基于泛复变函数求解Maxwell方程的方法
武大电动力学课件13介质Maxwell方程
电磁兼容：Maxwell方程是电磁兼容理论的基础，广泛应用于电磁兼容设计、电磁兼容测试等领域。
电磁场理论：Maxwell方程是电磁场理论的核心，广泛应用于电磁场计算、电磁场仿真等领域。
Part Five
Maxwell方程的拓展
电磁场与物质相互作用：Maxwell方程描述了电磁场与物质相互作用的规律，为电磁场在材料科学、生物医学等领域的应用提供了理论支持。
电磁场与能量转换：Maxwell方程描述了电磁场与能量转换的规律，为电磁场在能源、环境等领域的应用提供了理论支持。
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应用前景
电磁波理论：Maxwell方程是电磁波理论的基础，广泛应用于无线通信、雷达、微波等领域。
创新意义：Maxwell方程为电磁学的发展提供了新的思路和方法，推动了电磁学的创新和发展
教育意义：Maxwell方程是物理教育的重要内容，有助于培养学生的科学素养和创新能力
展望价值
理论价值：Maxwell方程是电磁学的基础，对电磁现象的解释和预测具有重要意义
应用价值：Maxwell方程在电磁波、电磁场、电磁感应等领域有广泛应用，对科技发展具有推动作用
推导出Maxwell方程，为后续电磁场理论研究奠定基础
理解Maxwell方程在电磁场理论中的重要性和地位
掌握电磁场与物质相互作用的基本方程
Part Three
Maxwell方程的表述
表述形式
微分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
微分积分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
积分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
非线性介质：在非线性介质中，Maxwell方程需要考虑介质的电导率和磁导率的非线性关系。
解析洛必达法则在复变函数极限中应用
解析洛必达法则在复变函数极限中的应用【摘要】有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
基于此，本文以洛必达法则为研究对象，分别从复变函数极限计算、孤立奇点类型判定以及未定式极限转化入手，详细研究了洛必达法则在复变函数极限研究中的应用情况，旨在于引起关注与重视。
【关键词】洛必达法则；复变函数；极限；计算；孤立奇点；未定式；分析有关复变函数极限问题的研究一直以来都是备受高等数学研究领域关注与重视的问题之一。
同时在求解，并针对复变函数极限问题进行处理的过程当中，难度也十分的大，这就要求相关人员借助于对洛必达法则的合理应用，降低复变函数极限处理难度，提高处理精确性。
本文结合实例，在分析应用原理的基础之上，总结相关解题思路，对于求解正确答案而言至关重要。
现做详细分析与说明。
一、洛必达法则在复变函数极限计算中的应用分析在有关复变函数取值的计算过程当中，借助于对洛必达法则的合理应用，能够使一部分不太容易解决，或者是计算步骤过于繁琐的问题变得更加的简单，解题思路更加清晰，计算时间更短，且计算失误可得到有效控制。
可以说是洛必达法则在应用于复变函数极限过程中最主要的一点表现。
现举例对其进行说明。
例一：求解ln（1+a）-a/（cosa-1）在对该式进行分析的过程当中，应当予以确定的基本解题思路在于：首先需要对“ln（1+a）-a”这一式进行变形处理，通过与“（cosa-1）”这一部分的配合，将cos转化为sin。
在此基础之上，以代入“1+a”的方式，再次将sin格式转变成为cos格式，最终通过对基本定理的合理应用，达到高速解出正确答案的目的。
此过程中，主要分两个步骤对该计算式进行处理。
具体如下：二、洛必达法则在复变函数孤立奇点类型中的应用分析在有关复变函数研究过程当中，对于a0而言，其作为f（a）可去奇点、可去极点以及本性奇点的充分必要条件主要涉及到以下两个方面的内容：①f（a）应当属于有限复常数数值；②f（a）倾向于无穷大；③f（a）并不存在。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。
在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。
首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。
定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。
