分式方程及其应用(讲义及答案)

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第06课时分式方程及其应用PPT课件

根据题意得:26a+35(200-a)=6280,
(2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购
解得:a=80.
买了多少条 A 型芯片?
答:购买了 80 条 A 型芯片.
+3
例 1 [2017·宁夏] 解方程:
-
4
-3 +3
=1.
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误:
(1)漏乘没有分母的项;
(2)没有验根;
(3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9,
移项、合并同类项,得 2x=-30,
系数化为 1,得 x=-15,
)
B.4
=1 的解为 x=2,则 m
C.3
D.2
-1
=1 的解
为 x=2,∴x=2 满足关于 x 的分式方程
-3
-1
-3
=1,∴
2-1
=1,解得 m=4.故选 B.
高频考向探究
探究三分式方程的应用
例 3 [2018·岳阳] 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我
市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然
完成的绿化面积的 2 倍,并且甲工程队完成 300 平方米的绿化
面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时.乙工
程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?
解:设乙工程队每小时能完成 x 平方米的
300 300
绿化面积.根据题意,得

-
2
=3.
解得 x=50.
经检验,x=50 是分式方程的解且符合题意.

人教版八年级数学上册第15章分式分式方程及其应用专题(含答案)

人教版八年级数学上册第15章分式方程及其应用（含答案）例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()x x +-11 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。

21688y y y =∴==5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m 的值是（）2111x x m x x x x +-++=+A. B. --12或-12或C. D. 12或12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

列分式方程解应用题及答案

列分式方程，也称为分式方程，是在一个分式方程中，将一个分式等于另一个分式，即将两个分式的系数和指数相等。

分式方程的解决方法有两种：一种是分式的消去法；另一种是分式的组合法。

一、分式消去法1、首先将两边的分式化简，可以将系数和指数相乘，或者将指数相加，使两边的分式的系数和指数相等；2、然后将两边的分式的系数相减，求出未知数的值；3、最后，将未知数代入分式方程，检验是否正确。

例题：已知分式方程：$$\frac{2x-3}{x+2}=\frac{x-1}{2x-1}$$求x的值。

解：将两边的分式化简，可以将系数和指数相乘，即：$$(2x-3)(2x-1)=(x-1)(x+2)$$将两边的分式的系数相减，求出未知数的值：$$2x^2-2x-3x+3=x^2+x-2x-2$$$$x^2-5x+5=0$$$$x=1,5$$将未知数代入分式方程，检验是否正确：当x=1时，$$\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2\times1-3}{1+2}=\frac{-1}{3}=\frac{x-1}{2x-1}=\frac{1-1}{2\times1-1}=\frac{0}{1}$$ 当x=5时，$$\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2\times5-3}{5+2}=\frac{7}{7}=\frac{x-1}{2x-1}=\frac{5-1}{2\times5-1}=\frac{4}{9}$$ 综上所述，解得x=1,5。

二、分式组合法1、首先将两边的分式化简，可以将系数和指数相乘，或者将指数相加，使两边的分式的系数和指数相等；2、然后将两边的分式的系数相乘，求出未知数的值；3、最后，将未知数代入分式方程，检验是否正确。

例题：已知分式方程：$$\frac{3x-1}{x+2}=\frac{2x-3}{x-1}$$求x的值。

解：将两边的分式化简，可以将系数和指数相乘，即：$$(3x-1)(x-1)=(2x-3)(x+2)$$将两边的分式的系数相乘，求出未知数的值：$$3x^2-2x-3x+3=2x^2+4x-6x-6$$$$x^2-2x-3=0$$$$x=1,3$$将未知数代入分式方程，检验是否正确：当x=1时，$$\frac{3x-1}{x+2}=\frac{3\times1-1}{1+2}=\frac{2}{3}=\frac{2x-3}{x-1}=\frac{2\times1-3}{1-1}=\frac{-1}{0}$$ 当x=3时，$$\frac{3x-1}{x+2}=\frac{3\times3-1}{3+2}=\frac{8}{5}=\frac{2x-3}{x-1}=\frac{2\times3-3}{3-1}=\frac{3}{2}$$综上所述，解得x=1,3。

