一元一次方程与方程组
一元一次方程与二元一次方程组
6．(2013 年浙江绍兴)我国古代数学名著《孙子算经》中有 这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各 几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只．现在小敏将此 题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各 几何？则此时的答案是：鸡有__2_2___只，兔有__1_1___只．
问 A、B 两种树苗每株分别是多少元？
解：设 A 种树苗每株 x 元，B 中树苗每株 y 元，
由题意，得
x－y＝2， x＋2y＝20，
解得
x＝8， y＝6.
答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元．
4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且未知数的项的 次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个_一__次___方程所 组成的一组方程． (3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 _公__共__解___．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)_去__分__母___；(2)去括号；(3)___移__项____；(4)_合__并__同__类__项___； (5)未知数的系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法． 解二元一次方程组的关键是消元，有 __代__入____ 消元法和 __加__减__消元法两种．
一元一次方程与二元一次方程 组
第1讲 方程与方程组
第 1 课时 一元一次方程与二元一次方程组
1．能够根据具体问题中的数量关系列出方程． 2．会解一元一次方程及简单的二元一次方程组． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1 方程(组)的有关概念 1．等式的基本性质． (1)若a＝b，则a±m＝b±___m___(m为代数式)．(2)m为实数，
高中数学 经典方程
高中数学经典方程
在高中数学课程中，经典方程一直是学习重点和难点之一。
接下来，我们将系统地介绍几种常见的经典方程及其解法。
一、一元二次方程
一元二次方程是高中数学中最基础的方程之一，通常写成形如ax^2 + bx + c = 0的形式。
解一元二次方程的方法有两种，一种是利用求根
公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，另一种是通过配方法或因式分解将方
程化简为两个一元一次方程进行求解。
二、一元一次方程组
一元一次方程组是由一组一元一次方程构成的方程组，通常写成形
如
{a1x + b1y = c1
{a2x + b2y = c2
的形式。
解一元一次方程组的方法有代入消元法、相加消元法和矩
阵法等多种，根据具体情况选择最合适的方法进行求解。
三、二元二次方程
二元二次方程是有两个未知数的二次方程，通常写成形如
ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0
的形式。
解二元二次方程的方法比较复杂，常见的有配方法、消元法和三角代换等，需要结合具体题目灵活运用。
四、三角方程
三角方程是含有三角函数的方程，通常写成形如
sinx = sinα 或cosx = cosβ
的形式。
解三角方程的方法有化简式、借值法和利用特殊角的性质等，需要掌握各种角的相关知识和技巧。
通过以上介绍，我们对高中数学中的几种经典方程及其解法有了初步了解。
在学习数学过程中，多加练习和理解，相信对于解题能力的提升会有很大的帮助。
希望以上内容对您有所帮助，谢谢阅读！。
七年级数学 第3章 一次方程与方程组 3.1 一元一次方程及其解法(第1课时)
(1)－3x＋7＝1; (2)2－14x＝3； 解：x＝2; 解：x＝－4；
(3)－2x－3＝9; 解：1x2/＝9/20－21 24;
(4)152x－13＝14. 解：x＝57.
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7．下列各式中，属于一元一次方程的是( B )
A．x2－1＝0
B．3x－1＝2x
C.4y＝5
D．x－y＝3
；(4)(传递性)a＝b，b＝c，那么 a＝
自我诊断 2.下列等式变形中，错误的是( B )
A．由 a＝b，得 a＋5＝b＋5
B．由 a＝b，得－a3＝3b
C．由 x＋2＝y＋2，得 x＝y
D．由－3x＝－3y，得 x＝y
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利用等式(děngshì)的性质解方程
自我诊断 3.方程 2x－1＝3 的解是( D )
(4)两边同时乘以 3，得：5－x＝3，两边同时减 5，得：－x＝－2，两边同 时除以－1，得：x＝2.