复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。
其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。
2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。
常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。
对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。
对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。
对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。
3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。
常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。
对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。
分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。
变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。
奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。
4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。
根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。
同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。
复变函数在物理学中的应用
复变函数在物理学中的应用在物理学中，复变函数也被称为复数函数，是各种复变量所对应的复函数的总称。
它是描述复数物理系统的基础理论，它的应用范围极其广泛。
本文中，将从物理学的角度简要介绍复变函数的应用。
一、复变函数在电磁学中的应用在电磁学中，复变函数可以用来描述电磁场，尤其是描述信号在介质内传播的方式。
例如，Maxwell方程可以用复变函数来求解，Maxwell方程是描述电磁场的基本方程，其中包含的椭圆型和圆柱型的复变函数可以用来描述电磁波在介质中的传播过程。
此外，复变函数还可以用来研究介质中的折射和损耗，以及研究电磁感应器的特性。
二、复变函数在轨道动力学中的应用复变函数在轨道动力学中也有着重要的应用，它可以帮助我们计算太阳系中天体的运动轨迹，并提供许多有用的性质，如洛伦兹力，研究星系的结构，等等。
此外，复变函数也可以用来计算日心运动，可以模拟地球的自转和自轨道运动，反映出太阳系的旋转模式。
三、复变函数在量子力学中的应用复变函数也可以用于量子力学研究中，它可以帮助我们研究量子系统的动力学，提出量子力学的基本方程，描述量子系统的复变概率流，研究量子隧道效应，以及给出量子力学中基本现象的理论模型。
此外，复变函数还可以用来研究量子态的演化，即量子力学中的迭代方程。
四、复变函数在声学中的应用在声学中，复变函数可以帮助我们研究反射，折射，吸收和拨动等基本声学现象，还可以用来研究声学波的反射，折射和衰减等等。
此外，复变函数可以用来分析声学的位相特性，从而获得不同频率信号的指向性和方向性特征。
总之，复变函数在物理学研究中有着重要的地位，它不仅可以用于电磁学，轨道动力学，量子力学和声学等多个领域，而且还可以用于研究物理系统的动力学，热力学，力学等方面。
因此，复变函数的研究对于我们理解物理系统的特性，尤其是复杂的物理系统，特别重要。
一类Maxwell方程的弱解存在唯一性证明
一类Maxwell方程的弱解存在唯一性证明旷雨阳;李兴华;黄宝勤【摘要】采用Galerkin方法构造一类带有初边值条件问题的Maxwell方程的近似解,在一定的假设条件下,得出此近似解的弱解能量估计式,并采用此近似解的极限并结合能量估计式证明了该问题的弱解存在唯一性.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)004【总页数】6页(P50-55)【关键词】Maxwell方程;弱解;Galerkin方法;Banach-Semhaus定理【作者】旷雨阳;李兴华;黄宝勤【作者单位】安顺学院数理学院 ,贵州安顺 561000;安顺学院数理学院 ,贵州安顺 561000;安顺学院数理学院 ,贵州安顺 561000【正文语种】中文【中图分类】O156偏微分方程的基本问题之一是研究各种边值问题解的存在性.Sobolev空间[1-2]的引入为求解边值问题提供了新的有效的途径，用这种方法求出的解称为弱解或广义解[3-4] .