一元一次方程和一次方程组
一元一次方程与二元一次方程组
6．(2013 年浙江绍兴)我国古代数学名著《孙子算经》中有 这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各 几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只．现在小敏将此 题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各 几何？则此时的答案是：鸡有__2_2___只，兔有__1_1___只．
问 A、B 两种树苗每株分别是多少元？
解：设 A 种树苗每株 x 元，B 中树苗每株 y 元，
由题意，得
x－y＝2， x＋2y＝20，
解得
x＝8， y＝6.
答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元．
4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且未知数的项的 次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个_一__次___方程所 组成的一组方程． (3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 _公__共__解___．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)_去__分__母___；(2)去括号；(3)___移__项____；(4)_合__并__同__类__项___； (5)未知数的系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法． 解二元一次方程组的关键是消元，有 __代__入____ 消元法和 __加__减__消元法两种．
一元一次方程与二元一次方程 组
第1讲 方程与方程组
第 1 课时 一元一次方程与二元一次方程组
1．能够根据具体问题中的数量关系列出方程． 2．会解一元一次方程及简单的二元一次方程组． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1 方程(组)的有关概念 1．等式的基本性质． (1)若a＝b，则a±m＝b±___m___(m为代数式)．(2)m为实数，
一次方程与方程组
一元一次一元二次方程及应用考点一 等式及方程的有关概念1．等式及其性质用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式，叫做方程．(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫做根)．(3)求方程解的过程，叫做解方程． 考点二 一元一次方程 1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．ax ＋b ＝0(a ≠0)是一元一次方程的标准形式．2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法1．二元一次方程组几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组； 2．解二元一次方程组的基本思路：消元3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法； 考点四 列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答 2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．一元二次方程及应用考点一 一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．考点二 一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，则x 1＝a ，x 2＝－ a. 2．配方法3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b±b 2－4ac 2a.4．因式分解法考点三 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．考点四 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac.1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则x 1,2＝－b±b 2－4ac2a；2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a ；3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根；考点五 一元二次方程根与系数之间的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝c a经典例题例一(1)已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝8nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2 C.2 D ．±2(2)已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．3例二(1)解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1. (2)解方程组：⎩⎨⎧3x ＋4y ＝19，x －y ＝4.(2)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.例三如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC 边的长．考点训练题 一、选择题1．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝12x －y ＝5的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝－1y ＝2B.⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝3C.⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1D.⎩⎨⎧x ＝2y ＝－12、方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝03．以方程组⎩⎨⎧y ＝－x ＋2y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若|3a ＋b ＋5|＋(2a －2b －2)2＝0，则2a 2－3ab 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－45、．