误差理论和数据处理 第9章回归分析
第9章-方差分析与线性回归
Xij X E
s nj
ST s
n
E
j
j 1
i 1
X ij X
j1 i1
s nj
X ij2 nX
j1 i1
X ij 2
2
2
s nj
X
EE(X
)j
s11ninj1jEs1Xinj1ijjE21(Xiinj1)X
1 n
s
nj ( j )
j 1
s nj
E( Xij2 ) nE( X 2 )
X12 X 22
As : N s , 2
X1s X 2s
X n11
X n2 2
X nss
每个总体相互独立. 因此, 可写成如 下的 数学模型:
ij
~
X ij j ij N (0, 2 ), 各ij独立
i 1, 2, , nj，j 1, 2, , s
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的 差异, 问题可归结为比较这r个总体 的均值差异.
i
ij (0, 2 ),各ij独立
1, 2, , nj，j 1, 2, , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 s 0
H1 :1,2,
,
不全为零。
s
为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和 分解。即
假设数据总的差异用总离差平方和 ST 分解为
第九章 回归分析和方差分析
关键词： 单因素试验 一元线性回归
方差分析(Analysis of variance, 简 称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔 (Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推 断两个或两个以上总体均值是否有差异 的显著性检验.
误差理论与数据处理版课后习题答案完整版
《误差理论与数据处理》(第六版)完整版第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
统计学第9章 相关分析和回归分析
回归模型的类型
回归模型
一元回归
线性回归
10 - 28
多元回归
线性回归 非线性回归
非线性回归
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归模型
10 - 29
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量 (dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变 量称为自变量 (independent variable) ，用 x 表示
统计学
STATISTICS (第二版)
3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关 系的密切程度；回归分析不仅可以揭示 变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由 回归方程进行预测和控制 4.回归系数与相关系数的符号是一样的，但 是回归系数是有单位的，相关系数是没 有单位的。
10 - 27
统计学
STATISTICS (第二版)
10 - 19
统计学
STATISTICS (第二版)
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4.
|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关
10 - 20
10 - 6
统计学
STATISTICS (第二版)
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
第九章 相关与回归分析
第9章相关与回归分析【教学内容】相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。
本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。
【教学目标】1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系；2、掌握相关分析的定性和定量分析方法；3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。
【教学重、难点】1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系；2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。
第一节相关分析的一般问题一、相关关系的概念与特点（一）相关关系的概念在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。
这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。
相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。
例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。
（二）相关关系的特点1、相关关系表现为数量相互依存关系。
2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。
二、相关关系的种类1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关三、相关分析的内容相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。
其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。
相关分析的内容和程序是:(1)判别现象间有无相关关系(2)判定相关关系的表现形态和密切程度第二节相关关系的判断与分析一、相关关系的一般判断（一）定性分析对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。
误差理论与数据处理--课后答案
...《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案第一章绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”, 试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：o180 00 02o 180 2相对误差等于：2o180 180 260 60＝26480000.30864 1 0.000031%1-8在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为20 m，试求其最大相对误差。
相对误差max 绝对误差测得值max100%-620102.31100%8.66 - 410 %1－10 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格?解：依题意，该电压表的示值误差为2V由此求出该电表的引用相对误差为2/100＝2％因为2％＜2.5％所以，该电表合格。
1-12用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。
