第十六章 二次根式复习课件
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第十六章 二次根式整理与复习 课件(共21张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
a b
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
第16章二次根式单元复习ppt课件
知识点4.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
（2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
(3) a2b ab2 a2 b ab a
例11、计算
(1)(2 6 7 2) (7 2 2 6)
(2)(2 3 5)(2 3 5) (3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
的式子叫做二次根式，“ ”称为二
次根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
2
典型例题
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
a a (a 0,b 0) bb
人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)
3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共27张)
第十六章 二次根式
锦囊妙计 解决图案类的规律探究题的技巧
应先观察图案的变化趋势, 然后从第一个图案开始进行分析, 运用从特殊到 一般的探索方式, 分析、归纳出函数解析式, 最后用代入法求出特殊情况下 的函数值.
谢 谢 观 看！
第十六章 二次根式
锦囊妙计 列代数式的常用方法
(1)直接法：根据问题的语言叙述直接列出代数式. (2)公式法：根据公式列出代数式. (3)探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
第十六章 二次根式
分析 物体的总数等于各层物体数之和, 每层物体的个数和它的层数有关. 设物体 的总数为 y. 从上往下数, 第 1 层放 1 个, 第 2 层放 2 个, 第 3 层放 3 个, …, 第 n 层放 n 个, 即 y=1+2+3+…+n. 求 1+2+3+…+n 需要一定的技巧. ∵y=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n, 又∵y=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1, ∴2y=(n+1)+(n+1)+ …+(n+1)= n(n+1), ∴y=n(n2+1).
第十六章 二次根式
题型三 二次根式中被开方数的非负性的应用
例 题 3 若 b=
1-2a +
2a-1
-1-
1 2
,
则 代 数 式 (a-b)2020 的 值 为
____1_____.
第十六章 二次根式
分析
第十六章 二次根式
锦囊妙计 求二次根式中字母的取值的技巧
第16章 二次根式 复习课件
第十六章 二次根式
知识结构
三个概念
最简二次根式 同类二次根式 有理化因式
二 次 根 式
ab a b a 0, b 0
两个性质
两个公式
a
2
a a (a 0, b 0) b b
2
a a 0
a a
运算
aa 0 aa 0
二次根式的概念
2
2
a , a a ,a 0 0 a , a 0 a ,a0
题型:二次根式非负性的应用.
3.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的平方根.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
4.已知x,y为实数,且
(1) 2 x 3 ( 2) ( x 5)
2 (4) 1 x
2
3 (3) 2x 1
0
(5) x 5 ( x 6)
(6) x 2 2 x
二次根式的性质
（1）． （2）． ( （3）．
a 0 （ａ 0） aa （ａ 0） )0 a
2
a a a { { a
x2 成立的条件是 x3
.
ab
2
=
.
x 3 14.化简 x = 2 x
.
15.已知a满足 1992-a a 1993 a, 那么a-1992 的值是（ C ）
2
A.1991
B.1992
C.1993
D.1994
1 16.若把根号外的因式移到根号内则a 等于（ A ） a
A．-
2 2 2 2
知识结构
三个概念
最简二次根式 同类二次根式 有理化因式
二 次 根 式
ab a b a 0, b 0
两个性质
两个公式
a
2
a a (a 0, b 0) b b
2
a a 0
a a
运算
aa 0 aa 0
二次根式的概念
2
2
a , a a ,a 0 0 a , a 0 a ,a0
题型:二次根式非负性的应用.
3.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的平方根.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
4.已知x,y为实数,且
(1) 2 x 3 ( 2) ( x 5)
2 (4) 1 x
2
3 (3) 2x 1
0
(5) x 5 ( x 6)
(6) x 2 2 x
二次根式的性质
（1）． （2）． ( （3）．
a 0 （ａ 0） aa （ａ 0） )0 a
2
a a a { { a
x2 成立的条件是 x3
.
ab
2
=
.
x 3 14.化简 x = 2 x
.
15.已知a满足 1992-a a 1993 a, 那么a-1992 的值是（ C ）
2
A.1991
B.1992
C.1993
D.1994
1 16.若把根号外的因式移到根号内则a 等于（ A ） a
A．-
2 2 2 2
人教版数学八年级下册第十六章 二次根式 章末复习课件
上一级
目录
(4)二次根式的混合运算 ①二次根式的混合运算顺序： 与 实 数 的 混 合 运 算 顺 序 一 样 ， 先 算 __乘__方____ ， 再 算 __乘__除____ ， 最 后 算 __加__减____，有括号的先算括号内的运算(或先去掉括号)； ②在二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式的乘法法则、多项式 的乘法公式仍然适用．
上一级
目录
9．已知等腰三角形的两边长满足 a－4＋b－2＝0，那么这个等腰三角形
的周长为( B )
A．8
B．10
C．8 或 10
D．9
上一级
目录
10．【例】若 y＝ 2－x＋ x－2＋4，求 x2＋y2 的平方根． 解：∵2－x≥0，x－2≥0， 解得 x≤2，x≥2，则 x＝2， ∴y＝4， 故 x2＋y2＝22＋42＝20， ∴x2＋y2 的平方根为± 20 ＝±2 5 .
