2020年高考数学考前冲刺八套卷(一)理科
2020届高考理科数学考前冲刺竞优卷 第一卷
2020届高考理科数学考前冲刺竞优卷第一卷1、已知集合{}2|60A x x x =∈--<Z ，{}|1B x x =>-，则A B ⋂=( ) A.{}|13x x -<<B.{}012,,C.{}1012-,,,D.{}210--,,2、复数z 满足()1i 34i z -=+，则z = ( ) A.17i 22-+B.17i 22+ C.55i 22- D.55i 22+ 3、某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 008号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生4、已知(1)n x λ+的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,且2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ,若12242n a a a ++=L ,则实数λ=( ) A.3B.2C.1D.45、已知R x y ∈,，且0x y ＞＞，则（ ） A ．110x y->B ． sin sin 0x y ->C ．11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ln ln 0x y +>6、若向量,a b r r满足2,3,a b a b ==-=r r r r ()a ab ⋅+r r r=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87、如图是求2222222++++++的程序框图，则图中和中应分别填入( )A.6k T ≤?; B.7k T ≤=?;C.6k T ≤=?;D.6k T ≥=?;8、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，且该圆柱的内切球1O 的表面积为1S ，该圆开始柱的上、下底面的圆周都在球2O 上，球2O 的表面积为2S ，则12:S S =( ) A.B.1:2D.2:19、在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B =,且2b ac =，则a c b+的值为( )A.2D.410、关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间π(,π)2单调递增③()f x 在[]π,π-有4个零点 ④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A.①②④B.②④C.①④D.①③11、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ，，焦点坐标为(0)c ±,，过1A 的直线与圆222x y c +=切于点N ，与双曲线2222:1x y E c b-=在第一象限交于M 点，且满足12MA MA ⊥若椭圆C 的离心率为1e ，双曲线E 的离心率为2e ，则211e e +的值为( ) A.165D.12、已知函数()(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数())(2g x f x ax a =++恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为( )A.321,12e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.1211,2e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.321,12e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.12,2e ⎛⎤⎥⎝⎦13、已知函数2()xf x e x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线过点()0,a ,则a =__________. 14、若直线1240l x y ：－＋＝与2430l mx y ：－＋＝平行，则两平行直线12l l ，间的距离为-_________.15、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .16、已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则PA PQ +的最小值是_______17、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()21n n n a S n +=+，且35a =.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()111322n a n n b a -=++⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18、如图，在多面体ABCD 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =.(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求BNBD的值；若不存在，请说明理由.19、第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设,μσ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求,μσ的值（,μσ的值四舍五入取整数），并计算()5193P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.（参考数据：；；.）20、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，点1,P ⎛- ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为-1的直线l 与椭圆C 相交于M,N 两点，使得11F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.21、已知函数()21x x f x e-= (e 为自然对数的底数).（1）求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程； （2）设方程()()0f x m m =>有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭. 22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩([]0,π,a α∈为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 44ρθ⎛⎫⎪⎝⎭-=.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程. (2)射线()2π03θρ=>和()π03θρ=>分别与曲线C 交于点A B ,，与直线l 交于点D C ,，求四边形ABCD 的面积.23、已知不等式32231x x -->的解集为A . (1)求A .()0.6827P X μδμδ-<≤+≈(22)0.9545P X μδμδ-<≤+≈(33)0.9973P X μδμδ-<≤+≈(2)若m n A ∈，，且4m n +=，证明:22811n m m n +≥--.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：依题意，知{}260A x x x =∈--<Z|{}|23x x =∈-<<Z {}1012=-,,,，{}|1B x x =>-｝，故{}012A B ⋂=,,，故选B.2答案及解析： 答案：D解析：由已知条件，得34i +，则()()()515i 515i 1i i 1i 22z =+-++==-，故选D.3答案及解析： 答案：C解析：由题意得抽样间隔为100010100=，因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和， 故选：C.4答案及解析： 答案：B解析：由(1)n x λ+得展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,得23n n C C =解得5n =,所以5250125(1)x a a x a x a x λ+=++++L ,令0x =得01a =,令1x =,得50125(1)243x a a a a λ+=++++=L ,所以13λ+=,解得2λ=5答案及解析：答案：C解析：由0x y >>,则110y x x y xy--=<，故A 错误， 根据正弦函数的图象和性质，无法比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误，根据指数函数的性质可得11022xy⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-<，故C 正确，根据对数的运算性质，ln ln ln x y xy +=，当01xy <„时，ln 0xy „，故D 错误6答案及解析：答案：C解析：向量,a b r r满足2,3||,a b a b ==-=r r r r可得4927a b +-⋅=r r， 可得3a b ⋅=，则24)37(a a b a a b ⋅+=+⋅=+=7答案及解析： 答案：C解析：根据题意，运行该程序，则T =，1k =；T =，2k =；T =3k =；T =4k =；T 5k =；T =6k =；T =7k =，结束循环结合选项可知，C 选项满足题意.