高二数学课件：苏教版选修2抛物线的标准方程
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抛物线的标准方程
1.抛物线的定义 1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N 抛物线. 定点 F 叫做抛物线的焦点, 叫做抛物线的焦点 焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线. 叫做抛物线的准线 准线. l
M
· ·F
即
MF MN
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
(2).x + y = 0 2 2 (3).y =−32x (4).x −8y = 0
(1 y = 6x ).
2
2
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程 根据下列条件， （1）焦点是F（6，0） （2）焦点到准线的距离是2 . ）焦点是 （ ， ） ）焦点到准线的距离是
N K o
M
· ·F
x
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向
标准方程
焦点
准线
x
向右 向左
y2 = 2px p F( ,0) ( p > 0) 2
y2 =− px 2 ( p > 0) x2 = 2py ( p > 0) x2 =− py 2 ( p > 0)
p x =− 2
o
x
p F(− ,0) 2 p F(0 ) , 2 p F(0 − ) , 2
(x − p) + y = x ,
2 2
N o
M
化 得 2 = 2px − p2( p > 0). 简 y
· ·F
x
解法二：以定点Ｆ为原点，过点Ｆ且垂直于 的直 解法二：以定点Ｆ为原点，过点Ｆ且垂直于l的直 线为x轴建立直角坐标系 轴建立直角坐标系. 线为 轴建立直角坐标系 则点Ｆ（ ０ Ｆ（0 的方程为x= 则点Ｆ（ ,０）, l 的方程为 - p ． 设动点Ｍ（ 设动点Ｍ（x,y),由抛物线定义得 Ｍ（ 由抛物线定义得
苏教版高中数学选修2-1：抛物线的标准方程_课件3(1)
4 y ax2 a 0
注:求抛物线的焦点一定要先把抛物线化 为标准形式后定焦点、开口及准线
反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量p(p>0)
例2
1)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它 的标准方程
2)已知抛物线焦点在X轴上,焦准距 为2,求它的标准方程
ox
X
F
x2=2py Y
F
F ( 0，P ) 2
ox
X
L
y p 2
x2= -2py Y
L
ox
X
F
F ( 0，- P ) 2
yp 2
L
Y
y 2=2px
F
ox
X
x p 2
F ( P，0 ) 2
YL
y 2= -2px
F
F ( - P，0 ) 2
ox
X
xp 2
﹒图象 开口方向 标准方程 y o x 向右
抛物线及其标准 方程（一）
一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直
线l的距离相等的点的轨迹叫做 L
抛物线。
N
注1 定点F叫做抛物线的焦点。
M· ·F
2 定直线L叫做抛物线的准线
3 点F在直线外(若点在直线上
呢?)
若︳︳MMNF
︳ ︳ 1,
则点M的轨迹是抛物线。
二 抛物线标准方程的推导
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的？
(1) 抛物线定义：
一般地，我们把顶点在原点、 焦点F 在坐标轴上的抛物线的方程 叫做抛物线的标准方程。
（2）抛物线的标准方程：
三 抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线，
注:求抛物线的焦点一定要先把抛物线化 为标准形式后定焦点、开口及准线
反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量p(p>0)
例2
1)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它 的标准方程
2)已知抛物线焦点在X轴上,焦准距 为2,求它的标准方程
ox
X
F
x2=2py Y
F
F ( 0，P ) 2
ox
X
L
y p 2
x2= -2py Y
L
ox
X
F
F ( 0，- P ) 2
yp 2
L
Y
y 2=2px
F
ox
X
x p 2
F ( P，0 ) 2
YL
y 2= -2px
F
F ( - P，0 ) 2
ox
X
xp 2
﹒图象 开口方向 标准方程 y o x 向右
抛物线及其标准 方程（一）
一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直
线l的距离相等的点的轨迹叫做 L
抛物线。
N
注1 定点F叫做抛物线的焦点。
M· ·F
2 定直线L叫做抛物线的准线
3 点F在直线外(若点在直线上
呢?)
若︳︳MMNF
︳ ︳ 1,
则点M的轨迹是抛物线。
二 抛物线标准方程的推导
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的？
(1) 抛物线定义：
一般地，我们把顶点在原点、 焦点F 在坐标轴上的抛物线的方程 叫做抛物线的标准方程。
（2）抛物线的标准方程：
三 抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线，
高中数学(苏教版)选修1-1 名师课件：第2章 2.4 2.4.1 抛物线的标准方程 (共28张PPT)
2．已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程． (1)x2＝4y； (2)2y2＋5x＝0.
