结构力学-第五章-力法3

§5-4 对称性的利用
例3.试用对称性对结构进行简化。EI为常数。
方法 1 FP
FP/2
FP/2
I/2
I/2
FP/2
FP
FP /2
FP /2
FP /2 I/2
FP /2
FP/2
FP/2
FP /2
§5-4 对称性的利用
FP/2 无弯矩，
不需求解
I/2
FP/2 FP /4 FP/4 FP/4 FP/4
例2:求图示结构的弯矩图。EI=常数。
由一个四次超静定结构考虑对称性 变成一次超静定。
§5-4 对称性的利用
解：根据以上分析，力法方程为：
11 X1＋ 1P＝0
11＝144 EI ＝1800 EI 1P X 1＝－12.5 M＝M 1 X 1＋M P
§5-4 对称性的利用
P P
X1
X2
X2
X3
X1、X2 —对称力 X3 —反对称力
§5-4 对称性的利用
X 3 和荷载共同作用下，切口两侧 X 2、 X1 、 基本结构在 截面相对转角、相对水平线位移和相对竖向线位移应 与原结构的已知位移相等。
力法基本方程：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 （1） 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
（2）
选取对称的基本结构，可将力法方程组分解为 独立的两组：一组只包括对称的约束力，另一组只 包括反对称的约束力。 方程组降阶，计算大大简化。 如果原结构受对称或反对称荷载作用，则可使 计算进一步简化。
§5-4 对称性的利用
如果结构上的荷载正对称，则 M P 图正对称， 如：
P P
X3 1
MP
M3
EI 2
EI1 EI 2
EI 2
EI 2
EI 2
M P1

M P2
§5-4 对称性的利用
例1 作图示超静定梁的梁M图
EI P
l/2
l/2
P/2 P/2 X2 X1 X1 X3
基本体系
X2 1
分析：三次超静定，选取对称的基本结构，则 X 3 0 。 力法基本方程：
1
1
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
M M3 X 3 M P
结论二： 对称结构、反对称荷载，变形、支反力和内力反 对称。
对称基本体系中，对称未知力必等于零，只需计 算反对称未知力。
§5-4 对称性的利用
一般荷载作用可分解为对称荷载和反对称荷载， 分别计算内力，叠加即为原结构最终内力。
P
对称轴
EI1
P/2
P/2
P/2
P/2
EI1 EI 2
FP/4
FP/2
FP/4
FP/2
FP/4
§5-4 对称性的利用
FP/4 FP/2 FP/4 FP/4 I/2 FP/4 FP/2 FP/4 FP/4 FP/4
FP/4
FP/4
FP/4 FP/4 I/2 FP/4 I/2
§5-4 对称性的利用
四、无弯矩情况判别 P
在不计轴向变形前提下， 下述情况无弯矩，只有轴力。
M 1M 3 ds 0 EI
23 32
M 2M 3 ds 0 EI
§5-4 对称性的利用
原力法基本方程简化为：
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
P P
反对称荷载
§5-4 对称性的利用
3、对称结构的受力特点 对称荷载作用下，结构的变形和内力是对称的。
反对称荷载作用下，结构的变形和内力是反对称的。
P P
§5-4 对称性的利用
二、利用对称性简化计算
1、选取对称的基本结构 计算对称结构时，可取对称的基本结构，并取对称 力和反对称力作为多余未知力。
③ 刚度(杆件截面尺寸和弹性模量)。
§5-4 对称性的利用
对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.
几何对称 支承对称 刚度对称
支承不对称
刚度不对称
对称结构
非对称结构
§5-4 对称性的利用
2、荷载的对称性 对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向 和作用点对称的荷载
P P
对称荷载 反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作 用点对称,方向反对称的荷载
M 1 0 X 1 0，原方程简化为 22 X 2 2P 0
22
X2 2 P
l 3EI
M2
P/2 P/2
Pl / 4
Pl / 4
MP
Pl / 8
Pl 2 2 P 8EI
Pl / 8
22

