第四次习题课(maxwell方程)
电磁场习题(专题)麦克斯韦方程习题解答
2015/9/25
4
1-4 参看4题图，分界面上 方和下方两种媒质的介电常数 分别为1和2，分界面两侧电场 ˆ21 强度矢量 E 与单位法向矢量 n 之间的夹角分别是1和2。假设 两种媒质分界面上的电荷面密 度S=0，试 证明： tan 1 1 tan 2 2
E2n
证明： 根据边界条件： D2 n D1n S 分界面上无自由面电荷，可得
2015/9/25
D2 n D1n
5
D2 n D1n
所以
2 E2 n 1 E1n
①
E2n
由图可知：
2 E2 cos 2 1E1 cos 1
又根据边界条件： E2t E1t 由图可知： E2 sin 2 E1 sin 1 两式相除，可得
②
tan 1 1 tan 2 2
谢谢认真听课的同学！
2015/9/25
10
ˆx e H x Hx
ˆz e E z E y E y E x E x E z ˆx ˆy ˆz e e e z z x y z y x Ez
ˆz e H y H x H z H y H x H z ˆx ˆy ˆz e e e z y z x z x y Hz
C 为积分常数，取为零。 I0 U (t ) cos( t ) E ( t ) 所以 Cd d R 2 考虑 C d
则
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I0 I0 D (t ) E (t ) cos( t ) cos( t ) 2 Cd R
9
2015/9/25
Maxwell课件
xx年xx月xx日
目录
• Maxwell方程 • Maxwell方程的求解方法 • Maxwell方程的应用
01
Maቤተ መጻሕፍቲ ባይዱwell方程
静电场中的高斯通量定理
总结词：基本性质
详细描述：静电场中的高斯通量定理表述了电场强度与闭合曲面上的电量之间的 关系，即通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包围的电荷量。这个定理 是静电场的基本性质之一，也是解决电场问题的重要工具之一。
02
Maxwell方程的求解方法
分离变量法
分离变量法是一种将Maxwell方程组 简化为一组常微分方程的方法，通过 将电场和磁场在空间和时间上进行分 离，得到一组具有明确物理意义的偏 微分方程。
该方法主要用于求解具有周期性边界 条件和平面波激励的问题，如波导、 谐振腔、平板波导等。
分离变量法可以得出精确解，但其计 算过程较为复杂，需要使用数值计算 方法进行求解。
THANKS
03
Maxwell方程的应用
电磁波传播与散射
电磁波传播
Maxwell方程组是描述电磁波传播的基础，可以用来研究电 磁波在介质中的传播特性。
电磁波散射
当电磁波遇到物体表面时，会发生散射现象。散射现象可以 用Maxwell方程组结合物体表面的边界条件来求解。
电磁波的辐射与散射
电磁波辐射
Maxwell方程组可以描述电磁波的辐射过程，研究天线的辐射特性以及电磁 波在自由空间中的传播。
有限差分法
有限差分法是一种将连续的空间离散 化，用差分近似代替偏微分的方法， 将Maxwell方程组的微分形式转换为
差分形式进行数值求解。
该方法适用于求解具有规则几何形状 的问题，如波导、谐振腔、平板波导 等，也可以用于求解自由空间中的电
Maxwell课件
超材料与超表面
超材料
具有天然材料不具备的超常物理性质的人工复合材料。
超表面
具有超常光学特性的二维材料，可实现对电磁波的任意调控。
计算电磁学
有限元法（FEM）
将问题域离散成许多小的网格单元，在每个单元上求解麦克 斯韦方程的近似解。
时域有限差分法（FDTD）
传导骚扰
Maxwell的传导骚扰分析可以预测电子设备通过电源线和其他导体产生的噪声对 其他设备的影响。
微波和射频
波导分析
Maxwell的波导分析可用于研究和设计微波和射频传输线系 统，例如波导、同轴线和微带线。
电磁波传播
Maxwell的电磁波传播分析可以模拟电磁波在各种介质和结 构中的传播，例如天线设计和无线通信系统。
恒定磁场的性质包括安培环路定律、法拉第电磁感应定律、 磁通连续性原理等。
时变电磁场
时变电磁场是指随时间变化的电磁场，其基本特征是能量转换和传播。
时变电磁场的性质包括麦克斯韦方程组、波动方程等。
02
maxwell方程的程序实现
程序实现方法
1 2
基于有限元方法