中考数学精讲篇考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第三节分式方程及其应用

解：设小明骑自行车的平均速度为 x km/h，则妈妈开车的平均速度为 4x km/h，依题意得1x6－41x6＝1，解得 x＝12，经检验，x＝12 是原方程的解，且符合题意， ∴4x＝48. 答：妈妈开车的平均速度为 48 km/h.
7．(2021·永州第 23 题 10 分)永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在 2022 年将 30 亩土地全部用于种植 A， B 两种经济作物．预计 B 种经济作物亩产值比 A 种经济作物亩产值多 2 万元，为实现 2022 年 A 种经济作物年总产值 20 万元，B 种经济作物年总产值 30 万元的目标，问：2022 年 A，B 两种经济作物应各种植多少亩？
第三节分式方程及其应用
1．已知关于 x 的分式方程mx－－31＝1. (1)若此分式方程的解为 x＝2，则 m 的值为 4 4； (2)若此分式方程有增根，则 m 的值是 3 3 ； (3)若此分式方程的解是正数，则 m 的取值范围是 m>m2>且2且m ≠3.
m≠3
2．(RJ 八上 P153 例 4 改编)甲、乙两地相距 1 000 km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 3 h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的 1.6 倍．若设特快列车的平均速度为 x km/h，则根据题意，可列方程为－1 3x0＝00－3＝11.060x0 .
5．(2021·衡阳第 17 题 3 分)“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木 6 000 棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了 25%，结果提前 3 天完成任务．则实际每天植树 5500 00 棵．
6．(2021·岳阳第 21 题 8 分)星期天，小明与妈妈到离家 16 km 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1 h 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的 4 倍，求妈妈开车的平均速度．

考点05 分式、分式方程及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点05 分式、分式方程及其应用分式在中考中的考察难度不大，考点多在于分式有意义的条件，以及分式的化简求值。

浙江中考中，分式这个考点的占比并不太大，其中分式的化简求值问题为主要出题类型，出题多以简答题为主；个别城市会同步考察分式方程的简单应用，多以选择填空题为主，有些城市甚至不会出分式的单独考题；而分式方程的应用也和分式方程一样，较少出题，出题也基本是以选择题或者填空题的形式考察，整体难度较小。

但是，分式的化简方法以及分式方程的解法的全面复习对后期辅助几何综合问题中的计算非常重要！考向一、分式有意义的条件考向二、分式的运算法则考向三、分式方程的解法考向四、分式方程的应用考向一：分式有意义的条件1.分式：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子叫做分式，分式中A叫做分子，B 叫做分母。

最简分式：分子分母中不含有公因式的分式2.分式有意义的条件3.分式值=0需满足的条件【易错警示】1．下列四个式子：，x 2+x ，m ，，其中分式的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据分式的定义可得．【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有，两个分母中都含有字母，所以这两个是分式，故选：B ．2．若分式无意义，则x 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据分式无意义的条件可得2x ﹣1＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x ﹣1＝0，解得：x ＝，若＜故选：C ．3．若分式的值为零，则x 的值为（）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．1【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x 2﹣4＝0，且x +2≠0，解得，x ＝2．故选：B ．4．已知＝，则的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【分析】先化简，代入数值计算即可．【解答】解：∵，＝＝＝．故选：C ．考向二：分式的运算法则1.分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

