工程力学第十三章 压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
压杆稳定教学课件PPT1
=69 kN
FNBC 4.5q ≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
例 图示矩形截面压杆，h=60mm，b=40mm，杆长l=2m， 材料为Q235钢，E=206GPa 。两端用柱形铰与其它构件 相连接，在正视图的平面（xy平面）内两端视为铰支； 在俯视图的平面（xz平面）内两端为弹性固定，长度因
当x=0时，w=0。
0 A0 Bcoskx
得：B=0，
w Asin kx
w Asin kx
又当x=l时， w=0。
得 Asin kl = 0
要使上式成立，
x
1）A=0
w=0；
Fcr
代表了压杆的直线平衡状态。
A
2） sin kl = 0
w
Fcr
此时A可以不为零。
w
M (x)= Fcrw
l x x
sin
30 20Fra bibliotekFNBC 4.5q
2）求BC杆的临界力
I (D4 d 4 ) (50 4 40 4 ) =181132mm4。
64
64
2m
1m
q
Fcr
2EI ( l ) 2
A
30°
B
Ⅰ Ⅰ C
2 206103×181132
(1.0×2/cos30°×103 )2
[FNBC ] 120kN
例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，
2m
A 30°
Ⅰ Ⅰ C
1m q
B
两端球形铰支，材料为Q235钢， E=206GPa。试根据该杆的稳定性 要求，确定横梁上均布载荷集度 q之许可值。
Ⅰ-Ⅰ截面
解：1）求BC杆的轴力
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
工程力学压杆稳定
4
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
工程力学中压杆稳定PPT课件
端约束情况下的相当长度 l。
29
两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内 因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设 0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至导致 整个结构破坏。
16
1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
17
1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
小球在不同 的位置状态 保持平衡状 态的能力不 同。
13
如何判断压杆的稳定与不稳定?
F<Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲
平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形，
直 线
则称原来的直线平衡构形
平
是稳定的。
衡
构
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
14
如何判断压杆的稳定与不稳定?
F>Fcr :在扰动作用下，
表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：
Fcr
π 2 EI
l 2
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l
称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束
情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端
铰支压杆的临界力。表13-1的图中从几何意义上标出了各种杆
1
§13-1 压杆稳定性的概念
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 压杆
2
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
3
《工程力学》压杆稳定
l i
Fcr cr A
l
例1 ： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P
P 1.3a
P
a
(1)
(2)
1.6a (3)
相当长度
(l )1 2a
a
F
F 1.3a
F 1.6a
(3)
(l ) 2 1.3a
(l ) 3 0.7 1.6a 1.12a
Fcr
2 EI
2
适用范围：
3、理想压杆
（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） 实际使用的压杆 轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F B D A F Fcr O
E
G H
C
精确解
A’ Euler解 实验结果 δ
（直线公式）
a b s
a s 令 2 b
材料的第二特征柔度
1 2
中粗杆
1 2
这类杆又称中柔度杆。
cr a b
a、b为与材料性能有关的常数。
中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限， 故属于弹塑性稳定问题。
粗短杆
2
B0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：
w A sin Kx
利用边界条件
xl
w0
即压杆没有弯曲变形；
A sin kl 0
kl n
A0
n 1 ,2,3,.... .
n 2 2 EI Fcr l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即
建筑力学压杆稳定课件
由此可以计算压杆在保证稳定的前提下，能承受的最大轴压力，又称为压杆的临界荷载 或容许荷载。当施加的压力小于容许荷载时，构件不会发生失稳破坏，反之，构件将发生失
稳破坏。对于此类问题，一般也要首先计算出压杆的长细比 ，根据 查出相应的折减系 数 ，再按照上式进行计算。
建筑力学压杆稳定
3. 对压杆进行截面设计
建筑力学压杆稳定
• 应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面的问题计 算：
• 1. 稳定校核 • 已知压杆的截面形状和尺寸，杆件长度及支承条件
，杆件的轴心压力，根据公式（9－16）即可以验证 压杆是否会发生失稳破坏，即验证其稳定性。
建筑力学压杆稳定
