1误差基本理论和数据处理

1
σ ( y j ) 2π
m
e
δ2 j − 2 2σ ( y j )
取对数
m δ j2 1 ln L = ∑ ln − ∑ 2 j =1 σ ( y j ) 2π j =1 2σ ( y j )
根据最大似然估计原理
ˆ 解：本例为 y = x情况， X 为X的估计值。则
∑w ν
j =1 j
m
2 j
= min
这时有
m 2 ∂ ∑ w jν j j =1 =0 ˆ ∂X ∂X m ˆ )2 ∂ ∑ w j ( x j − X j j =1 =0 ˆ ∂X ∂X
解得
∑w x
ˆ X =
2 2 2
注：以上讨论的问题都是在等精度测量 的情况下计算的。若在非等精度测量的 情况下测量数据的处理，还需对影响参 数进行加权后再处理，详见参考书。
4、系统误差与随机误差的综合效应
在实际测量时，测量误差包含系统误差 和随机误差。
x = X0 +ε +ξ
评定一个测量结果的可靠性是相当复杂的。总 之，进行多次测量取平均值要比单次测量结果 可靠；一个系统误差和随机误差都不大的测量 有可能比系统误差为零而随机误差大的测量更 可靠。要明确地表示一个测量结果的可信程度。
[ [
] ]
解得：
β=
2∑ x j y j − ∑ x j ∑ y j 2∑ x 2 − ( ∑ x j ) 2 j
j j 2 j 2
=
∑ x y − 2 xy = 0.422 ∑ x − 2x
α = (∑ y j / 2) − (∑ x j / 2) β = y − x β
= 2.66
结束
误差基本理论和数据处理
1、测量误差的定义与分类 2、系统误差的估计、消除与处理 3、随机误差 4、系统误差与随机误差的综合效应 5、数据处理
1、测量误差的定义与分类
定义：测量结果与被测量真值的差异。
∆x = x − X 0
表示方法： （1）绝对误差：∆x = x − X 0 （2）相对误差：
∆x γ = × 100% X0
C是与置信概率有关的系数。
直接测量的等精度测量数据的处理步骤：
将测量结果按先后顺序排列成表格； 求出算术平均值； 相应的测量值列出相应的残差； 计算标准差估算值； 剔除可疑数据； 检查系统误差； 写出测量结果表达式。
（2）间接测量随机误差处理
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 σ1 + σ 2 +L+ σy =± ∂x ∂x σ n ∂x1 2 n
ϕ（x ;α , β L） 似然函数
L( x1 , x 2 L x n ;α , β ,L) = ∏ ϕ ( xi ;α , β L)
i =1 n
求总体参数α j 的最大似然估计值 α j 的问题，使L值最 α 大， j 必须满足 ∂ L = 0 最小二乘原理：设 y = f ( x;α , β L)
对等精度测量，满足
∑ [y
m j =1
j
− f ( x j ;α , β , L) = min
]
2
L 解下面联立方程可以求出 α， β，
m 2 ∂ ∑ y j − f ( x j ;α , β ,L) j =1 =0 ∂α m 2 ∂ ∑ y j − f ( x j ;α , β ,L) j =1 =0 ∂β LL
y1 = f ( x1 ;α , β L) y = f ( x ;α , β L) 2 2 可求出 LL y m = f ( x m ;α , β L)
∂α j
α， β L
随机误差：
δ j = y j − f ( x j ;α , β L)
L=∏
j =1 m
服从正态分布时有
M = ∑ν i −
i =1 n/2 i = n / 2 +1
n
∑ν
n
i
n为偶数 n为奇数
M =
(n −1) / 2
∑
i =1
νi −
i i = ( n + 3) / 2
∑ν
阿卑赫梅特判据：
∑ν ν
i =1 i
n −1
i +1
> n − 1σ 2 ( x)
（3）系统误差的估算与处理 直接测量的系统误差工程计算：
∑ 2σ
j =1
m
δ j2
2
(y j )
= min
在实际测量中，常用残差代替随机误差。上 式可表示为：
∑w ν
j =1 j
m
2 j
= min
w j 测定值 y j 的权
上式说明在残差服从正态分布的情况下， 残差平方的加权和为最小时，满足最大似 然估计条件。同时应把满足这个条件的各 种参数作为该参数的估计值。在等精度测 量时：
γm =
∆x 满度误差，常用 × 100% 于划分仪表等级。 Xm
x[dB] = 20 lg xdB
分贝误差
γ dB = 20 lg(1 + γ x ) dB
例1、某放大器增益为100，某次测量时的电压 增益为95，求测量的相对误差和分贝误差。 解： ∆A = A − A0 = 95 − 100 = −5
例3：若待测量的电压为10V左右。现有一只量程 为150V等级1.5，另一只量程为15V等级2.5的电 压表，选用哪一只表测量较好？ 解：
∆V1 = Vm × γ m = 150 × (±1.5%) = ±2.25V ∆V2 = Vm × γ m = 15 × (±2.5%) = ±0.375V
分类：按测量误差性质和特点，可分为系 统误差、随机误差和粗大误差 。 系统误差：在相同条件下，多次测量同 一量时，误差的绝对值和符号保持恒定， 或在条件改变时按某种确定的规律变化 的误差。 随机误差：在相同条件下，多次测量同 一量时，误差的绝对值和符号均以不可 预定的方式发生变化着的误差。 粗大误差：在一定的测量条件下，明显 歪曲测量结果的误差。 准确度；精密度；精确度。
w1 = w2 = L wm = 1
要求估计值α 能满足最小二乘条件，必须
j
∂ ∑ν 2j = 0 ∂α ∂ 2 ∑ν j = 0 ∂β LL ∂ 2 ∑ν j = 0 ∂?