研究弱解的存在性有很多方法，常用的有切片法、Galerkin方法、半群方法等[5-12].论文将应用Galerkin方法证明此类Maxwell方程弱解的存在唯一性.其中:Ω∈R3为有界区域且边界∂Ω∈C1，QT=Ω×(0,T]，ST=∂Ω×(0,T] ，N为∂Ω 的单位外法向量，H=(H1,H2,H3)∈(L2(Ω))3为向量值函数，G(x,t)和H0(x)分别为给定的边界条件和初始条件.1 预备知识定义1[4] 如果赋范空间X到它的第二共轭空间X**的自然映射T是满射的，则称X是自反的，记作X=X**.定义2[4] 设X是一个赋范空间，{xn}⊂X，x0∈X，如果对任意有界线性泛函f,都有称{xn}弱收敛到x0，记作为点列{xn}的弱极限.定理1[4] 设(X,(·,·))是内积空间，若令则有|(x,y)|≤‖x‖·‖y‖, ∀x,y∈X，当且仅当x=λy (λ∈K)时等号成立. 特别地，当f∈L2(Ω), g∈L2(Ω)时，有f·g∈L1(Ω)，且定理2(Banach-Steinhuas定理)[4] 设X，Y是Banach空间，M是X的某个稠密子集，An(n=1,2,…)，A∈L(x,y)(L(x,y)表示X到Y的有界线性算子)，则∀x∈X,都有的充分且必要条件为(1)‖An‖有界；(2) ∀2 假设条件H(2.1) (1) 设函数a(x,t)在QT关于t可微且存在常数r0, R0,使得0<r0<a(x,t)≤R0, (x,t)∈QT.(2) 向量值函数G(x,t)满足G(x,t)∈H1(0,T;H(curl,Ω)),Gt(x,t)∈(L2(QT))3.(3) H0(x)∈H0(curl,Ω)∩(L(Ω))3.(4) F(x,t)∈H1(0,T;H(dir,Ω)).其中H(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3},H0(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3,N×G=0,x∈∂Ω},H(dir,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:·G∈(L2(Ω))3}.3 弱解的定义及近似解的构造定义3 若向量值函数H(x,t)满足： (1)H-G∈L2(0,T;H0(curl , Ω))；(2) 对任意的函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有则称H(x,t)为问题(1)～(3)的弱解.在不改变本质的前提下，为了简单，不妨设a不依赖于t，即a(x,t)=a(x)，且G(x,t)=0, x∈∂Ω，否则令即可.考虑如下初边值问题的解的存在性定义4 若向量值函数H(x,t)满足(1) H∈L2(0,T;H0(curl,dir,Ω))；(2) 对任意的函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有则称H(x,t)为问题(4)～(6)的弱解,其中:H0(curl,dir,Ω)=H0(curl,Ω)∩H(dir,Ω).首先考虑如下特征值问题其中:Ls是强椭圆算子. 则存在特征值系列{λk(s)}和对应的特征值函数且可视为空间H0(curl,dir,Ω)的一组基.进一步，可以选择在空间(L2(Ω))3 规范正交.现构造如下近似系列：对一个给定的正整数M>0，定义其中:dkM(t)待定.因为为(L2(Ω))3中的基，则F(x,t)和H0(x)可按基展开如下其中：若为方程(4)的解，则(7)(8)将 (7) 、(8) 两式关于作内积，得djM(t)应满足如下常微分方程组(9)djM(0)=hj, j=1,2,…,M.(10)根据常微分方程组解的存在性，(9)、(10) 为线性常微分方程的初值问题，故存在唯一的解，因此 djM(t) 被方程组 (9)、(10) 所决定，且4 弱解的存在唯一性证明引理1 假设H(2.1) 成立，则存在正常数c3 和 c4，有(11)(12)其中:c3,c4仅依赖于已知数据，但不依赖于M.证明设H和K为(L2(Ω))3中的向量, 在此空间上定义内积为从的构造，知满足如下方程组(13)(14)(15)对方程(13)两边分别关于和作内积，则容易证明估计式 (11)、(12) .定理3 若假设H(2.1) 满足，则问题 (1)～(3) 有唯一的弱解H(x,t)∈L(0,T;H0(curl,Ω))∩L(0,T;(L2(Ω))3)，进一步有Ht∈(L2(QT))3.