例 9－4 如图 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢，直径
立，由此可得的适用条件为：
cr
2E 2
p
令
p
2E p
则
p
（9－7） （9－8）
式(9-8)是欧拉公式适用范围的柔度表达形式，表明只有当压杆的实际柔度 p 时，才能
用欧拉公式来计算其临界应力和临界力。显然， p 是应用欧拉公式的最小柔度。压杆的实
际柔度 λ 随压杆的几何形状尺寸和杆端约束条件变化，但 p 是仅由材料性质确定的值。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
建筑力学压杆稳定
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
建筑力学压杆稳定
第二节 临界力和临界应力 1、影响临界力的因素 实践表明，影响细长压杆临界力的主要因素是材料的特性、截面几何形状和杆件的长度， 以及压杆两端的约束条件。 （1）材料的特性 对于两个截面几何形状及杆件长度相同的木杆和钢杆，受轴向压力 作用，木杆会先失稳，即木杆的临界力比钢杆的小，说明弹性模量 E 小的材料，其临界力也 小。 （2）截面几何形状 当截面尺寸相同，而截面形状不同时，其临界力也会不相同。影 响临界力的截面参数是截面惯性矩，惯性矩越大，杆件就越不容易失稳，说明截面的惯性矩 大，临界力也大。 （3）杆件的长度 其他条件相同时，长杆比短杆更易失去稳定，故临界力要小些。 （4）压杆两端的约束条件 对同一根细长压杆，两端的约束越强，压杆的轴心受压承 载力越大，因而，压杆两端的约束条件对压杆的稳定临界力也有很大的影响。当其他条件相 同时，一端固定、而一端铰支的压杆比两端铰支的更不容易失稳，说明两端支承越牢固，压 杆的临界力就越大。
工程力学中压杆稳定
A sin kl 0
注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于 零，否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持 微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由
(a)
24
此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0
满足此条件的kl为
kl 0，π , 2π ，
或即
Fcr l 0，π ， 2π ， EI
FPcr
n=1
A sin k x A sin
πx l
4FPcr
n=2
9FPcr
2πx A sin k x A sin l
3πx A sin k x A sin l
n=3
26
用上述方法还可推导出另一些杆端约束条件下压杆临界
力的欧拉公式，如表13-1所示。
27
表13–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
S P
cr
压杆亦发生屈曲.此时压杆 在直线平衡形式下横截面上 的正应力已超过材料的比例 极限.截面上某些部分已进 入塑性状态.为非弹性屈曲. 3.粗短杆
临界应力总图
S
cr s
cr a b
p 2E cr 2
P
S
O
a s p 2E S P b
桁架中的压杆
7
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
8
嫦娥奔月中的压杆
高压输电线路保持相间距离的受压构件
9
稳定问题:主要针对细长压杆 课堂讨论:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?
F
若取l 2cm, 按屈服强度 s 235MPa计算， Fmax 235 106 26 10 6 6110 N
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第十三章
压杆稳定
思考题
1 何谓失稳？何谓稳定平衡与不稳定平衡？
2 试判断以下两种说法对否？
（1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。
（2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。
3 应用欧拉公式的条件是什么？
4 柔度λ的物理意义是什么？它与哪些量有关系，各个量如何确定。
5 利用压杆的稳定条件可以解决哪些类型的问题？试说明步骤。
6 何谓稳定系数？它随哪些因素变化？为什么？
7 提高压杆的稳定性可以采取哪些措施？采用优质钢材对提高压杆稳定性的效果如何？
习题
1 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪一根杆最容易失稳？哪一根杆最不容易失稳？
2 图示压杆，材料为Ｑ235钢，横截面有四种形式，但其面积均为3.2×103ｍｍ2。
试计算它们的临界力，并进行比较。
已知弹性模量Ｅ＝200ＧＰａ，ａ＝240ＭＰａ，ｂ＝0.00682ＭＰａ。
题1图题2图
3 图示压杆的横截面为矩形，ｈ＝60mm，ｂ＝40mm，杆长l＝2.4ｍ，材料为Ｑ235钢，Ｅ＝200GPa。
杆端约束示意图为：在正视图（a）的平面内两端为铰支；在俯视图（b）的平面内，两端为固定。
试求此杆的临界力。
4 已知柱的上端为铰支，下端为固定，外径Ｄ＝200ｍｍ，内径ｄ＝100ｍｍ，柱长l ＝9ｍ，材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ。
试求柱的许可荷载[Ｆ]。
题3图题4图
5 两端铰支工字钢受到轴向压力Ｆ＝400ｋＮ的作用，杆长l＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，试选择工字钢的型号。
6 压杆由两根∟140×12的等边角钢组成，如图示，杆长ｌ＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，两端固支。
承受的轴向压力为Ｆ＝850ｋＮ。
试对压杆进行稳定性校核。
7 图示一简单托架，其撑杆ＡＢ为圆截面木杆，已知ｑ＝50ｋＮ/ｍ，许用应力[σ]＝11ＭＰａ，ＡＢ两端为柱形铰，试求撑杆所需的直径ｄ。
题6图题7图
8 图示结构中，ＡＢ为刚性梁，Ａ端为水平链杆，在Ｂ点和Ｃ点分别与直径ｄ＝40ｍｍ的钢圆杆铰接。
已知ｑ＝35ｋＮ/ｍ，圆杆材料为低碳钢，[σ]＝170ＭＰａ。
试问此结构是否安全？
9 图示结构中钢梁ＡＣ及柱ＢＤ分别由№22ｂ工字钢和圆木构成，均布荷载集度ｑ＝8ｋＮ/ｍ。
梁的材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ；柱的材料为杉木，直径ｄ＝160ｍｍ，[σ]＝11ＭＰａ，两端铰支。
试校核梁的强度和立柱的稳定性。