已知⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1和⎩⎨⎧x ＝1y ＝1是方程y ＝kx ＋b 的解，则k 、b 的值分别是( )A ．k ＝－2，b ＝1B ．k ＝2，b ＝3C ．k ＝－2，b ＝－1D ．k ＝2，b ＝－16．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别是x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－67．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A ．168(1＋a%)2＝128B ．168(1－a%)2＝128C ．168(1－2a%)＝128D ．168(1－a 2%)＝1288．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝99．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a<1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠010．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸要制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．x 2＋130x －1 400＝0B ．x 2＋65x －350＝0C ．x 2－130x －1 400＝0D ．x 2－65x －350＝011．若方程组⎩⎨⎧ 2m －3n ＝133m ＋5n ＝30.9的解是⎩⎨⎧ m ＝8.3n ＝1.2，则方程组⎩⎨⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝133(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝8.3y ＝1.2B.⎩⎨⎧ x ＝10.3y ＝2.2C.⎩⎨⎧ x ＝6.3y ＝2.2D.⎩⎨⎧x ＝10.3y ＝0.212．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43 二、填空题13．1．方程(x －1)2＝4的解是__________14．方程x 2－3x ＋1＝0的解是__________．15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．16．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__________．17．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 21＋3x 1x 2＋x 22的值为________18、已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则m ＝________，方程的另一根为________．20．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m 2，求道路的宽．21．解方程(组)．(1)当m 取什么值时，代数式5m ＋14与5(m －14)的值互为相反数；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ，2(x ＋1)－y ＝6.(3) x 2－6x －6＝0；（配方法）(4)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.（因式分解法）22、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元23．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1 228台汽车用户共补贴了多少万元？答案1—5 DDADD 6-10ABDBB 11-12CB 13、【答案】120(1－x)2＝10014、【答案】x 1＝3＋52，x 2＝3－5215、【解析】∵x 1、x 2是x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，∴x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10.16、【解析】∵方程有实数根，∴b 2－4ac>0，∴12－4(m －1)≥0,4m ≤5，m ≤54.∵方程是关于x 的一元二次方程，∴m －1≠0，∴m ≠1，∴m ≤54且m ≠1.17、【解析】由题意得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－2，所以x 21＋3x 1x 2＋x 22＝x 21＋2x 1x 2＋x 22＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝33＋(－2)＝9－2＝7. 18、【答案】－4 x ＝519、【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－220、解：设道路的宽为x m ，根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，∴x 2－52x ＋100＝0，∴x 1＝2，x 2＝50(不合题意，舍去)21、解：(1)由题意得5m ＋14＋5(m －14)＝0,5m ＋14＋5m －54＝0, ∴10m ＝1，m ＝110.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ①2(x ＋1)－y ＝6 ②原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－3 ①2x －y ＝4 ②，①×2得2x －6y ＝－6 ③，②－③得5y ＝10，∴y ＝2，把y ＝2代入②，得x ＝3，∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2. 3、【解答】(1)x 2－6x －6＝0 移项，得x 2－6x ＝6，配方，得(x －3)2＝15，∴x －3＝±15. ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. 4、(x －3)2＋4x(x －3)＝0换公因式，得(x －3)(x －3＋4x)＝0，(x －3)(5x － 3)＝0.∴x －3＝0或5x －3＝0.∴x 1＝3，x 2＝35.22、解：(1)设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x 台、y 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝960x (1＋30%)＋y (1＋25%)＝1 228，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝560y ＝400.。