证明由引理1，知和在(L2(QT))3中有界，而(L2(QT))3为自反Banach空间，因此存在子列M=Mk→+ 和s=sk→0，当k→+时，在(L2(QT))3中分别有×H(x,t) .另一方面，因在L(0,T;(L1(Ω))3) 中有界，且故存在子列在L(0,T;(L2(Ω))3)中，有满足且J(x,t)∈L(0,T;(L2(Ω))3)为某一向量.对任一试探函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，满足K(x,T)=0，有(16)当sk→0时，由柯西不等式和引理1，有类似地，当sk→0时,有进一步，由H0(x)的假设知，在(L2(Ω))3中,有因此，在(16) 式中，两边令sk→0，有为了证明 H(x,t)为(1)～(3)式的弱解，只需证明J(x,t)=H(x,t)，a.e，(x,t)∈QT即可. 首先证明∬QTJ(x,t)Hdxdt.因为即由的弱收敛性，有(17)下证对方程(13)，选取作为试探函数，有∬QT(FM·Kk)dxdt，其中: 由Kk的定义知故Is>0. 又∬QTat|×Kk|2dxdt=根据Banach-Semhaus定理，有∬QTa(×Kk)dxdt=其中:K*(x,t)=H(x,τ)dτ. 又因为在(L2(QT))3中，有故∬QTF·Hdxdt，有∬QTFMk·Kkdxdt≤∬QT(F·K*)dxdt.又对任意的试探函数K(x,T)=0，有选择K(x,t)=H(x,τ)dτ=K*(x,t)，(x,t)∈QT作为试探函数，有∬QTat|×K*|2dxd t+∬QTF·K*dxdt.因此，有(18)由(17)、(18)式，有∬QTJ·Hdxdt.(19)现证明在QT中一致有J(x,t)=H(x,t). 对任意的向量w(x,t)∈(L2(QT))3，有即由的弱收敛性和等式 (19) ，有∬QT[J·H-J·w]dxdt≥∬QTw[H-w]dxdt.故∬QT[J-w]·[H-w]dxdt≥0. 取w=H+δV，V∈L2(QT)为任意向量，δ为任意数，则-δ∬QT[J-H-δV]Vdxdt≥0，由δ的任意性，有∬QT(J-H-δV)Vd xdt=0.令δ→0，有∬QT[J-H]·Vdxdt=0，由V的任意性，有J(x,t)=H(x,t)，a.e，(x,t)∈QT，这就证明了解的存在性.下面证明解的唯一性：设H1(x,t)和H2(x,t)为问题(1)～(3)的两个弱解，令H(x,t)=H1(x,t)-H2(x,t)，则对任意的试探函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，有∬QT[-H·Kt+a(x)(×H)·(×K)] dxdt=0.令K(x,t)=H(x,τ)dτ，(x,t)∈QT，则K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，且K(x,T)=0，(K(x,t))t=-H(x,t)，×H=-×(K(x,t))t，故因为×K(x,T)=0, x∈Ω，故故又由假设 H(2.1) 中的 (1) 知a(x)≥r0>0，故故在QT上，a.e，有H(x,t)=0. 即在QT上，a.e，有H1(x,t)=H2(x,t)，唯一性得证. 综上所述，问题(1)～(3)有唯一的弱解.参考文献：【相关文献】[1] 陈恕行. 现代偏微分方程导论[M]. 北京：科学出版社， 2005.[2] 陈亚浙. 二阶抛物型偏微分方程[M]. 北京：北京大学出版社， 2003.[3] 伍卓群，尹景学，王春朋. 椭圆与抛物型方程引论[M]. 北京：科学出版社， 2003.[4] 张恭庆，林源渠. 泛函分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社， 1987.[5] 刘衍胜. 抽象空间中微分方程弱解的存在性和唯一性[J]. 工程数学学报， 1996， 13 (2): 34-40.[6] 王祥. 高阶变形的Novikov方程弱解的全局存在性[J]. 纯粹数学与应用数学， 2015， 31 (2):11-21.[7] 郭秋香，曾有栋. 具有双重变指数的非线性抛物方程组弱解的存在性[J]. 福州大学学报 (自然科学版)， 2014， 42 (1): 23-29.[8] 夏莉，李敬娜，姚正安. 一类奇异抛物方程最大弱解的存在性[J]. 兰州大学学报(自然科学版)，2012， 48 (3): 52-55.