机械能(1) 功和功率

机械能（一）功和功率

知识要点

（一）功

1. 功的概念：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，力就对物体做了功。

2. 功的两个不可缺少的因素：力和在力方向发生的位移。

3. 功的计算公式：

（1）F 和s 同方向情况：Fs W =

（2）F 和s 不同方向的情况：θcos Fs W =（θ为F 与s 的夹角）

4. 功的单位：焦耳（牛·米），符号J ，（N ·m ）

5. 功的正负判定方法：功是表示力对空间积累效果的物理量，只有大小没有方向，是标量，功的正负既不是描述方向也不是描述大小而有另外意义。

（1）当?<≤900θ时，1cos 0≤<θ，W 为正值，力对物体做正功，力对物体的运动起推动作用。

（2）当?=90θ时，0cos =θ，0=W ，力对物体不做功，力对物体的运动既不推动也不阻碍。

（3）当?≤

6. 在曲线运动中，功的正负判定方法：看力F 与速度v 的夹角θ。

7. 注意：讲“功”，一定要指明是哪个力对那个物体的功，功是标量。

8. 恒力做功的求法：θcos s F W ?=中的F 是恒力，求恒力所做的功只要找出F 、s 、θ即可。

9. 合力做功（总功）的求法：一种方法是先求出合力再用θcos s F W 合总=求总功，另一种方法是 ++=21W W W 总即总功等于各个力做功的代数和，这两种方法都要求先对物体进行正确的受力分析，后一种方法还要求把各个功的正负号代入运算。

10. 一些变力（指大小不变，方向改变，如滑动摩擦阻力，空气阻力），在物体做曲线运动或往复运动过程中，这些力虽然方向变，但每时每刻与速度反向，此时可化成恒力做功，方法是分段考虑，然后求和。

（二）功率

1. 功率的概念：功跟完成这些功所用时间的比值叫功率。功率是表示做功快慢的物理量，是标量。单位是瓦（W ）。

2. 功率的计算方法（平均功率和瞬时功率的求法）

t

W P =是平均功率，对功率v F P ?=，当v 为平均速度时，P 为平均功率，当v 为瞬时速度时，P 为瞬时功率，因此求功率时要分清是求平均功率还是瞬时功率。对于力F 与速度v 不在同一直线时，不能直接用v F P ?=而应用θcos v F P ?=。

3. 机械额定功率概念：机械正常工作时输出的最大功率。

4. 机车以恒定功率起动情况：P 一定，v 变大，F 变小，a 变小，当a=0时，v 不变，机车匀速运动，这时阻f F =，而阻额

f P v m =为机车行驶的最大速度。

5. 机车以加速度a 匀加速起动情况：a 一定，F 也一定，P 随v 增大而增大，当P 达到额P 后，F 、a 不能维持，开始减小，但速度还要增大，直到a=0，v 达最大阻额

f P v m =。

要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随v 增大而增大，当P 达到额定功率额P 后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了。

【典型例题分析】

[例1] 在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜上拉力，第二次是斜下推力，两次力的作用线与水平方向的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同，则（ ）

A. 力F 对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同

B. 力F 对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同

C. 力F 对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同

D. 力F 对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同

分析和解答：正确答案是B 。根据恒力做功的公式θcos s F W ?=，由于F 、s 、θ都相同，故力F 做功相同。求合力功时，先进行受力分析，受力图如图所示，下面用两种方法求合力做的功。

方法一：由于斜上拉和斜下推物体而造成物体对地面的压力不同，从而使滑动摩擦力N f μ=的大小不同，因而合力f F F -=θcos 合不同

∴ 由θcos s F W 合合=知合W 不相同

方法二：因重力和支持力不做功，只有F 和f 做功，而F 做功θcos s F W F ?=相同，但摩擦力做功fs W f -=因f 不同而不同

∴ 由f F W W W +=合知合W 不相同

[例2] 电动机能过一绳子吊起质量为8kg 的物体，绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1200W ，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m （已知此物体在被吊高接近90m

时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？

此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率，第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升。

在匀加速运动过程中加速度为

22/5/8

108120s m s m m m g F a m =?-=-=

末速度s m F P v m m t /10120

1200=== 上升的时间s s t 25

10a v t 1=== 上升高度为m a v h t 10521022

2=?== 在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为s m mg F F P v m m m /1510

81200=?===

外力对物体做的总功22mgh t P W m -=，动能变化量为222

121t m k mv mv E -=? 由动能定理得2t 222v 2

121m mv mgh t P m m -=- 代入数据后解得s t 75.52=，所以s t t t 75.721=+=所需时间至少为7.75s 。

三. 疑难辨析

对功的公式θcos Fs W =的探讨

功是物理学中十分活跃的一个物理量，它的计算是物理学中最基本的问题之一。在力学、

1. 例1A. C.