解：(1)由抛物线标准方程知抛物线焦点在 y 轴正半轴上， 开口向上． ∵p＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y＝－1. 5 (2)将 2y ＋5x＝0 变形为 y ＝－ x， 2
2 2
5 5 ∴2p＝ ，p＝ ，开口向左． 2 4
p y＝－ 2 ________
向上 _____
p x2＝－2py 0，－p y＝ 2 2 ________ _______ (p＞0)
向下 _____
1． 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨 迹是抛物线．定点 F 不在定直线 l 上，否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的垂线． 2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦 点在坐标轴上．
理解教材 新知 2. 4
抛 物 线
第 2 章
2.4. 1
抛物 线的 标准 方程
把握热点 考向
考点一
考点二 考点三
应用创新 演练
2.4
抛 物 线
ห้องสมุดไป่ตู้
2．4.1 抛物线的标准方程
平面直角坐标系内，有以下点和直线 A(3,0)， B(－ 3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝ －3，l4：y＝3. 问题 1： 到定点 A 和定直线 l1 距离相等的点的轨迹方 程是什么？
x2 y2 解析：双曲线 － ＝1 的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点 16 9 坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：y2＝16x
4．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线 3x－4y－12＝0 与坐标轴的交点．
高二数学选修2-1 抛物线的定义 标准方程 ppt
图 形
y
l O F x l O x
标准方程
y2 = 2px (p>0) ) y2 = -2px (p>0) ) x2 = 2py (p>0) ) x2 = -2py (p>0) )
焦点坐标
p F ( ,0 ) 2
p F ( ,0 ) 2
准线方程
p x = 2
p x = 2
y
F
y
O
F x l l F x
看书P64~65上方
思考下面的问题: 思考下面的问题: 1,从作法中了解曲线上的点所满足的几何条件 ,从作法中了解曲线上的点所满足的几何条件: 到定点和定直线的距离相等 2,抛物线的定义 ,抛物线的定义: 平面内到一个定点F的距离等于它到定直线ι的距 离的点的轨迹. ※点F不在直线ι上 3,抛物线的焦点,准线 ,抛物线的焦点,准线: 定点就是焦点,定直线就是准线 (用几何画板制作抛物线的生成过程) 4,比较椭圆,双曲线标准方程的求解过程,你认 ,比较椭圆,双曲线标准方程的求解过程, 为应如何建立直角坐标系使抛物线的方程最简单? 为应如何建立直角坐标系使抛物线的方程最简单?
y = 12 x
2
1 (2)准线方程是 x = ) 4
(3)焦点到准线的距离是 )焦点到准线的距离是2
( P=2 ) ,
y =x
2
y = ±4x, x = ±4 y
2 2
六:反馈归结: 反馈归结:
(1)抛物线的定义 )抛物线的定义: (2)抛物线的标准方程,焦点坐标,准线方程 )抛物线的标准方程,焦点坐标, (3)标准方程中 的几何意义 )标准方程中P的几何意义 焦点到准线之间的距离
抛物线的标准方程
教学过程 : 一..复习引入:
高中数学 第2章2.4.1抛物线的标准方程精品课件 苏教版选修2-1
【思路点拨】 本题主要考查抛物线知识的 实际应用．解答本题首先建系，转化成抛物 线的问题，再利用解抛物线的问题解决．
【规范解答】
以隧道顶点为原点，拱
高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 a a 点 B 的坐标为( ，－ )，如图所示． 2 4 设隧道所在抛物线方程为 x2＝my， a2 a 则( ) ＝m· (－ )，∴m＝－a. 2 4 即抛物线方程为 x2＝－ay.8 分
m2＝6p， 故 p 2 2 － 3 ＋ ＋ m ＝ 5 ， 2
p＝4， p＝4， 解得 或 m＝2 6， m＝－2 6.
∴抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6.
法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则准线方程为 x＝ .∵M(－3， m)是抛物 2 线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦 点的距离等于 M 点到准线的距离， ∴有 p |－3|＋ ＝5，∴p＝4，∴所求抛物线方 2 程为 y2＝－8x. 2 又点 M(－3， m)在抛物线上， 故 m ＝(－ 8)×(－3)， ∴m＝± 2 6.