一元一次方程及二元一次方程组
2、(09齐齐哈尔)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种 客房供游客租住, 某旅行团20人准备同时租用这三种客房 共7间,如果每个房间都住满, 租房方案有 ( C ) A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 解:设租二人间x间, 租三人间y间, 则四人间客房7-x-y. 依题意得:
x＝2， 已知 是二元一次方程组 y＝1
mx＋ny＝8， 的解，则 2m－n 的算术平方根为( nx－my＝1
C )
A．±2
B. 2
C．2
D．4
类型之三
一元一次方程的解法
0.3x＋0.5 2x－1 例2：[2011·滨州] 依据下列解方程 ＝ 的过 0.2 3 程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号 内填写变形依据．
14、(09达州) 将一种浓度为15℅的溶液30㎏, 配制成浓度不低于20℅的同种溶液, 则至少 10 ㎏. 需要浓度为35℅的该种溶液______ 解：设35%溶液为x则得：
35%x+30×15%=（x+30）×20% 解得x=10kg，故至少需要35%的溶液 10kg．
练习：P15 第8题 P16 第9题
列方程解应用题：
1.审题 2.设元
3.列方程
4.解方程
5.检验
6.答
一元一次方程应用题的类型：
1.数字问题(包括日历) 2.体积（面积）变化 3.打折销售问题
4.行程问题
5.工程问题
6.储蓄问题
7.和、差、倍、分问题
顺水航行速度=静水速度+水流速度 逆水航行速度=静水速度-水流速度
一次方程与一元一次方程组的解法
一次方程与一元一次方程组的解法一次方程是指变量次数为1的方程，形如ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一次方程的方法有多种，下面将介绍一些常见的解法。
1. 消元法消元法是一种常见的解一次方程的方法。
通过在方程两边进行等式变换，将方程化简为变量的一个解。
下面以一个示例来说明：例题：解方程3x + 5 = 8。
解法：首先将方程化简为x的形式。
由于方程中只有一个变量x，我们可以通过将方程两边同时减去5来消去常数项，得到3x = 3。
随后，再将方程两边同时除以3，即可得到x的解x = 1。
2. 代入法代入法也是解一次方程的一种常用方法。
该方法适用于方程组中的一个方程可以通过解另一个方程来求得。
以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。
解法：首先可以通过第二个方程得到x = y + 1。
随后将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。
通过对方程进行展开和化简，可求得y = 1。
将y的值代回第二个方程中，得到x = 2。
因此，方程组的解为x = 2，y = 1。
3. 图解法对于一元一次方程，我们还可以使用图解法来求解。
这种方法适用于线性方程的解在坐标系中有几何意义的情况。
下面是一个例子：例题：解方程2x - 3 = 0。
解法：将方程化简为x的形式，得x = 3/2。
在坐标系中，画出直线y = 2x - 3。
根据直线和x轴的交点，可得到x = 3/2。
以上是一次方程的解法，接下来将介绍一元一次方程组的解法。
一元一次方程组是指包含两个或更多个一元一次方程的方程组。
解一元一次方程组的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。
1. 代入法代入法也适用于解一元一次方程组。
该方法通过解其中一个方程，将解代入另一个方程中求得其他未知数的值。
以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。
解法：根据第二个方程可得x = y + 1。
将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。
一次方程与方程组知识点总结归纳
一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一般形式：ax + b=0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。
3. 等式的性质。
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c = b±c。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么(a)/(c)=(b)/(c)。
- 利用等式的性质可以求解一元一次方程，例如解方程2x+3 = 0，首先根据等式性质1，两边同时减3得2x=-3，再根据性质2，两边同时除以2得x = - (3)/(2)。
4. 一元一次方程的解法步骤。
- 去分母（若方程中存在分母时）：根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。
例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。
- 去括号：根据乘法分配律将括号去掉。
如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。
- 移项：把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号。
例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。
- 合并同类项：将方程中同类项合并。
如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。
- 系数化为1：根据等式性质2，方程两边同时除以未知数的系数。
如5x = 5两边同时除以5得x = 1。
二、二元一次方程（组）1. 二元一次方程。
一元一次方程与二元一次方程组
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为一
2.二元一次方程组.
方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
解法
（1）代入消元法；（2）加减消元法
常见的实际问题
（1）和、差、倍、分问题；（2）等积变形问题；（3）工程问题；（4）行程问题；（5）商品销售问题；（6）数字问题；（7）劳力调配问题