[9] YIN H M. Existence and regularity of weak solution to Maxwell’s equations with a thermal effect[J]. Mathematical Methods in Applied Analysis， 2006， 29: 1199-1213. [10] MASSAR M， TSOULI N， HAMYDY A. Existence of weak solutions for a quasilinear equation in RN[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2012， 395 (2): 673-683.[11] YANG S X. Existence and uniqueness of weak solutions for quasilinear parabolic systems[J]. Journal of Mathematical Research & Exposition， 1993， 13 (4): 537-539. [12] QIU M L， MEI L Q. Existence of weak solutions for a class of quasilinear parabolic problems in weighted sobolev space[J]. Advances in Pure Mathematics， 2013， 3 (1):204-208.。
泛函方程及其解法
泛函方程及其解法泛函方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数与函数之间的关系。
泛函方程的解法是研究泛函方程的一个关键问题，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍泛函方程的基本概念和解法，并以几个具体的例子来说明。
一、泛函方程的基本概念泛函方程是指未知函数是函数的方程。
一般形式的泛函方程可以写成如下形式：F[y(x)] = 0其中，y(x)是未知函数，F是一个泛函，它是一个函数对函数的映射。
泛函方程的解是使得方程成立的函数。
二、泛函方程的解法泛函方程的解法有多种方法，下面介绍几种常用的解法。
1. 变分法变分法是一种常用的解泛函方程的方法。
它通过对泛函进行变分，得到泛函方程的欧拉-拉格朗日方程，然后求解该方程得到泛函方程的解。
2. 特解法特解法是一种通过猜测特定形式的解来求解泛函方程的方法。
通过猜测合适的特解形式，将其代入泛函方程，然后确定特解的参数，最终得到泛函方程的解。
3. 近似解法近似解法是一种通过构造逼近序列来求解泛函方程的方法。
通过构造逼近序列，逐步逼近泛函方程的解，最终得到泛函方程的近似解。
三、泛函方程的应用举例1. 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的一个重要应用。
它是说在自然界中，物体在运动过程中所经历的路径是使作用量取极小值的路径。
作用量是一个泛函，它描述了物体在运动过程中所受到的作用力与路径的关系。
通过最小作用量原理，可以求解物体在运动过程中的轨迹。
2. 热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它是一个泛函方程，通过求解热传导方程，可以得到物体内部温度分布随时间的解。
3. 波动方程波动方程是描述波动现象的方程。
它是一个泛函方程，通过求解波动方程，可以得到波动现象的解。
四、总结泛函方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数与函数之间的关系。
泛函方程的解法有多种方法，包括变分法、特解法和近似解法等。
泛函方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如最小作用量原理、热传导方程和波动方程等。
Maxwell课件
时域有限差分法
时域有限差分法是一种在时域中对Maxwell方程组进行离散化和数值求 解的方法，通过将电磁场的时间和空间变量进行离散化，用差分近似代 替偏微分，用迭代方法求解得到时间步进解。
该方法适用于求解具有复杂形状和任意激励源的问题，如天线、微波器 件、自由空间散射等。
时域有限差分法具有计算精度高、适用范围广等优点，但需要处理时间 步进解的稳定性问题，同时对于大规模问题的计算量和内存需求也是一 个需要考虑的问题。
电磁波散射
当电磁波遇到物体表面时，会发生散射现象。散射现象可以 用Maxwell方程组结合物体表面的边界条件来求解。
电磁波的传播与散射
电磁波传播
Maxwell方程组是描述电磁波传播的基础，可以用来研究电磁波在介质中的 传播特性。
电磁波散射
