分式方程--讲义
《分式方程》_课件-完美版
【获奖课件ppt】《分式方程》_课件- 完美版 1-课件 分析下 载
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巩固新知
1．解分式方程 x 2 3 ，去分母后的结果是( )
运用新知
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 追问1：工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？ 追问2：由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成，则乙队的工作 效率是多少？ 追问3：此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？ 追问4：工程类问题常用的等量关系是什么？
x2
x2
A．x＝2＋3
B．x＝2(x－2)＋3
C．x(x－2)＝2＋3(x－2) D．x＝3(x－2)＋2
答案：B
2．解下列方程：(1)
x
1 5
10 x2 25
7
1
6
；(2)
x2
x x2
x x2
x。
答案：(1)无解；(2)x＝3。
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此方程中含有分式，即方程的分母中含有未知数，而整式方程的左右两边都是整式。 归纳：分式方程的概念：像这样 分母中含有未知数的方程 叫分式方程。
追问：分式方程与整式方程有何区别？
小结：分式方程中含有分式，即分母中含有未知数的方程；整式方程是指方程的左右 两边都是整式，不含有分式。
讲义6：分式方程
七年级上：初一数学提高（1）班辅导讲义6：分式方程及整数指数幂姓名______________辅导时间______【知识要点】1、 分式方程：分母中含有未知数的方程。
.解分式方程的基本思想：去分母，把分式方程转化为整式方程解分式方程的一般步骤：（1） 去分母：在原方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程（2） 解这个整式方程：得到整式方程的根（3） 验根：检验整式方程的根是否为原分式方程的根（把整式方程的根代入最简公分母检验，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去）（4） 写结论：原方程的根为……，或原方程无解列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
2、整数指数幂：正整数、0、负整数都可以作指数；幂的有关运算法则依然成立（0和负整数作指数时要求底数不等于0）3、科学计数法的简单应用【基础自测】1、下列方程中是分式方程的是（ ）A.2413x x +-+ B. 5042x x -+= C. ()34243x x -= D. 142x x +=+ 2、1a =-是下列哪个方程的根？（ ）A. 21012a a -=++B. 2201a a-=- C. 21012a a +=-+ D. 2212a a =-+ 3、下列运算正确的是（ ）A. ()224--=B. 2124--=C. 22155x x -=D. ()122xy xy-= 4、下列等式正确的是（ ）A. ()311--=B. ()()236222-⨯-=C. ()()826555-÷-=-D. ()0241-=5、分式方程5231x x=-的解是______________ 6、 若分式方程()()2815x a a x +=--的解为15x =-，则a ＝____________； 7、x ＝1_________（是、不是）方程1111x x x +=--的根8、去分母解关于x 的方程3022x m x x --=--时会产生增根，则m ＝ _______ 9、科学计数法表示：1340000＝ _________________；0.0001034＝ __________________10、写出原数：65.7110-⨯=______________；84.0310-⨯=______________； 11、大小比较：24--，20.2-，0133⎛⎫- ⎪⎝⎭，334-⎛⎫ ⎪⎝⎭：___________________________________ 12、用50克盐加水调制成浓度为25%的盐水，需要加水____________克13、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队恰好同时开工同时完工；甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台空调，根据题意，可以列出方程为____________【例题选讲】：1、解方程 （1）21211x x =-- （2）3233x x x =+--（3）22254212343x x x x x -=-+-++ （4）23251x x x x x +-=+-2、（1）m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？（2）已知关于x 的方程323-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围.3、计算：（1）()11xy x y --+； （2）()()1122x y x y ----+÷-（3）2110162123733---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）()110111432232---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯÷+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、 应用题：（1）轿车和货车同时从上海出发，轿车行270千米到达南京时，货车才行120千米到达无锡，如果轿车每小时比货车多行50千米，那么求轿车的速度（2）一个分数的分母比它的分子大5；如果这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得的分数为原分数的倒数，去这个分数（3）某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前5天完成任务。
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
《分式方程》课件
检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0，
所以原分式方程的解是x=1.5.
分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母3(x-1).
4
2.解分式方程：x2 -1
1
x -1
x 1.
解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得4+x2-1=(x-1)2，
解得x=-1.
