第1节功和功率解析

第1节功和功率

要点一功的正负判断与恒力、合力做功的计算

1．功的正负的判断方法

(1)恒力做功的判断：依据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。

2．恒力做功的计算方法

3．合力做功的计算方法

方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。

1．(多选)如图5-1-1所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动

摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物

体m与斜面体相对静止。则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是( ) A．支持力一定做正功B．摩擦力一定做正功

C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做负功

2.如图5-1-2所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB

位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。

用F N表示物块受到的支持力，用F f表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确

的是( )

A．F N和F f对物块都不做功 B．F N对物块做功为2 J，F f对物块不做功

C．F N对物块不做功，F f对物块做功为2 J D．F N和F f对物块所做功的代数和为0

3．(全国卷Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上。现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v。若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F1、F2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( ) A．W F2>4W F1，W f2>2W f1 B．W F2>4W F1，W f2＝2W f1 C．W F2<4W F1，W f2＝2W f1 D．W F2<4W F1，W f2<2W f1

要点二变力做功的计算

(一)利用动能定理求变力做功

[典例1] (海南高考)如图5-1-3，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；

质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )

A.14mgR

B.13mgR

C.12mgR

D.π4mgR (二)利用微元法求变力做功

将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在

中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

[典例2] 如图5-1-4所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R

2

和

R 的两个半圆构成。现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F

的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )

A ．0

B ．FR

C ．2πFR D.3

2πFR

(三)化变力为恒力求变力做功

变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做

功，用W ＝Fl cos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

[典例3] 如图5-1-5所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升。若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，滑块经B 、C 两点的动能分别为E k B 和E k C ，图中AB ＝BC ，则( )

A ．W 1＞W 2

B ．W 1＜W 2

C ．W 1＝W 2

D ．无法确定W 1和W 2的大小关系 [ (四)利用平均力求变力做功

在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化

时，则可以认为物体受到一大小为F —

＝

F 1＋F 2

2

的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末态所受到的力，

然后用公式W ＝F —

l cos α求此力所做的功。

[典例4] 把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次？

(五)利用F-x图像求变力做功

在F-x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求

图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。

[典例5]某物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m＝10 kg，F随物体的坐标x的变化情况如图5-1-6所示。若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。借鉴教科书

中学习直线运动时由v-t图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据图示的F-x图像

可求出物体运动到x＝16 m处时的速度大小为( )

A．3 m/s B．4 m/s C．2 2 m/s D.17 m/s

要点三功率的分析与计算

1．平均功率的计算 (1)利用P＝W t 。

(2)利用P＝F v cos α，其中v为物体运动的平均速度。

2．瞬时功率的计算

(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。

(2)利用公式P＝Fv F，其中v F为物体的速度v在力F方向上的分速度。

(3)利用公式P＝F v v，其中F v为物体受的外力F在速度v方向上的分力。

1．(昆明模拟)将一个小球斜向上抛出，小球在空中依次飞过三个完全相同的窗户

1、2、3。图5-1-7中曲线为小球在空中运动的轨迹。若不计空气阻力的影响，以下说

法正确的是( )

A．小球通过第1个窗户所用的时间最长

B．小球通过第1个窗户重力做的功最大

C．小球通过第3个窗户重力的平均功率最小

D．小球通过第3个窗户的平均速度最大

2．(福州二模)如图5-1-8所示，一个纵截面是等腰三角形的斜面体M置于水平地面上，它的底面粗糙，两斜面光滑。将质量不相等的A、B两个小滑块(m A＞m B)同时从斜面上同一高度处静止释

放，在两滑块滑至斜面底端的过程中，M始终保持静止，则( )

A．B滑块先滑至斜面底端 B．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左

C．两滑块滑至斜面底端时重力的瞬时功率相同 D．地面对斜面体的支持力等于三个物体的总重力

要点四机车启动问题

1．两种启动方式的比较

两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动

P -t 图

和

v -t 图

OA

段

过程 分析 v ↑?F ＝P 不变

v

↓

?a ＝F －F 阻

m

↓

a ＝F －F 阻m

不变?F 不变

?v ↑

P ＝Fv ↑直到P 额＝Fv 1 运动 性质 加速度减小的加速直线运动

匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1a

AB

段

过程 分析 F ＝F 阻?a ＝0

?v m ＝

P F 阻

v ↑?F ＝P 额

v

↓

?a ＝

F －F 阻

m

↓ 运动 性质

以v m 匀速直线运动 加速度减小的加速运动

BC 段

无

F ＝F 阻?a ＝0?

