多元函数极值典型例题

多元函数极值典型例题

例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．

解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得

2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′

′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.

又22

3

(2)(1)1

(2)2xx

P

P

z y A z z z

−++′′==

=

−−，0xy

P

B z ′′==

22

3

(2)(1)1(2)2yy

P

P

z y C z z z

−++′′==

=

−− 因22

1

0, 2(2)

AC B z z −=

>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.

2z =−时， 11

024

A z =

=>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11

024

A z =

=−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.

解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.

令

2120, 2160z z x y x y

∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界

2225x y +=上取得.

再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.

设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.

令 2221220(1)21620

(2)250

(3)

x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪

′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68

,11x y λλ

−=

=

−−，代入(3)式，有 22

68()()2511λλ

−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.

例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.

解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为

2228V x y z xyz =⋅⋅=

本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数

2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−

令2222

820(1)820(2)820(3)0

(4)

x

y

z F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩

由(1)、(2)、(3)得 4

x y z λ

===−

，代入(4)

得3

x y z a ===

.

即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞

⎜⎟⎜⎟⎝

⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为

3

a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.

解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线

2360x y +−=的距离为d ，

则d =

=

作拉格朗日函数2221

(,,)(236)(44)13

F x y x y x y λλ=

+−++−. 令224

(236)20136(236)8013440

x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪

⎪′=+−=⎪⎩

解得1212

8855

,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故12

8383(,),(,5555

P P −−为两个驻点.

由于1

2

13

P d =

=

，又由实际问题可知最短距离存在，因此点1

83(,55P 即为所求点

. 13

d =即为最短距离.

例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面

22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 5

3275a b c abc ++⎛⎞

≤⎜⎟⎝⎠

解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−

令 2222

1201203

205x y z F x x

F y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪

⎪′=++−⎩，即222

2222120(1)120(2)320(3)50(4)

x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨

−=⎪⎪++−=⎩

(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得2

1

2r λ=

. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点

(,)r r .

因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点

(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大

值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何

0,0,0x y z >>>

，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，

又22221()5r x y z =++

，代入得5/2

2223

5x y z xyz ⎞++≤⎟⎠

，得

5

222226

275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠

令222,,x a y b z c ===，得5

3275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟

⎝⎠