故选C.8答案及解析： 答案：B解析：设球1O 和球2O 的半径分别为r R ，，因为该圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以1r =，R，所以221212S r S R ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选B.9答案及解析：答案：A解析：ABC ∆中,由sin cos 0b A B ⋅=,利用正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，∴tan B =故π3B =.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-⋅=+-,即22)3(b a c ac =+-， 又2b ac =,所以22)4(b a c =+,求得2a cb +=10答案及解析： 答案：C解析：()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=Q ,()f x ∴为偶函数,故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述①④ 正确，故选C ．11答案及解析： 答案：D解析：易知222a b c =+，所以12A A ，为双曲线2222:1x y E c b-=的左、右焦点，连接ON (O 为坐标原点)，则1ON A M ⊥.因为直线与圆222x y c +=切于点N ，所以ON c =，所以1A N b =，12A M b =，222A M ON c ==.由双曲线的定义，知122A M A M c -=，即222b c c -=，得2b c =，从而椭圆的离心率1c e a =2ae c =，故211e e +=故选D12答案及解析： 答案：B解析：函数()()2g x f x ax a =++有3个零点，等价于函数()y f x =的图象与直线2y ax a =--有3个交点.易知直线2y ax a =--恒过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭作函数(0)x y e x =≥的图象的切线，设切点为00()x y ，，则00x y e =. 因为x y e '=，所以切线的斜率1012x y k e x ==+，即0012x e x x =+，解得012x =，所以121k e =.又过点(0)1,，1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与曲线()y f x =恰有3个交点，且该直线的斜率22k =， 所以函数()y f x =的图象与直线2y ax a =--有3个交点时，1222e a <-≤，解得12112a e -≤<-.综上，实数a 的取值范围为1211,2e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭故选B.13答案及解析：答案：1 解析：∵()2x f x e x =-，∴()()11,2x f e f x e x'=-=-，∴()12f e '=-，∴函数()2x f x e x =-的图象在点()()1,1f 处的切线的方程为()()()121y e e x --=--，即()21y e x =-+，∵直线()21y e x =-+过点()0,a ，∴()2011a e =-⨯+=14答案及解析：解析：若直线1:240l x y -+=与2:430l mx y -+=平行，则有43124m -=≠-，求得2m =， 两直线即1:2480l x y -+=与2:2430l x y -+=，则两平行直线12,l l 间的距离为=15答案及解析：解析：由三视图还原该几何体的直观图如图所示， 易知AA BB CC '''，，均垂直于底面ABC ，且1AA '=，2BB '=，3CC '=，1AC BC ==，AC BC ⊥，所以AB B C ''==A B ''=A C ''=B C A B ''''⊥， 所以该几何体的表面积()()()12231131112222S ++⨯+⨯⨯=+++=.16答案及解析： 答案：2解析：由抛物线24y x =可知，其焦点坐标为(1,0)F ，准线1x =-，设点P 到其准线的距离为d ，根据抛物线的定义可的d PF = 则点P 到y 轴的距离为1PQ PF =-，且3FA 则112PA PQ PA PF FA +=+-≥-=（当且仅当,,A P F 三点共线时取等号），所以PA PQ +的最小值为2.17答案及解析：答案：(1)由()21n n n a S n +=+，得()1n n na S n n =+-①，所以()()1111n n n a S n n +++=++②，由②-①，得()1112n n n n a na a n +++-=+，所以12n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为2的等差数列.因为35a =，所以112225a d a +=+⨯=，解得11a =， 所以()12121n a n n =+-=-. (2)由(1)得，134n n b n -=+⨯，所以()011123444n n T n -=++⋯++⨯+++L ()1143214n n n +-=+⨯-()1412n n n +=+-.解析：18答案及解析：答案：（1）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ⋂平面ABCD AD =， 所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．（2）取AD 中点O,EF 中点K ，连接OB ，OK.于是在ABD ∆中，OB OD ⊥，在正方ADEF 中OK OD ⊥，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，故OB ⊥平面AFEF ，进而OB OK ⊥，即OB, OD, OK 两两垂直．分别以,,OB OD OK 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系（如图）．于是，B ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭,C ⎫⎪⎪⎝⎭,1E 0,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,11M ,0,F 0,,142⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以35,1,,0,(0,0,1)42MF CD DE ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u ru u u r u u u r 设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00CD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u r u u v r即5020x y z ⎧-⋅=⎪⎨⎪=⎩ 令5x =-，则y =，则(n =-r．设直线MF 与平面CDE 所成角为θ，||sin |cos ,|||||MF n MF n MF n θ⋅=<>==u u u u r ru u u u r r u u u u r r (3) 要使直线//CE 平面AFN ，只需AN //CD ， 设,[0,1]BN BD λλ=∈u u u ru u u r,则1,,02n n n x y z λ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1,,02n n n x y z λ===,1,,02N λ⎫⎪⎪⎝⎭，所以11,,022AN λ⎫=+⎪⎪⎝⎭u u u r , 又5(,0)2CD =-u u u r ，由//AN CD u u u r u u u r得1122 52λ-+=-，解得2=[0,1]3λ∈ 所以线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2=3BN BD 解析：19答案及解析：答案：（1）由已知频数表得：5304050452010()3545556575859565200200200200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.5210=>，所以14σ≈， 则X 服从正态分布(65,14)N ，所以(22)()(5193)(2)2P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.68270.81862+==； （2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=， 所以所有Y 的取值为15，30，45，60，121(15)233P Y ==⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=，1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111(60)23318P Y ==⨯⨯=，所以Y 的分布列为：所以1721()1530456030318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 需要的总金额为：200306000⨯=.