图2

错解：由θcos Fs W =知①对于人的拉力来说N F T 700=，m s 1=

所以J J W T 7000cos 1700=???=

② 对于重力J W G ???=180cos 1500J 500-=

正解与分析：显然上述计算中J W T 700=的结论是错误的。根源就是把物体的位移当作力的作用点的位移，其实在物体提升1m 时，人要用700N 的力把绳子向上拉2m ，因而正确的结果是J J W T 14000cos 2700=???=

力的作用点的位移和物体的位移相同的情况是常见的，但二者有差别也是常出现的，计算功时不可以掉以轻心。

3. θ是指力的作用点的位移与力的方向之间的夹角，确定时应慎重。

例3：如图3（a ）所示，某人用100N 的恒力通过滑轮把放在粗糙水平面上物体拉动了1m ，用力方向始终与水平面的夹角为60°，那么此人做的功是多少？

错解：由θcos Fs W =，物体前进1m ，绳子拉动2m ，即m s 2=，?=60θ已知，因而

J W ???=60cos 2100J 100=。

图3（a ）

正解与分析：上面计算中除对力的作用点的位移确定有误外，对于θ的确定也是错误的。正确的关系如图3（b ）所示，设力F 的作用点在绳子的A 点，当物体沿水平方向移动s 0时，A 点沿着θ方向位移也为s 0，力的作用点的位移沿着A A '的方向移动s 。

图3（b ） 而由图中几何关系得2θ?=

，为力的作用点的位移方向与力的方向之间的夹角。 所以2cos 22cos cos 000θθ

θ

s s s s =+=，为力的作用点的位移，所以?cos Fs W =

J Fs 1502cos 220==θ

当然上题也可以由定滑轮省力不省功原理来计算，即：J Fs Fs W 15060cos 00=?+= 上面几例是对功的公式θcos Fs W =的探讨和剖析，可见记住一个公式很容易，要理解它并非易事，用好它更不是轻而易举的事情，教学中应加强对学生这方面能力的培养。

【模拟试题】

（答题时间：40分钟）

1. 静止在水平地面上的物体，在恒力F 的作用下发生位移s ，在地面光滑和不光滑两种情况中（ ）

A. 无摩擦时，力F 对物体做的功多

B. 有摩擦时，力F 对物体做的功多

C. 无摩擦时，物体获得的动能大

D. 不论有无摩擦物体获得的动能一样大

2. 一质量为m 的木块静止在光滑的水平地面上，用大小为F 方向与水平成θ角的恒力作用在该木块上，经过时间t ，力F 的即时功率为（ ）

A. m t F /cos 22θ

B. m t F 2/cos 22θ

C. m t F /2

D. m t F /cos 2

θ

3. 一个水平力F 作用在物体上，使它在力的方向上移动了一段距离S ，力F 做的功为W 1，功率为P 1；若减小物体与水平面间的摩擦力，仍用水平力作用于该物体，使它在力的方向上移动同样的距离S ，做的功为W 2，功率为P 2，则以下结论正确的是（ ）

A. 21W W =，21P P <

B. 21W W =，21P P =

C. 21W W >，21P P =

D. 21W W <，21P P >

4. 飞机在飞行时受到的空气阻力与速率的平方成正比，若飞机以速率v 匀速飞行时，发动

机的功率为P ，则当飞机以速率nv 匀速飞行时，发动机的功率为（ ）

A. np

B. np 2

C. p n 2

D. p n 3

5. 质量为kg 51000.5?的机车，以恒定的加速度从静止出发，经5min 行驶2.25km ，速度达到最大值54km/h ，则机车的功率为 W 。

6.（2002年上海春考）铁路提速，要解决许多技术问题。通常，列车阻力与速度平方成正比，即2kv f =。列车要跑得快，必须用大功率机车来牵引。试计算列车分别以120km/h 和40km/h 的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值。（提示：物理中重要公式有ma F =，s F W '=，Fv P =，202

1at t v s +=） 7. 额定功率为80kW 的汽车，在平直的公路上行驶的最大速度为20m/s 。已知汽车的质量为kg 3102?，若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小为2/2s m 。假定汽车在整个运动过程中阻力不变。求：

（1）汽车受到的阻力f F ；（2）汽车在3s 末的瞬时功率；

8. 质量为kg m 3

104?=的汽车发动机的额定功率W P 301040?=，汽车从静止开始，以2/5.0s m a =的加速度做匀加速直线运动，所受阻力恒为N F f 3102?=，求：（1）汽车匀加速运动所用的时间t ；（2）汽车可达的最大速度m v ；（3）汽车速度为3/2m v 时的加速度a '。

9. 汽车质量为5t ，其发动机额定功率为37.5kW ，汽车在水平道路上从静止开始起动，开始一段时间内，以加速度2

/0.1s m 做匀加速运动，最后匀速运动的速度为s m /15。求：

（1）汽车做匀加速运动的时间；（2）汽车匀速运动后关闭发动机，还要滑多远？

【试题答案】

1. C

2. A

3. A

4. D

5. 51075.3?

6. 1:27

7.

（1）N V P F m

f 3104?== （2）s m at v /63==，ma F F f =-，W Fv P 433108.4?== 8.（1）s 20 （2）s m /20 （3）2/25.0s m

9.（1）s t 5= （2）m s 225=