2021版新高考数学一轮复习11.1基本计数原理课件人教B版.ppt
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高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.1计数原理
高考一轮复习热点难点精讲精析：11.1计数原理一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理※相关链接※1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
※例题解析※〖例〗在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？思路解析：采用列举法分类，先确定一个加法，再利用“和大于20”确定另一个加数。
解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20，1种取法。
当一个加数是2时，另一个加数可以是19，20，2种取法。
当一个加数是3时，另一个加数可以是18，19，20，3种取法。
……当一个加数是10时，另一个加数可以是11，12，……，20，10种取法。
当一个加数是11时，另一个加数可以是12，13，……，20，9种取法。
……当一个加数是19时，另一个加数是20，1种取法。
由分类加法计数原理可得共有1+2+3+……+10+9+8+……=100各取法。
（二）分步乘法计数原理的应用※相关链接※1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取※例题解析※〖例〗某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。
某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
新教材人教b版选择性必修第二册311第一课时基本计数原理课件
()
2．现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果选 1 条长裤与 1 件上衣配
成一套，那么不同的配法种数为
()
A．7
B．12
C．64
D．81
解析：要完成配套需分两步：
第一步，选上衣，有 4 种不同选法；
第二步，选长裤，有 3 种不同选法．
依据分步乘法计数原理，不同的配法共有 4×3＝12(种)． 答案：B
(2)“步中有类”计数问题 用流程图描述计数问题，“步中有类”的情形如图所示．
由 A 到 D 视为完成一件事，完成这件事的方法数为 m1(m2＋m3＋m4)m5. “类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“＋”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标 志一件事的完成，“步”则缺一不可．
为 5 时，58，59满足；当分子为 7 时，78，79满足，共有 11 个．
答案：D
4．有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位 教师不能在本班监考，则不同的监考方法有________种． 解析：设四位监考教师分别为 A，B，C，D，所教班分别为 a，b，c，d，假设 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c， d 时，也分别有 3 种不同方法，由分类加法计数原理，共有 3＋3＋3＝9(种)不同 的监考方法． 答案：9
() (2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能
完成这件事．
()
(3)已知 x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则 x·y 可表示不同的值的个数为 9
个．
()
(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠
2021版新高考数学一轮复习第十一章11.1基本计数原理课件新人教B版
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.
3.渐升数由小到大排列,形如
的渐升数共有6+5+4+3+2+1
=21(个).
形如
的渐升数共有5个.
形如
的渐升数共有4个.
故此时共有21+5+4=30(个).
因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359. 答案:1 359
【规律方法】应用分类加法计数原理的四个步骤 (1)完成的一件事是什么. (2)确定分类时,n类办法的每一种方法都可以独立完成这件事. (3)确定恰当的分类标准,对完成这件事的办法分类时要“不重不漏”,即每一 种的方法必属于某一类,不同类中的方法都是不相同的. (4)把所有类中的方法数相加,即得完成这件事的方法数.
【解后反思】 如何求与数字有关的计数问题? 提示:(1)先确定是分类还是分步,分类时确定好统一标准,不重复,也不遗漏,分 步时,确定好步骤. (2)先根据题意确定特殊数位的数字(如首位不能为0,奇数的个位为奇数等),再确 定其他位置上的数字.
【命题角度2】 染色问题 【典例】如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上 的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数. 世纪金榜导学 号
当十位数字为2时,个位数字是3,4,5,6,7,8,9,有7种, 当十位数字为1时,个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9,有8种, 所以共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(种).
方法二:所有的两位数从10,到99共90个,按照个位数字与十位数字的大小分为三 类: (1)个位数字等于十位数字,这样的两位数有9个, (2)个位数字大于十位数字,设这样的两位数为x个, (3)个位数字小于十位数字,其中个位数字为0的两位数有9个,个位数字不是0的两 位数有x个, 所以列得方程9+x+9+x=90,解得x=36.
