1.5 条件概率、全概率公式
目的：掌握条件概率和概率的乘法公式 全概率公式及贝叶斯公式及应用。 重点：条件概率、乘法公式、全概率公 式及贝叶斯公式的掌握和应用。 难点：以上诸公式的灵活应用
一、条件概率及乘法公式
பைடு நூலகம்
引例：某班40名学生中有团员15人。全班分成4
组，其中第一小组有学生10人，其中有4名团员。 如果从班内任选一人作代表，则 （1）该代表恰在第一组的概率是多少？ （2）若选一团员作代表，恰好在第一组的概率是 多少？
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1 4
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.315 3.15%
例1. 5. 6：我们只关心每天是否下雨，把天气
状况分为下雨和不下雨两种。若今天天气状况与 昨天天气状况相同的概率为p，第一天无雨，求 第n 天无雨的概率。
(1. 5. 4)
证明： P( A) P( A ) P[ A (
P[
n n i 1
n
Bi )]
i 1
( ABi )] P( ABi )
i 1
n
P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
这个公式通常称作全概率公式，它是概率论 中最基本的公式之一。
例1. 5. 5：某工厂有四条流水线生产同一种
（４）当 c = 0 , d > 0 时，称为安全模型。此模 型可解释为：每当事故发生了（如红球被取出）， 安全工作就抓紧一点，下次再发生相同事故的概 率就会减少；而当事故没有发生时（如黑球被取 出），安全工作就放松一些，下次再发生事故的 概率就会增大，在这种场合，上述三个概率分别 为：
b rd rd P( B1R2 R3 ) b r b r d b r 2d
解：设Ａ=｛甲排在乙前面｝，
Ｂ=｛甲乙相邻｝，则所求概率为 P(B | A)
而
1 P ( A) 2
(n 1)! 1 P( AB) n! n
（这时将甲乙
合作一人看待）
故
P( AB) 2 P( B | A) P( A) n
例１.5. 2：设某动物由出生活到10岁的概率
为0.8 ，而活到15岁的概率为0.4 ，问现年为 10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？ 解：设Ａ＝｛动物活到15岁｝，Ｂ＝｛动物 活到10岁｝，则Ｐ( A ) = 0.4, P ( B ) = 0.8 , 所求的概率为 P (A | B )
2 5 1 5 1 15
2 20
所以
PA B P( AB) / P( B)
C /(C C C ) 10 / 85 0.118
2 5 2 20 1 5 1 15
乘法公式
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
P( AB) P( B) P A B ( P( B) 0)
（４）
（２）当c = 0 ,d = 0 时，即为返回抽样模型。这 时抽取次序不会影响后面的抽取，故
P( B1R2 R3 ) P( R1 B2 R3 ) P( R1 R2 B3 )
br 2 （５） (b r )3 （３）当 c > 0 , d = 0 时，称为传染病模型。此 时，每次取出球后会增加下一次取到同色球的概 率。换言之，每次发现一个传染病患者，以后都 会增加再传染的概率。与（１）、（２）一样， 以上三个概率都相等，且都等于
事实上，上述事实对古典概型及几何概 型都是成立的。即
S AB S P ( AB ) P( A | B) SB SB P( B) S
S AB
用几何图演示即为
因此我们可以得到条 件概率的计算公式为：
Ώ
A
AＢ
B
P( AB) P( A | B) , ( P( B) 0) P( B)
P A B 4 /19 0.2105.
