第6章__MATLAB解方程与最优化问题求解

该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比， Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会 高些。
Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下：
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end
例6-5 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代 初值为0，迭代精度为10-6。
10x1 x2 9, x1 10x2 2 x3 7, 2 x 10x 6. 2 3
在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下： A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]';
(2) QR分解
对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对 方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行 QR分解，其调用格式为：
(1) [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上 三角矩阵R，使之满足X=QR。
(2) [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上 三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
第三章
投入产出分析
令 C =（cij），X = (x1, …, xn)',D = (d1, …, dn)’，F= (f1, …, fn)’, 则 X=CX+D 令 A = E－C，E为单位矩阵，则 AX = D C称为直接消耗矩阵 A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。
第三章
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2013-9-11
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
a1n a2 n amn
（2）[R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。 当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结 果相同；否则p为一个正整数。如果X为满秩矩阵， 则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足 R'R=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R'Rx=b， 所以x=R\(R'\b)。
例6-3 用QR分解求解例6-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A);
x=R\(Q\b)
%或采用QR分解的第2种格式，命令如下：
[Q,R,E]=qr(A);
x=E*(R\(Q\b))
x1 B=C
x2
xn
B表示各部门间 的投入产出关 系，称为投入 产出矩阵。
Y = [1,1,…,1] B Y表示各部门的总投入，称为投入向量。 新创造价值向量 F=X –Y '
第三章
所谓一般线性方程组是指具有形式：
矩阵形式： AX b
a11 a 其中21 A am 1 a12 a22 am 2
(3) Cholesky分解
如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分 解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三 角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。
MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解， 其调用格式为： （1）R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若 X为非对称正定，则输出一个出错信息。
例6-2 用LU分解求解例6-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]';
[L,U]=lu(A);
x=U\(L\b)
%或采用LU分解的第2种格式，命令如下：
[L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：
（1）[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三 角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须 是方阵。 此时矩阵L往往不是下三角阵，但通过行交换后使之成为一 个下三角阵
（2）[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是 方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部 门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部 门i的需求，fj为部门j新创造的价值。 n 分配平衡方程组 消耗平衡方程组
xi cij x j di
j 1
n i 1
x j x j cij f j
• i =1,2,…,n
例6-4 用Cholesky分解求解例6-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
R=chol(A) ??? Error using ==> chol
Matrix must be positive definite
矩阵LU分解，设
1 1 1 5 4 3 A 2 1 1
命令如下： A=[1,-1,1;5,-4,3;2,1,1]; [L,U]=lu(AL,U ,P]=lu(A) LU=L*U %检验分解是否正确 LU=inv(P)*L*U %检验分解是否正确
MATLAB程序设计教程（第二版）
刘卫国 主编
中国水利水电出版社
第6章 MATLAB解方程与最优化问题求解

MATLAB线性方程组求解 MATLAB非线性方程数值求解


MATLAB常微分方程初值问题的数值解法
MATLAB最优化问题求解
• 背景
– 经济与工程中的许多问题最后都可以转化为求解线 性方程组 – 许多数值计算问题（如样条函数、常微分方程数值 解、差分方程等）的研究也往往归结为此类问题
x=D-1(L+U)x+D-1b
与之对应的迭代公式为：
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收敛于x， 则x必是方程Ax=b的解。
Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end
矩阵Cholesky分解，设 2 1 1 A 1 2 1 1 1 3
命令如下： A=[2,1,1;1,2,1;1,-1,3];
R=chol(A) %第（1）种格式
R*R %检验分解是否正确
[R,p]=chol(A) p=0,则A是正定矩阵，对一个非正定矩阵进行 Cholesky分解，将得出错误信息，因而该方 法可用来判断矩阵是否是正定矩阵
矩阵QR分解，设
1 1 1 5 4 3 A 2 7 10
命令如下： A=[1,-1,1;5,-4,3;2,7,10];
[Q,R]=qr(A) %第（1）种格式
QR=Q*R%检验分解是否正确
[Q,R,E]=qr(A)
QR=Q*R %检验分解是否正确 QR=Q*R /E%检验分解是否正确
命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。
6.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数 值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、 Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。
1．Jacobi迭代法
对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即 aii≠0(i=1,2,…,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中 D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的 下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：
x=A\b
2．利用矩阵的分解求解线性方程组
矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将 一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见 的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky 分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、 奇异分解等。
优点：运算速度快，节省存储空间
(1) LU分解
矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下 三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性 代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU 分解总是可以进行的。