最新-2021版高考数学理一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 111 精品
(2)5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数 有多少？
【解析】 每个冠军只能有一个获得，而每人可获得多个冠 军，所以“冠军”相当于“客”，“学生”相当于店，3人住5间 店，共有53种可能的情况．
【答案】 125种
(3)三封信投入到4个不同的信箱中，共有多少种不同的投 法．
【解析】 方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完 成，故分三步：
④若位置二与三相同，则信息为1 111； ⑤若位置二与四相同，则信息为1 100； ⑥若位置三与四相同，则信息为1 010.共6个． 故与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个 数为1＋4＋6＝11.
方法二：若0个相同，共有1个； 若1个相同，共有C41＝4(个)； 若2个相同，共有C42＝6(个)． 故共有1＋4＋6＝11(个)． 【答案】 11个
答案 B 解析 由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层 到四层有2种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为23＝8.
2．已知{1，2}⊆X⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的
集合 X 共有( )
A．2 个
B．6 个
C．4 个
D．8 个
答案 D
解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5
6．(2017·衡水中学调研卷)为了应对美欧等国的经济制裁， 俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求 甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为 ________．
答案 182 解析 甲、乙中裁一人的方案有C21C83种，甲、乙都不裁的方 案有C84种，故不同的裁员方案共有C21C83＋C84＝182种．
课前自助餐
分类计数原理的推广 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的 方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
高中数学第1章计数原理1.1基本计数原理一新人教B版选修2
第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法. 故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不 同的方法.
规律方法 应用分类加法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件 事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事. (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而 不需要再用到其他的方法.即各类方法之间是互斥的，并列 的，独立的.
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？ 解 确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成： 第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法； 第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法. 由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数 为3×2＝6.
规律方法 应用分步乘法计数原理应注意如下问题： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题 目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过 几步才能完成这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了， 才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成.即各 步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行 .
结果.
解 树形图如图1，试验一共有以下9种
等可能的结果：
红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、
图1
蓝红、蓝黄和蓝蓝.
(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一个
球，看一下颜色.请画出树形图，并写出所有可能的结果.
解 如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因
此第二次摸时只有从黄、蓝两个球中摸一个.
同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都
只有两种可能.
所以，树形图如图2，试验一共有以下6种等可能的结
[预习导引] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版
【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；
2021高考人教B版数学一轮复习课件：第11章第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解析
(3)现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，
每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班
表共有________种不同的排法．
答案 1280 解析 完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数
原理，分步进行：
第一天有 5 种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有 4
A．40
B．16
C．13
D．10
解析 分两类情况讨论：
第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第
2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．根据分类
加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13 个不同的平面．
解析 答案
5．高三某班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那 么全班共写了________条祝福语．(用数字作答)
解析 答案
考向二 分步乘法计数原理
例 2 (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与 小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年 公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
答案
解析 分两步，第一步，从 E→F，有 6 条可以选择的最短路径；第二 步，从 F→G，有 3 条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3 ＝18 条可以选择的最短路径．故选 B.
() A．56
B．54
C．53
D．52
解析 在 8 个数字中任取 2 个不同的数字共可产生 8×7＝56 个对数值，
在这 56 个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94， 则满足条件的对数值共有 56－4＝52 个．
(3)现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，
每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班
表共有________种不同的排法．
答案 1280 解析 完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数
原理，分步进行：
第一天有 5 种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有 4
A．40
B．16
C．13
D．10
解析 分两类情况讨论：
第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第
2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．根据分类
加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13 个不同的平面．
解析 答案
5．高三某班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那 么全班共写了________条祝福语．(用数字作答)
解析 答案
考向二 分步乘法计数原理
例 2 (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与 小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年 公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
答案
解析 分两步，第一步，从 E→F，有 6 条可以选择的最短路径；第二 步，从 F→G，有 3 条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3 ＝18 条可以选择的最短路径．故选 B.