解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. A B B表示“2 张中至少有1张假钞”
P A ！）. 则所求概率是 PA B（而不是
2 2 P AB P( A) C 5 / C 20
PB (C C C ) / C
（７）
r bd rd P( R1B2 R3 ) b r b r d b r 2d r r r 2d P( R1R2 B3 ) b r b r d b r 2d
全概率公式与Bayes 公式
引例：有外形相同的球分装三个盒子，每盒10 个，如下表所示。试验按如下规则进行：先在 第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的 球，则在第二号盒中任取一个球；若第一次取 得标有字母B的球，则在第三号盒中任取一个球。 如果第二次取出的是红球，则称试验成功。求 试验成功的概率。 1 A (7), B (3) 解：设A={从1号盒中取出 A球}，B={从1号盒中取出 2 红(5), 白(5) B球}，R={第二次取出红球} 3 红(8), 白(2)
定义 1. 5. 1：设（Ω，₣，P）是一个概
率空间，A，B是两个事件。若已知事件 B 发生的条件下，事件A发生的概率称 之为条件概率。记作： P（A | B）。 因此，上例的第（2）问的概率即为条 件概率 P（A | B）=4/15 。 注意到
4 4 P( AB) 40 P( A | B) 15 15 P ( B) 40
P( B A) 1 P( B A) P( B1 B2 A) P( B1 A) P( B1 B2 A)
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （2） 其 他 概 型 用定义与有关公式
例1.5.1：n 个人排成一排，已知甲排在
乙的前面，求甲乙相邻的概率．
＝ P( A 1 A2
An ) ＝左边
例1. 5. ４（罐子模型）：设一罐中装有b
个黑球、r个红球。每次随机取出一个球， 取出后将原球放回，还加进c个同色球和d 个异色球。记Bi为“第i次取出黑球”， Ｒj 为“第j 次取出红球”。若连续从罐中 取出三个球，其中有二个红球、一个黑球， 则由乘法公式有：
(１. 5. 1)
条件概率也是概率, 故具有概率的性质：
非负性:
归一性:
P( B A) 0 P( A) 1
可列可加性: P Bi A PBi A i1 i1
P( B1 B2 A) P( B1 A) P( B2 A) P( B1B2 A)
n
Bn
是一事件组，且
Bi
i 1
Bi B j
B n-1
Bn
则称这一事件组为互 斥完备事件组。
定理1. 5. 1：设 B1 , B2 ,
P( A)
n
且 P( Bi ) 0, i 1, 2,
i 1 i
Bn 是一互斥完备事件组
，则有
i
P( B ) P( A | B )
（２）
P( R1 R2 B3 ) P ( R1 ) P ( R2 | R1 ) P ( B3 | R1R2 ) r r c b 2d b r b r c d b r 2c 2d
（３）
此模型也称为玻利亚（Polya）模型。可以 有各种变化，具体如下：
解：设 A ={所选代表在第一组} B ={所选代表是团员}
10 1 则易知 （1） p 40 4
（2）由题意知是在事件B（已发生）的 条件下，求事件A的概率。为此列表如下
团员 非团员 小计 6 10 第一组 4 19 30 其它组 11 15 25 40 小计
所求概率为： 4/15 这样的概率称为在事件B 发生的条件下 事件A 发生的条件概率。记为 P（A | B）
注意到 AᄃB，所以 ＡＢ＝Ａ 故 P( A | B) P( AB) P( A) 0.4
P( B) P( B)
0.8
1 2
例1.5.3 从混有5张假钞的20张百元钞票 中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上 检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.
下面两种解法哪个正确？ 解一 令 A 表示 “其中1张是假钞”. B表示 “2 张都是假钞” 由缩减样本空间法得
P( B1 R2 R3 ) P( R1 B2 R3 ) P( R1 R2 B3 ) br (r c) (b r )(b r c)(b r 2c)
（６）
从以上（１）、（２）、（３）中可以看出，在 模型中只要d = 0 ，则以上三个概率都相等，即只 要抽取的黑球与红球个数确定，则概率不依赖其 抽出球的顺序，都是一样的。
An ) 0 An1 ) 0
P( A1 ) 0, P( A1 A2 ) 0, P( A1 A2
P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) 右边＝ P( A1 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 P( A1 A2
An 1 ) P( A1 A2 An ) An 2 ) P( A1 A2 An 1 )
P( B1 R2 R3 ) P( B1 ) P( R2 | B1 ) P( R3 | B1 R2 ) b rd r d c （１） b r b r c d b r 2c 2d P( R1 B2 R3 ) P( R1 ) P( B2 | R1 ) P( R3 | R1 B2 ) r bd r d c b r b r c d b r 2c 2d
则易知：P（A）=7/10， P（B）=3/10
P（R|A）=1/2 ， P（R|B）=4/5
于是试验成功的概率为
P( R) P( R ) P( R ( A B)) P( RA RB) P( RA) P( RB) P( R | A) P( A) P ( R | B) P( B) 1 7 4 3 0.59 2 10 5 10
概率论与数理统计课件1.5
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
?
1红4白
12 3
某人从任一箱中任意摸出一球，
?
发现是红球，求该球是取自1号
箱的概率.
1红4白
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
S( AB) S( ) S( A) S( )
P( AB) . P( A)
在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型 中总有
P(B A) P( AB) . P( A)
条件概率的定义
设A、B是某随机试验中的两个事件，且 P A 0
称 P (B | A ) = —P —(A—B )
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
多个事件的乘法公式
设 A1， A2， ， An 为n个随机事件，且
PA1 A2 An1 0
则有
PA1 A2 An PA1 PA2 A1 PA3 A1 A2 P An A1 A2 An1
这就是n个事件的乘法公式．
例 3 乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
AB Ω
1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
1.5全概率公式与贝叶斯公式
Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计 、检验、判别、推理等方面 Bayes公式的重要意义在于利用人们 掌握的先验知识来推断后验概率
用某种诊断法诊断癌症,记 A {判断被检验者患有癌症 } C { 被检验者患有癌症 } 已知 P( A | C ) 0.95, P( A | C ) 0.90,又设人群中 P(C ) 0.0004 现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可 能性有多大？ 由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为
B1 B2 ,
B1 B2 S .