第6讲分式方程(讲义)解析版

第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（）A ．12x -=B 1=C 10-=D 1=【答案】C【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 是整式方程，故选项错误；B. 是整式方程，故选项错误；分母中含有未知数x ，所以是分式方程，故选项正确；D. 是整式方程，故选项错误.故选C.【点睛】此题考查分式方程的判定，掌握分式方程的定义是解题的关键.（2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x -=；2371x x x ++=-；1(37)x x-中，分式方程有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（）A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=【答案】D【分析】直接把21xx +换成y ，整理即可．【详解】解：设21xy x =+，则原方程化为1510y y -+=，去分母得，25y 10y +-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）.用换元法解方程221165380x x x x æöæö+++-=ç÷ç÷èøèø，设1y x x =+，则方程变为()A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【难度】★【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________．【难度】★【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【难度】★【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x =．【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =，检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根．【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．例5.解方程：（1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-．【难度】★★【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3）无解．【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--；（2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【难度】★★【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=，解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =；（3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根，即原方程的根为54x =．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【难度】★★【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【难度】★★【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-，得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø．【难度】★★【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =．【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=，解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =；由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =；由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =；经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【难度】★★【答案】（1）1x =2x =（2）13x =，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a +=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x 2x =经检验，1x =2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x æö+=-+=+ç÷èø，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =；由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+23x =-，32x =-，46x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例12.解方程组：（1）413538x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î；（2）132013251x y x y ì+=ï-ïíï-=-ï-î．【难度】★★【答案】（1）01x y =ìí=î；（2）565x y =ìïí=ïî．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=ìí-=î，解得：11a b =ìí=-î，由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=ìí-=-î，解得：01x y =ìí=î，经检验，01x y =ìí=î是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=ìí-=-î，解得：55x a =ìí=î，由此可得：151y =-，解得：65y =， ∴565x y =ìïí=ïî，经检验，565x y =ìïí=ïî是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．例13.解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++；（2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【难度】★★【答案】（1）16x =，2334x =-；（2）92x =-．【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++，由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-，经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根；（2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++，由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++，两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．例14.解方程：226205x x +-=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=，两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =；由251x +=，方程无解；由256x +=，解得：11x =，21x =-；经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【难度】★★【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解；当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-，解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【难度】★★★【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意；②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-，此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =，符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=，解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-，此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意；综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．例17.解关于x 的方程：22112(3()1x x x x+-+= 【难度】★★★【答案】12x =，212x =．【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =；由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =；经检验，12x =，212x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【难度】★★★【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=，解得：11k =，24k =；由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=；由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=；经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x ax a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0xa x a x a+-=+，移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=，当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．模块二分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【难度】★【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天数，乙工作天数为x天，由此可知选D．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【难度】★【答案】B 【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．例3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【难度】★★【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x天完成，则乙单独需用()5x+天完成，依题意可得11615x xæö+=ç÷+èø，整理得27300x x--=，解得：13x=-，210x=，经检验，13x=-，210x=都是原方程的根，但13x=-不合题意应舍去，即得10x=，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【难度】★★【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm，则整个过程中小明总行程为2sm，根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abvs s a ba b==++．【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为5/km h，乙速度为4/km h．【解析】设甲速度为/xkm h，则乙速度为()9/x km h-，927min20h=，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】★★★【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x 万套衣服，则改进之前每月生产()1x -万套，依题意可得413451x x -+=-，整理得251890x x -+=，解得：135x =，23x =，经检验，135x =，23x =都是原方程的根，但135x =不合题意应舍去，即得：3x =，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x æö-=ç÷èø；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【难度】★【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=，解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为．【难度】★【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y-=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+；（3）243455121760x x x x x x --+=---+．【难度】★★【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=，解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-；（3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．5.解方程：221313x x x x ++=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =+．【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =；由1x x =+，解得：1x =+经检验11x =，21x =【总结】考查利用换元法解分式方程．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x ì+=ï+-ïíï-=ï+-î【难度】★★【答案】1011711x y ì=ïïíï=ïî．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ì+=ïíï+=î，解得：1413a b ì=ïïíï=ïî，由此可得113241143x y x y ì=ï+ïíï=ï-î，去分母得32443x y x y +=ìí-=î，解得：1011711x y ì=ïïíï=ïî，经检验，1011711x y ì=ïïíï=ïî是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【难度】★★【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-；②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=，解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【难度】★★【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【难度】★★★【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=，解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【难度】★★★【答案】11x =+，21x =，33x =+，43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+，根据等式的性质移项变形得2668120x x x x æöæö---+=ç÷ç÷èøèø，因式分解得：66260x x x x æöæö----=ç÷ç÷èøèø，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =-；由660x x --=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =21x =-33x =43x =-都是原方程的根．【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【难度】★★★【答案】12314x =．【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----，根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----，两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+，由此可得22281711448x x x x -+=-+，解得：12314x =，经检验，12314x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-；②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-；综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【难度】★★★【答案】94a =或4a =．【解析】整理原方程得27120a a x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，因式分解得340a a x x x x æöæö+-+-=ç÷ç÷èøèø，由此可得30a x x +-=或40a x x +-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=，两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-．因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=，解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．。

分式混合运算和分式方程(讲义习题).

