一元一次方程与方程组
一元一次方程与二元一次方程组
6．(2013 年浙江绍兴)我国古代数学名著《孙子算经》中有 这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各 几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只．现在小敏将此 题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各 几何？则此时的答案是：鸡有__2_2___只，兔有__1_1___只．
问 A、B 两种树苗每株分别是多少元？
解：设 A 种树苗每株 x 元，B 中树苗每株 y 元，
由题意，得
x－y＝2， x＋2y＝20，
解得
x＝8， y＝6.
答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元．
4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且未知数的项的 次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个_一__次___方程所 组成的一组方程． (3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 _公__共__解___．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)_去__分__母___；(2)去括号；(3)___移__项____；(4)_合__并__同__类__项___； (5)未知数的系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法． 解二元一次方程组的关键是消元，有 __代__入____ 消元法和 __加__减__消元法两种．
一元一次方程与二元一次方程 组
第1讲 方程与方程组
第 1 课时 一元一次方程与二元一次方程组
1．能够根据具体问题中的数量关系列出方程． 2．会解一元一次方程及简单的二元一次方程组． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1 方程(组)的有关概念 1．等式的基本性质． (1)若a＝b，则a±m＝b±___m___(m为代数式)．(2)m为实数，
高中数学 经典方程
高中数学经典方程
在高中数学课程中，经典方程一直是学习重点和难点之一。
接下来，我们将系统地介绍几种常见的经典方程及其解法。
一、一元二次方程
一元二次方程是高中数学中最基础的方程之一，通常写成形如ax^2 + bx + c = 0的形式。
解一元二次方程的方法有两种，一种是利用求根
公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，另一种是通过配方法或因式分解将方
程化简为两个一元一次方程进行求解。
二、一元一次方程组
一元一次方程组是由一组一元一次方程构成的方程组，通常写成形
如
{a1x + b1y = c1
{a2x + b2y = c2
的形式。
解一元一次方程组的方法有代入消元法、相加消元法和矩
阵法等多种，根据具体情况选择最合适的方法进行求解。
三、二元二次方程
二元二次方程是有两个未知数的二次方程，通常写成形如
ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0
的形式。
解二元二次方程的方法比较复杂，常见的有配方法、消元法和三角代换等，需要结合具体题目灵活运用。
四、三角方程
三角方程是含有三角函数的方程，通常写成形如
sinx = sinα 或cosx = cosβ
的形式。
解三角方程的方法有化简式、借值法和利用特殊角的性质等，需要掌握各种角的相关知识和技巧。
通过以上介绍，我们对高中数学中的几种经典方程及其解法有了初步了解。
在学习数学过程中，多加练习和理解，相信对于解题能力的提升会有很大的帮助。
希望以上内容对您有所帮助，谢谢阅读！。
七年级数学 第3章 一次方程与方程组 3.1 一元一次方程及其解法(第1课时)
(1)－3x＋7＝1; (2)2－14x＝3； 解：x＝2; 解：x＝－4；
(3)－2x－3＝9; 解：1x2/＝9/20－21 24;
(4)152x－13＝14. 解：x＝57.
第七页，共十六页。
7．下列各式中，属于一元一次方程的是( B )
A．x2－1＝0
B．3x－1＝2x
C.4y＝5
D．x－y＝3
；(4)(传递性)a＝b，b＝c，那么 a＝
自我诊断 2.下列等式变形中，错误的是( B )
A．由 a＝b，得 a＋5＝b＋5
B．由 a＝b，得－a3＝3b
C．由 x＋2＝y＋2，得 x＝y
D．由－3x＝－3y，得 x＝y
12/9/2021
第三页，共十六页。
利用等式(děngshì)的性质解方程
自我诊断 3.方程 2x－1＝3 的解是( D )
(4)两边同时乘以 3，得：5－x＝3，两边同时减 5，得：－x＝－2，两边同 时除以－1，得：x＝2.
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第十二页，共十六页。
16．已知关于 x 的方程 ax＋b＝2017 的解是 x＝1.求|a＋b－1|的值．
解：因为 ax＋b＝2017 的解为 x＝1，所以 a＋b＝2017，所以原式＝|2017－ 1|＝2016. 17．小王在解方程 2a－2x＝15(x 是未知数)时，误将－2x 看成＋2x，得方程 的解为 x＝3.求原方程的解． 解：把 x＝3 代入 2a＋2x＝15 中，得：2a＋6＝15，a＝92，把 a＝92代入 2a －2x＝15 中，得：9－2x＝15，x＝－3.