甲
乙
解:记 B1为在甲箱中抽到有奖票的事件，
B2为在甲箱中抽到无奖票的事件， 由全概率公式得 A 为最后抽到有奖票的事件。
则
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 12
2
1 3 2 P A | B2 ; P B1 ; P A | B1 ; P B2 ; 6 5( B ) P5 ( A B1 ) P( B1 )6 P( A B2 ) P 2
P ( A B ) 0.1, P ( A B ) 0.5
第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎 （A）。村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变为 （用贝叶斯公式）
P( B) P( A B) P ( B A) P( B) P( A B) P( B ) P( A B )
0.8 0.1 0.444 0.8 0.1 0.2 0.5
分析：记 Bi ={球取自 i 号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球}
1 2 3
至多一个发生
1
有且仅有一个发生
2
至少一个发生
1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质： （1）非负性：P A B 0 （2）规范性： P B 1 （3）可列可加性：对任意的一列两两互不相容的事件
Ai i 1,2, 有 P Ai B P Ai B
i 1 i 1
类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质
注意，这不是求条件概率 PA B, PB A
P A PAB AB P AB PAB
A A AB B AB AB
PB P A B P B P A B
3 2 2 3 3 5 4 5 4 5
B2
B3
B1
A
Bn
化整为零 各个击破
说明 全概率公式的主要用途 在于它可以将一个复杂事件的概 率计算问题,分解为若干个简单 事件的概率计算问题,最后应用 概率的可加性求出最终结果.而 这需要对样本空间进行划分.
定理1.2 设B1 , B2 , 是一列互不相容的事件，且 有 Bi , P( Bi ) 0, i 1,2, , 则对任一事件A，有
i 1
P( A) P( Bi ) P( A | Bi ).
i 1
这个公式通常称为全概率公式，它是概率论中 最基本的公式之一。
k AB
2．条件概率的定义和性质
定义： F，P ）是一个概率空间，B F 若（ ， ，且 P AB P（B）>0，则对任意的 A F，称 P A B P B 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概 率。
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （ 2） B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时” 我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 3 1 P B , P A 4 2 A B, 所以AB=A， P AB P A
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
Ａ1,Ａ2,Ａ3是完备事件组．
由贝叶斯公式得P ( A1 | B) P (B | A1 ) P ( A1 )
P ( A ) P (B | A )
i 1 i i
3
其中 P(Ｂ|Ａ1)=2/3, P(Ｂ|Ａ2 )=3/4, P(Ｂ|Ａ3 )=1/2, P(Ａi)=1/3, i=1,2,3． 代入数据计算得： P ( A1 | B) 0.348
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
0.005 0.95 0.087 0.005 0.95 0.995 0.05
1.5.2 贝叶斯公式
本题的结果表明，虽然 P ( B A) 0.95,
P ( B A ) 0.95 这两个概率都很高．但是，即试验
1.5.2 贝叶斯公式
特别有：
设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 A
是一个完备事件组，若P(A) > 0， ( A) 0， P
P(B) > 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为
P ( A B)
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
阳性的人有肝炎的概率只有8.7%．如果不注意这 一点，将 P( B A) 和 P( A B) 搞混，将会得出错误 诊断，造成不良的后果．
1.5.2 贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1， 2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习 惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在 这种信息下考察Ai的概率 P ( Ai | B), i 1,2,...,n
由全概率公式得
P ( B1 B2 ) P ( Ai )P ( B1 B2 Ai )
第10讲 条件概率 (III) 全概率公式 贝叶斯公式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1§1.5 条件概率四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3第10讲条件概率(III)全概率公式贝叶斯公式四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5在前面两讲，我们讲了条件概率和乘法公式。
现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >（一）全概率公式四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6A ()(|)B P A B1AB 2AB 3AB 4AB 5AB )B1AB2AB 3AB 4AB 5AB四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。
如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。
由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。
四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。
使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。
何时用全概率公式求A 的概率？四川大学1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式16例2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的3 个足球都是新球的概率。
全概率