() A．56
B．54
C．53
D．52
解析 在 8 个数字中任取 2 个不同的数字共可产生 8×7＝56 个对数值，
在这 56 个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94， 则满足条件的对数值共有 56－4＝52 个．
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D.5种
【解析】选D.从5类元素中任选2类元素, 它们相生的选取有:火土,土金,金水,水 木,木火,共5种.
,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取
法的种数有 ( )
A.30
B.20
C.10
D.6
2.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4
位数有______个 ( )
A.36
B.90
C.72
D.45
【解析】选A.方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中选取, 所以按照十位数字分类,要使得个位数字大于十位数字,所以分为8类, 当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种, 当十位数字为7时,个位数字是8,9,有2种, 当十位数字为6时,个位数字是7,8,9,有3种, 当十位数字为5时,个位数字是6,7,8,9,有4种, 当十位数字为4时,个位数字是5,6,7,8,9,有5种, 当十位数字为3时,个位数字是4,5,6,7,8,9,有6种,
当十位数字为2时,个位数字是3,4,5,6,7,8,9,有7种, 当十位数字为1时,个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9,有8种, 所以共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(种).
方法二:所有的两位数从10,到99共90个,按照个位数字与十位数字的大小分为三 类: (1)个位数字等于十位数字,这样的两位数有9个, (2)个位数字大于十位数字,设这样的两位数为x个, (3)个位数字小于十位数字,其中个位数字为0的两位数有9个,个位数字不是0的两 位数有x个, 所以列得方程9+x+9+x=90,解得x=36.
序号 1 2 3 4
5
6
易错警示 分类时重复计数 分类时遗漏计数 分步时步骤不全 分步时计算出错 两个计数原理分类 与分步混淆 两个计数原理计算失误
典题索引 考点一、T2，3 考点一、T1 考点二、T1 考点二、T2，3
考点三、角度1
考点三、角度2，3
【教材·基础自测】
1.(选修2-3P8习题1-1BT3改编)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两
3.(选修2-3P7习题1-1AT1改编)五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文 明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如 图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中 任选2类元素,则2类元素相生的选取方案共有( )
A.10种 B.15种 C.4种
提示：(1)×.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，如果方 法相同，则是同一类. (2)√.根据分步乘法计数原理的概念可知此结论正确. (3)×.在分步乘法计数原理中，任何一步都不能单独完成这件事. (4)×.分类加法计数原理和分步乘法计数原理可能单独使用，也可能交叉使用.
【易错点索引】
2.(选修2-3P7习题1-1BT1改编)设集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8},a∈A,b∈B,
则直线ax+by=2 021有______条. ( )
A.4
B.5
C.20
D.9
【解析】选C.分两个步骤:第一步确定a,有5种方法,第二步确定b,有4种方法,所 以由分步乘法计数原理得直线有5×4=20(条).
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步 乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了 才算完成这件事.
【常用结论】 应用两个计数原理的三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.
第十一章 计数原理、概率、随机 变量及其分布 第一节 基本计数原理
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件 事共有N=____m_1_+_m_2+_…__+_m_n__种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二 个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这 件事共有N=____m_1_×__m_2×__…__×__m_n__种不同的方法.
次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有
()
A.4种
B.6种
C.10种
D.16种
3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位
“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是________. 世纪
金榜导学号
【解析】1.选D.可分两类:一类两个数都为奇数:1,3;1,5;3,5,共3种方法;另一类 两个数都为偶数:0,2;0,4;2,4,共3种方法,所以共有3+3=6种取法. 2.选B.分两类:甲第一次踢给乙时, 满足条件有3种方法(如图),
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.
3.渐升数由小到大排列,形如
的渐升数共有6+5+4+3+2+1
=21(个).
形如
的渐升数共有5个.
形如
的渐升数共有4个.
故此时共有21+5+4=30(个).
因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359. 答案:1 359
【知识点辨析】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同. ( ) (2)在分步乘法计数原理中，不同的步骤中完成各自步骤的方法是各不相同的. () (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都 能完成这件事. ( ) (4)在计算完成一件事的所有方法时，分类加法计数原理和分步乘法计数原理不 能同时使用.( )