将连续的Maxwell方程离散化，转化为线性方 程组进行求解。
求解线性方程组的方法
直接求解法
利用矩阵的逆运算直接求解方程组，得到每个节 点的数值解。
迭代求解法
通过迭代逐步逼近方程组的解，直到满足一定的 收敛准则。
快速求解算法
采用快速算法如FFT等，对有限元离散后的方程 组进行快速求解。
03
maxwell方程的数值计算
有限元方法
区域离散：将连续的求解区域离散化为由有限个小的 子区域组成的集合
maxwell方程组微分形式
maxwell方程组微分形式Maxwell方程组微分形式是描述电磁场在给定介质中的行为的方程组。
它由四个方程组成：1. 高斯定律（Gauss's law）：$\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\varepsilon_0}$，其中$\nabla \cdot \mathbf{E}$表示电场$\mathbf{E}$的散度，$\rho$表示电荷密度，$\varepsilon_0$表示真空中的介电常数。
2. 高斯磁定律（Gauss's law for magnetism）：$\nabla \cdot\mathbf{B} = 0$，其中$\nabla \cdot \mathbf{B}$表示磁场$\mathbf{B}$的散度。
3. 法拉第电磁感应定律（Faraday's law of electromagnetic induction）：$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$，其中$\nabla \times\mathbf{E}$表示电场$\mathbf{E}$的旋度，$\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$表示磁场$\mathbf{B}$随时间的变化率。
4. 麦克斯韦-安培定律（Ampère-Maxwell law）：$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$，其中$\nabla \times\mathbf{B}$表示磁场$\mathbf{B}$的旋度，$\mu_0$表示真空中的磁导率，$\mathbf{J}$表示电流密度，$\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$表示电场$\mathbf{E}$随时间的变化率。
《Maxwell方程式》课件
该方程式是在前人研究的基础上 逐步完善的，Maxwell将其整合
为一个完整的理论体系。
Maxwell方程式的提出经历了漫 长的探索过程，Maxwell在实验 和理论上都做出了杰出的贡献。
02
CHAPTER
maxwell方程式的基本概念
电场和磁场的基本概念
总结词
理解电场和磁场的基本概念是理解Maxwell方程式的基础。电场是由电荷产生 的，而磁场是由电流和磁荷产生的。
03
无线通信
无线通信利用电磁波传递 信息，如手机、无线网卡 、蓝牙等。
雷达
雷达通过发射电磁波并接 收反射回来的信号，可以 探测目标的位置、速度和 方向等信息。
电磁炉
电磁炉利用电磁波产生涡 流加热食物，具有高效、 环保、安全等优点。
电磁波的干扰和防护
电磁干扰
电磁波的干扰可能导致电子设备性能 下降、信号传输错误等问题，如电磁 噪声、电磁辐射等。
Maxwell方程式是物理学中的 基本方程之一，它描述了电磁 场的运动规律和相互作用。
该方程式的提出为电磁学的发 展奠定了基础，对现代科技领 域产生了深远的影响。
Maxwell方程式在通信、电子 、能源等领域都有着广泛的应 用，是现代工业和科技发展的 重要支撑。
maxwell方程式的历史发展
Maxwell在19世纪60年代提出 了著名的Maxwell方程式，这标
05
CHAPTER
maxwell方程式的实验验证
实验验证的方法和步骤
01
02
03
04
实验准备
准备实验所需的设备，如磁场 测量仪、电场测量仪、粒子加
速器等。
实验设置
设置实验环境，包括磁场和电 场的强度、方向等参数。
Maxwell方程组
生感应电动势和感应电流。 vv F感 QE感
➢ 感应电动势：非静电力沿闭合回路移动单位正电荷所
做的功
L F感 dl Q
L E感 dl
d dt
S
vv B dS
因此
d
B
L E感 dl = dt
B dS dS
S
S t
Faraday电磁感应 定律的积分形式