例：对某量X分别进行了m次测量,其测量值及相 应的权分别为 x1 , x 2 L x m及 w1 , w2 ,L wm , 用最小二乘 法求的估计值.
5、数据处理
（1）有效数字 保留n位有效数字，采用四舍五入和取 偶规则。 任一测量结果的末位是不可靠的。 采用加权的方法表示。 加减法中各数值的最末一位数字的位数 应相同。 当几个数值进行乘除运算时，以有效数 字位数最少的为准。
（2）测量数据处理 最小二乘法与回归分析
最大似然估计法：设被测量概率分布密度函数
2、系统误差的估计、消除与处理
（1）系统误差的分类与特征： 恒值系统误差：测量过程中，测 量条件变化时误差的数值和符号 保持不变。 变值系统误差：测量过程中，测 量条件变化时误差的数值和符号 发生变化。可分为累进误差、周 期误差和按复杂规律变化的误差。
（2）判别系统误差的方法与准则 马利科夫判据：
∆x = X m × γ m
X mγ m γx = x
间接测量的系统误差工程计算：
y = f ( x1 , x 2 , L , x m )
∂f ε y = ∑ εi i =1 ∂x i
m
m ∂f ε i ∂ ln f =∑ γy =∑ εi i =1 ∂x i y i =1 ∂x i m
3、随机误差
γ =
∆A × 100% = −5% A0
γ [dB] = 20 lg(1 + γ )dB = 20 lg(1 − 0.05) = −0.446dB
例2：检定一个1.5级100mA的电流表，发现在 50mA处的误差最大，为1.4mA，问电流表是否合 格？ 解：
γm =
∆I max × 100% = 1.4% Im
[ [
] ]
正规方程
2 n −1 回归方程类型： y = a0 + a1 x + a 2 x + L + a n −1 x
例：根据下列数据，用回归分析法求近似 关系式 x y 1 3 3 4 8 6 10 13 15 17 20 7 8 9 10 11
y 选回归方程的类型： = α + βx
2 2 ∂ ∑ y j − (α + βx j ) j =1 =0 ∂α 2 ∂ ∑ y j − (α + βx j ) 2 j =1 =0 ∂β
随机误差具有有界性、对称性和抵偿性。
（1）、直接测量随机误差的处理(正态分布)
1 n X = ∑ xi n i =1
σ ( x) = ±
∑ν
i =1
n
2 i
n −1
ν = xi − X
σ (X ) =
σ ( x)
n
可疑数据的剔除:莱特准则、肖维纳准则和 格拉布斯准则。
xi − X > cσ (x)
j =1 j
m
j
∑w
j =1
m
j
曲线拟合与回归分析： 对应每个 x j 测足够多个 y j ,并求出当 x = x j 时它的数学期望 M ( y j ) ,则消除了随机误差的 影响。选取不同的 x j 求出对应的 M ( y j ) ，这 样画出的曲线为回归曲线。 根据最小二乘法原理，在选定了回归方 程的形式后，式中常系数及常数这样确定： 根据实测得各 值代入回归方程，求出 y 值， 然后求它与实测 y 值之差的加权平方和，并 令加权平方和最小，可求出待估计的参数。