∴以抛物线的焦点弦AB为直径的圆与抛物 线的准线l相切．
法二：如图，设 AB 的中点为 M，A、B、M 在 l 上的射影分别为 A1、B1、M1，则 M 是 AB 为直径的圆的圆心． 根据抛物线的定义，在直角梯形 ABB1A1 中， 1 1 1 MM1＝ (AA1＋BB1)＝ (AF＋BF)＝ AB. 2 2 2 故以抛物线的焦点弦 AB 为直径的圆与抛物 线的准线 l 相切．
将(0.8，y)代入抛物线方程，得 0.82＝－ ay， 2 0.8 即 y＝－ .10 分 a a 欲使卡车通过隧道，应有 y－(－ )>3， 4 a 0.82 即 － >3.12 分 a 4 ∵a>0，∴a>12.21.∴a 应取 13.14 分
苏教版高中数学选修(1-1)课件抛物线de标准方程.pptx
即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 是抛物线
其中 定点F叫做抛物线的焦点
l
M
H· ·F
定直线 l叫做抛物线的准线
想一想?定义中当直线l经过定点F， l
则点M的轨迹是什么？ 经过点F且垂直于l 的直线
F·
如何求抛物线的轨迹方程呢
求曲线方
程的基本
步骤是怎
样的？
M
H
·F
l
想一想？
回顾求曲线方程一般步骤：
三、标准方程
ly
. 把方程y2 = 2px（p＞0）叫做抛 O
x
物线的标准方程
K
F
其中 焦点F（ ，p 0），准线方程l：x= - p
2
2
而p的几何意义是: 焦点到准线的距离
一条抛物线，由于它在坐标平面内的 位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程还有其它形式.
问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你 能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛 物线的方程吗?
（3）焦点到准线的距离是4,它的标准方程_____.
x2=±8y 、y2=±8x
（1）
（2）
（3）
解题步骤:
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤： （1）确定抛物线的形式. （2）求p值 （3）写抛物线方程
注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
变式：求焦点在直线2x+3y-6=0上 的抛物线的标准方程。
p 0 2
y p 2
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
感悟归结:
1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
2、一次项的系数的符号决定了抛物线的 开口方向.
例1已知抛物线的标准方程是y2 = 4x，
【精品】高中数学苏教版选修2-1课件：2.4.1抛物线的标准方程课件(22张)
1 变式：已知抛物线的焦点是F ( , 0 ) ，求抛物线的 4 标准方程。 2 y x
直接法
(1)定位(焦点位置)；(2)定量（求p）
四、例题讲解
例3：求经过点 ( 2, 4) 的抛物线的标准方程。 解：点( 2, 4)在第三象限，所以抛物线开口向下 2 y 2 p xp ( 1 0 ) 1 或向左，所以设标准方程为 2 2 p 8 ,2 p 1 x 2 p yp ( 2 0 ) ,将点代入，解得 或 2 2 2 x ，所求抛物线方程为 y 8 x 或 y 。
F
相关概念
l
准线
M
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l叫做抛物线的准线。
焦点
K O
F
过F作l的垂线，垂足为K，KF的长度表示焦 点到准线的距离，用小写字母p表示。
抛物线和过F垂直于l的直线的交点O叫作抛物 线的顶点。
二、轨迹
【备课】抛物线轨 迹形成过程.gsp
三、标准方程
回顾标准方程的推导过程？
N
l
M
· F ·
步骤： 建系
设点
列式
化简
得到方程
三、标准方程
l
如何建立直角坐标系？
N
M
· F ·
三、标准方程
三种建系方式推导
y
l
d
M( x , y )
l
y
d
l
M( x , y )
y
d
M (x, y)
K O
F
x
K O
F
x
K
O
F
x
第 1种
第 2种
第 3种
三、标准方程
第二种建系方式推导过程
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1课件： 2.4.1 抛物线的标准方程 课件1
3.列式 PF=PH 即
(x pห้องสมุดไป่ตู้2 y2 x p
2
2
4.化简 y2 2 px p 0
抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程.
其中焦点 F （ p , 0 ），准线方程l：x = － p
2
2
而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离．
思考： 抛物线的标准方程还有其他形式吗？
比
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
题型一 确定抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y 2 = －20 x （2） y = 6 x 2
（3） x2 2ay ( a 0 ) （4） y mx2 ( m 0)
题型二 求抛物线的标准方程
1．抛物线的焦点为（0，－3）； 2．求过点A（－3，2）的抛物线的标准方程．
能推导抛物线的标准方程？
抛物线的标准方程
求曲线方程的步骤：
N
1. 建系.
过F作直线F N ⊥ l ,垂足为N ．以F N所在的直线 为x轴，线段F N的中点为原点建立直角坐标系xoy．
2.设点．
设焦点F到准线 l的距离为p，则F
p ,0 2
,又设P（x , y）
为抛物线上任意一点，作PH ⊥ l ，垂足为H．
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/18
最新中小学教学课件
15
谢谢欣赏！
2019/7/18
最新中小学教学课件
16
思考2 我们今天所学的抛物线与初中学习 的抛物线（二次函数的图象）有什么联系和 区别？
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M
· · F
即:
|MF| 当 |MN|=1时点M的轨迹是抛物线
回顾求曲线方程一般步骤：
1.建:建立直角坐标系. 2.设:设点(x,y); 3. 列:根据条件列出等式; 4. 代:代入坐标与数据; 5. 化:化简方程.