第三节 条件概率、全概率公式1. 条件概率的定义定义1.5 设A ，B 为两个事件，且P （B ）＞0,则称P （AB ）/P （B ）为事件B 已发生的条件下事件A 发生的条件概率，记为P （A |B ），即P （A ｜B )= P (AB )/P (B )易验证，P （A ｜B )符合概率定义的三条公理，即： 1° 对于任一事件A ，有P (A ｜B )≥0; 2° P (Ω｜B )=1;3°,)()(11∑∞=∞==i i i B A P B A P其中A 1，A 2，…，A n ，…为两两互不相容事件.这说明条件概率符合定义1.3中概率应满足的三个条件，故对概率已证明的结果都适用于条件概率.例如，对于任意事件A 1，A 2，有P （A 1∪A 2|B ）=P （A 1|B ）+P （A 2|B ）-P （A 1A 2|B ） 又如，对于任意事件A ，有P （A |B ）=1-P （A |B ）.例1.12 某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别有20人与5人.现从该厂中任选一名职工，求： （1） 该 职工为非熟练工人的概率是多少？（2） 若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？解 题（1）的求解我们已很熟悉，设A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件，则P （A ）=25/180=5/36 而题（2）的条件有所不同，它增加了一个附加的条件，已知被选出的是女职工，记“选出女职工”为事件B ，则题（2）就是要求出“在已知B 事件发生的条件下A 事件发生的概率”，这就要用到条件概率公式，有P （A ｜B ) =P (AB )/P (B )/=(5/180)/(80/180)= 1/16此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，既然已知选出的是女职工，那么男职工就可排除在考虑范围之外，因此“B 已发生条件下的事件A ”就相当于在全部女职工中任选一人，并选出了非熟练工人.从而ΩB 样本点总数不是原样本空间Ω的180人，而是全体女职工人数80人，而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数5人，因此所求概率为P （A ｜B ）=5/80=1/16例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.解 设A 表示“活到20岁以上”的事件，B 表示“活到25岁以上”的事件，则有 P （A ）=0.7,P (B )=0.56且B ⊂A.得 P （B ｜A ）=P (AB )/P (A ) =P (B )/P (A ) =0.56/0.7=0.8.例1.14 一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.解 设A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件 由条件得P （A ）=(3×4)/(5×4)= 3/5，P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10，故有 P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A 已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得P （B ｜A ）=2/4=1/2.2.乘法定理由条件概率定义P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ），P （A ）＞0,两边同乘以P （A ）可得P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ），由此可得定理1.1（乘法定理） 设P （A ）＞0，则有P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ） 易知，若P （B ）＞0，则有P （AB ）=P （B ）P （A ｜B ）乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A ，B ，C 为三个事件，且P （AB ）＞0，则有P （ABC ）=P （C ｜AB ）P （AB ）=P （C ｜AB ）P （B ｜A ）P （A ）一般地，设n 个事件为A 1，A 2，…，A n ，若P （A 1A 2…A n -1)＞0,则有P （A 1A 2…A n ）=P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1）. 事实上，由A 1⊃A 1A 2⊃…⊃A 1A 2…A n -1，有P （A 1）≥P （A 1A 2）≥…≥P （A 1A 2…A n -1）＞0 故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1)=P (A 1))()()()()()(1212121321121-⋅⋅⋅n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P =P (A 1A 2…A n ) 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈0.0083.例1.16 设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321kn m k n kn m n kn m km n m mR R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++⋅++⋅+++⋅+==例1.17 袋中有n 个球，其中n -1个红球，1个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i （i =1,2,…,n ）人取到白球的概率.解 设A i 表示“第i 人取到白球”（i=1,2,…,n )的事件，显然P （A 1）=1/n.由21A A ⊃，故A 2=1A A 2，于是P （A 2）=P （1A A 2）=P （1A P （A 2｜1A ）=111-⋅-n nn =1/n.类似有P （A 3）=P （1A 2A A 3）=P （1A ）P （2A ｜1A ）P （A 3｜1A 2A ）=nn 1-·12--n n ·21-n =1/n.P (A n ) =P (1A 2A …1-n A A n )=nn 1-·12--n n ·…·21·1=1/n因此，第i 个人（i =1,2,…,n )取到白球的概率与i 无关，都是1/n . 这个例题与例1.7(3)实际上是同一个概率模型.3.全概率公式和贝叶斯公式为建立两个用来计算概率的重要公式，我们先引入样本空间Ω的划分的定义. 定义1.6 设Ω为样本空间，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一组事件，若满足 1°A i A j =Φ, i ≠j ,i ,j =1,2,…,n ，2° ni i A 1= =Ω，则称A 1，A 2，…，A n 为样本空间Ω的一个划分.例如：A ，A 就是Ω的一个划分.若A 1，A 2，…，A n 是Ω的一个划分，那么，对每次试验，事件A 1，A 2，…，A n 中必有一个且仅有一个发生.定理1.2（全概率公式） 设B 为样本空间Ω中的任一事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （A i )＞0 (i =1,2,…,n )，则有P （B ）=P （A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+…+P （A n )P (B ｜A n ) =.)