解析：20答案及解析：答案：（1）因为椭圆C 的左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，所以2c =.由椭圆定义可得2a ==,解得a =所以222642b a c =-=-=,所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+， 由22162x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得223()60x x t +-+-=，即()2246360x tx t -+-=，()222(6)443696120t t t ∆=--⨯⨯-=->，解得t -<<,设()11,M x y ，()22,N x y ，则1232t x x +=,212364t x x -=,由于11F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F EMNK K =-=又3,44t t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以141324F E t K t==+，解得4t =-.当4t =-时，不满足t -<<. 所以不存在满足条件的直线l.解析：21答案及解析：答案：（1）由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点01x =±.()221xx x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e'=-，()10f =，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e=--.（2）()221xx x f x e --'=.当(()11x ∈-∞+∞U ，时，()0f x '>；当(1x ∈时，()0f x '<. ∴()f x 的单调递增区间为(()1 1-∞++∞，，，单调递减区间为(1.由（1）知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，时，()()()21112121002x x x x e x f x e x e e +--+>⇔++>⇔+>.易知，()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增， 而()10g -=，∴()()10g x g >-=对()1 1x ∀∈-，恒成立， ∴当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m⎧=+⎪⎨=⎪⎩得12m x e =-.记112mx e '=-.不妨设12x x <，则12111x x -<<-<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=--⎪⎝⎭.要证121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭，只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，∴只要证222211x x x e-≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()21x ∈-，即证()2210x e x -+≥.令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()1x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数； 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数. ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥，∴121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭. 解析：22答案及解析：答案：(1)由sin x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数α，得2212x y +=.因为[]0,πα∈，所以0y ≥.即曲线C 的普通方程为221()02x y y +=≥由πcos 44ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=，得4θρθ⎫⎪⎪⎭=⎝， 将cossin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代上式，简得x y +=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y +-=.(2)由(1)知，曲线C 的方程为221()02x y y +=≥，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，得2222cos sin 12ρθρθ+=()2ππ2π,k k k θ≤≤+∈Z .将π3θ=代入上式，解得ρ=OB =将2π3θ=代人上式，解得ρ=OA =.将π3θ=代入πcos 44ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=，解得4ρ=，即4OC =.将2π3θ=代入πcos 44ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=，解得4ρ=，即4OD =.所以四边形ABCD 的面积1π1πsin sin 2323S OD OC OA OB =⋅-⋅⋅11442277=⨯⨯-⨯=. 解析：23答案及解析： 答案：(1)当32x >时，原不等式可化为3)32(21x x -->，得352x <<； 当302x ≤≤时，原不等式可化为()32231x x +->，得312x <≤； 当0x <时，原不等式可化为()32231x x -+->，无解. 综上，)5(1A =,. (2)m n A ∈Q ,，1m ∴>，1n >，10m ∴->，1n -> 0.欲证22811n m m n +≥--，只需证()()3232811n n m m m n -+-≥--，即证()()()()2222888m n m mn n m n mn m n +-+-+≥-++， 即证()22312240m n mn +-+≥，即证()23212240m n mn mn ⎡⎤+--+≥⎣⎦，即证4mn ≤. 242m n mn ⎛⎫⎪⎝⎭+≤=Q ，当且仅当2m n ==时取等号，∴原不等式成立.解析：。
2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(一)解析版
f (x) cos x sin x (a sin x) ( sin x) a sin x 1 因 为 cos2 x 0 ， 所 以 a sin x 1 0 在 区 间
cos2 x
cos2 x ,
( π , π ) 恒成立,所以 a 1
因为
x
(
,
) ，所以
1
sin
x
32 3
1
2 所以 a 的取值范
3．4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和
本资料由集师广益·教学研究所整理
为奇数的概率为（ ）
1
A．
3
1
B．
2
【答案】C
2
C．
3
3
D．
4
【解析】取出的
2
张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，
C21C21 C42
=
2 3
9．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，直线 AC1 平面 .平面 截此正方体所得截面有如下四个
结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；
④截面面积最大值为 3 3 ．则正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②④
D．①③④
【答案】D
【解析】对①,当 截此正方体所得截面为 B1CD1 时满足.故①正确.
【答案】B
【解析】根据题意有 f x cos2x 1 1 cos2x 2 3 cos2x 5 ，
2
2
2
所以函数 f x 的最小正周期为 T 2 ，且最大值为 f x 3 5 4 ，故选 B.