C．若 x－3＝y－3，则 x－y＝0
D．若 3x＋4＝2x，则 3x－2x＝－4
10．下列方程中，解是 x＝－1 的是( B )
初中数学 一元一次方程与二元一次方程组
知识点1——等式的基本性质
（1）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果 a=b，那么 a±c= b±c．
（2）等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．
如果
a=b，那么
ac=
bc；如果
a=b(c≠0)，那么
a
b =
．
cc
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：
5
2
解：方程的两边同乘以10， 得 2x-5(3-2x)=10x
去括号，得 2x-15+10x=10x
“去分母”要注意什么？ ①不漏乘不含分母的项；
移项，得 2x+10x-10x=15
②分子是多项式,应添括号.
合并同类项，得 2x=15 两边都除以2，得 x=7.5
知识点2——二元一次方程组的求解
巩固练习2
C
知识点4——一次方程与其他知识的联系
二元一次方程组
一次函数
一元一次方程
分式方程
一元一次不等式 一元二次方程
知识点4——二元一次方程组与一次函数的联系
1.二元一次方程和一次函数的图象的联系：
①以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上； ②一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
例2
解方程组：32xx
y5 4y 2
① ②
3x 2 y 20 ① 4x 5y 19 ②
巩固练习1
x 2
y
4
x 3 y 2
-1 B
B
x 1 2m 3
1 2m 0 3
（1）代入消元法 （2）加减消元法
知识点3——一次方程（组）的应用
一元一次方程及二元一次方程组
2、(09齐齐哈尔)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种 客房供游客租住, 某旅行团20人准备同时租用这三种客房 共7间,如果每个房间都住满, 租房方案有 ( C ) A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 解:设租二人间x间, 租三人间y间, 则四人间客房7-x-y. 依题意得:
x＝2， 已知 是二元一次方程组 y＝1
mx＋ny＝8， 的解，则 2m－n 的算术平方根为( nx－my＝1
C )
A．±2
B. 2
C．2
D．4
类型之三
一元一次方程的解法
0.3x＋0.5 2x－1 例2：[2011·滨州] 依据下列解方程 ＝ 的过 0.2 3 程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号 内填写变形依据．
14、(09达州) 将一种浓度为15℅的溶液30㎏, 配制成浓度不低于20℅的同种溶液, 则至少 10 ㎏. 需要浓度为35℅的该种溶液______ 解：设35%溶液为x则得：
35%x+30×15%=（x+30）×20% 解得x=10kg，故至少需要35%的溶液 10kg．
练习：P15 第8题 P16 第9题
列方程解应用题：
1.审题 2.设元
3.列方程
4.解方程
5.检验
6.答
一元一次方程应用题的类型：
1.数字问题(包括日历) 2.体积（面积）变化 3.打折销售问题
4.行程问题
5.工程问题
6.储蓄问题
7.和、差、倍、分问题
顺水航行速度=静水速度+水流速度 逆水航行速度=静水速度-水流速度
一次方程与一元一次方程组的解法
一次方程与一元一次方程组的解法一次方程是指变量次数为1的方程，形如ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一次方程的方法有多种，下面将介绍一些常见的解法。
1. 消元法消元法是一种常见的解一次方程的方法。
通过在方程两边进行等式变换，将方程化简为变量的一个解。
下面以一个示例来说明：例题：解方程3x + 5 = 8。
解法：首先将方程化简为x的形式。
由于方程中只有一个变量x，我们可以通过将方程两边同时减去5来消去常数项，得到3x = 3。
随后，再将方程两边同时除以3，即可得到x的解x = 1。
2. 代入法代入法也是解一次方程的一种常用方法。
该方法适用于方程组中的一个方程可以通过解另一个方程来求得。
以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。
解法：首先可以通过第二个方程得到x = y + 1。
随后将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。
通过对方程进行展开和化简，可求得y = 1。
将y的值代回第二个方程中，得到x = 2。
因此，方程组的解为x = 2，y = 1。
3. 图解法对于一元一次方程，我们还可以使用图解法来求解。
这种方法适用于线性方程的解在坐标系中有几何意义的情况。
下面是一个例子：例题：解方程2x - 3 = 0。
解法：将方程化简为x的形式，得x = 3/2。
在坐标系中，画出直线y = 2x - 3。
根据直线和x轴的交点，可得到x = 3/2。
以上是一次方程的解法，接下来将介绍一元一次方程组的解法。
一元一次方程组是指包含两个或更多个一元一次方程的方程组。
解一元一次方程组的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。
1. 代入法代入法也适用于解一元一次方程组。
该方法通过解其中一个方程，将解代入另一个方程中求得其他未知数的值。
以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。
解法：根据第二个方程可得x = y + 1。
将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。
一次方程与方程组知识点总结归纳
一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一般形式：ax + b=0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。
3. 等式的性质。
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c = b±c。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么(a)/(c)=(b)/(c)。
- 利用等式的性质可以求解一元一次方程，例如解方程2x+3 = 0，首先根据等式性质1，两边同时减3得2x=-3，再根据性质2，两边同时除以2得x = - (3)/(2)。
4. 一元一次方程的解法步骤。
- 去分母（若方程中存在分母时）：根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。
例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。
- 去括号：根据乘法分配律将括号去掉。
如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。
- 移项：把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号。
例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。
- 合并同类项：将方程中同类项合并。
如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。
- 系数化为1：根据等式性质2，方程两边同时除以未知数的系数。
如5x = 5两边同时除以5得x = 1。
二、二元一次方程（组）1. 二元一次方程。
一元一次方程与二元一次方程组
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为一
2.二元一次方程组.