A. B. C. D.
√
5.（2022·深圳）张三经营一家林场，林场里面有上等木材和下等木材.5捆上等木材的根数减去11，就等于7捆下等木材的根数；7捆上等木材的根数减去25，就等于5捆下等木材的根数.设上等木材1捆为 根，下等木材1捆为 根，则下列方程正确的是( ).
A. B. C. D.
解:设这种服装每件的标价是 元.根据题意，得 . 解得 . ∴这种服装每件的标价是110元.
例题4 （2022·郴州节选）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1 700元.甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
要点梳理
1.一元一次方程.
概念
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程方程 （ 为未知数， ）叫做一元一次方程的标准形式， 是未知数 的系数， 是常数项
等式的性质
（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
解:设甲种有机肥每吨 元，乙种有机肥每吨 元.依题意得 (1) +②,得 .解得 .把 代入②，得 .解得 .故方程组的解为 答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元.
一元一次方程组
一元一次方程组一元一次方程组是由两个或多个一元一次方程组成的方程组。
一元一次方程是指最高次项是一次幂（即x的指数为1）的方程。
而方程组则是一组方程的集合，其中的方程可以有一个或多个未知数。
在一元一次方程组中，每个方程都可以用以下形式表示：a₁x + b₁ = 0a₂x + b₂ = 0...aₙx + bₙ = 0其中a₁，a₂，...，aₙ，b₁，b₂，...，bₙ是已知的常数，x是未知数。
一元一次方程组的解是使得方程组中所有方程同时成立的未知数的值。
解的个数可以有三种情况：1. 方程组有唯一解：方程组中的所有方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到唯一解。
2. 方程组没有解：方程组中的方程是不相容的，即无法通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程。
3. 方程组有无穷多解：方程组中的方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到一个含有未知参数的方程。
解一元一次方程组的常用方法有消元法、代入法、加减乘除法等。
下面我们将分别介绍这几种方法。
1. 消元法：消元法是一种通过消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。
具体步骤如下：a) 将方程组按照系数相同的未知数排列，将其转化为一个增广矩阵的形式。
b) 选取一个方程作为基准方程，通过线性组合将其他方程的某个未知数的系数消为0。
c) 重复b)步骤，直至将方程组化简为只含一个未知数的方程。
d) 求解得到唯一解或无解。
2. 代入法：代入法是一种通过将某个已知解代入其他方程中，从而求得未知数的值的方法。
具体步骤如下：a) 选择一个方程，将其中一个未知数表示为其他未知数的函数。
b) 将已知解代入该方程，得到关于其他未知数的方程。
c) 解这个关于其他未知数的方程，得到其他未知数的值。
d) 将其他未知数的值代入方程组中的其他方程，逐步求解得到未知数的值。
e) 检验解是否满足方程组中的所有方程。
3. 加减乘除法：加减乘除法是一种通过将多个方程进行相加、相减、相乘或相除，从而消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。
数学中的代数式和方程组
数学中的代数式和方程组数学中的代数式和方程组在中学阶段就已经开始学习，但是对于很多人来说，这些概念和知识点可能依然有些模糊。
本文将从代数式和方程组的定义、常见类型和解法等方面，逐步展开对这两个概念的探讨。
一、代数式代数式可以理解为数的运算符和数的变量所组成的式子。
代数式中的变量通常用字母来表示，例如x、y、z等字母，而运算符包括加、减、乘、除等。
一个简单的代数式可以是x+3，其中x是变量，3是常数，+是运算符。
代数式可以用来表示一些实际问题，例如一个长方形的面积就可以表示为长x宽的代数式。
代数式还可以进行各种简单的运算，例如加减乘除、因式分解、同类项合并等。
其中因式分解在初中数学中经常出现，它是将一个代数式分解成多个因子的过程。
例如，将x²-4分解可以得到(x+2)(x-2)的结果。
二、方程组方程组是指多个方程式组成的集合，这些方程式通常包含多个未知数。
在方程组中，未知数一般用字母表示，例如x、y、z等，而方程式中包含的运算符和常数则与代数式中的类似。
方程组可以用于解决实际问题，例如解决一个有多个未知数的线性方程组可以表示为一个矩阵，其中每行代表一个方程，每列代表一个未知数。
方程组的解是指满足该方程组中所有方程的未知数的一个取值。
方程组的解有单解、无解和多解三种情况，其中单解是指只有一个解，无解是指没有解，多解是指有多个解。
解方程组的方法主要包括代数法、图像法和矩阵法等。
三、常见类型和解法代数式和方程组复杂性不一，具体的解法因情况而异。
下面将从常见类型和解法的角度介绍代数式和方程组的相关知识点。
1. 一元一次方程一元一次方程是指只包含一个未知数和常数的方程，其通式为ax+b=0，其中a和b为常数，x为未知数。
解一元一次方程的通常方法是将未知数项移到等式左边，将常数项移到等式右边，然后除以a即可得到未知数的解。
例如，解方程2x+1=3可以通过移项和除以2来得到x=1的结果。
2. 二元一次方程二元一次方程是指包含两个未知数和常数的方程，其通式为ax+by=c，其中a、b和c为常数，x和y为未知数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元一次方程与一次方程组
【知识梳理】
1.一元一次方程
（1）等式的基本性质：若a=b，则a±b=b±c；若a=b，则ac=bc, a b(c0)。
c c
（2）一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数为1，且系数不为0的整式方程，标准形式为ax b0(a 0)。
最简方程axb的解：①当a0时，有唯一解x b
；②当a 0,b
0时，方程无解；③
当
a
a 0,b0时，方程的解为全体实数（方程有无数个解）。
（3）解一元一次方程的基本步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数
化为1。
（4）列方程解应用题的基本步骤：
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；（⑤检验）；⑥写答案（答句）。
（5）一元一次方程应用题的基本类型及等量关系：