以v m ＝

P 额

F 阻

匀速运动 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝

P F 阻

。 (2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v ＝P F

P F 阻

。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt ，由动能定理得Pt －F 阻x ＝ΔE k ，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。

[典例] (呼伦贝尔一模)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v -t 图像，如图5-1-9所示(除2～10 s 时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)。已知在小车运动的过程中，2 s 后小车的功率P ＝9 W 保持不变，小车的质量为1.0 kg ，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。求：

(1)小车所受到的阻力大小；(2)小车在0～10 s 内位移的大小。

[答案] (1)1.5 N (2)42 m

[针对训练]

1．(海南高考)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )

A ．4倍

B ．2倍 C. 3 倍 D. 2 倍

2. (多选)(苏州高三调研)质量为2×103

kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F 和车速倒数1

v

的关系图像如图5-1-10所示。已知行驶过程中最大车速为30 m/s ，设阻力恒定，则( )

A ．汽车所受阻力为6×103

N

B ．汽车在车速为5 m/s 时，加速度为3 m/s 2

C ．汽车在车速为15 m/s 时，加速度为1 m/s 2

D ．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104

W

功和功率计算中的两类易错题

(一)滑轮两侧细绳平行

1．如图5-1-11所示，质量为M 、长度为L 的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m 的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F 作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )

A ．2μmgL B.1

2μmgL C ．μ(M ＋m )gL

D ．μmgL

2．(南安高三期中)如图5-1-12甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )

A ．物体加速度大小为2 m/s

2

B ．F 的大小为21 N

C ．4 s 末F 的功率大小为42 W

D ．4 s 内F 做功的平均功率为42 W (二)滑轮两侧细绳不平行

3．一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F 拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图5-1-13所示，当用力F 拉绳使木块前进s 时，力F 对木块做的功(不计绳重和滑轮摩擦)是( )

A ．Fs cos θ

B ．Fs (1＋cos θ)

C ．2Fs cos θ

D ．2Fs

4.质量为m 的物体放在一固定的斜面上，一个人通过动滑轮用恒定的力F 拉动物体沿斜面前进l ，力F 与斜面夹角为α，如图5-1-14所示。求人做的功。

答案：Fl (1＋cos α)

对点训练：功的理解与计算

1. (宁波期末)如图1所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )

A ．A 所受的合外力对A 不做功

B ．B 对A 的弹力做正功

C ．B 对A 的摩擦力做正功

D ．A 对B 做正功

2．(多选)(云南一检)如图2所示，n 个完全相同，边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为( )

A.12Mv 2 B ．Mv 2

C.12

μMgl D ．μMgl 3. (多选)一辆质量为m 的汽车在发动机牵引力F 的作用下，沿水平方向运动。在t 0时刻关闭发动机，其运动的v -t 图像如图3所示。已知汽车行驶过程中所受的阻力是汽车重力的k 倍，则( )

A ．加速过程与减速过程的平均速度之比为1∶2

B ．加速过程与减速过程的位移大小之比为1∶2

C ．汽车牵引力F 与所受阻力大小之比为3∶1

D ．汽车牵引力F 做的功为3kmgv 0t 02

对点训练：功率的分析与计算

4. (绵阳二诊)如图4所示，质量为m 的小球(可视为质点)用长为L 的细线悬挂于O 点，自由静止在A 位置。现用水平力F 缓慢地将小球从A 拉到B 位置而静止，细线与竖直方向夹角为θ＝60°，此时细线的拉力为F 1，然后放手让小球从静止返回，到A 点时细线的拉力为F 2，则( )