分式混合运算（讲义）知识点睛1.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________．分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成______________．精讲精练1.分式的混合运算：（1）242222x xx x x⎛⎫++÷⎪--⎝⎭；（2）2111122xx x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭；（3）341132aaa a-⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪--⎝⎭⎝⎭；（4）2344111x xxx x-+⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭；（5）22352692x xxx x x-⎛⎫⋅--⎪-+-⎝⎭；（6）11-+aa221aa a-÷-+a1；（7）222222422444x x xx x x x x⎛⎫--+⋅⎪+-++⎝⎭．2.化简求值：（1）先化简，再求值：22112111x x xx x x x⎛⎫--+÷⎪-++-⎝⎭，其中x=3．（2）先化简，再求值：2222211b a ab baa ab a a b⎛⎫-+⎛⎫÷++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中11a b==，．（3）先化简分式221221x x x xx x x x-⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭，然后从13x-≤≤中选取一个你认为合适的整数x代入求值．（4）先化简分式3423332a a aaa a a+-+⎛⎫-÷⋅⎪+++⎝⎭，然后从不等式组25<324aa--⎧⎨⎩≤的解集中选取一个你认为符合题意的a代入求值．3.化简：22111a aaba ab--÷⋅+，并选取一组你喜欢的整数a，b代入求值．小刚计算这一题的过程如下：22(1)(1)1111(1)(1)1a a aaba aba aaba a abab+--=÷⋅++-=⋅⋅+-=解：原式①②③当a=1，b=1时，原式=1．④以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________；还有第_______步出错（填写序号），原因：___________________________________________________．请你写出此题的正确解答过程．4. 课堂上，王老师出了这样一道题：已知2018x =-22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭的值．小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：2(1)13(1)(1)1111112(1)12_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④当2018x =-12=原式．（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．5. 有两个熟练工人甲和乙，已知甲每小时能制作a 个零件，乙每小时能制作b 个零件．现要赶制一批零件，如果甲单独完成需要m 小时，那么甲、乙两人同时工作，可比甲单独完成提前_______________小时．6. 若把分式x yx y +-中的x 和y 都扩大为原来的10倍，则分式的值（）A ．扩大为原来的10倍B ．不变C ．缩小为原来的110D ．不能确定7. 若把分式2x yxy +中的x 和y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（）A ．扩大为原来的3倍B ．不变C ．缩小为原来的13D ．缩小为原来的168. 已知53m n =，则222m m n m n m n m n +-=+--__________．9. 已知34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----，则A =______，B =______．分式混合运算（习题）例题示范例2：先化简(1)211x x xx x x +⎡⎤+÷⎢⎥--⎣⎦，然后在22x -≤≤的范围选取一个你认为合适的整数x 代入求值．【过程书写】2221122112x x x x xx x x x x x x ++--=⋅--=⋅-=-解：原式∵22x -≤≤，且x 为整数∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2 当x =2时，原式=-2巩固练习1. 计算：（1）22221244x y x y x y x xy y ---÷+++；（2）211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（3）22221a a b a ab a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（4）2286911y y y y y y ⎛⎫-+--÷ ⎪++⎝⎭；（5）2221122a ab b a bb a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭；（6）24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（7）2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭；（8）352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭；（9）253263x x x x --⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭；（10）211(1)111xx x⎛⎫---⎪-+⎝⎭；（11）22221113x yx y x y x xy x y⎛⎫⎛⎫--⋅÷--⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭．2.化简求值：（1）先化简，再求值：2121122x xx x++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x=．