①行程问题：速度=路程/时间，相向相遇问题：s距s甲s乙；
同向追及问题：s距s甲s乙，水流问题：V顺V静V水，V逆V静V水。
②工程问题：工程效率=工程总量/工作时间，合效率=各分效率之和。
③数字问题：n位数a1a2⋯a n a110n1a210n2⋯a n。
三个连续整数：x 1,x,x1；三个连续偶数（奇数）x 2,x,x2。
④利息问题：本息
和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，利息税=利息×税率。
利润
利润问题：毛利润=售价-进价，纯利润 =售价-进价-其他费用，利润率= 。
进价
⑤浓度问题：溶质质量（体积）=溶质质量（体积）×浓度；
溶液质量（体积）=溶质质量（体积）+溶剂质量（体积）。
2.一次方程组
（1）直角坐标平面：坐标平面上的点与有序数对一一对应。
（2）二元一次方程：含有两个未知数且未知数最高次数1，系数不为0的整式方程。
标准形式为ax by c(a 0,b 0)，任何一个二元一次方程都有无数个解，所有解的全体叫它的解集，对应的图像为一条直线。
（3）二元一次方程组：含有两个未知数且未知数的最高次数为一次的方程组。
一般地在 ax by c
dx ey 中， f
①若a
b c
，方程组有无数个解；
d e f
②若a
b c
，方程组无解；
d
e
f
③若a b
，方程组有唯一解。
d e
（ 4）一次方程组的解法①二元一次方程组：
代入法 消元化为一元一次方程；
加减法
图像法：转化为求两直线的交点坐标；
②三元一次方程组
代入或加减消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
【双基训炼】
一、填空题（时间：
15分钟）
1.写出一个以x 2 为根的方程___________；
2.如果x 1代入方程，得3x 4 a2x 的解，那么a ___________；
3.已知x 1是关于x 的方程x 2a
1的解，那么a
___________； 4.方程5x2
0的解是_____________；
5.根据条件列出方程：x 的5倍加上 3等于x 的7倍减去15。
_____________________；
6.写出满足方程 x 2y9的一对整数值______________；
7.当y ___________时，代数式 18 y
与y4的值互为相反数；
3
8.写出一个解为 x
1
y 的二元一次方程组__________； 2
m n 2 9.方程组
2m 3n 14
的解为____________；
10.已知方程 ax by 4
的解为x
2 ，则2a 3b 的值为______________；
ax by 2
y
1
11.对于方程4x 25 2x 的两边同时加_____________，得x
1
；
2
2
13.方程x 2y
3的非负整数解是_______________________________；
x 2
x 的解是________________；
14.方程
3 2
15.若代数
式 1 2x 的值等于8 x x 的值为______________；
4 的值，那么
2
16.已知一个角的补角是这个角的余角的 3倍，则这个角度数是_______________；
17.一个长方形的长和宽之比是 4:3，且它的周长为70cm ，则这个长方形的宽为 ______________； 18.给出下列程
序 输入x k b 输出 且已知当输入 x 的值为1时，输出 值为2；输入x 的值为 1时，输出值为 4。
现在输入了一个 x 的值是 1
，输出的值为______________；
2
19.已知x y 2 ，请设计一个二元一次方
程 _________________； 使这两个方程的公共解是
x3 ； y
____
20.共有8个硬币，其中 x 个5角，y 个1角，总价值是 2.8元，则可列方程组是 ________________。
二、选择题（时间： 5分钟）
21.若 (a 1)x
y 2b 1 z c5 1 是三元一次方程，则满足的条件的是（ ）
A.a 、b 、c 是任意有理数
B.a 1,b 0,c 4
C.a 1,b
0,c
4
D.a1,b
0,c
4
22.如果 a ＜3，那么下列各式中成立的是（ ）
A.a ＞3
B.a1＞2
C.a 2＜5
D.a ＜3 23.某商店上月的营业额
是
m 万元，本月比上月增长 15%，那么本月的营业额是（ ）
A.15%万元
B.（1+15%）m 万元
C.15%（1+m ）万元
D.（1+15%）2
m 万元 24.下列方程中，二元一次方程是
（ ）
A.xy
1
B.y 3x1
C.x 1 2
D.x 2
x30
y
x
2 ax by
1
b)(ab)的值为（
25.已知 y 1 是方程组
bx ay 的解，则(a ） 7
35
35 C.-16 D.16
A.
3 B. 3
26.某商品标
A.800元
B.860元
C.900元
D.960元
3
三、简答题（时间： 20分
钟）
27.解方程 x 3x5；
16 4
x 1
2y 28.解方程组 3 ； y11 2(x 1)
ax by
2 2x 3y 4 29.如果关于x 、y 的二元一次方程组
by
4 与
5y 的解相同，求a 、b 的值； ax 4x 3
3x
2y 6
4xy2a 0，求a 的值；
30.已知方程组
2y 的解满足方程 3x
6
4
ax xb
31.解关于x的方程：2(ab)；
b a
32.某校学生外出郊游，如果每一辆车坐45人，那么还剩下20人没有座位；如果每一辆车坐55人，则还会有 30个空位置，问共有几辆车？有多少学生？
四、解答题（时间：20分钟）
33.夏季为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施，某宾馆先把甲、乙两种空
调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度，再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的 1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电 405度，求只将温度调高1℃后两空调每天各节电多少度？
34.小明在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和为452元，且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元。
（1）求小明看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）若超市A所有商品八折销售，超市B全场每满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），小明只带了 400元钱，如果他只在一个超市购买这两样物品，你能说明他能在哪一家超市购买更省钱？若两家都可以选择，在哪一家超市购买更省钱？。