方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
解法
（1）代入消元法；（2）加减消元法
常见的实际问题
（1）和、差、倍、分问题；（2）等积变形问题；（3）工程问题；（4）行程问题；（5）商品销售问题；（6）数字问题；（7）劳力调配问题
A. B. C. D.
√
5.（2022·深圳）张三经营一家林场，林场里面有上等木材和下等木材.5捆上等木材的根数减去11，就等于7捆下等木材的根数；7捆上等木材的根数减去25，就等于5捆下等木材的根数.设上等木材1捆为 根，下等木材1捆为 根，则下列方程正确的是( ).
A. B. C. D.
解:设这种服装每件的标价是 元.根据题意，得 . 解得 . ∴这种服装每件的标价是110元.
例题4 （2022·郴州节选）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1 700元.甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
要点梳理
1.一元一次方程.
概念
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程方程 （ 为未知数， ）叫做一元一次方程的标准形式， 是未知数 的系数， 是常数项
等式的性质
（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
解:设甲种有机肥每吨 元，乙种有机肥每吨 元.依题意得 (1) +②,得 .解得 .把 代入②，得 .解得 .故方程组的解为 答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元.
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第三章：一元一次方程与方程组
3.1 一元一次方程及其解法
知识点：①一元一次方程的概念②等式的基本性质③移项（要变号）④解一元一次方程的一般步骤
元一次方程的概念
定义：一元：只含有一个未知数，一次：未知数的最高次数是1次，方程：含有未知数的等式，且含有未知数的代数式是整式。
拓展：任何一个一元一次方程都可以化简成ax b 0（a O,a,b为已知数）的形式，这是一元一次方程的标准形式。
题：判断下列式子是否为一元一次方程
2
（1）3x 4 （2）4x 1 4x 5 （3）2y 3 x2+4 （4）2x 1 1
x
1
（5）2x y o （6）—（7）x 2
x
二、等式的基本性质
性质：①等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍相等
②等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为0），结果仍相等
③如果a b，那么b a （对称性）④如果a b,b c，那么a c （传递性）
注：一个量用与它相等的量代替，叫做等量代换。
方程也是等式，所以方程也具有等式的性质。
题：运用等式的基本性质把下列等式变成x a的形式
（1）3x 2x 3
4 7
（2）
（2）x x 一
3 3
、移项（要变号） 移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边（简称：移项要变号）
注：①变形过程中，习惯把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类 项。
② 凡是被移动的项一定要变号（这里的移动说的是从方程的一边移动到另外一边），满意移动的 项保持原来的符号
③ 移项要变号的定理是根据等式的性质 1得到的。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程 的解的过程叫做解方程。
必须含有未知数等式的等式才叫方 程。
等式不一定是方程，方程一定是等式。
四、解一元一次方程的一般步骤
步骤：
1. 去分母。
方程中每项都乘以分母的最小公倍数
2. 去括号。
依据去括号的法则，依次逐步去括号
3. 移项（要变号）。
含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边
4. 合并同类项。
含有未知数的项移合并在一起，常数项合并在一起
5. 系数化为1。
两边同时除以未知数的系数
题：解方程
（1） 4x 7 5 2x
（2） 2x 4 例：解方程 2x 1 3
（一般情况下的步骤，不排除有简便方法，如先去分母比较简单） 题：解方程：-1
2
方程（m2-1）x 2-（m+1）x +8=0是关于x 的一元一次方程题：解方程：3x
7x 3x 6 题：当m 为何值时,
3.2 一元一次方程的应用
知识点：①列一元一次方程解应用题的步骤；②等积变换问题；③打折销售、利率问题及增长率问题;
④行程问题；⑤工程问题
一、列一元一次方程解应用题的步骤例：某次全校募捐活动中，全校师生共捐款45000 元，其中，学生捐款数比老师捐款数的两倍少9000 元，问该校老师和学生各捐款多少元？
解题步骤：
（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量
（2）设：设未知数，用含有未知数的代数式表示相关量
（3）列：找出等量关系，并由此列出方程
（4）解：解方程，求未知数的值，检验此值是否符合题意
（5）答：根据题意写出答案