当电磁波遇到物体表面时，会发生散射现象。散射现象可以用Maxwell方程组 结合物体表面的边界条件来求解。
有限差分法
有限差分法是一种将连续的空间离散 化，用差分近似代替偏微分的方法， 将Maxwell方程组的微分形式转换为
差分形式进行数值求解。
该方法适用于求解具有规则几何形状 的问题，如波导、谐振腔、平板波导 等，也可以用于求解自由空间中的电
磁波传播问题。
有限差分法具有计算量小、编程简单 等优点，但需要处理边界条件和截断 误差等问题，同时对于复杂问题的网 格剖分和数值稳定性也是一个需要考
Maxwell课件
xx年xx月xx日
目 录
• Maxwell方程 • Maxwell方程的求解方法 • Maxwell方程的应用
01
Maxwell方程
静电场中的高斯通量定理
总结词：基ห้องสมุดไป่ตู้性质
EMC设计(三)Maxwell方程式的应用
EMI / EMC设计讲座（三）Maxwell方程式的应用1.Maxwell方程式的应用到目前为止，Maxwell方程式的基本概念已经介绍过了。
但是，要如何将此物理和高等微积分的知识，与PCB中的EMC产生关联呢？为了彻底了解，必须再将Maxwell方程式简化，才能将它应用到PCB布线上。
为了应用它，我们可以将Maxwell方程式和Ohm定律产生关联：Ohm定律（时域）： V = I * ROhm定律（频域）： Vrf=Irf * ZV是电压，I是电流，R是电阻，Z是阻抗（R + jX），rf是指射频能量。
如果射频电流存在于PCB走线中，且此走线具有一个固定的阻抗值，则一个射频电压将被产生，而且和射频电流成正比。
请注意，在电磁波模型中，R是被Z取代，Z是复数（complex number），它具有电阻（属于实数）和电抗（属于虚数）。
就阻抗等式而言，有许多种形式存在，这取决于我们是否要检视平面波的阻抗、电路阻抗….等。
对导线或PCB走线而言，可以使用下列公式：=2πfL，是在此公式中，唯一和导线或PCB走线有关的元件。
其中，XL=1/2(2πfC), ω=2πfXc当一个元件的电阻值和电感值都是已知，例如：一个「附导线的铁粉珠（ferritebead-on-lead）」、一个电阻、一个电容、或其它具有寄生元件的装置，必须考虑阻抗大小会受到频率的影响，这时可以应用下列的公式：当频率大于数kHz时，电抗值通常会比R大；但在某些情况下，这并不会发生。
电流会选择阻抗最小的路径。
低于数kHz时，阻抗最小的路径是电阻；高于数kHz时，电抗最小的路径成为主宰者。
此时，因为大多数电路是在数kHz以上的频率中工作，而「电流会选择阻抗最小的路径」这种想法变成不正确，因为它无法正确解释「电流如何在一条传输线中流动」。
对承载电流频率超过10 kHz的导线而言，因为其电流总是选择阻抗最小的路径，其阻抗等同于电抗最小的路径。
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砜，其它几个面电位为零。
·ｔｔｉｃ ｍｅｔａｌ ｔｒｏｕｇｈ（ｎｏ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｈａｒｇｅ ｉｎｓｉｄｅ） 求解原理和例１相同，先由电位方程及边界条 件列出特征方程，再通过求得特征方程的特解得到
生成元叩一ｅｌｘ＋ｅ‘２Ｙ＋ｅ３ｚ—ｚＪ（ａｍ）ｚ＋（触）２＋ ｘａｍｉ＋ｙｆｌｎｊ，由关于叩的泛复解析函数ｅ７是方程的 解直接列出电位表达式：
代人边界条件易求得：口一兀几，ａ。一ｏ
ｂ。一４Ｕｏ／ｎ７ｃｓｉｎｈ（ｒａｒｂ／ａ）、
如川＝警。量凼甓糍貉巡。 儿 Ｈ暑奇数
“ｏ¨“１＼，＂Ⅵ，／“／
例２立方体槽的电位分布求解分析实际金属槽
都是立方体的，本例分析了它一个截面上的电位分
布情况。就立体情况使用泛复变函数的方法求解其
内部电场分布。图２为立方体金属槽，槽顶电位为
在电磁场问题中由Ｅ一一ａＡ／ａ￡一Ｖ９、Ｂ—Ｖ ×Ａ、Ｄ＝ｅＥ、Ｈ＝Ｂ／Ｉ－ｔ求得（Ｄ，Ｅ，．Ｂ，Ｈ）一组物理量。 现以求解下列方程组为例说明泛复变函数在解偏微 分方程组中的具体方法：
｛ａｕ／ａｘ＋ＯＨ扫》＋ａｔｌ／３ｚ＝Ｏ ＜ａ２ｕ／ａｘ２＋ａ２ｕ／ａｙ２＋ａ２甜／ａ≯一ｏ。 【ａ４ ｕ／ａｘ４＋ａ４ ｕ／ａｙ４＋ａ４ ｕｌａｚ４一。 先列出该方程组的特征方程
ｒ８１＋ｅ２＋如一０
＜Ｐ；＋馥＋Ｐ；一０，
ｌ硝＋程＋砖一。
若取ｅ。为主单位元，ｅ１一ｌ，ｅ２一一１／２＋√３ｉ／２，ｅ。一
一１／２－－ｆ３ｉ／２；再取泛复变量７ｌ＝ｘｅｌ＋ｙｅ２＋ｚｅ３一ｚ
＋（一１／２＋√３ｉ／２）ｙ＋（一１／２一√３ｉ／２）ｚ，则关于＇７ 的解析函数，（叩）一“是方程的解，Ｕ可取实数也可 取复数。如果待求解的方程是复色波形式，则只需 把在各单色波下求得的解叠加即可。如果用传统的 分离变量法或复势函数法则很难求得这种多维高次 偏微分方程，用泛复变函数的方法则很简单。