＝2.
上一级
目录
16．【例】已知 a＝ 7－3，b＝ 7＋3，求下列各式的值：(1)a2－b2； 解：∵a＝ 7 －3，b＝ 7 ＋3， ∴a＋b＝( 7 －3)＋( 7 ＋3)＝2 7 ， a－b＝( 7 －3)－( 7 ＋3)＝－6， ab＝( 7 －3)( 7 ＋3)＝－2， a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝－12 7 ； (2)a2＋b2. 解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝28＋4＝32.
B．a≤0
C．a<0
D．a≥－2
上一级
目录
题型3 二次根式的性质
7．【例】若实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则 a2＋ b2－|b－c|
的结果是( C )
A．a－c
B．－a－2b＋c
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式单元复习》公开课课件
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1
（１） 3 x
（２）
2x 5
（３） 1 x （４） x3 8x
x
（５） x2 2x（６） x2 2x 1
2．（１） (3)2 ____
（２）当 x 1 时， (1x)2 ____
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若
(x 7)2 1
4
拓展1
设a、b为实数,且| 2 -a|+ √ b-2 =0
（ 1 ） 求 a 2- 22 a + 2 + b 2 的 值 . a 2， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积.
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 2）2 1 1
∴三角形的面积为 1 2 1 1
A.3
B.-3
C.1
D.-1
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
(3) x2y
(4)0.75 (5)(ab)a(2b2) (6)16 2 满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B
点最短路程是多少？
B
解：
60
25
B
15
60
25
25
15
15
60
15
60
A 25
AB 602 802
A
10000
100
必做题： 复习题21
DP
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几个二次根式化成最简二次根式以后，
如果被开方数相同，这几个二次根就叫 做同类二次根式 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再找同类二次根式。 （3）合并同类二次根式
例：计算
1 1 (1)2 18 18 32 2 4
1 (2)2 12 4 3 48 27 (3) a b ab a
3 c =0，
•
a,a≥0 , 即当 a 为正数或 0 a -a,a≤0
2
时, a 2 等于a本身；当a为负数或0时, a,a≥0 2 2 等于a的相反数.即 a a a -a,a≤0 • 例 计算：
(1) 3
2
3
4 ; ( 2 ) ( 4 ) ;则点p(a, b)在第几象限. ab 2.若代数式 (2 a) 2 (a 4) 2的值是2，则a的
√
例：x为何值时，下列各式在实数范围内有
意义.
( 2) 1 3 x
( 4) x 1
2
(3) ( x 5)
2
3 (5) 2x 1
0
2 (6) 1 x
(7) x 5 ( x 6)
1. a (a 0)
2、分母不为0
变式练习：
1、能使二次根式 x的值有（ B ） A、0个 B、1个 2、已知
取值范围是
A a4
B a2
2 2
1 3.化简： ( x 2 ) 4x 2x . 2
C 2 a 4 D a=2或a=4
4.已知 x 2 y 3与 2x 3 y 5 或为相反数，求 二次根式 x 8 y的值.
二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
(3)( 2 3 5 ) (2 3 5 )
2 2
(4)(3 10 )
2005
(3 10 )
2005
2、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
3、商的算术平方根的性质
a b
a (a 0, b 0) b
4、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
最简二次根式的条件：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式；
2 2 2
b ab a
二次根式的混合运算 例：计算
(1)( 48 50 ) 6
(2)( 2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
例：计算
(1)(3 2 4 5 )
2
(2)( 2 3 5 )( 2 3 5 )
( x 2)
2
有意义的实数
C、2个 D、无数个
y x7 7 x 9
求 ( xy 64) 2 算术平方根。
• 二次根式的性质： • (1) a ≥0 (a≥0)，即二次根式 为非负数. 常见的值为非负数的式子有： a≥0；③a2≥0. ① a ≥0；②
2
的值 a
• 例:已知 ( a 1) b 2 则a+b+c= 4 .
第16章 二次根式
小结与复习
知识点：二次根式的概念 一般地，我们把形如 二次根式，事实上
a（a≥0）的式子叫做
a
表示非负数的算术平方根。
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1 9 2 a 33 5 4 x 15 √ √ √
2
2 6 2
2
二次根式必须具备以下2个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
例: 化简
(1) 16 81
(2) 2000
例：计算
(1) 21 7 (2)3 5 2 15
例：计算
1 (3) 4 15 ( 5 ) (4) 10 x 10 1 xy 2
40 (1) 45
(2)3 m n 5 m n
6 5 4
2
四、二次根式的加减 1、同类二次根式