注： 1.一道题往往含有多个未知数，应当选择一个设为未知数，其他的量用这一个未知数来表示，进而列出方程。
2.列方程时，单位不统一的一定要统一单位
3.对于方程的解，要看解是不是符合实际意义，在设和答的时候，必须写清单位名称
二、等积变换问题
等积：等面积或等体积，等积变换问题指的是几何图形的形状发生改变，而面积或体积没有变。
利用等量关系列出等式。
注：1•等式两边单位保持一致
2.找等量关系，用含有未知数的等式表示已知量和未知量之间的关系
题：一圆柱形容器的内半径为3cm，内壁高30cm，容器内盛有15cm高的水，现将一个底面半径为2cm、高18cm 的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水将升高多少？
三、打折销售、利率问题及增长率问题
利润
知识归纳：(1)售价=标价x折数利润二售价-成本利润率=利润
成本
(2)利息二本金x利率X期数
(3)增长率问题：达到的数量=基数X( 1+增长率)
(4)打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售
题：商场出售A冰箱每台售价为2190元，每日耗电1度，B冰箱每台售价比A贵10%,单每日耗电0.55度。
请问商场将A冰箱打几折，使得A冰箱10年的总费用与B冰箱10年的费用相等？(每年365天，每度电0.5元计算)
四、行程问题知识归纳：(1)相遇问题：相遇时间X速度和=路程和
(2)追及问题：追及时间X速度差=追及路程
( 3)航行问题：顺水速度-水流速度=静水中航行速度
( 4)逆水速度+水流速度=静水中航行速度
题：甲乙两地间的路程是708m, —辆慢车从甲地开往乙地，慢车开了一个半小时之后，另有一辆快车从乙地开往甲地。
已知慢车每小时走92km，快车每小时走136km，问两侧和各开几小时后相遇?
五、工程问题
( 1 )全部工作量=各部分工作量之和=1
工作量二工作效率X工作时间
(2)总工程量为1.工作效率是工作时间的倒数题：甲乙两队共同完成一个项目，甲单独做7.5小时完成，乙单独做，5小时完成，现在让甲乙一起工作 1 小时，剩下的让乙单独做，共需多长时间完成?
3.3二元一次方程组及其解法
①二元一次方程的相关概念②二元一次方程组③代入消元法解方程④加减法解方程
1.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
一、二元一次方程的相关概念
1.二元一次方程:含有两个未知数的一次方程。
(二元：两个未知数；一次：含有未知数的项的系数都为 1;方程：等式+含有未知数的项都是整式)
2. 二元一次方程的解.：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值。
3. 二元一次方程组和二元一次方程的异同点：
题：下列各式属于二元一次方程的有:
1
1 (1) 3x y
2 (2) y 一x 2=0 (3) y z 5 (4) xy - 2 2
元一次方程组 (1) 已知两数x,y 之和是10，x 比y 的3倍大2,贝U 可以列出所有的方程为
(2) 三对数值
知识归纳：(名词解释)
1. 一次方程组：由几个一次方程组成的方程组
2. 二元一次方程组：由两个一次方程组组成的，含有两个未知数的方程组
3. 二元一次方程组的解：使得二元一次方程组中的两个方程都成立的两个未知数的值
4. 解方程组：求方程组的解的过程
注意：同一个方程组的同一个未知数表示的意义是相同的
判断一个方程组是不是二元一次方程组， 注意抓两个点：①有两个一次方程②一共含有两个未 知数 题：判断
三、代入法解方程
2x 3y 5 ①
(7) x y z 5
(8) 5x 3 x 4y (5)- 2x 4 (6)4x 3y
y
x 3 2y ②
代入法的大致思路：
1.通过方程组中的一个方程，将某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并将代数式代入另一个方程中，（这样就消去了一个未知数，得到一个一元一次方程），解方程求出一个未知数的值，再将这个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而求出方程组的解。
这种解方程组的方法叫做代入消元法。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形：选择一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示（2）代入：将一个方程变形后代入另一个方程中，消去了一个未知数，得到一个一元一次方程
（3）解：解得到的一元一次方程
（4）反代：将得到的解代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值
（5）写出答案，［x a
y b
题：用代入法解下列方程
x y 200 2x y 3
2
y3x
四、加减法解方程
3x 2y 5
5x 2y 3
用加减法解方程组的一般思路：
通过把两个方程相加或相减消去一个未知数的方法叫做加减消元法。
方法归纳：
1.两个方程中有一个未知数的系数相等，那么两个方程相减，如果有一个未知数的系数互为相反数，那么两方程相加。
2.如果方程组中没有某个系数相等或者互为相反数，就选择其中一个系数比较简单的未知数，先找
出系数的最小公倍数，然后在一个方程或两个方程的两边同时乘一个数，使得某个未知数在两个方程中系数的绝对值相等，然后再相减或相加即可。
4x 5y 23 x 2y 0
题:
3x 5y 9 3x 4y 6。