A ．F 1＝F 2＝2mg

B ．从A 到B ，拉力F 做功为F 1L

C ．从B 到A 的过程中，小球受到的合外力大小不变

D ．从B 到A 的过程中，小球重力的瞬时功率一直增大

5．(多选)(浙江高考)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器。舰载机总质量为3.0×104

kg ，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105

N ；弹射器有效作用长度为100 m ，推力恒定。要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s 。弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )

A ．弹射器的推力大小为1.1×106

N B ．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108

J C ．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107

W D ．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s 2

6. (多选)(长沙模拟)如图5所示，位于水平面上的物体在斜向上的恒力F 1的作用

下，做速度为v 的匀速运动，此时力F 1与水平方向的夹角为θ1；现将该夹角增大到θ2，对应恒力变为F 2，则以下说法正确的是( )

A ．若物体仍以速度v 做匀速运动，则可能有F 2＝F 1

B ．若物体仍以速度v 做匀速运动，则一定有F 2＞F 1

C ．若物体仍以速度v 做匀速运动，则F 2的功率可能等于F 1的功率

D ．若物体以大于v 的速度做匀速运动，则F 1的功率可能等于F 2的功率 对点训练：机车启动问题

7. (徐州模拟)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a 和速度的倒数1

v

图像如图6所示。若已知汽车的质量，则根据图像所给

的信息，不能求出的物理量是( )

A ．汽车的功率

B ．汽车行驶的最大速度

C ．汽车所受到的阻力

D ．汽车运动到最大速度所需的时间

8．(全国卷Ⅱ)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图7所示。假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变。下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )

9．水平路面上行驶的汽车所受到的阻力大小F f 与汽车行驶的速率成正比。若汽车从静止出发，先做匀加速直线运动，达到额定功率后保持额定功率行驶，则在整个行驶过程中，汽车受到的牵引力大小F 与阻力大小F f 关系图像是( )

对点训练：功、功率与其他力学知识的综合

10．(多选) (宝鸡质检)如图8所示，半径为r 的光滑水平转盘到水平地面的高度为H ，质量为m 的小物块被一个电子锁定装置锁定在转盘边缘，转盘绕过转盘中心的竖直轴以ω＝kt (k ＞0且是恒量)的角速度转动。从t ＝0开始，在不同的时刻t 将小物块解锁，小物块经过一段时间后落到地面上。假设在t 时刻解锁的物块落到地面上时重力的瞬时功率为P ，落地点到转盘中心的水平距离为d ，则下图中P -t 图像、d 2

-t 2

图像分别正确的是( )

11．(四川高考)严重的雾霾天气，对国计民生已造成了严重的影响。汽车尾气是形成雾霾的重要污染源，“铁腕治污”已成为国家的工作重点。地铁列车可实现零排放，大力发展地铁，可以大大减少燃油公交车的使用，减少汽车尾气排放。

若一地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动20 s达最高速度72 km/h，再匀速运动80 s，接着匀减速运动15 s到达乙站停住。设列车在匀加速运动阶段牵引力为1×106 N，匀速运动阶段牵引力的功率为6×103 kW，忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功。

(1)求甲站到乙站的距离；

(2)如果燃油公交车运行中做的功与该列车从甲站到乙站牵引力做的功相同，求公

交车排放气态污染物的质量。(燃油公交车每做1焦耳功排放气态污染物3×10－6克)

答案：(1)1 950 m (2)2.04 kg

12．(常州模拟)高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图像。现利用这架照相机对MD－2000家用汽车的加速性能进行研究，如图10为汽车做匀加速直线运动时三次曝光的照片，图中汽车的实际长度为4 m，照相机每两次曝光的时间间隔为2.0 s。已知该汽车的质量为1 000 kg，额定功率为90 kW，汽车运动过程中所受的阻力始终为1 500 N。