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16．已知关于 x 的方程 ax＋b＝2017 的解是 x＝1.求|a＋b－1|的值．
解：因为 ax＋b＝2017 的解为 x＝1，所以 a＋b＝2017，所以原式＝|2017－ 1|＝2016. 17．小王在解方程 2a－2x＝15(x 是未知数)时，误将－2x 看成＋2x，得方程 的解为 x＝3.求原方程的解． 解：把 x＝3 代入 2a＋2x＝15 中，得：2a＋6＝15，a＝92，把 a＝92代入 2a －2x＝15 中，得：9－2x＝15，x＝－3.
C．若 x－3＝y－3，则 x－y＝0
D．若 3x＋4＝2x，则 3x－2x＝－4
10．下列方程中，解是 x＝－1 的是( B )
方程与方程组
第二讲方程与方程组一、学习指引1．知识要点（1）一元一次方程（2）二元一次方程组（3）一元二次方程（4）分式方程（5）方程的整数根（6）方程应用问题2．方法指导（1）一元一次方程经变形总可以化成ax=b的形式，此时需注意对字母系数的讨论．（2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元．（3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax2+bx+c=0(a ≠0)， b2-4ac称为该方程的根的判别式．（4）解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是：①审－－理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系，列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。
找等量关系的方法是—用两种方式表达同一个量！ 二、典型例题例1．解关于x 的方程：(1)4x+b=ax-8； (2) 0232=+-x x ；(3) 6,234()5() 2.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩ (4)21124x x x -=--例2．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，求k 的值．例3．关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．例4. 符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值：2111111xx =-- ．例5．设a 是方程0120062=+-x x 的一个根，求代数式20061200722++-a a a 的值．例6．求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解．例7．小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，•结果他的压岁钱还余30%，于是小明又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10%．（1）问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%，•问小明最多可比原计划多买几个玩具例8．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元例9．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降如果人数不超过25例10．为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人．．．．的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷第二讲 方程与方程组同步练习 班级 姓名【基础巩固】1.若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为__________．2.如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .3.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为____________. 4.已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨+=⎩的解，则a+b 的值等于 ．5. 若x 与y 互为相反数，且532=-y x ，则=+332y x _________．6.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本为 元.7.已知方程组325(1)7x ykx k y-=⎧⎨+-=⎩的解x，y，其和x+y=1，则k＝_____8.篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么姚明两分球投中球，罚球投中球.9. 用换元法解分式方程13101x xx x--+=-时，如果设1xyx-=，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．230y y+-= B．2310y y-+= C．2310y y-+= D．2310y y--= 10.一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍，则船在静水中航速与水的流速之比为（）A．3:1 :1 :1 :211.方程(3)(1)3x x x-+=-的解是（）A．0x= B．3x= C．3x=或1x=-D．3x=或0x=12．08年省政府提出确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知08年我省森林覆盖率为%，设从08年起我省森林覆盖率年平均增长率为x，则可列方程（）A．()60.051263%x+= B．()60.051263x+=C．()260.05163%x+= D．()260.05163x+=13．方程4x+y=20的正整数解有（）组.A．2 B.3142()x y=+，则x－y的值为（）A．－1 B．1 C．2 D．315．