测得值各为50.004mm，80.6mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差50.4 50L1:50mm I 100% 0.008%15080 .006 80L2:80mm I 100% 0.0075%280I1 I 所以L2=80mm 方法测量精度高。
21－13 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高?1解：多级火箭的相对误差为：0.10.00001 0. 001%10000射手的相对误差为：1cm 0.01m0.2 0.002% 50m 50m多级火箭的射击精度高。
第二章误差的基本性质与处理2－6 测量某电路电流共 5 次，测得数据( 单位为mA)为168.41 ，168.54 ，168.59 ，168.40 ，2.32。
试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
解：5IiI i 1 m A8.67( )55(Ii I )i 180.75 15(Ii I )2 2i 150.508 0.053 5 1 35(Ii I )4 4i 10.8 0.065 5 1 52—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据( 单位为mm)为20．0015，20.16 ，20.0018 ，20.0015 ，20.0011 。
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题答案
页眉误差理论与数据处理》习题及参考答案（第七版）80第一章绪论1 — 5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20 m ，试求其最大相对误差。
8.66 10-4%1-10检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？I 1 I 2 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1 — 13多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km ，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2 cm 的靶心，试评述哪一个射和相对误差 解： 绝对误差等于: 相对误差等于: 180°00 02 180o2222 180o 180 60 60 6480000.00000308641 0.000031%相对误差max绝对误差max测得值 100%20 10-62.31 100%最大引用误差某量程最大示值误差测量范围上限100%2100100% 2% 2.5%该电压表合格1-12用两种方法分别测量 L1=50mm L2=80mm 测得值各为 50.004mm,80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1：50mmI 1 I 250.004 5050 80.006 80100% 0.008%100% 0.0075%击精度高? 解：多级火箭的相对误差为:10000 0.00001°.001%射手的相对误差为：1Cm 0.01m0.0002 0.002%50m 50m多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度 L1=110mm 其测量误差分别为11 m和9m ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm其测量误差为 12 m ，试比较三种测量方法精度的高低。
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章绪论1－5测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于： 180 o 00 02o 1802 相对误差等于： 2 o180180 2 60 60 ＝26480000.000003086410.000031%1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m ，试求 其最大相对误差。
相对误差max绝对误差 测得值 max 100%-6 20 102.31100%8.66 -4 10%1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 最大引用误差某量程最大示值误差 测量范围上限100%2 100100%2%2.5%该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.6mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差50.450L 1:50mmI100%0.008%15080.680L2:80mmI100%0.0075%280I 1I 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
21－13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为：0.12.320.001%10000射手的相对误差为：1cm0.01m8.6700020.002%50m50m多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为11和9m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。
m其测量误差为12m，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差I 11m1mm11080.7%I 9m2mm11050.50082%I 12m3mm15080.708%I3II第三种方法的测量精度最高21第二章误差的基本性质与处理2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，1.，168.40，168.50。
误差理论与数据处理简答题及答案
误差理论与数据处理简答题及答案基本概念题1. 误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？答: 误差＝测得值－真值。
误差的性质有:（1）误差永远不等于零；（2）误差具有随机性；（3）误差具有不确定性；（4）误差是未知的。
由于实验方法和实验设备的不完善, 周围环境的影响, 受人们认识能力所限, 测量或实验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异, 因此误差是不可避免的。
2. 什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？答: 真值: 在观测一个量时, 该量本身所具有的真实大小。
修正值: 为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值, 它等于负的误差值。
修正后一般情况下难以得到真值。
因为修正值本身也有误差, 修正后只能得到较测得值更为准确的结果。
3. 测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？答: 绝对误差、相对误差、引用误差绝对误差——对于相同的被测量, 用绝对误差评定其测量精度的高低。
相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量, 采用相对误差来评定其测量精度的高低。