专题20 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(理)(解析版)
第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）．A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-【答案】D 【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}A B =-.故选：D.2．设i 为虚数单位，复数z 满足()25z i -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为()25z i -=，所以()()()5252222i z i i i i +===----+， 由共轭复数的定义知，2z i =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（ ）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度； ③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%-=，故错误； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确； ③影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确；④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85% 1.15%-=，故正确. 故选：C . 4．函数()()1ln 1xxe xf x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】()()1ln 1xxe xf x e -=+,其定义域为:(,0)(0,)-∞+∞,又()()()1ln 1ln ()11x xx xe x e xf x f x e e ------===-++,所以()f x 为奇函数,故排除A,C 选项,又当12x =时,1(1)ln 12()021e f e ⨯=<+, 所以排除D 选项, 故选:B.5．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．21232c k q x x RB ．21232c k q x x R - C ．2123c k q x x R D ．2123c k q x x R- 【答案】B 【解析】根据题意，221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪+--⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R ≈-， 故选：B6．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ）A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 【答案】A 【解析】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .7．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．9D ．不能确定【答案】C 【解析】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C8．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403πB ．56πC ．1843πD ．104π【答案】C 【解析】由题意可知该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为332=6， 设球的半径为R ，可得(()22236R R =+-，解得4R =，所以该几何体的体积为(2341184236333R π⨯π⨯-⨯⨯π=. 故选：C ．9．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）A ．0.5米B ．1米C ．1.5米D ．2米【答案】B 【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22x py = 集光板端点()1,0.25A ，代入抛物线方程可得24p =， 所以抛物线方程24x y =， 故焦点坐标是()0,1F.所以容器灶圈应距离集光板顶点1m . 故选：B10．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．11．已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4πx =-对称； ③()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()2f x =在[],ππ-上有4个不同的实根. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】D 【解析】()112sin 2,sin 2214sin cos 12sin 212sin 21,sin 22x x f x x x x x x ⎧-<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≥⎪⎩， 作出()f x 在[],ππ-上的图象（先作出2sin 2y x =-的图象，再利用平移变换和翻折变换得到12sin 2y x =-的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.12．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 6P ABC -的外接球的体积是（ ） A ．2π B ．4πC ．83πD ．43π 【答案】D 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，PA PB PC，，互相垂直，AMP∴∠就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM BC⊥时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大.此时6 APPM=，6PM=，在直角PBC中，2612PB PC BC PM PC PC PC⋅=⋅⇒=+⨯⇒=. 三棱锥P ABC-扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=.∴三棱锥P ABC-的外接球的半径为1R=，∴三棱锥P ABC-的外接球的体积为34433Rππ=.故选：D.第II卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件24010220x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y=+的最大值为______．【答案】5【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+， 当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大． 此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3x =，4y =-，即()3,4A -，所以目标函数的最大值为3345z =⨯-=． 故答案为：514．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，425S S =，则此数列的公比q =____________. 【答案】1-或2± 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a ≠，公比为q ，425S S =，∴1q ≠， ∴()()421115111a q a q qq--=--，化简可得()()22140qq--=，解得1q =-或2q =±. 故答案为：1-或2±.15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.【答案】13【解析】根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A =⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13， 故答案为：13． 16．过双曲线2221(0)x y a a -=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a-=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据点M 在双曲线2221x y a -=上，得()()22121222144x x x x a a +--=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠= 222sin cos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以5c =，离心率5e =.故答案为：5 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为2R =， 在ABC 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=， 即2BC =； （2）在BCD 中，2DBC BCD ∠=∠，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =， 解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 22BCDSBC BD CBD =⋅⋅∠=. 18．如图1，在多边形ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，1AB AF BC ===，2AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒．以AD 为折痕把等腰梯形ABCD 折起，使得平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图2所示．（1）证明：AC ⊥平面CDE ．（2）求直线CF 与平面EAC 所成角的正切值． 【答案】（1）详见解析；（2）1919． 【解析】（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，如下图所示：1AB AF BC ===，//BC AM ，由四边形ABCM 为菱形，可知12AM AD =， 在ACD 中，在90ACD ∠=︒， 所以AC DC ⊥．又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD 平面ADEF AD =，//AF DE ，90DAF ∠=︒，所以DE AD ⊥，DE ⊂平面ADEF ，所以DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，又因为DE DC D ⋂=， 所以AC ⊥平面CDE ．