ｐｅｏ一—。：Ｆ撒Ｘ．ａ商ＦＸ．∑ａ数型ｆ三教‰ｅｍｓｎｌｉ７ｃｎ３“罂“‘ｓ口ｉｎ“ 型“ ｓｂｉ泓 ｎ丝“ｃ，’
其次，将９看作各单色波作用效果叠加，在单色波作
用下式（４）的特征根可取为：ｅ，一ａｉ、ｅ２一序、ｅ。＝豫，
则生成元刁一ｅｌｚ＋ｅｚｙ＋ｅ３ｚ：ａｉｘ＋序了＋豫ｚ。
由于关于叩的泛复解析函数ｅ，是方程的解，故
Ｙ一厂（ｚ）及厂：Ｇ Ｃ Ｘ—Ｄ ｃ Ｙ，
（１）
泛复变函数将古典的解析函数向高维推广，不仅可
在函数论中得到许多定理和公式，而且在代数方程
根的新数量、偏微分方程高阶与低阶的关系、方程与
各种域中等式的扩展、奇异电磁场的描述、空间流场
的直接处理等方面得到了较好应用。
２用泛复变函数方法求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的通解
·３６·Ａｐｒ．２００６
Ｈｉｇｈ Ｖｏｌｔａｇｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．３２ Ｎｏ．４
沿用单色波的求解方法得到相应的解，本文用例３ 进行了相关研究（见图３）。
Ｚ
， Ｘ
图３立方体金一檀Ｉ内部有电荷】 Ｐｉｇ．３ Ｃｕｂｉｃ ｍｅｔａｌ ｔｒｏｕ曲（ｄｅｃｔｒｉｃ ｃＩｌａｒ寥蛔ｓｌ瞳） 例３立方体金属槽加盖后各面均保持接地，
槽内填充均匀电荷（ｐｖ＝ｐ０），则槽内部电位方程为
Ｖ ２９（ｚ，Ｙ，ｚ）＝一＆／￡一一ｌ口ｂ／￡
（４）
其边界条件为：各个面的电位都为０。求解这种复
色波时先将其用Ｆｏｕｒｉｅｒ法分解成单色波：
譬。 。蚤Ⅲ一。奇数”蚤＝奇。数扭蚤奇数‰ｉｎ警ｓ“ｉｎ字ｓ“；ｎ譬。，
上式两边同时乘以正弦因子后分别对ｚ、Ｙ、２在相 应区域上积分，注意到三角函数的正交性，得
ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００７４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ－ｔｈｅ ｐｏｐｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ ｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｈａｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ｏｎ ｓｏｌ— ｖｉｎｇ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｗｈｉｃｈ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｍａｎｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｎｅｗ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ Ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｅ ｃａｎ ｓｉｍ— ｐｌｉｆｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｍａｎｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｏｂｔａｉｎ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ Ｍａｘｗｅｌｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｌｌ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ＆ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ；Ｍａｘｗｅｌｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｆｏｕｒｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄ
以一个三元高次偏微分方程组和两个电磁场问题求解为例，用提出的方法得到了与经典求解法一致的结果。在待 求场域可用偏微分方程（组）、边界条件可用初等函数方程表示的情况下，该方法具有概念清晰、简单便捷的优点。
关键词：泛复变函数；电磁场；Ｍａｘｗｅｌｌ方程；偏微分方程组；傅立叶方法