引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。
4. 测量误差分哪几类？它们各有什么特点？答: 随机误差、系统误差、粗大误差随机误差: 在同一测量条件下, 多次测量同一量值时, 绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。
系统误差: 在同一条件下, 多次测量同一量值时, 绝对值和符号保持不变, 或在条件改变时, 按一定规律变化的误差。
粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。
误差值较大, 明显歪曲测量结果。
5. 准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？答: 准确度: 反映测量结果中系统误差的影响程度。
精密度: 反映测量结果中随机误差的影响程度。
精确度: 反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。
准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。
精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。
统计学第九章 相关与回归分析
第九章相关与回归分析Ⅰ. 学习目的和要求本章所要学习的相关与回归分析是经济统计分析中最常重要的统计方法之一。
具体要求：1.掌握有关相关与回归分析的基本概念；2.掌握单相关系数的计算与检验的方法，理解标准的一元线性回归模型，能够对模型进行估计和检验并利用模型进行预测；3.理解标准的多元线性回归模型，掌握估计、检验的基本方法和预测的基本公式，理解复相关系数和偏相关系数及其与单相关系数的区别；4.了解常用的非线性函数的特点，掌握常用的非线性函数线性变换与估计方法，理解相关指数的意义；5.能够应用Excel软件进行相关与回归分析。
Ⅱ. 课程内容要点第一节相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。
当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但仍按某种规律在一定的范围内变化。
这种关系，称为具有不确定性的相关关系。
变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件下是可以互相转化的。
116117二、相关关系的种类按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。
按相关的方向可分为正相关和负相关。
按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。
按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。
三、相关分析与回归分析相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
回归分析是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
通过相关与回归分析虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是无法准确地判断现象内在联系的有无，也无法单独以此来确定何种现象为因，何种现象为果。
只有以实质性科学理论为指导，并结合实际经验进行分析研究，才能正确判断事物的内在联系和因果关系。
四、相关图相关图又称散点图。
它是以直角坐标系的横轴代表变量X ，纵轴代表变量Y,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。
《误差理论与数据处理》费业泰 习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为１80ｏ00’0２”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1－8在测量某一长度时，读数值为2．3１m ，其最大绝对误差为20m μ,试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定２．5级（即引用误差为2。
5％）的全量程为10０V 的电压表，发现5０V 刻度点的示值误差2V 为最大误差,问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1－１2用两种方法分别测量L1＝5０mm ，Ｌ2=８0mm 。
测得值各为50。
０0４m ｍ，８0.006ｍm.试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50ｍｍ 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL ２：80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L ２=８０mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为１0000km 时,其射击偏离预定点不超过0.lkm,优秀射手能在距离50ｍ远处准确地射中直径为2c ｍ的靶心，试评述21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
１—14若用两种测量方法测量某零件的长度L1＝110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=１５0mm 。
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134 135 144 160 110 130 153 145
141 125 190 190 108 110 155 160
204 235 190 210 158 130 177 185
150 170 161 145 107 115 177 205
121 125 165 195 180 240 143 160
▪方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ a 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x 0 时的期望
值
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值
经验的回归方程
1、总体回归参数 a 和 b 是未知的，必须利用样 本数据去估计他们 2、用样本统计量 aˆ 和 b ˆ 代替回归方程中的未知 参数 a 和 b ，这时就得到了经验的回归方程
1、当只涉及一个自变量时称为一元回归，
若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称
为一元线性回归 2、对于具有线性关系的两个变量，可以 用一个线性方程来表示它们之间的关系
3、描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误
差项 的方程称为回归模型。
一元线性回归模型概念
由实验获得两个变量 x 和 y 的一组样本数
❖如以速度v作匀速运动的物体，走过的距离s与时 间t之间，有如下的函数关系 s=vt
变量间的相关关系