f E J B ——洛伦兹力密度公式
4. 一个电荷为q，速度为v的带电粒子，在电磁场中所受 到的洛伦兹力为
积分形式
E B t
B
0J
0 0
E t
E
0
B 0
B
L E dl S t dS
B dl L
0 I
00
d dt
E dS
S
Q
E dS
S
0
S B dS 0
11
➢ 反映了普遍的、非恒定的情况下电荷、电流激发电 磁场以及随时间变化的电场和磁场相互激发的规律
➢ 在电荷、电流为零的空间（称为自由空间），电场 和磁场通过本身的相互激发而运动传播，即电磁场可 以独立于电荷、电流之外而存在，并以波的形式传播
➢ 感应电场是无源场， S E感 dS 0 或 E感 0
4
• 空间中的总电场：空间中任意一点的总电场总是由 静电场和感应电场两部分叠加而成，即
E=E感 +E静
其中
纵 场
E静
=
0
E静 =0
E静由电荷激发的纵场，所谓纵场是指旋度为零的场。
横
E感
=0
场
B
E感 t
E感由变化的磁场激发的横场，所谓横场是指散度为零
maxwell方程式
maxwell方程式麦克斯韦方程组(Maxwell's equations)是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，出生于苏格兰爱丁堡，英国物理学家、数学家。
经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一。
1831年6月13日生于苏格兰爱丁堡，1879年11月5日卒于剑桥。
1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理，毕业于剑桥大学。
他成年时期的大部分时光是在大学里当教授，最后是在剑桥大学任教。
1873年出版的《论电和磁》，也被尊为继牛顿《自然哲学的数学原理》之后的一部最重要的物理学经典。
麦克斯韦被普遍认为是对物理学最有影响力的物理学家之一。
没有电磁学就没有现代电工学，也就不可能有现代文明。
麦克斯韦的主要贡献是建立了麦克斯韦方程组，创立了经典电动力学，并且预言了电磁波的存在，提出了光的电磁说。
麦克斯韦是电磁学理论的集大成者。
他出生于电磁学理论奠基人法拉第提出电磁感应定理的1831年，后来又与法拉第结成忘年之交，共同构筑了电磁学理论的科学体系。
物理学历史上认为牛顿的经典力学打开了机械时代的大门，而麦克斯韦电磁学理论则为电气时代奠定了基石。
电磁场中的麦克斯韦方程组练习题及
电磁场中的麦克斯韦方程组练习题及解答电磁场中的麦克斯韦方程组练习题及解答文中，我们将探讨电磁场中的麦克斯韦方程组，并给出相应的练习题及解答。
一、麦克斯韦方程组简介麦克斯韦方程组是电动力学的基本方程，描述了电磁场的行为和规律。
它由四个方程组成，分别是：1. 高斯定律2. 麦克斯韦-法拉第定律3. 安培环路定律4. 波恩定律下面我们将逐一介绍这四个方程。
1. 高斯定律麦克斯韦方程组中的第一个方程是高斯定律，它描述了电场与电荷之间的关系。
数学表达式为：∮E·dA = 1/ε₀∫ρdV其中，∮E·dA表示电场E沿闭合曲面的通量，ρ表示电荷密度，ε₀为真空电容率。
2. 麦克斯韦-法拉第定律麦克斯韦-法拉第定律描述了磁场的变化与电场的关系，数学表达式为：∮B·ds = μ₀(I + ε₀∂∅/∂t)在上式中，∮B·ds表示磁场B沿闭合回路的环路积分，I表示穿过该回路的电流，∂∅/∂t表示电场的变化率，μ₀为真空磁导率。
3. 安培环路定律安培环路定律描述了磁场的产生与电流的关系，数学表达式为：∮B·ds = μ₀∫J·dA在上式中，∮B·ds表示磁场B沿闭合回路的环路积分，J表示电流密度，∫J·dA表示电流通过曲面的总量。
4. 波恩定律波恩定律描述了电磁感应现象，即磁场的变化会在闭合回路中引起电流的产生。
数学表达式为：∮E·ds = -∂∅/∂t在上式中，∮E·ds表示电场E沿闭合回路的环路积分，∂∅/∂t表示磁通量的变化率。
二、练习题及解答1. 高斯定律练习题考虑一个半径为R的球体，球心处有一个电荷Q。
求该电荷产生的电场在球体表面上的总通量。
解答：根据高斯定律，我们有∮E·dA = 1/ε₀∫ρdV，又因为球体内电荷密度为零，故只需考虑球体表面。
球面上的面积元素为dA = R²sinθdθdφ。
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t
由于媒质均匀，所以 ( E) ( E) 0