二、标准方程
l N
F
过F做直线FN垂直于直线l，垂足为N。以直线NF为x 轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直 y 角坐标系xOy。 设︱KF︱= p l p p 则F（ 2 ，0），l：x = M 2 N 设动点M的坐标为（x，y）， x 由定义可知， K o F
(1) y 6 x
2
(2) x 3 y
2
2
(4) x 42 y 练习2 求适合下列条件的标准方程。
2
(3) y 32x
（1）焦点为（6，0） （2）焦点为（0，-5） 2 （3）准线方程为 y 3 （4）焦点到准线的距离为5。
三、应用
例1 求经过点 P(2,4) 的抛物线 的标准方程。
求下列抛物线的焦点坐标和准线.
4x 2 2、x 4 y
1、y
2
1 y x 4
2
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没 有其它的形式？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表观察总结，图形的位置特 征和方程形式有何联系？
一次项变量对称轴，开口方向看正负
练习1 求下列抛物线的焦点和准线方程。
变式练习：求以直线2x-3y+6=0与坐标轴 的交点为焦点的抛物线的标准方程。
例2.已知抛物线形古城门底部宽12cm, 高6cm，建立适当的坐标系，求出 它的标准方程
引申：（1）一辆货车宽4cm,高4cm，问 能否通过此城门? (2)若城门为双向行道，那么该货车能否 通过呢？
小 结 ：
1、学到哪些知识？
2、学到哪些方法？
3、有何感受？
布置作业
• 教材P45 T1,3,4,5
• 课外思考：点M到点（2，0）的距离 比它到直线的距离大1，求点M的轨迹 方程。
· ·
p 2 p 2 (x ) y x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程。
p p 其中焦点F ,0 , 准线方程为x , 开口向右 2 2
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
练习
问题情景
1、下面图片中有我们学过的圆锥 曲线吗?
赵州桥
探照灯
2、你能否再举一些生活中抛物线 的例子?
抛物线的标准方程
淮安市范集中学
一、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l（ F不 在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中定点F叫做抛物线的焦点 定直线l 叫做抛物线的准线
l N
· · F
即:
|MF| 当 |MN|=1时点M的轨迹是抛物线
回顾求曲线方程一般步骤：
1.建:建立直角坐标系. 2.设:设点(x,y); 3. 列:根据条件列出等式; 4. 代:代入坐标与数据; 5. 化:化简方程.
二、标准方程
l N
F
过F做直线FN垂直于直线l，垂足为N。以直线NF为x 轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直 y 角坐标系xOy。 设︱KF︱= p l p p 则F（ 2 ，0），l：x = M 2 N 设动点M的坐标为（x，y）， x 由定义可知， K o F
(1) y 6 x
2
(2) x 3 y
2
2
(4) x 42 y 练习2 求适合下列条件的标准方程。
2
(3) y 32x
（1）焦点为（6，0） （2）焦点为（0，-5） 2 （3）准线方程为 y 3 （4）焦点到准线的距离为5。
三、应用
例1 求经过点 P(2,4) 的抛物线 的标准方程。
求下列抛物线的焦点坐标和准线.
4x 2 2、x 4 y
1、y
2
1 y x 4
2
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没 有其它的形式？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表观察总结，图形的位置特 征和方程形式有何联系？
一次项变量对称轴，开口方向看正负
练习1 求下列抛物线的焦点和准线方程。
变式练习：求以直线2x-3y+6=0与坐标轴 的交点为焦点的抛物线的标准方程。
例2.已知抛物线形古城门底部宽12cm, 高6cm，建立适当的坐标系，求出 它的标准方程
引申：（1）一辆货车宽4cm,高4cm，问 能否通过此城门? (2)若城门为双向行道，那么该货车能否 通过呢？
小 结 ：
1、学到哪些知识？
2、学到哪些方法？
3、有何感受？
布置作业
• 教材P45 T1,3,4,5
• 课外思考：点M到点（2，0）的距离 比它到直线的距离大1，求点M的轨迹 方程。
· ·
p 2 p 2 (x ) y x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程。
p p 其中焦点F ,0 , 准线方程为x , 开口向右 2 2
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
练习
问题情景
1、下面图片中有我们学过的圆锥 曲线吗?
赵州桥
探照灯
2、你能否再举一些生活中抛物线 的例子?
抛物线的标准方程
淮安市范集中学
一、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l（ F不 在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中定点F叫做抛物线的焦点 定直线l 叫做抛物线的准线
l N