1、变量间关系不能用函数关系精确表达 2、一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定 3、当变量x取某个数值时，变量y的值可能有几个
❖如人的身高(y)与体重(x )之间的关系
什么是回归分析？
一种处理变量间相关关系的数理统计方法。
几种常见的非线性模型
指数函数
1、基本形式：y aebx
2、线性化方法
▪两端取对数得 lnylnabx
▪令 y ln y
ylnabx
３、图像
b＜ 0 b＞ 0
几种常见的非线性模型
指数函数
1、基本形式： y aeb x
2、线性化方法
▪两端取对数得 lnylnabx
意 的n个观测
义
值与其均值 的总偏差计算 公式 Nhomakorabea总 lyy
自由
度 总 n 1
在总的偏差中
因 x 和 y 的线
性关系而引起
y 变化的大小
回
l
2 xy
lxx
bˆlxy
回 1
残余平方和
在总的偏离中除
了 x 对 y 线性影
响之外的其它因
素而引起 y 变化
的大小
残总回
残 总 回
n2
回归方程的显著性检验
▪是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
❖ a 和 b 称为模型的参数
一元线性回归模型基本假定
1、误差项 是一个期望值为０的随机变量，
即 E() 0
。对于一个给定的 x i 值， y i 的期望值
为 E(yi)abxi
2、对所有的 x i 值， i 的方差 2 都相同
3、误差项 i 是一个服从正态分布的随机变量，且
他主要解决以下几个问题
❖1、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 ❖2、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量 的影响显著，哪些不显著 ❖3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预 测或控制可达到的精密度。
即
F 回 1
剩 n 2
3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界
值F 1,n。2
4、作出决策。若FF1,n2，拒绝 H 0 ，则认为 该回归效果显著。反之，则不显著。
估计残余标准误差
1、表征除了x 与 y 线性关系之外其它因素影响 y
值偏离的大小 2、反映实际观测值在回归直线周围的分散状况 3、从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 4、残余标准差的计算公式
据 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，( xn , y n ) …，构造如下一元线性
回归模型
yi abxi i
❖模型中， y 是 x 的线性函数部分加上误差项
❖线性部分反映了由于 x 的变化而引起 y 的变化
❖误差项 是随机变量
▪反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
y ˆ 3 2 . 3 0 1 . 2 7 0 x 5 . 8 8( p 0 . 9 5 , 3 2 )
y ˆ 3 2 . 3 0 1 . 2 7 0 x 4 . 8 7( p 0 . 9 0 , 3 2 )
回归直线及预测区间
y
240 220
y = 3 2 .3 0 + 1 .2 7 x 180
2、回归值 yˆ 的波动大小的计算公式
yˆ 标准不确定度U ( yˆ ) 来表示。
U(yˆ) s 1xx2
n
lxx
回归值的波动大 小不仅与剩余标 准差s有关，而且 还取决于试验次 数n及自变量取 值范围。
提高回归方程中各估计量稳定性的方法
(1) 提高观察数据本身的准确度 (2) 尽可能增大观测数据中自变量的取值 范围 (3) 增加观测次数 (4) 减小残余误差，即拟定合适回归方程 使其尽可能合乎实际数据的变化规律
151 135 154 150 127 135 147 155 116 100 115 120
直线拟合
【解】
直线拟合计算 x 3 1 4 x i 1 5 0 .0 9 , y 3 1 4 y i 1 5 8 .2 8
lxx xix225453 lx yx i x y i y 3 2 3 2 5
l y y y i y 2 5 0 0 9 4 , b ˆ l x yl x x 1 . 2 7
aˆybˆx32.3
故有 y ˆ32.31.270x
方差分析
总lyy 50094
回lx2y lxx41037
残总 回9057
s
282.516.8
F 回 145.0 s2
偏离 平方和 自由度 标准差 统计量 置信限 F 1,32 0.01
y
y_y
y_y
y_y
y= y
y= a+ b x
0
x
三个平方和的关系
y iy (y i y ˆi) (y ˆiy)
两端平方后求和得到
n
n
n
yiy2 yiy ˆi2 y ˆiy2
{i 1
{i 1
{i 1
总偏差平方和 残余平方和 回归平方和
总
残
回
总残回
三个平方和的意义
总偏差平方和 回归平方和
反映因变量
第9章 回归分析
4- 1
教学目的和要求：
通过本章内容的教学，使学生掌握一元线性回归 方程的求法、回归方程的方差分析与显著性检验 方法；了解一元非线性回归方程的求解思路及回 归曲线效果和不确定度评定；了解多元线性回归 方程的求法和显著性检验与不确定度评定方法。
主要内容：
1． 回归分析的基本概念：概念、回归分析的主要内容。 2． 一元线性回归：一元线性回归方程的求法、回归方程的方
差分析与显著性检验、重复实验判断回归方程拟合性、回归 直线的简便求法。 3． 一元非线性回归：回归曲线类型的选取和检验、化非线性 回归为线性回归、回归曲线效果与不确定度评定。 4． 多元线性回归：二元线性回归方程的求法、多元线性回归 、多元线性回归的显著性检验与不确定度评定。 5. 线性递推回归：回归系数的递推计算公式、计算步骤。
x x
y) x)
lxy lxx
式中
aˆ y b x
x
1 n
n i1
xi,
y
1 n
n i1
yi,x2
1 n
n i1
xi2,xy1n
n i1
xi yi
lxx
n
(xi
x)2
nx2 nx2
n
lyy (yi y)2 ny2 ny2
i1
i1
n
lxy (xi x)(yi y)nxynxy
i1
s 残 n2
方差分析表
置信限 F 1,n2
偏离 平方和 自由度 标准差 统计量
0.1 0.05 0.01
回归 回 bˆlxy １
残余 残总回 n 2
s 残 n2
F
回 s2
总和 总 lyy n 1
显著否显著否显著否
三、回归系数的不确定度与回归 方程的稳定性
回归系数的不确定度
1、回归系数的不确定度是描述回归系数的分散性
回归模型的类型
一个自 变量
回归模型
两个及两个 以上自变量
一元回归
多元回归
线性 非线性 线性 非线性 回归 回归 回归 回归
回归模型
1、回答“变量之间是什么样的关系？” 2、方程中运用
1个数字的因变量 1个或多个数字的或分类的因变量
3、主要用于预测或估计
第二节 一元线性回归
一元线性回归模型概念
140
100
100 120 140 160 180 200
x
第三节 一元非线性回归
非线性回归分析
1、因变量 y 与自变量 x 之间不是线性关系
2、选择回归模型。根据实验数据散点图分布的特 点以及所掌握的物理规律，选择可线化函数的模 型。 3、作线性化变量变换后，按一元线性回归问题 计算待定的系数、原的剩余平方和。 ４、如果对拟合结果不满意，再选择其它模型， 重复以上步骤 。 5、 比较不同模型拟合所得的原剩余平方和，选 最小者即为所求。
相互独立。即i ~ N(0,2)
▪独立性意味着对于一个特定的 x
与其它 x j 值所对应 j的不相关