t
t
由于 D
则 ( E)
， 即 ( E)
代入，有
0 t
所以任意瞬间的电荷密度为
t
(t) 0e
式中， 0 是时刻t=0的电流密度。式中的 /
具有时间的量纲，称为导电媒质的弛豫时间或时常 数。它是电荷密度减少到其初始值的1/e所需的时 间。由电荷密度的表示式可知，电荷按指数规律减 少，最终流至并分布于导体的外表面。
k 2 20 0
利用maxwell方程
E
B 并t用分量
表B示/ t
yˆkEm
sin(t
kz)
(xˆ Bx t
yˆ By t
zˆ Bz t
)
得：
令上式中对应个分量相等，然后对t求积分并略去与t无关的
常数项，得 Bx Bz 0
By
k Em
cos(t
kz)
写成矢量式：
B yˆ kEm cos(t kz)
将上式代入
B 0 0
E t
得：
Ex
k 2Em
200
cos(t
kz)
比较题给的可得 ：
k 2 20 0
2、证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
证明：根据maxwell方程的辅助方程 J E
2、证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
J E 证明：根据maxwell方程的辅助方程
H
0
s
in(ax)
c
os(t
ay)]
aH0 sin(ax)sin(t ay)
所以有
s
aH 0
sin(ax) cos(t
ay) c(x, y)
假设t=0时 ， s 0
由边界条件 nˆ D s 及 nˆ 方向，可得
D(x, y,0,t) zˆ( aH0 sin(ax) cos(t ay))
3、证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为0。
3、证明通过任意封闭曲面的传导电流和位 移电流的总量为0。
证：据maxwell方程 H J D
t
可知通过任意封闭曲面的传导电流和位移
电流为
( s
J
c
D) t
dS
( H ) d S
s
上式右边用散度定理整理后，可写成
s( H ) d S ( H )dV 0
求理想导体表面上的电流分布、电荷分布 及分界面处的电场强度。
解：根据理想导体分界面上的边界条件，可求得 理想导体表面上的电流分布
Js nˆ H zˆ xˆH0 sin(ax) cos(t ay) yˆH0 sin(ax) cos(t ay)
由分界面上的电流连续性方程有
s
t
y
[
所以
E(x, y,0,t) zˆ( aH 0 sin(ax) cos(t ay)) 0
Jc
5.8 10 7
5、设z=0的平面为空气与理想导体的分界面， z<0一侧为理想导体，分界面出的磁场强度 为 H(x, y,0, z) xˆH0 sin(ax)cos(t ay)
求理想导体表面上的电流分布、电荷分布及 分界面处的电场强度。
5、设z=0的平面为空气与理想导体的分界面， z<0一侧为理想导体，分界面出的磁场强度 为 H(x, y,0, z) xˆH0 sin(ax)cos(t ay)
1、已知无源区（J 0, 0 )中电场强度 E xˆEm cos(t kz) 。
式中 Em、k、 是常量。用maxwell方程求 B 并证明
k 2 20 0
麦克斯韦方程组
1、已知无源区（J 0, 0 )中电场强度 E xˆEm cos(t kz) 。
式中 Em、k、 是常量。用maxwell方程求 B 并证明
幅比值。设铜中的电场大小为 E0 sin(t) ，铜
的电导率为 5.8107 s / m 0
解：铜中的传导电流大小为
Jc E E0 sin t
铜中的位移电流大小为
Jd
D t
E t
E0
cos(t)
因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅 比值为
Jd
2f
1 10 9
36
9.6 10 19 f
V
( H)dV
V
(
s
J
c
D) t
dS
Ic
Id
I
故通过任意封闭曲面的传导电流和位移电 流的总量I为0。
4、计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振
幅比值。设铜中的电场大小为 E0 sin(t) ，铜
的电导率为 5.8107 s / m ，令 0
4、计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振