Pl 8
M M2 X2 MP
Pl / 8
M
§5-4 对称性的利用
三、半结构分析法
根据对称结构的受力与变形特点，为简化结构计算，可 截取半个结构来作分析，即为对称结构的半结构分析法。 半结构分析法要求该半结构能等效代替原结构的半边的
受力与变形状态。
关键： 沿对称轴被截开处应按原结构上的位移条件及 相应的静力条件设置合适的支承。
§5-4 对称性的利用
奇数跨结构—正对称荷载
10
1t 3EI X1 230 l 3 11 5l
138 EI / l 2
最终弯矩图： M M1 X 1
138 EI l
M 图
结果表明： 温度变化引起的超静定结构内力和反力与各杆弯曲 刚度 EI 的绝对值有关，刚度越大，弯矩等内力就越大。
练习:
P
EI EI EI
EI EI EI
P
EI
P
P/2
EI EI
EI
P
EI
§5-4 对称性的利用
P
EI EI EI EI EI EI= C
P
P
P/2
EI EI
P/2
P/2
EI/2
§5-4 对称性的利用
取1/4结构—正对称荷载
P
A A B
P P
B
P
P
对称轴上的A、B点无任何位移，可取1/4结 构进行计算。
EI C
A l B
基本体系
X1
分析：一次超静定，解除B支座水平链杆以 X 1代替 得基本体系。
§5-5 广义荷载作用下的力法计算
力法基本方程： 11 X1 1t 0
l l
M 12 11 dx EI 1 l 2 2l 3 5l 3 2 l EI 2 3 3EI
P
X1
X2
X2
X3
§5-4 对称性的利用
分别作出 X1 1、X 2 1 和 X 3 1 所对应的单位弯 矩图。
X1 1 X2 1
X3 1
M1
M2
M3
X1 、 X 2 产生的 M 1、M 2 对称； 对称未知力
反对称未知力 X 3 产生的弯矩图反对称。
13 31
F F PP
保留对称轴处原结点类型，忽略对称轴处竖杆轴向 变形，去掉中间竖杆。
§5-4 对称性的利用
偶数跨结构—反对称荷载
F F P P FP P
F F P P
F F PP
FP F P
F F PP
FF F F SC SC SSC C
F F PP
保留对称轴处原结点类型和中间竖杆，I减半。
§5-4 对称性的利用
t1 t1
A B
t1
t2 t1 t2
原结构
t1
X1
t2
基本体系
X2
§5-5 广义荷载作用下的力法计算
基本原理： 基本结构在温度变化和多余约束力共同作用下， 支座A沿多余未知力方向的线位移，应与原结构的已 知位移相等。 力法基本方程： 11 X 1 12 X 2 1t 1 0 21 X 1 22 X 2 2t 2 0 式中所有系数的计算与外部作用因素无关。 自由项 1和 2t分别表示基本结构由于温度改变引 t 起的沿X 1和X 2方向的位移。
由于M 3 图反对称，则：
M 3M P 3 P ds 0 EI
§5-4 对称性的利用
由力法基本方程式（2），则反对称未知力 X 3 0
M M1 X1 M 2 X 2 M P
结论一：
对称结构、对称荷载，变形、支反力和内力也 对称。
对称的基本体系中，反对称未知力必等于零， 只需计算对称未知力。
3` 1
Structural Mechanics
结构力学
周 强
土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：qzhou85@
§5-4 对称性的利用
一、对称性的概念
1、结构的对称性 指对结构中某一几何轴线的对称，绕对称轴对 折后，两边的结构图形完全重合。 同时满足以下条件： ① 几何(形状、尺寸)； ② 支承条件；
§5-5 广义荷载作用下的力法计算
根据第四章静定结构由于温度变化引起的位移计算 t 式：
1 it t0 N ds it t0 AN h h
M ds
t
AM
分别将系数和自由项代入力法基本方程，即可 解出多余未知力 X 1 和 X 2 。
温度变化在静定的基本结构不引起结构的内力， 超静定结构的最终内力只与多余未知力有关，最终 弯矩的计算式：