(1)试利用图示，求该汽车的加速度。

(2)若汽车由静止开始以此加速度做匀加速运动，匀加速运

动状态最多能保持多长时间。

(3)汽车所能达到的最大速度是多大。

(4)若该汽车从静止开始运动，牵引力不超过3 000 N，求汽车运动2 400 m所用的最短时间(汽车已经达到最大速度)。

答案：(1)1.5 m/s2(2)20 s (3)60 m/s (4)70 s

要点一1、ACD 2、B 3、C

要点二 [典例1] C [典例2] D [典例3] A [典例4] 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F ＝0＋kl 2＝kl

2

钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝12

kl 2

设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量： E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl

2

2E 0

。

[典例5] C

要点三 1．C 2、B

要点四 [典例] (1)由图像知，前两秒的末速度为v 1＝3 m/s ，最大速度为v m ＝6 m/s

根据P ＝Fv ，当F ＝F f 时，v ＝v m 解得阻力F f ＝P v m ＝9

6

N ＝1.5 N 。

(2)前2 s ，小车做匀加速直线运动，位移为x 1，由运动学公式得x 1＝v 12t 1＝3

2

×2 m ＝3 m ，

2～10 s 内，时间为t 2，根据动能定理 Pt 2－F f x 2＝12mv m 2－12mv 12

代入数据解得x 2＝39 m 0～10 s 内位移x ＝x 1＋x 2＝42 m 。 [针对训练] 1．D 2、CD

1、D

2、C

3、B

4、如图所示，力F 作用点的位移x ＝2l cos α

2，

故拉力F 所做的功W ＝Fx cos

α

2＝2Fl cos 2

α

2

＝Fl (1＋cos α)。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C

AC

BCD

A

ABD

A

AD

A

A

BC

11t 2，距离为s 2，速度为v ；在匀减速直线运动阶段所用的时间为t 3，距离为s 3；甲站到乙站的距离为s 。则

s 1＝1

2v t 1① s 2＝v t 2② s 3＝12

v t 3③ s ＝s 1＋s 2＋s 3④

联立①②③④式并代入数据得s ＝1 950 m 。⑤

(2)设列车在匀加速直线运动阶段的牵引力为F ，所做的功为W 1；在匀速直线运动阶段的牵引力的功率为P ，所做的功为W 2。设燃油公交车与该列车从甲站到乙站做相同的功W ，将排放气态污染物的质量为M 。

则

W 1＝Fs 1⑥ W 2＝Pt 2⑦ W ＝W 1＋W 2⑧ M ＝(3×10－9 kg ·J －1)·W ⑨

联立①⑥⑦⑧⑨式并代入数据得 M ＝2.04 kg 。⑩

12、(1)由图可得汽车在第1个2 s 时间内的位移x 1＝9 m ，第2个2 s 时间内的位移x 2＝15 m 汽车的加速度a ＝Δx T

2＝1.5 m/s 2

。

(2)由F －F f ＝ma 得，汽车牵引力 F ＝F f ＋ma ＝(1 500＋1 000×1.5)N ＝3 000 N

汽车做匀加速运动的末速度 v ＝P 额F ＝90×103

3×103 m/s ＝30 m/s

匀加速运动保持的时间t 1＝v a ＝30

1.5

s ＝20 s 。

(3)汽车所能达到的最大速度 v m ＝P 额F f ＝90×103

1.5×103

m/s ＝60 m/s 。

(4)由(1)、(2)知匀加速运动的时间t 1＝20 s ，运动的距离x 1′＝

vt 12＝30

2

×20 m ＝300 m

所以，后阶段以恒定功率运动的距离 x 2′＝(2 400－300)m ＝2 100 m 对后阶段以恒定功率运动，有：P 额t 2－F f x 2′＝12

m (v m 2－v 2

)

解得t 2＝50 s 所以，所求时间为t 总＝t 1＋t 2＝(20＋50)s ＝70 s 。