两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的4倍，这样的两位数共有（ ）个B.416.方程12x ⨯+23x ⨯+…+19951996x⨯=1995的解是( ) .1996 C【能力拓展】17.解下列关于x 的方程:(1)ax-1=bx (2) x 2－6x+9=（5－2x ）2（3）271132x y y x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩ (4)3215122=-+-x x x18．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+12by ax y x 与⎩⎨⎧=-=-452by ax y x 的解相同，求a ，b的值．19. 已知等腰三角形两边长分别是方程28150x x -+=的两根，求此等腰三角形的周长．20．已知a,b 是一元二次方程x 2－x －1=0的两个根,求代数式3a 2+2b 2－3a－2b的值．21.已知：关于x的方程0+kxx.（1）求证：方程有两个不相等的-122=实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.22.某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了7min30s，而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了1min30s，那么此人不走，•乘着扶梯从底部到顶部需用几分钟若停电，此人沿扶梯从底部走到顶部需几分钟（假定此人上，下扶梯的行走速度相同）路段为普通公路，其余路段为高速公23. 一辆汽车从A地驶往B地，前13路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．24.通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天（2）已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用若不够用，需要追加预算多少万元请说明理由．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．点P 、Q 同时由A 、B 两点出发，分别沿AC 、BC 方向都以1cm/s 的速度匀速移动，几秒后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半QCBA第二讲 方程（典型例题）例1.(1) 当a ≠4时,•方程有惟一解x=84b a +-； 当a=4且b=-8时,方程有无数个解；当a=4且b ≠-8时,方程无解；(2)x=1或2；(3) ⎩⎨⎧==17y x ；(4) x=23-．例2．k=103． 例3. ∵原方程有两个不相等的实数根，224(4(12)(1)480b ac k k -=---⋅-=-+∴．> ，∴2k <． 又∵原方程中，21≠-k ，10k +≥，∴112k k -≠≥且 ∴1122k k -≠≤且<． 例=4． 例． 例6.⎩⎨⎧==010y x ，⎩⎨⎧==27y x ，⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧==61y x 例7.（1）由小明原计划买x 个小熊玩具，压岁钱共有y 元 由题意，得1030%,10(6)10%.y x y y x y -=⎧⎨-+=⎩ 解这个方程组，得21300x y =⎧⎨=⎩答：小明原计划买21个小熊玩具，压岁钱共有300元． （2）设小明比原计划多买z 个小熊玩具，由题意得300－10（21+z ）≥20%×300，解得z≤3． 例8. （1）小李第一次购物付款198元．①当小李购买的物品不超过200元时，不予优惠，此时实际购买198元的物品；②当小李购买的物品超过200元时，设小李购买x 元的物品，依题意可得：x ×90%=198，解之，得x=220即小李实际购买220元的物品． （2）小李第二次购物付款554元，因为554>500，故第二次小李购物超过500元，•设第二次小李购物y 元，依题意可得：（y －500）×80%+500×90%=554，解之得y=630，即小李实际购买630元的物品．当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，•小张应购买的物品为：198+630=828（元）或者220+630=850（元），此时应付款为：500×90%+（828－500）×80%=（元）或者：500×90%+（850－500）×80%=730（元）答：小张应付款元或730元．例9. 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x －25)]x ＝27000.整理，得x 2－75x +1350＝0，解这个方程，得x 1＝45，x 2＝30. 当x ＝45时，1000－20(x －25)＝600＜700，故舍去x 1；当x 2＝30时，1000－20(x －25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例10.（1）2000（2）设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷，则由题意得：20002000022000(125)(1022)(50)x x -⨯+=--+％，5163(50)x x ∴=+． ∴解这个方程，得750x =．经检验，750x =是所列方程的根，且符合题意．答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．第二讲 方程（同步练习）【基础巩固】1．-2 2．k ＞14-且0k ≠ 3．m ＞-6 且m ≠-4 4．1或5 5．-1 6．1257．533 8．8，3 9．A 10．B 11．D 12．D 13．C 14．C 15．B 16．B 【能力拓展】17．(1)当a ≠b 时,方程有惟一解x=1a b-；当a=b 时,方程无解；(2)x=38或2；(3) ⎩⎨⎧-==31y x ； (4) x=21-18． ⎩⎨⎧-==13y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2365b a 19．11或13. 20.∵ a ，b 是方程x 2－x －1=0的两个根 ∴ a= a 2－1 ，b= b 2－1∴ 3a 2+2b 2－3a －2b=3a 2+2b 2－3（a 2－1）－2（b 2－1）=5．21.（1）略；（2）另一根为21；k=1．22．设此不走，乘着扶梯从底部到顶部需要xmin ，停电时此人从底部走到顶部需用ymin ，依题意得 1111.51117.5x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 3.752.5x y =⎧⎨=⎩ 故乘着扶梯从底部到顶部需要用3min45s ；•停电时此人从底部走到顶部需要用2min30s ． 23．答案不唯一，略。