（2）先化简，再求值：2222225321x y xx y y x x y xy⎛⎫++÷⎪---⎝⎭，其中x=，y=．（3）先化简22212211211x x x xx x x x++-⎛⎫+÷+⎪--+-⎝⎭，然后在22x-≤≤的范围内选取一个合适的整数x代入求值．（4）已知222111x x x A x x ++=---． ①化简A ；②当x 满足不等式组1030x x -⎧⎨-<⎩≥，且x 为整数时，求A 的值．3. 不改变分式2132113x y x -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（）A ．263x y x -+B ．218326x y x -+C ．2331x y x -+D ．218323x y x -+4. 把分式32a bab -中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的125. 把分式34a bab -中a ，b 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的126. 把分式222xy x y +中x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的127. 已知47(2)(3)23x A Bx x x x +=+-+-+，则A =_______，B =_______．分式方程及其应用（讲义）知识点睛1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．2. 解分式方程：根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______．增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________． 3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．精讲精练1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号）①315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152x x +=+；⑤11x a b =-．2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________．3. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x =+-；（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--；（6）2221114268x x x x x +-=----+．4.对于分式方程，下列说法一定正确的是（）A ．只要是分式方程，一定有增根B ．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根D ．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解5.若分式方程1322m xx x-=---有增根，则m的值为（）A．2 B．3 C．1 D．1-6.若分式方程11222kxx x-+=--有增根，则k的值为（）A．2-B．1-C．1 D．27.若分式方程61(1)(1)1mx x x-=+--有增根，则它的增根是（）A．0 B．1 C．1-D．1和1-8.若分式方程342(2)ax x x x=+--有增根，则增根可能为（）A．0 B．2 C．0或2 D．19.某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买了20本，则原价每本多少元？设原价每本x元，则由题意列出的方程为（）A．420420200.5x x-=-B．420420200.5x x-=- C．4204200.520x x-=-D．4204200.520x x-=-10.已知A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则由题意列出的方程为（）A．4848944x x+=+-B．4848944x x+=+- C．4849x+=D．9696944x x+=+-11.为保证某高速公路在2018年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，则由题意列出的方程为（） A．111104014x x x+=--+B．111104014x x x+=++-C．111104014x x x-=++- D．111101440x x x+=-+-12.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？13. 公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点9千米，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他骑电动车平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车所用时间是骑电动车所用时间的47．小王骑电动车上班平均每小时行驶多少千米？分式方程及其应用（习题）例题示范例1：解分式方程：11322xx x -=---．【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =- 解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（）A ．1a b a x a ++=B ．x a b x b a +=-11C ．b x a a x 1-=+D ．1=-+++-n x m x m x n x2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（）A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x = D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=-4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x -=---．7.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍．A，B两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】。