（2）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图取AD 的中点为O ，以O 为原点，以OA 为x 轴，其中y 轴，z 轴分别在平面ADEF 平面ABCD 中，且与AD 垂直，垂足为O 建立空间直角坐际系O xyz -．因为()1,1,0F ，13,0,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,0E -，()1,0,0A ，33,0,22CA ⎛=- ⎝⎭，()2,2,0AE =-，33,1,2CF ⎛= ⎝⎭． 设平面CAE 的法向量(),,n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即330220x z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3n =．设直线CF 与平面EAC 所成的角为θ，则331522sin 1045CF n CF nθ+-⋅===⨯⋅， 所以19tan θ=．19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22221x ya b+=（0ab>>）的离心率是e，定义直线bye=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为23y=±，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：223x y+=的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.【答案】（1）22143x y+=；（2）在，证明见解析.【解析】（1）由题意得：23b abe c==，24a=，又222a b c=+，联立以上可得：24a=，23b=，21c=.∴椭圆C的方程为22143x y+=；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为23y=±，不妨取23y=，设(),23P x（x≠），则23OPk=，∴过原点且与OP垂直的直线方程为023y x=，当3=x时，过P点的圆的切线方程为3x=过原点且与OP垂直的直线方程为12y x=-，联立312xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得：33,2A⎫-⎪⎪⎭，代入椭圆方程成立；同理可得，当0x =时，点A 在椭圆上；当0x ≠时，联立223412y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1A ⎛⎫，2A ⎛⎫⎝， 1PA所在直线方程为()()20060x x y --=.此时原点O 到该直线的距离d ==∴说明A 点在椭圆C 上；同理说明另一种情况的A 也在椭圆C 上. 综上可得，点A 在椭圆C 上.20．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()0g x kx b k =+>，当0a =时，若对任意的()0,x ∈+∞，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】（1）()()212120ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a<时，若()0f x '>，解得0x <<若()0f x '<，解得x >所以函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）因为()2g x x ≤，所以20x kx b --≥，0k >，故240k b ∆=+≤，即24k b ≤-，又因为()()21ef x g x -≤，所以2ln 10e x kx b ---≤. 设()2ln 10x e x kx b ϕ=---≤，()2ex k xϕ'=-， 当20,e x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 当2,e x k ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减. 故()max 2222ln 212ln 10e ex e e b e b k k k ϕϕ⎛⎫==---=--≤ ⎪⎝⎭，所以22ln 1e b k -≤，所以有222ln 14k e b k -≤≤-. 由题知，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立的充要条件是不等式222ln 14k e k -≤-有解，将该不等式化为222ln 104k e k--+≥，令2kt =，则22ln 10t e t -++≥有解. 设()22ln 1h t t e t =-++，()22e h t t t'=-+，可知()h t 在区间(上单调递增，在区间)+∞单调递减，又()10h =，10h=>，()2210h e e e =-++<，所以()22ln 1h x t e t =-++在区间)e 内存在唯一零点0t，故不等式22ln 10t e t -++≥的解集为01t t ≤≤，即012kt ≤≤，故k 的最小值为2. 21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②116177i i i p p p +-=+，11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，(1)()P X P AB =-=121()()(1)233P A P B ==-⨯=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232=⨯+-⨯-=， 121(1)()()()(1)236P X P AB P A P B ====⨯-=，∴X 的分布列为：（2）由（1）16p =， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117()2662636=⨯+⨯+=，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--：记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==由此得甲的得分Y 的分布列为：∴3()()3362636636636216p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=+， ∴111()6i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11()6nn n p p --=．∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-111111()()(1)66656n n n -=+++=-． （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）由1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x += 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：2103m n ++. 【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)32103m n m n +=-+-++，当且仅当1m =，2n =时取“=”， 原不等式得证.。
金考卷—百校联盟—领航高考冲刺卷(理数答案)
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本题考查三角恒等变换｀三角函数的图象和性质’考
第
14垫［考查目标］ 本题主要; α厕ˉl≠0,所以α″ˉα″ˉ｜＝1,又易知αl＝1 ’故数列｛α鹏｝是首项和公
本题主要考 查双曲线的离心率,考查了分析
一
差都为l的等差数列,故α,＝＂｀s＂＝÷″（″＋l） ’则b＂＝ 2
模
问题和解决问题的能力。
（—］）,警二（—］）馏（←击） ,则数列｜h鹏｜的煎2022项和
考生的逻辑椎理能力以及运算求解能力,考查的核心素养是逻辑椎
面积,再利用几何概型的概率计算公式求解即可。
≤沪 ［解析］ 如图所示,设AB＝α,连接CF,根据
题意可知乙CEF＝90°’乙CFE＝45°,EF＝
＼.~
÷』则cF＝粤α;正八边形的面积为α2＋4×
理｀数学运算。 ［解题思路］ 分公比是否为l进行讨论,再利用等比数列的前门项 和公式及定义求解即可。 ［解析］ 设等比数列｛α′』 ｝的公比为q’当q＝1时,S＂＿2α｜ ＝nαl
司
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｜三
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2020年高考押题预测卷01(新课标Ⅰ卷)-理科数学(考试版)
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D．[1, )
2．已知条件 p : f (x) 2cos(x )( 0) 是奇函数，条件 q : k , k Z ，则 p 是 q的（ ）
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设复数 z 满足 z iz 2 i （ i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1．已知全集U
R
，集合
A
{x
|
y
lg(1
x)}
，
B
x
|
y
1 ，则
x
ðU A
B（
）
A． (1, )
B． (0,1)
C． (0, )
呀 标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数 y g x 的图象，若 g x1 g x2 9 ，则
x1 x2 的值可能为（ ）
同 学
A． 5 4
3
B．
4
C．
2
D．
3
9．1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 加 1， 如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终结果都能得到 1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学考前密卷(一) (解析版)