一元一次方程及二元一次方程组
2、(09齐齐哈尔)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种 客房供游客租住, 某旅行团20人准备同时租用这三种客房 共7间,如果每个房间都住满, 租房方案有 ( C ) A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 解:设租二人间x间, 租三人间y间, 则四人间客房7-x-y. 依题意得:
x＝2， 已知 是二元一次方程组 y＝1
mx＋ny＝8， 的解，则 2m－n 的算术平方根为( nx－my＝1
C )
A．±2
B. 2
C．2
D．4
类型之三
一元一次方程的解法
0.3x＋0.5 2x－1 例2：[2011·滨州] 依据下列解方程 ＝ 的过 0.2 3 程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号 内填写变形依据．
14、(09达州) 将一种浓度为15℅的溶液30㎏, 配制成浓度不低于20℅的同种溶液, 则至少 10 ㎏. 需要浓度为35℅的该种溶液______ 解：设35%溶液为x则得：
35%x+30×15%=（x+30）×20% 解得x=10kg，故至少需要35%的溶液 10kg．
练习：P15 第8题 P16 第9题
列方程解应用题：
1.审题 2.设元
3.列方程
4.解方程
5.检验
6.答
一元一次方程应用题的类型：
1.数字问题(包括日历) 2.体积（面积）变化 3.打折销售问题
4.行程问题
5.工程问题
6.储蓄问题
7.和、差、倍、分问题
顺水航行速度=静水速度+水流速度 逆水航行速度=静水速度-水流速度
一次方程与方程组知识点总结归纳
一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一般形式：ax + b=0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。
3. 等式的性质。
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c = b±c。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么(a)/(c)=(b)/(c)。
- 利用等式的性质可以求解一元一次方程，例如解方程2x+3 = 0，首先根据等式性质1，两边同时减3得2x=-3，再根据性质2，两边同时除以2得x = - (3)/(2)。
4. 一元一次方程的解法步骤。
- 去分母（若方程中存在分母时）：根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。
例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。
- 去括号：根据乘法分配律将括号去掉。
如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。
- 移项：把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号。
例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。
- 合并同类项：将方程中同类项合并。
如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。
- 系数化为1：根据等式性质2，方程两边同时除以未知数的系数。
如5x = 5两边同时除以5得x = 1。
二、二元一次方程（组）1. 二元一次方程。
一元一次方程与二元一次方程组
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为一
2.二元一次方程组.
方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
解法
（1）代入消元法；（2）加减消元法
常见的实际问题
（1）和、差、倍、分问题；（2）等积变形问题；（3）工程问题；（4）行程问题；（5）商品销售问题；（6）数字问题；（7）劳力调配问题
A. B. C. D.
√
5.（2022·深圳）张三经营一家林场，林场里面有上等木材和下等木材.5捆上等木材的根数减去11，就等于7捆下等木材的根数；7捆上等木材的根数减去25，就等于5捆下等木材的根数.设上等木材1捆为 根，下等木材1捆为 根，则下列方程正确的是( ).
A. B. C. D.
解:设这种服装每件的标价是 元.根据题意，得 . 解得 . ∴这种服装每件的标价是110元.
例题4 （2022·郴州节选）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1 700元.甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
要点梳理
1.一元一次方程.
概念
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程方程 （ 为未知数， ）叫做一元一次方程的标准形式， 是未知数 的系数， 是常数项
等式的性质
（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
解:设甲种有机肥每吨 元，乙种有机肥每吨 元.依题意得 (1) +②,得 .解得 .把 代入②，得 .解得 .故方程组的解为 答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元.