(完整版)分式方程应用题专题(含答案)

1分式方程应用题专题1、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道温（州）福（州）——铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）．2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．3、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高（污水处理率）．40% 污水处理量污水排放量（1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理20%率不低于”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每70%天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？24、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（）Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（）A ．B ．C ．D ．66602x x =-66602x x =-66602x x =+66602x x=+6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜kg ，根据x 题意，可得方程（）A ．B ．9001500300x x =+9001500300xx =-C ．D ．9001500300x x =+9001500300x x=-a38、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:9、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？4510、南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤m ，则得x 方程为．通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.411、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利4%润提高了．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售5%=价进价，利润率）-100%=⨯利润进价12、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修m ，则根据题意可得方程 x ．13、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用小871时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？14、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？15、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．16、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要天；甲队每天的工作费用220为元、乙队每天的工作费用为元．根据以上信息，从节1000550约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？517、A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？18、轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是千米/时．672007分式方程的应用题答案1、解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为小时．1分x 依题意，得． 5分29833122xx =⨯+解这个方程，得． 8分14991x =经检验是原方程的解． 9分14991x =．148 1.6491x =≈答：通车后火车从福州直达温州所用的时间约为1.64小时．10分2、解：设每盒粽子的进价为x 元，由题意得 1分20%x ×50（50）×5350 4分-x2400-=化简得x 210x 12000 5分--=解方程得x 140，x 230（不合题意舍去） 6分==-经检验，x 140，x 230都是原方程的解，==-但x 230不合题意，舍去． 7分=-答：每盒粽子的进价为40元． 8分3、解：（1）设年平均每天的污水排放量为万吨，2006x 则2007年平均每天的污水排放量为1.05x 万吨，依题意得：1分341040%1.05xx-=4分解得56x ≈5分经检验，是原方程的解56x ≈6分1.0559x ∴≈ 答：2006年平均每天的污水排放量约为56万吨，2007年平均每天的污水排放量约为59万吨．87分（可以设2007年平均每天污水排放量约为x 万吨，2007年的平均每天的污水排放量约为万吨）1.05x （2）解： 8分59(120%)70.8⨯+= 9分70.870%49.56⨯= 49.563415.56-= 答：2010年平均每天的污水处理量还需要在2007年的基础上至少增加万吨．15.56 10分4、Ｄ5、D6、解：设张明平均每分钟清点图书本，则李强平均每分钟清点x 本，(10)x +依题意，得． 3分20030010x x =+解得．20x =经检验是原方程的解．20x =答：张明平均每分钟清点图书20本． 5分注：此题将方程列为或其变式，同样得分．30020020010x x -=⨯7、C8、解：设原来每天加固x 米，根据题意，得 1分． 3分926004800600=-+xx 去分母，得 1200+4200=18x （或18x =5400） 5分解得． 6分300x =检验：当时，（或分母不等于0）．300x =20x ≠∴是原方程的解． 7分300x =答：该地驻军原来每天加固300米． 8分9、解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙施工队单独完成此项工程需x 天， 45……………………1分9根据题意，得　＋＝1 10x 1245x………………………………… 4分解这个方程，得x ＝25 ………………………………………6分经检验，x ＝25是所列方程的根 ……………………………7分当x ＝25时，x ＝20 45…………………………………………9分答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． ……………10分10、22402240220x x-=-11、解：设这种计算器原来每个的进价为元， 1分x 根据题意，得．5分4848(14)1005100(14)x xxx---⨯+=⨯-%%%%%解这个方程，得． 8分40x =经检验，是原方程的根． 9分40x =答：这种计算器原来每个的进价是40元．10分12、240024008(120)xx-=+%13、解：设第五次提速后的平均速度是x 公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x +40）公里/时．根据题意，得：－=，……………………………………2分x1500401500+x 815去分母，整理得：x 2+40x －32000=0，解之，得：x 1=160，x 2=－200， ……………………………… 4分经检验，x 1=160，x 2=-200都是原方程的解，但x 2=－200＜0，不合题意，舍去．∴x =160，x +40=200．10…………………………………………6分答：第五次提速后的平均时速为160公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时． ……………………… 7分14、解：设第一次购书的进价为元，则第二次购书的进价为x 元．根据题意得：(1)x +1200150010 1.2xx+=4分解得：5x =经检验是原方程的解5x =6分所以第一次购书为（本）．12002405=第二次购书为（本）24010250+=第一次赚钱为（元）240(75)480⨯-=第二次赚钱为（元）200(75 1.2)50(70.45 1.2)40⨯-⨯+⨯⨯-⨯=所以两次共赚钱（元） 848040520+=分答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．9分15、解法一：设列车提速前的速度为千米/时，则提速后的速度为x 千米/时，根据题意，得． 3.2x 12801280113.2xx-=4分解这个方程，得．80x =5分经检验，是所列方程的根．80x =6分（千米/时）．80 3.2256∴⨯=所以，列车提速后的速度为256千米/时．7分解法二：设列车提速后从甲站到乙站所需时间为小时，x 则提速前列车从甲站到乙站所需时间为小时，根据题(11)x +意，得．．128012803.211x x⨯=+5x ∴=则列车提速后的速度为＝256（千米/时）11 答：列车提速后的速度为256千米/时．16、解：设甲队单独完成需天，则乙队单独完成需要天．根据题x 2x 意得1分， 111220x x +=3分解得．30x = 经检验是原方程的解，且，都符合题意．530x =30x =260x =分应付甲队（元）．∴30100030000⨯= 应付乙队（元）．30255033000⨯⨯= 公司应选择甲工程队，应付工程总费用元． 8∴30000分17、解：设甲工程队每周铺设管道公里,x 则乙工程队每周铺设管道()公里 1+x ………………………1分根据题意, 得 311818=+-x x………………………4分解得， 21=x 32-=x ………………………6分经检验，都是原方程的根 21=x 32-=x 但不符合题意,舍去 32-=x ………………………7分∴31=+x 答: 甲工程队每周铺设管道2公里,则乙工程队每周铺设管道3公里． ………………………8分18、 20。