检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0，
1 x-6
1 x-8
.
通分，得
x2
-2 - 6x
8
-2
x2 -14x 48.
所以x2-6x+8=x2-14x+48， 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解. 所以原分式方程的解为x=5.
课堂小结
解分式 方程
基本 思路
步骤
分式 去分母 整式 方程 转化 方程
一去 二解 三验 四写
拓展提升
1.解分式方程： x -1 x - 7 x - 3 x - 5 . x-2 x-8 x-4 x-6
分析： 观察原方程发现每一项分式的分母加1都等于它
的分子，将分子拆成分母与1的和，分别除以分母，消
所以x=-1不是原分式方程的解. 分式方程的常数项
所以原分式方程无解.
“1”也要乘以最简 公分母(x+1)(x-1).
3.解分式方程：4xx2 -11
3 2x 1
-
4 4x -
.
2
解：原分式方程可化为
(2x
x 1 1)( 2 x
-1)
3 2x 1
-
2
2x -1,
方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ， 解得x=6， 检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0， 所以原分式方程的解是x=6.
分式方程(简讲义)
分式方程1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1)分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4)最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例：已知 ，则求2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
例：若 ，则求 CB C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=411=+b a bb a b ab a 7223-++-432c b a ==cb ac b a +++-5236. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、分式方程的定义首先，咱们来聊聊啥是分式方程。
分式方程啊，就是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数的方程。
比如说，像这样的方程：＼（＼frac{x}｛x 1} ＝ 2\），＼（＼frac{3}｛x ＋ 2} ＝ 5\），这里的＼（x 1\）、＼（x ＋ 2\）就是分母，而且里面都有未知数＼（x\），所以它们就是分式方程。
那为啥要研究分式方程呢？因为在很多实际问题中，我们常常会遇到这种形式的方程，通过求解分式方程，就能找到问题的答案。
二、分式方程的解法接下来，重点讲讲分式方程咋解。
解分式方程的关键步骤就是去分母，把分式方程转化为整式方程。
举个例子，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝ 2\），我们在方程两边同时乘以＼（x 1\），得到＼（x ＝ 2(x 1)＼）。
这时候就得到了一个整式方程，接下来就可以按照整式方程的解法来求解啦。
展开式子：＼（x ＝ 2x 2\），然后移项：＼（2x x ＝ 2\），解得＼（x ＝ 2\）。
但是，这里要特别注意！解完之后一定要检验！为啥要检验呢？因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含未知数的式子，可能会产生增根。
所谓增根，就是使分母为＼（0\）的根。
比如上面这个例子，把＼（x ＝ 2\）代入原方程的分母＼（x1\），＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的根。
再看个例子，方程＼（＼frac{1}｛x 2} ＋ 3 ＝＼frac{x 1}｛x 2}＼）。
先在方程两边同时乘以＼（x 2\），得到＼（1 ＋ 3(x 2) ＝ x1\）。
去括号：＼（1 ＋ 3x 6 ＝ x 1\），移项：＼（3x x ＝ 1 1 ＋ 6\），合并同类项：＼（2x ＝ 4\），解得＼（x ＝ 2\）。
检验一下，把＼（x ＝ 2\）代入原方程分母＼（x 2\），＼（2 2 ＝ 0\），所以＼（x ＝ 2\）是增根，原方程无解。
三、分式方程的应用分式方程在实际生活中有很多用处呢。
分式方程ppt课件
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
分式方程讲义
x2 4x 1 2 ) 2 其中，x=—3” ． x2 x 4 x 4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20． （8 分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗 旱，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人 均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
180 180 x 2 (1 ) ， x 1.5 x 3 解这个方程为 x 182 ，经检验，x=182 是所列方程的根，即前前一小时的速度为 182．
由题意得： 22 、 解 ： 设 该 市 去 年 居 民 用 气 的 价 格 为 x 元 / m ³ ， 则 今 年 的 价 格 为 (1+25%)x 元 / m ³． „„„„„„„„„„„„„„„„„„1 分 96 90 10 ． 根据题意，得 „„„„„„„„„4 分 x (1 25%) x 7
3
本节小结：
解分式方程的步骤(1).去分母(2).解整式方程(3).把整式方程的根代入最简公分母或原分式方
程.若结果为零,则是增根,舍去
解分式方程应用的步骤和注意事项
列分式方程解的一般步骤题为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺 各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
18、 （1） x 1 为增根，此题无解； （2） x
2 19、解：原式计算的结果等于 x 4 ， „„„„„„„„„„„„„6 分
分式方程的ppt课件
为整式方程，再解整式方程．
问题2
你能试着解分式方程
90 30+v
=
60 30-v
吗？
问题3 这些解法有什么共同特点？
总结：
这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化
为整式方程，再解整式方程．
思考：
（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母
解：移项、合并，得 50x =sv.