方程与方程组知识点
第三章方程与方程组一、一元一次方程1•等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 等式的性质：(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 即若a=b，贝U a_m 二b_m.(2) _______________________________________________ 等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为 ________________________________________________ 的数)，所得结果仍是等式•即a b若a = b，贝U am = bm，或(m = 0)m m2.方程含有未知数的等式叫方程叫方程.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3•同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理：①方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.②方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得方程与原方程是同解方程.4.一元一次方程在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.标准形式：ax • b = 0(a = 0) 最简形式：ax二b(a = 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a = 0，则方程有唯一解x = b；a(2)若a=0，且b=0,方程变为0 • x=0,则方程有无数个解；(3)若a=0，且0，方程变为0・x=b，则方程无解.5•解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1)，得出方程的解.6 .列方程解应用题的方法及步骤(1 )审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未知数.(2 )根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步)(3)据等量关系列出正确方程.(4 )解出方程：求出未知数的值.(5)检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意7 •一兀一次方程应用题的主要类型(1)和差倍分问题 (2)等积变形 (3) 行程问题 (4 )百分比浓度问题(5)劳力调配 (6) 比例问题 (7 )工程问题(8)商品利润率问题(9) 数字问题&几个典型问题 储蓄问题 (1) 本金 顾客存入银行的钱叫本金 (2)利息 银行付给储户的酬金叫利息(3) 本息和 本息和=本金+利息 (4) 期数 存款的时间(年、月等) (5)利率 每个期数内的利息与本金之比.记本金为P,利率为i ，期数为n 则① 单利：本息和=本金+本金利率期数=本金 (1+利率期数)，即S=P (1+in )利息税=利息税率 =本金+ 利息一利息税率=本金+ 利息(1—税率) 最后金额=本息和一税金 市场经济问题 (2)进价，原价，售价，利润率的关系：利润原价汉0.1x —进价打x 折：实际售价=原价X 0.1x .此时，禾U 润率=——=——-----进价进价练习：原价为a ,实际售价为b ,则打 _______________ 折，折扣率为 __________ . 行程问题有相遇问题，追及问题、逆(顺)流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线 运动及曲线运动(如环形跑道、时钟问题)基本量之间的关系：路程 =速度 时间(s =v t )(1)相遇问题：s 甲 ■ s^ = s (或V 甲t V z t 二S), t 为甲、乙相遇时间.(2)追及问题：s 甲=s 乙■ s 0 ( V 甲 v z ,s 0为追及初距离)，V 甲t=V 乙t ■ S 0义.②复利：本息和=本金(1+利率)n即 S=P (1+i )(1)利润=售价一进价 利润率=利润=售价进价进价 进价 〜S 甲B工程问题基本量之间的关系：工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量基本量之间的关系：现产量=原产量X （1+增长率）• 百分比浓度问题基本量之间的关系：溶质=溶液X浓度. 水中航行问题基本量之间的关系：V静-v水 =切顺,v静- v水二V逆，v顺-v逆= 2v水川顺-v^ = 2v静二、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：ax by c 0 a 0,b = 0 .含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程组（1）代入消元法（代入法）：①用含有x（或y ）代数式表示y （或x），即变成y=ax，b（或x=ay，b）的形式;②将y =ax - b（或x =ay ■ b）代入另一个方程中，消去y （或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入y=ax，b（或x=ay，b）中，求出y （或x）的值，从而得到方程组的解.（2）加减消兀法（加减法）：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.I ------------ ----------------------------------------------- --------------------------------------------: 补三元一次方程组: 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.; 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.i 解三元一次方程组的一般步骤：[… ①利用代入法或加减法-把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，逍去两组______________《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元二次方程组; ■: ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；. : ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一i元一次方程；: ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解. iI __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I3 •二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 •二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1)一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b = 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cy x 的图象相同.b b广二元一次方程组」a i X+ b,y = c,的解可以看作是两个一次函数y = _ a i X十G和耳x + b2 y = c2b, b| a? C2y -x -的图象的交点.b2b2(2)一次函数与二元一次方程(组)的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程(组)求解.三、一元二次方程1•一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：ax2bx c 二0(a = 0)其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.2•一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如(x a)^ b的一元二次方程当b 一0时，x • a二.b , x二-a -、b，当b <0时，方程没有实数根.(2)配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(X • m)2二n的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.2 b c小2丄b cax bx c = 0 =x x 0= x x 二a a a a2 b , b 、2 c , b、2/ b、2b2「4ac一x x ()() =(x )二a 2a a 2a a4a(3)公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.对于一元二次方程ax2bx c = 0(a = 0)，当b2 -4ac _ 0时，它的根是:f b2_4acx =2a用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a,b,c的值;②求出b2 -4ac的值;③若b2 -4ac _0，则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:「b 二、b2—4ac 2x ，求出X i, X2;若b -4ac：：：0,则方程没有实数根.2a(4)分解因式法当一元二次方程的一边为0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；一④解这两个二元一次方程，它们的解就是原方程的解. ___________ ________ _________ ______ i 补判别式、韦达定理；:1 .一元二次方程根的判别式[: 我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2 bx 0的根的判别式，通常用“丄”; 来表示，即—c. I I '元二次方程根的情况与判别式 的关系：厶＞0=方程有两个不相等的实数根;二=0：=方程有两个相等的实数根；匚＜0：=方程没有实数根； / _0：=方程有两个实数根.2 •一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 X i ,X 2，那么两根之和，等于方程i 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数[I 所得的商，即为+x 2 =—b , X r X 2 =c .；a a:韦达定理的两个重要推论：:I I推论1：如果方程x 2 px ■ q = 0的两个根是x 1, x 2,那么x 1 x 2 - - p , x/2二q .I I推论2 :以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2x -（为 x 2）x x 1 x 2 = 0.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1) 验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. (2) 由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数. ⑶不解方程，可以利用韦达定理求关于x 1,x 2的对称式的值，X 1,X 2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数；式为关于x 1,x 2的对称式.i: (4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程. : (5)已知两数的和与积，求这两个数.； (6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. i (7)证明方程系数之间的特殊关系.: (8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等. :根的符号的讨论：I2X1X 2 ,2X 1 x 2X 1X 22 %「x 2 X 1 x 2说明：如果把含x 1, x 2的代数式中；利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)III的两根为x1,x2，则II■⑴A >0,且X j X2 >0二两根同号.IIII二0,且X1X2 0, x i x2・0：=两根同正；II! 二0,且x1x2 0, x.) x2：：：0二两根同数.II»(2)也a 0,且x1 x2■< 0 二ac v 0二两根异号.II；ac c0，且为+x2=0二两根异号且正根的绝对值较大；II: ac c0，且％+x2 £0二两根异号且负根的绝对值较大.