中国分类号：ＴＭｌ５３
文献标识码：Ａ
０引 言 在许多情况下，古典的偏微分方程和场论的方
法很难求得Ｍａｘｗｅｌｌ方程（组）的解析解，于是出现 了许多新的求解方法，如解析方法中的复势函数法 用于求解场域为较规则几何图形的情况（同轴电缆、 电机定子和转子间的气隙、三相输电线路等）可求得 较准确的解［１。２１；数值方法中的有限元法、有限差分 法则将待求场域在空间上离散，借助计算机求出多 元代数方程的解，在场域不规则的情况下其优势较 明显睁８Ｉ。但上述方法求解过程较复杂，需繁琐的计 算过程或较大的编程量和计算量。泛复变函数是复 变函数在高维情况下的推广形式，它能使求解过程 大为简化，故本文初步探讨了用泛复变函数的理论 求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程（组）的方法，预期在待求场域可 用偏微分方程（组）、边界条件可用初等函数方程表 示的情况下，为电磁场问题的求解提供一条概念清 晰、操作简单的途径睁１２］。
３应用举例
例１矩形槽的电位 Ｙ 分布求解分析 图１金属 槽若槽底和侧壁连成一体 并接地，槽顶与底盖绝缘， ｂ 槽顶相对于底盖电位为 图１矩形金属槽
砜。则金属槽内部的电位Ｆｉｇ·１ Ｒ竺纽ｎＰｌａｒ眦ｔａｌ
。
方程为 Ｖ ２妒（ｚ，ｙ）一０，（Ｏ＜ｚ＜ａ，０＜Ｙ＜易），（３）
此种情况下边界条件为
仪ｏ，３，）＝０，（ｏ＜Ｙ＜６）；９（ａ，ｙ）一０，（Ｏ＜Ｙ＜６）； 认ｚ，ｏ）一０，（ｏ＜Ｘ＜口）；Ｐ（ｚ，６）一ｒｉｏ，（ｏ＜Ｘ＜ｎ）。
文章编号：１００３—６５２０（２００６｝０４－００３４—０３
Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ．Ｍａｘｗｅｌｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＢＩＡＮ Ｘｉｎｇｒｎｉｎｇ，ＷＥＮ Ｙｕａｎｆａｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｆｅｉｒａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｒ／ａｘ２＋ａ２Ｒ／ａｙ２＋ａ２Ｒ／ａｚ２一ａＺＲ／ｃ２ａｔ２一ｏ’
，●Ｊ、●，【 ∥ａｚ２＋ａ２∥ａｙ２＋ａ２∥ａｚ２一ａ２９／ｃ２ａｔ２一ｏ
２００６年４月
高电压技术
第３２卷第４期 ·３５·
在洛仑兹规范ａＰ／ａｚ＋ａＱ／ａｙ＋ａＲ／ａｚ＋ａ∥ｃ２３ｔ＝Ｏ 情况下，方程组的特征方程是：ｅｉ＋ｅ；＋ｅｌ—ｄ／ｃ２— ０，（ｅ１，ｅ２，ｅ３，ｅ４）取四维复数（ａｉ，ｂｊ，ｃｋ，ｄ）ｃ１４］，这 里，令泛复变量叩一ｚ８１＋ｙｅ２＋ｚｅ３＋ｔｅ４，如果，（＇７）、 ｇ（矽、＾（叩）、９（叩）是＇７的泛复解析函数且满足，ｏ’ （ｒ１）ｅ１＋９７（叩）ｅ２＋＾７（ｒ１）ｅ３＋∥（ｒ１）ｅ４／ｃ２一ｏ，则ｐ＝ｆ （１７）、Ｑ—ｇ（叩）、Ｒ＝ｈ（ｒ／）、９—９（砂是方程的泛复解， 对应的实分量是方程的实解。
·３４·
第３２卷第４期 ２００６年 ４月
高电压技术
Ｈｉｇｈ Ｖｏｌｔａｇｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．３２ Ｎｏ．４ Ａｐｒ． ２００６
基于泛复变函数求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的方法
卞星明，文远芳，黄斐然 （华中科技大学电气与电子工程学院，武汉４３００７４）
摘要：根据泛复变函数是复变函数在高维情况下的推广形式，将这种方法用于电磁场边值问题的解析计算。并
４与分离变量法的比较
与传统的分离变量法相比，用泛复变函数的方 法求解电磁场问题很容易得到待求方程的特征根， 从而确定叩，再由关于叩的泛复解析函数厂（７７）（电磁 场问题的求解中一般取与偏微分方程本征函数系相 一致的泛复解析函数护）是方程的泛复解，写出待 求量的表达式，代人边界条件后就可迅速求得方程 的解。分离变量法需将待求量写成多个单变量函数 相乘的形式，再代人原方程分离变量后得到一系列 方程组，逐个求解这些方程后才能根据边界条件确 定出方程的解，求解过程较复杂、计算量较大。当遇 到复色波情况时，用分离变量法首先要将复色波分 解为单色波的形式，再对每个单色波分离变量，因此 分离变量的次数随着分解所得单色波的个数、变量 个数的增加而迅速增加，故使用非常有限。而用泛 复变函数的方法只要将复色波展开为单色波，就可
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再次用Ｆｏｕｒｉｅｒ方法将上述方程组展开为单色波