2020年河北省衡水中学高考（理科）数学考前密卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2} 2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b 4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．47．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．448．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣459．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．19810．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C 的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}解：A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝{x|0＜x≤2}．故选：C．2．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|＝||＝B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22＝0，则z1＝0或z2＝0D．z1+z2一定是实数解：A．不成立，例如取z1＝i；B．不成立，|z2|＝2，则z2＝2（cosθ+i sinθ），θ∈[0，2π）；C．不成立，例如取z1＝i，z2＝﹣i；D．设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，则z1+z2＝（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）＝ac+bd+（bc﹣ad）i+ac﹣bd+（ad﹣bc）i＝2ac，因此是实数，正确．故选：D．3．已知正实数a，b满足，，则（）A．a＜b＜1B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b解：在同一坐标系中分别作出函数y＝，y＝及y＝log2x的图象如图：由图可知，1＜b＜a．故选：B．4．2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．B．C．D．解：现有4名高三学生进行去四个地方的总共有：4×4×4×4＝44种情况；再四个地方选出一个地方空出C41种情况；将剩下的三个地方进行四人选择，将四人中捆绑两人有C42种情况进行排列在三个位置有：A33种；则恰有一个地方未被选中的可能有：C41C42A33种；由古典概型的定义知：则恰有一个地方未被选中的概率为：＝故选：A．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（）A．直线是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）在区间上单调递增D．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到解：由题意可得：，由2sinφ＝，得sinφ＝，由0＜φ＜π，得φ＝或φ＝；又点在最高点的左侧，∴φ＝．由五点作图的第三点知，，即ω＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．由f（）＝2sin（）＝2，可知直线是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；由周期公式可得T＝，故B正确；当x∈，2x+∈（），可知f（x）在区间上单调递增，故C正确；∵f（x）＝2sin（2x+）＝2sin2（x+），∴f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到，故D错误．故选：D．6．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则＝（）A．B．2C．D．4解：设的夹角为θ，则cosθ＝＝﹣，∴sinθ＝，∴＝2×2×＝2．故选：B．7．已知（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中x3的系数为（）A．26B．32C．38D．44解：令x＝1，可得（1+）（1+x）6的展开式中各项系数的和为（1+a）•26＝256，∴a＝3，则（1+）（1+x）6的展开式中x3的系数为+3＝38，故选：C．8．执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣45解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82的值，由于S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82＝（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）＝3+7+11+15＝36．故选：A．9．数列{a n}满足a1∈Z，a n+1+a n＝2n+3，且其前n项和为S n．若S13＝a m，则正整数m＝（）A．99B．103C．107D．198解：由a n+1+a n＝2n+3，得a n+1﹣（n+1）﹣1＝﹣（a n﹣n﹣1），∴{a n﹣n﹣1}为等比数列，∴，∴，，∴S13＝a1+（a2+a3）+…+（a12+a13）＝a1+2×（2+4+…+12）+3×6＝a1+102，①m为奇数时，a1﹣2+m+1＝a1+102，m＝103；②m为偶数时，﹣（a1﹣2）+m+1＝a1+102，m＝2a1+99，∵a1∈Z，m＝2a1+99只能为奇数，∴m为偶数时，无解．综上所述，m＝103，故选：B．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，O两点，且PQ⊥PF1，若，则该双曲线离心率e＝（）A．B．C．D．解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|＝|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|＝＝|PF1|，由双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|＝|PF1|，即有|PF2|+|QF2|＝|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a＝|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|＝4a，解得|PF1|＝．∴|PF2|＝|PF1|﹣2a＝，由勾股定理可得：2c＝|F1F2|＝＝，则e＝．故选：C．11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形，P，A，B，C四点在球O的球面上，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，则球O的表面积为（）A．B．2πC．5πD．解：因为△ABC和△PBC为等边三角形，V＝h，而S一定，所以高最大值时，所以当面△PBC⊥面ABC时，三棱锥的体积最大，设两个外接圆的圆心分别为G，F，如图所示，过G，F分别作两个面的垂线，交于O，连接OP，OA，则OA＝OP为外接球的半径R，△OAG中，OA2＝OG2+AG2，而由题意OG＝EF＝＝，AG＝＝，所以OA2＝（）2+（）2＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：A．12．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．（0，1）B．C．D．（1，4）解：根据导数与单调性的关系可知，当f′（x）＜0时，函数单调递减，当f′（x）＞0，函数单调递增，结合图象可知，图象中实线为f′（x）的图象，虚线为f（x）的图象，由可得，0＜x＜1，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝．解：由题意得该产品能销售的概率为（1﹣）（1﹣）＝，X的可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设ξ表示一篇产品中可以销售的件数，ξ～B（4，），∴P（ξ＝k）＝，∴P（X＝﹣80）＝P（ξ＝2）＝＝，P（X＝40）＝P（ξ＝3）＝，P（X＝160）＝P（ξ＝4）＝＝，∴P（X≥﹣80）＝P（X＝﹣80）+P（X＝40）+P（X＝160）＝＝．故答案为：．14．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为π．解：已知＝sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x＝sin2019x+cos2019x＝2sin （2019x+），函数的最大值为A＝2，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）为最小值，f（x2）为最大值，∴|x1﹣x2|的最小值为•＝，∴A|x1﹣x2|＝2|x1﹣x2|的最小值为π，故答案为：π．15．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是①②③④⑤．（写出所有真命题的序号）解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A＝AF，B'B＝BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；②取AB中点C，则CM＝，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点故答案为①②③④⑤．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p．所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k．依题意可知X＝，1+所以X的分布列为：X1+P q k1﹣q k（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）＝•q k+（1+）（1﹣q k）＝﹣q k+1．所以当k＝2时，E（X）＝﹣0.92+1＝0.69，此时960人需要化验的总次数为662次，k＝3时，E（X）＝﹣0.93+1≈0.6043，此时960人需要化验的总次数为580次，k＝4时，E（X）＝﹣0.94+1＝0.5939，此时960人需要化验的次数总为570次，即k＝2时化验次数最多，k＝3时次数居中，k＝4时化验次数最少．而采用方案①则需化验960次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k＝4时化验次数最多可以平均减少960﹣570＝390次．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1、B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz．设AB＝1，AD＝a，则B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2a），D（0，0，a），B1（1，0，2a），，，，．∵，，∴DE⊥BC，DE⊥B1C，又BC∩B1C＝C，∴DE⊥平面BCC1B1；（2）解：设平面BCD的法向量＝（x0，y0，z0），则，又，故，取x0＝1，得．∵B1C与平面BCD所成的角为30°，，∴|cos＜＞|＝，解得，∴．