；补二元二次方程组i ；含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关；I I 于x, y的二元二次方程的一般形式为：ax2■ bxy cy2dx e^ f = 0( a,b,c至少有[2 2一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项，a,b,c叫做二次项系数；dx , ey叫做一次项，d,e : 叫做一次项系数；f叫做常数项. [ ；由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成[ 的方程组都叫做二元二次方程组. 1 : 二元二次方程组的解法：: :1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：: :(1)代入法[ : ①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；: : ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；1 ; ③解这个一元方程，求得一个未知数的值；[ ；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如1果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；; ; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组[ 的解. : :(2)逆用韦达定理法[ X ：卜y 二ai 对型如y 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x, y看做一：: \Xy=b i元二次方程一_z2一二az…b 一二0 的两个根，一解这个方程'…求得的一z t,_z2的.值，就是一x, y .的值.所_：% = z 2；i 2 •由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法：；一般步骤：! ①先把方程组中的一个方程分解降次，化为两个一次方程；: ②将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立， 方程和一个二元二次方程组成的方程组；一③解这两个新的方程组，所得的解都是原方程组的解:四、分式方程新课标要求：会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) (1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程. (2) 分式方程的解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” •它的一般解法是：① 去分母，方程两边都乘以最简公分母； ② 解所得的整式方程；③ 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于 0就是增根，应该舍去；若不等于 0就是原方程的根. _______________________________________________________________________________' 补分式分式方程的特殊解法 换元法； 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种 ［特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑换元法. :用换元法解分式方程的一般步骤：；(1)设辅助的未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ■ (2)解所得的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； ;(3)把辅助未知数的值代入原式中，求出原未知数的值； :(4)检验做答.以原方程的解是两组对称解:h组成两个由一个二元一次。
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第三章：一元一次方程与方程组
3.1一元一次方程及其解法
知识点：①一元一次方程的概念 ②等式的基本性质 ③移项（要变号）④解一元一次方程的一般步骤
一、一元一次方程的概念
定义：一元：只含有一个未知数，一次：未知数的最高次数是1次，方程：含有未知数的等式，且含有未知数的代数式是整式。
拓展：任何一个一元一次方程都可以化简成b 为a,,0(0≠=+a b ax 已知数）的形式，这是一元一次方程的标准形式。
题：判断下列式子是否为一元一次方程
（1）x
x 243=- （2）5414+=+x x （3）x y =-32²+4 （4）112=+x （5）o y x =+2 （6）
x 1 （7）2=x
二、等式的基本性质
性质：①等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍相等
②等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为0），结果仍相等
③如果b a =，那么a b =（对称性）
④如果c b b a ==,，那么c a =（传递性）
注：一个量用与它相等的量代替，叫做等量代换。
方程也是等式，所以方程也具有等式的性质。
题：运用等式的基本性质把下列等式变成a x =的形式
（1）323-=x x
（2）3734+=-x x
三、移项（要变号）
移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边（简称：移项要变号）
注：①变形过程中，习惯把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项。
②凡是被移动的项一定要变号（这里的移动说的是从方程的一边移动到另外一边），满意移动的项保持原来的符号
③移项要变号的定理是根据等式的性质1得到的。
题：解方程
（1）x x 2574-=-
（2）42=-x
四、解一元一次方程的一般步骤 例：解方程
2
22312-+=+x x
步骤：
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程叫做解方程。
必须含有未知数等式的等式才叫方程。
等式不一定是方程，方程一定是等式。
1.去分母。
方程中每项都乘以分母的最小公倍数
2.去括号。
依据去括号的法则，依次逐步去括号
3.移项（要变号）。
含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边