解得
x=
sv 50
.
检验：由于v，s 都是正数，当x
=
sv
时x（x+v）≠0，
所以，x
=
sv 50
50 是原分式方程的解，且符合题意.
sv
答：提速前列车的平均速度为 50 km/h．
探究列分式方程解实际问题的步骤
上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形 式，这在分析问题寻找规律时经常出现．例2中列出的 方程是以x 为未知数的分式方程，其中v，s是已知常数，
思考： （1）这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？ （2）你想怎样解决这个问题？关键是什么？
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量）， 也可以表示已知数（量）.
探究列分式方程解实际问题的步骤
例2 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间， 列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km， 提速前列车的平均速度为多少？
八年级 上册
15.3 分式方程 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了分式方程的概念并能够 解简单的分式方程的基础上，进一步巩固可化为 一元一次方程的分式方程的解法，归纳出解分式 方程的一般步骤，能够列分式方程解决简单的实 际问题．
《分式方程》PPT课件
（来自《典中点》）
知识点 3 分式方程的根（解）
知3－导
使得分式方程等号两端相等的未知数的值 叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).
知3－讲
例3 [中考·遵义]若x＝3是分式方程 a 2 1 x x2
＝0的根，则a的值是( A )
A．5 B．－5 C．3
D．－3
导引：把x＝3代入分式方程，得到关于a的一元一次方
C．m＝3
D．m＝0或m＝3
3
若关于x的分式方程
6
( x 1)( x 1)
m
x 1 有增
根，则它的增根是( )
A．0
B．1 C．－1 D．1和－1
（来自《典中点》）
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程. 2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程.
漏乘．
（来自《点拨》）
1 解方程： (1) x 5 4; 2x 3 3 2x
3
x
(2) x2 9 x 3 1.
知2－练
（来自《点拨》）
知2－练
2
【中考·济宁】解分式方程
2 x1
x2 1 x
3
时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
38 2 2 1. 9x x
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽 车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程
38 2 9 2 .
1 x
x
知1－导
讨论： 上面得到的方程与我们已学过的方程有什么 不同？这两个方程有哪些共同特点？
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分式方程
主讲教师：傲德 重难点易错点辨析 题一：解方程：
考点：分式方程的解法
题二：若x =1是方程()()231212x x m x x x x +++=----的增根，则m 的值为 ． 考点：分式方程的增根
金题精讲
题一：(1)若关于x 的方程234393
ax x x x +=--+有增根，求a 的值． (2)当a 为何值时，方程311
a a x +=+无解． 考点：解分式方程
题二：阅读材料，并回答问题．
方程1122x x +=+的解为1212,;2
x x == 方程1133x x +=+的解为1213,;3
x x == 方程1144x x +=+的解为1214,;4
x x ==L (1)观察上述方程，则关于x 的方程1155
x x +=+的解是 ； (2)根据上述规律，则关于x 的方程11x a x a +
=+的解是 ； (3)在解方程21013y y y ++=+时，可转化为11x a x a
+=+的形式，请按要求写出变形求解过程． 考点：分式方程的增根
题三：甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
(1)问乙单独整理多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
考点：解分式方程的灵活运用思维拓展
题一：已知：
25
364
a c b
++
==，且2a-b+3c=23，求a、b、c的值．
考点：等比设k
分式方程
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：x= -1/2；x= -2增根．题二：-3．
金题精讲
题一：(1)a= -6或8；(2) a=0，a= -1/3．题二：(1)5，1/5；(2)a，1/a；(3)2或-2/3．题三：(1)80；(2)25．思维拓展
题一：4.3，8.4，7.6．。