由（1）知平面BCB1的法向量，∴cos＜＞＝＝．∴二面角D﹣BC﹣B1的余弦值为．20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N （n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得e＝＝，（S）max＝＝1，即bc＝1，又c2＝a2﹣b2，解得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）假设存在N（n，0）满足条件，由|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，可得AF2为∠ANB的角平分线，所以k AN+k BN＝0，由题意直线AB的斜率存在且不为0，由（1）可得右焦点F2（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆的方程联立：，整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，k AN+k BN＝+＝＝＝0，所以2my1y2﹣（n+1）（y1+y2）＝＝0，即2mn＝0，因为m≠0，所以n＝0，即存在N（0，0）满足条件．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＞ax2+1，求a的取值范围．解：（1）f′（x）＝2e2x﹣a，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，a＞0时，由f′（x）＝0得x＝ln，x∈（﹣∞，ln），f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln）上递减；x∈（ln，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（ln，+∞）上递增．（2）f（x）＝e2x﹣ax＞ax2+1变形为e2x﹣ax2﹣ax﹣1＞0，令g（x）＝e2x﹣ax2﹣ax﹣1，g′（x）＝2e2x﹣2ax﹣a，令g′（x）＝0，可得a＝，令h（x）＝，h′（x）＝，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）的值域是（2，+∞），当a≤2时，g′（x）＝0没有实根，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意，当a＞2时，g′（x）＝0有唯一实根x0，x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上递减，g（x）＜g（0）＝0，不符题意，综上，a的取值范围是a≤2．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值．解：（1）因为，，两式相减，有4x2﹣2y2＝4，所以C的直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上述方程可得：直线l的直角坐标方程为2x﹣y+m＝0．（2）联立l与C的方程，有，消y，得2x2+4mx+m2+2＝0，因为l与C相切，所以有△＝16m2﹣4×2（m2+2）＝8m2﹣16＝0，解得：．23．已知a＞0，b＞0，c＞0设函数f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝b＝c＝2，求不等式f（x）＞7的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥（a+b+c）．解：（1）当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2＝．∵f（x）＞7，∴或，∴或，∴不等式的解集为．（2）∵f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a≥|（x﹣b）﹣（x+c）|+a＝|b+c|+a＝b+c+a，∴f（x）min＝b+c+a＝2，∴＝≥，∴≥。
全国新课标试卷2020届高三下学期考前冲刺一数学理试题Word版含答案
全国卷理科数学模拟试题一第Ⅰ卷一 选择题：本题共12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的.1．设集合{1,2,3,4},{1,2,3},{2,3,4}U M N ===，则)(N M C U = （ ） A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{1,4} 2.复数131iZ i -=+的实部是（ ） A ． 2 B ． 1C ．1-D ．4-3.设0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ， c 的大小关系是 ( ) （A ）a b c <<（B ）a c b << （C ）b a c <<（D ）c a b <<4．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=A ．0B ． 1C ．5D ．1355.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程ˆｙ＝3-5x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加5个单位; ③回归方程ˆˆˆｙ＝bx+a 必过（x,y) ④有一个2×2列联表中,由计算得2k =13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3P(2k ≥0k )0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0. 025 0.010 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415. 0246.635a b c6．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ） A ．23-B ．23C ．0D ．37．等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－208．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 （C ）充要条件10.某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）.52A B.246+ C.27+ D.2612.已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ( ) （A ）2a （B ）2a （C ）22a （D ）2a 或2a第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
06.2020考前冲刺八套卷理科答案(一)
1分
2分 3分 4分 5分
6分
h证明： bn
an2 2n1 an an1
n2 2n1 n (n 1)
1 n 2n
1 (n 1) 2n1
所以 Tn
(1121
1 2 22
)
(
2
1 22
3
1 23
)
[
n
1 2n
(n
1 1)
2n1
]
1 2
(n
1 1) 2n1
1 2
9分 12 分
19.解： h作 MM ' y 轴交 y 轴于 M '
a
b
b
a2
a
ab b
b
.
4分
h首先，
P(X
n1
a
0)
P0
a
a
; b
k 1 时，第 t 次取出来有 t h 个白球的可能性有两种；
第 次袋中有 t h 个白球，显然次取出球后，球的总数保持不变；即 t h 个白球（故
此时黑球有 h d h 个），第 t 次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为 P a k ; 5 k ab
(EX n
1)
(EX n )2 ab
(1
EX a
n
b
)(
EX
n
1)
(EX n )2 ab
EX n
(EX n )2 ab
1
EX n ab
(1
a
1
b
)
EX
n
1
12 分
5/7
22.解 h依题意可得：圆 C1 : (x 1)2 y2 1；圆 C2 : (x 2)2 y2 4 所以 C1 : x2 y2 2x;C2 : x2 y2 4x, 又因为 x2 y2 2 , x cos 所以 C1 : 2 cos ;C2 : 4 cos .
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h Ґ（ ）
Ǥ⺁
Ǥ⺁
Ǥ
对称，若 Ǥ
Ґ ⺁Ǥ则
12.
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0) 的左右焦点为 F1，F2 若在椭圆上存在一点 P，使得
PF1F2 的内心 I 与重心 G 满足 IG//F1F2，则椭圆的离心率为（ ）
A. 2
B. 2
C. 1
D. 1
2
3
3
2
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沉着、冷静、细心、认真
第 II 卷（共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答；第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
13.已知 ⥰，ㄴሻ， ⥰ㄴ， ሻ，若点 在函数 y x 的图像上，则使得 PAB 的面积为 2
沉着、冷静、细心、认真
20. （本小题满分 12 分）
已知 f (x) (1 x)e x 1
（1）求函数 ⥰˶ሻ的最大值；
（2）设 g(x) f (x) ，证明： g(x) 有最大值 g(t) ，且 2 t 1 x
21. （本小题满分 12 分） 一袋中有 ৹ 白球和 个黑球，从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果
取到黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复 ݅ 次这样的操作后，记袋
中白球的个数为 X n
（1）求 EX1 ；
（2）设 P( X n a k) pk ，求 P( X n1 a k ), k 0,1,b;
（3）证明：
EX
n1
(1
a
1
)EX b
n
1
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沉着、冷静、细心、认真
23. （本小题满分 10）
已知 a 0,b 0, c 0, d 0, a 2 b 2 ab 1, cd 1 （1）求证： a b 2 ； （2）判断等式 ac bd c d 能否成立，并说明理由。
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蜜蜂优课 2020 考前冲刺卷（一） 数学（理科）试题
2020.3.21 出题人：凉学长 （满分：150 分，考试时间：120 分钟）
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1.设集合 Ґ ਣ⥰˶， ሻ ˶ Ґ ， Ґ ਣ⥰˶， ሻ Ґ ˶ ，则
的点 的个数为_________.