4.合并同类项。
含有未知数的项移合并在一起，常数项合并在一起
5.系数化为1。
两边同时除以未知数的系数
（一般情况下的步骤，不排除有简便方法，如先去分母比较简单） 题：解方程：3
212x x -=+
题：解方程 ：x x 73= 63=x
题：当m 为何值时，方程(m ²-1)x ²-(m+1)x +8=0是关于x 的一元一次方程
3.2一元一次方程的应用
知识点：①列一元一次方程解应用题的步骤；②等积变换问题；③打折销售、利率问题及增长率问题；
④行程问题；⑤工程问题
一、列一元一次方程解应用题的步骤
例：某次全校募捐活动中，全校师生共捐款45000元，其中，学生捐款数比老师捐款数的两倍少9000元，问该校老师和学生各捐款多少元？
解题步骤：
（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量
（2）设：设未知数，用含有未知数的代数式表示相关量
（3）列：找出等量关系，并由此列出方程
（4）解：解方程，求未知数的值，检验此值是否符合题意
（5）答：根据题意写出答案
注：1.一道题往往含有多个未知数，应当选择一个设为未知数，其他的量用这一个未知数来表示，进而列出方程。
2.列方程时，单位不统一的一定要统一单位。
3.对于方程的解，要看解是不是符合实际意义，在设和答的时候，必须写清单位名称。
二、等积变换问题
等积：等面积或等体积，等积变换问题指的是几何图形的形状发生改变，而面积或体积没有变。
利用等量关系列出等式。
注：1.等式两边单位保持一致
2.找等量关系，用含有未知数的等式表示已知量和未知量之间的关系
题：一圆柱形容器的内半径为3cm，内壁高30cm，容器内盛有15cm高的水，现将一个底面半径为2cm、高18cm的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水将升高多少？
三、打折销售、利率问题及增长率问题
利润
知识归纳：（1）售价=标价×折数利润=售价-成本利润率=
成本
（2）利息=本金×利率×期数
（3）增长率问题：达到的数量=基数×（1+增长率）
（4）打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售
题：商场出售A冰箱每台售价为2190元，每日耗电1度，B冰箱每台售价比A贵10%，单每日耗电0.55度。
请问商场将A冰箱打几折，使得A冰箱10年的总费用与B冰箱10年的费用相等？（每年365天，每度电0.5元计算）
四、行程问题
知识归纳：（1）相遇问题：相遇时间×速度和=路程和
（2）追及问题：追及时间×速度差=追及路程
（3）航行问题：顺水速度-水流速度=静水中航行速度
（4）逆水速度+水流速度=静水中航行速度
题：甲乙两地间的路程是708m，一辆慢车从甲地开往乙地，慢车开了一个半小时之后，另有一辆快车从乙地开往甲地。
已知慢车每小时走92km，快车每小时走136km，问两侧和各开几小时后相遇？
五、工程问题
（1）全部工作量=各部分工作量之和=1
工作量=工作效率×工作时间
（2）总工程量为1.工作效率是工作时间的倒数
题：甲乙两队共同完成一个项目，甲单独做7.5小时完成，乙单独做，5小时完成，现在让甲乙一起工作1小时，剩下的让乙单独做，共需多长时间完成？
3.3二元一次方程组及其解法
①二元一次方程的相关概念 ②二元一次方程组 ③代入消元法解方程 ④加减法解方程
1.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”
一、二元一次方程的相关概念
1.二元．．一次方程．．
：含有两个未知数的一次方程。
（二元：两个未知数；一次：含有未知数的项的系数都为1；方程：等式+含有未知数的项都是整式）
2.二元一次方程的解．
：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值。
3.二元一次方程组和一元一次方程的异同点：
题：下列各式属于二元一次方程的有：
（1）23=-y x （2）x y 21+²=0 （3）5=-z y （4）2
1=xy （5）422=-x y （6）y x 34- （7）5=++z y x （8）y x x 435-=+
二、二元一次方程组
（1）已知两数y
x,之和是10，x比y的3倍大2，则可以列出所有的方程为
（2）三对数值
知识归纳：（名词解释）
1.一次方程组：由几个一次方程组成的方程组
2.二元一次方程组：由两个一次方程组组成的，含有两个未知数的方程组
3.二元一次方程组的解：使得二元一次方程组中的两个方程都成立的两个未知数的值
4.解方程组：求方程组的解的过程
注意：同一个方程组的同一个未知数表示的意义是相同的
判断一个方程组是不是二元一次方程组，注意抓两个点：①有两个一次方程②一共含有两个未知数
题：判断
三、代入法解方程
x①
+y
5
3
2=
y x 23-= ②
代入法的大致思路：
1.通过方程组中的一个方程，将某个未知数 用含有另一个未知数的代数式表示，并将代数式代入另一个方程中，（这样就消去了一个未知数，得到一个一元一次方程），解方程求出一个未知数的值，再将这个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而求出方程组的解。
这种解方程组的方法叫做代入消元法。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形：选择一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数 用含有另一个未知数的代数式表示
（2）代入：将一个方程变形后代入另一个方程中，消去了一个未知数，得到一个一元一次方程
（3）解：解得到的一元一次方程
（4）反代：将得到的解代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值 （5）写出答案， a x =
b y =
题：用代入法解下列方程
200=+y x 32=-y x
x y 32=
3=+y x
..
’.
四、加减法解方程 523=+y x
325=-y x
用加减法解方程组的一般思路：
通过把两个方程相加或相减消去一个未知数的方法叫做加减消元法。
方法归纳：
1.两个方程中有一个未知数的系数相等，那么两个方程相减，如果有一个未知数的系数互为相反数，那么两方程相加。
2.如果方程组中没有某个系数相等或者互为相反数，就选择其中一个系数比较简单的未知数，先找出系数的最小公倍数，然后在一个方程或两个方程的两边同时乘一个数，使得某个未知数在两个方程中系数的绝对值相等，然后再相减或相加即可。
2354=+y x 02=+y x
题： 953-=-y x 643=+y x。