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分式方程及其应用（讲义）
➢课前预习
1.请回顾相关知识，填空：
2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：
（1）理解题意，梳理信息．
梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型．
建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：
①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑___________；
②不超过、不多于、少于、至少……，考虑_____________．
（3）求解验证，回归实际．
主要是看结果是否_________________．
➢知识点睛
1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．
2. 解分式方程：
根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______．
增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________．
3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．
➢ 精讲精练
1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ①
315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152
x x +=+； ⑤11
x a b =-． 2. 已知方程2512
kx x +=+的解为1x =，则k =_________． 3. 解分式方程：
（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x
=+-；
（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；
（5）
2236111
x x x +=+--；
（6）
2
2
211
1
4268
x
x x x x
+
-=-
---+
．
4.对于分式方程，下列说法一定正确的是（）
A．只要是分式方程，一定有增根
B．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0
C．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根
D．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解
5.若分式方程
1
3
22
m x
x x
-
=-
--
有增根，则m的值为（）
A．2 B．3 C．1 D．1-
6.若分式方程
11
2
22
kx
x x
-
+=
--
有增根，则k的值为（）
A．2-B．1-C．1 D．2
7.若分式方程
6
1
(1)(1)1
m
x x x
-=
+--
有增根，则它的增根是
（）
A．0 B．1 C．1-D．1和1-
8.若分式方程
34
2(2)
a
x x x x
=+
--
有增根，则增根可能为（）
A．0 B．2 C．0或2 D．1
9.某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买
了20本，则原价每本多少元？设原价每本x元，则由题意列出的方程为（）
A．420420
20
0.5
x x
-=
-
B．
420420
20
0.5
x x
-=
-
C．420420
0.5
20
x x
-=
-
D．
420420
0.5
20
x x
-=
-
10.已知A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从
B地逆流返回A地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则由题意列出的方程为（）
A．
4848
9
44
x x
+=
+-
B．
4848
9
44
x x
+=
+-
C．48
49
x
+=D．
9696
9
44
x x
+=
+-
11.为保证某高速公路在2016年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成
修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，则由题意列出的方程为（）
A．
111
104014
x x x
+=
--+
B．
111
104014
x x x
+=
++-
C．
111
104014
x x x
-=
++-
D．
111
101440
x x x
+=
-+-
12.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，
但这次每支的进价是第一次进价的5
4
倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？
13.公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距
上班地点9千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用骑电动车的方式平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班
地点，乘公交车方式所用时间是骑电动车方式所用时间的4
7
．小王用骑电动
车方式上班平均每小时行驶多少千米？
【参考答案】
➢课前预习
1.等式，消元
不等号，不等式
2.（1）列表，画线段图或示意图
（2）①方程模型；②不等式模型
（3）符合实际情况
➢知识点睛
1.分母中含有未知数
2.等式的基本性质，整式方程，检验，增根
使分母为零的整式
3.检验
➢精讲精练
1.②④
2.-1
3.（1）
4
3 x=
（2）5
x=
（3）无解
（4）无解
（5）无解
（6）x=1
4. B
5. C
6. C
7. B
8. A
9. B
10.A
11.B
12.（1）第一次每支铅笔的进价是4元
（2）每支售价至少是6元
13.小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶20千米。