14. 设 变 量 ˶，
x 2 0，
满
足
约
束
条
件
x
y
3
0，
则目标函数 z x6y 的最大值为
2x y 3 0，
_________.
15.设锐角 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且 ৹ Ґ ， Ґ ，则 的取值范
围是_________.
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沉着、冷静、细心、认真
7.在 中，角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ，若 a cos Asin C (2b a) sin A cos C ，
则角 的大小为（ ）
A.
B.
6
4
C. .
D.
3
2
8. 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 画 出 三 个 函 数 ˶ Ґ ݅ ݏ˶
16.在半径为 5 的球面上有不同的四点 A, B, C, D ，若 AB AC AD 2 5 ，则平面 BCD
被球所截得图形的面积为_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分）
如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，O 是 的中点，A1O 平面ABC，BCA 90 ， AA1 AC BC .
（1） 求证： A1B AC1 ； （2） 求二面角 A BB1 C 的余弦值.
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沉着、冷静、细心、认真
18. （本小题满分 12 分）
已知数列{an} 为单调递增数列， Sn 为其前 ݅ 项和， 2Sn =an2 n .
（1）求{an} 的通项公式；
（2）若 bn =
an2 2n1 an an1
g(x) sin(2x ), h(x) cos(x ) 的部分图像如图所示，则（ ）
5
7
ʹ ݏ˶ ，
Ǥ৹ 为 ˶ ， 为 ˶ ，ʹ 为 ˶
Ǥ৹ 为 ˶ ， 为 ⥰˶ሻ，ʹ 为 ⥰˶ሻ
Ǥ৹ 为 ˶ ， 为 ⥰˶ሻ，ʹ 为 ⥰˶ሻ
Ǥ৹ 为 ˶ ， 为 ⥰˶ሻ，ʹ 为 ⥰˶ሻ
9.下列命题正确的是（ ） Ǥ若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 Ǥ若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 Ǥ若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 Ǥ若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分 10）
角坐标系 ˶ 中，圆 C1 : (x 1)2 y2 1，圆 C2 : (x 2)2 y2 4 ， 为极点，˶ 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆 C1 ， C2 的极坐标方程； （2）设 ， 分别为 C1 ， C2 上的点，若 OAB 为等边三角形，求 .
10. 已 知 (x 2)9 a0 a1x a2x2 a9x9 ， 则 (a1 3a3 5a5 7a7 9a9 )2
（2a2 4a4 6a6 8a8 ) 2 的值为（ ）
A.39
B.310
C.311
D.312
11. 已知 ⥰˶ሻ为奇函数，函数 ⥰˶ሻ与 ⥰˶ሻ的图像关于直线 Ґ ˶
=（ ）
Ǥਣ⥰ ሺ ሻ
Ǥਣ⥰ ሺ⺁ሻ
Ǥਣ⥰ ሺ ሻ，⥰ ሺ⺁ሻ
Ǥ
2.在等比数列{an} 中， a2 a4 5, a3 a5 10 ，则 a7 （ ）
Ǥh
Ǥ⺁
Ǥh
Ǥ⺁⺁
3.抛物线 y2 4x 上到其焦点的距离为 1 的点的个数为（ ）
Ǥㄴ
Ǥ
Ǥ
Ǥh
4.欧拉公式 eix cos x i sin x （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数
（P(| X | ) 0.6826 , P(| X | 2 ) 0.9544 ， P(| X | 3 ) 0.9974）
ǤㄴǤ⺁h⺁
ǤㄴǤ Ǥ⺁⺁
ǤㄴǤ ⺁
ǤㄴǤh⺁ h
6.已知非零单位向量
a,
b
满足
|
a
b
||
a
b
|
，则
a
与
b
a
的夹角为（
）
A.
B.
C.
D. 3
6
3
4
4
， Tn
为数列{bn} 的前
݅
项和，证明： Tn
1 2
.
19. （本小题满分 12 分）
已知圆 的方程为： (x 1)2 y2 1 ，与 轴相切的圆 与圆 相外切且圆 在
轴右侧，记圆心 的轨迹为 （1）求 的方程;
AF
（2）过 的直线与轨迹 交于 ， 两点， 为坐标原点，若
Ґ
，求 的
BF
值
4 立了三角函数和指数的关系，它在复变函数论里占有非常重要
的地位，被誉为“数学家中的天桥”，根据欧拉公式可知， e4i 表示的复数在复平面中位于
（） Ǥ第一象限
Ǥ第二象限
Ǥ第三象限
Ǥ第四象限
5.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数 （单位：万）服从正态分布，
X ~ N（6, 0.82），则日接送人数在 6 万到 6.8 万之间的概率为（ ）