i 对应的点为 A(6,5)，复数－2＋3i 对应的点为 B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段 AB 的中点 C(2,4)，故点 C 对 应的复数为 2＋4i.
数单位)的共轭复数对应的点位于( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
(2)复数 z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，那么实数 a 的取 值范围是( ) B．a>1 D．a<－1 或 a>1
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z 2 3 4 i ( 3 4 i) ( 3 4 i)
2 5
又
z z
1为实数，∴6+4m=0,∴m=-32
2
.
变式2-1 (2011·广东东莞五校联考)复数 5 的共轭复数为 .
1 2i
解析:∵ 55 (1 2 i) 5 (1 2 i) 1 2 i
1 2 i (1 2 i)(1 2 i) 5
∴ 1 5的2 i 共轭复数为1+2i.
A.
1 2
B. 1
C.
D. 2
3 2
4.解析：设a是实数， a 1 i a ( 1 i ) 1 i ( a 1 ) ( 1 a ) i 是实数，则a＝1. 1 i 2 2 2 2
5. （2010·天津）i是虚数单位，复数
3 1
= ii
() A
A. 1+2i
B. 2+4i C. -1-2i D. 2-i
对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当时， b=它0是实数； 当 b≠0时，叫做虚数；当 a=时0，且叫b≠做0纯虚数.
（3）复数的相等
如果a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di a=c且b=d;
a+bi=0
a=0且b=. 0
2. 复平面的概念
建立 直角坐来标表系示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 ,y
复数的加法满足交换律、 结，合即律对任何z1、z2、z3∈C,有
z1+z2= z2+,(z1+z2)+z3=
z1+. (z2+z3)
（3）复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量OZ1,OZ2不共线，则复数z1+z2是以 OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数. ②复数减法的几何意义 复数z1-z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量 Z2Z1所对应的复数. 6. 复数的乘法与除法 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). （1）复数的乘法运算法则 z交1z换2=律(az+1·zb2i=)(cz+2·zd1i;)=(ac-bd)+(b;c+ad)i 结合律(z1·z2)·z3= z1z2+z;1z3 分配律z1(z2+z3)=z1·(z2·z3) . （2）复数的除法运算法则
(5)由 (mm (2m)(m3,解)3)得000＜m＜3,
∴当m∈(0,3)时,z对应的点在第三象限.
变式1-1 (2010·山东改编)已知 a2i （bai ,b∈R），其中i为虚数单位， 若复数z=a+bi,则z对应的i 点所在的象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
轴叫实做轴 .实轴上的虚点轴都表示 ;除 外，虚轴实上数的点都原点
表示 ; 各象限内的点纯都虚表数示
虚数
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对的应，复
数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合
也是 一一的对.应
3. 复数的模
设复数a+bi在复平面内对应的点是Z(a，b)到原点的距离 |OZ|叫做复数z的模或绝对值，记作|z|，则|a+bi|= a2.b2
4. 共轭复数概念 当两个复数的实部 相，等虚部 互为时相，反这数两个复数叫做
互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即z=a+bi,则
z=
(a,b∈aR-b).i
5. 复数的加法与减法
（1）复数的加减法运算法则
（a+bi）±(c+di)= (a±c)+(b(±ad,b)i,c,d∈R).
（2）复数加法的运算定律
第四节 数系的扩充与复数的引入
基础梳理
1. 复数的有关概念
(1)虚数单位
i作为虚数单位，i2= -1，实数与它进行四则运算时，原有
的加法、乘法运算律仍然成立．
i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，
i4n=1(n∈N+)．
（2）形如 a+b的i 数叫做复数，其中 和a 都是b 实数， 叫做a复 数z的实部， 叫做复b 数z的虚部.
(a+bi)÷(c+di)= acc2 dbd2 b(ccc2+ addd2ii≠0).
基础达标
1. （教材改编题）在复平面内，复数 1 对i 应的点位于( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限i D. 第四象限 2. 设复数z=3i+2,则1-z=( A) A. -1+3i B. -1-3i C. 3+3i D. 3-3i 1.解析：1ii(1i),1 故i 选D.
1 2
解 (1)由题意得z=
= z1 z 2 510i34i
z1 z 2 510i34i
= = = 55 10i 8 6i
5510i86i 86i86i
500250i 100
=5- i.5
2
（2）∵ z 1 m 2 i ( m 2 i) ( 3 4 i) ( 3 m 8 ) ( 6 4 m ) i
解析：由 a2i 得b-iai+2=b+i,所以由复数相等
i
得:a=-1,b=2,所以z=a+bi=-1+2i, z=-1-2i,故选C.
题型二 复数的运算
【求例z；12】1(11)(2011×温州模拟)已知z1=5+10i，z2=3-4i，
，
z z1 z 2zFra bibliotek（2）(2011·南通模拟)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若z 为实数，求实数m的值.
i 1
2.解析：由z＝3i＋2，得 ＝z －3i＋2， 则1－ ＝z1－(－3i＋2)＝－1＋3i.
3. (教材改编题)1+i+i2+i3=( D) A. I B. –I C. 1 D. 0
3.解析：原式＝1＋i－1－i＝0.
4.（2011·深圳模拟）设a是实数，且
1
a
i
1是2 i实数，则
a=( ) B
解析： 1 3 ii((1 3 ii))((1 1 ，ii)) 故1 选2iA.
经典例题
题型一 复数的有关概念 【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m 为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚 数?(4)零?(5)对应点在第三象限? 解：∵z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i, ∴(1)当m=-2或m=3时,z为实数; (2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数; (3)当m=0时,z为纯虚数; (4)当m=3时,z=0;