()(1∑=ni i i A B P A P称上述公式为全概率公式.全概率公式表明，在许多实际问题中事件B 的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分A 1，…，A n ，且P （A i ）和P （B |A i ）为已知，或容易求得，那么就可以根据全概率公式求出P （B ）.证 P （B ）=P （B Ω）=P （B （A 1∪A 2∪…∪A n ））=P （BA 1∪BA 2∪…∪BA n ）=P （BA 1）+P （BA 2）+…+P （BA n )=P (A 1)P (B ｜A 1)+P (A 2)P (B ｜A 2）+…+P （A n ）P （B ｜A n ） 另一个重要公式叫做贝叶斯公式.定理1.3(贝叶斯（Bayes ）公式) 设样本空间为Ω，B 为Ω中的事件，A 1，A 2，…，A n为Ω的一个划分，且P （B ）＞0，P （A i )＞0,i =1,2,…,n ，则有P （A i ｜B )=∑=nj j ji i A P AB P A P A B P 1)()()()(, i=1,2,…,n.称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式.证 由条件概率公式有P （A i ｜B ) =∑==nj j ji i i A P AB P A B P A P B P B A P 1)()()()()()(，i =1,2,…,n.例1.18 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 4概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.解 以A i 表示一批产品中有i 件次品，i =0,1,2,3,4,B 表示通过检验，则由题意得 P （A 0）=0.1， P (B ｜A 0)=1, P (A 1)=0.2， P (B ｜A 1)=101001099CC =0.9,P (A 2)=0.4， P (B ｜A 2)=101001098C C =0.809,P (A 3)=0.2， P (B ｜A 3)= 101001097CC =0.727,P (A 4)=0.1， P (B ｜A 4)= 101001096C C =0.652.由全概率公式，得P （B ）=)()(4i i i A B P A P ∑==0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.例1.19 设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？解 设A 1，A 2，A 3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B 表示产品为“次品”的事件，易知A 1，A 2，A 3是样本空间Ω的一个划分，且有P （A 1）=0.45，P (A 2)=0.35， P (A 3)=0.2，P (B ｜A 1)=0.04， P (B ｜A 2)=0.02， P (B ｜A 3)=0.05.由全概率公式得P （B ）=P （A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+P （A 3）P （B ｜A 3）=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.由贝叶斯公式得P （A 1｜B ）=(0.45×0.04)/0.035=0.514， P (A 2｜B )=(0.35×0.02)/0.035=0.200， P (A 3｜B )=(0.20×0.05)/0.035=0.286由此可见，该次品由甲车间生产的可能性最大.例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95 现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.解 设A 表示“患有癌症”，A 表示“没有癌症”，B 表示“试验反应为阳性”，则由条件得P （A ）=0.005, P (A )=0.995， P (B ｜A )=0.95, P (B ｜A ）=0.95 由此 P （B ｜A ）=1-0.95=0.05 由贝叶斯公式得P （A ｜B ）=)()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P =0.087.这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95% ，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0.087叫做后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有8.7%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有87人的确患有癌症），由此可看出，若把P （B ｜A ）和P （A ｜B ）搞混淆就会造成误诊的不良后果.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某些复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用.。
贝叶斯网络, 条件概率、全概率公式
贝叶斯公式给出了‘结果’事件B
已发生的条件下，‘原因’事件的条 件概率.
从这个意义上讲，它是一个“执果索因”
为先验概率 （PriorProbability），而把称为后验概 率 （ Posterior Probability）， 这 是
在已有附加信息（即事件B已发生）之后
§1.5 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式
一、条件概率
简单地说，条件概率就是在一定附加条件之 下的事件概率.
从广义上看，任何概率都是条件概率，因为 任何事件都产生于一定条件下的试验或观察， 但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条 件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为 “已知某某事件发生了”
这一公式最早发表于1763年，当时贝 叶斯已经去世，其结果没有受到应有 的重视. 后来，人们才逐渐认识到了 这个著名概率公式的重要性. 现在， 贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝 叶斯统计已成为机器学习、人工智能、 知识发现等领域的重要工具.
概率论1.5
即0.996n＝0.01 lg 0.01 故n = ≈ 1150 lg 0.996
= 1 − 0.996n ＝0.99
例3 甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管， 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9， 0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概 率以及机床因无人照管而停工的概率。 解：用A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、 丙不需要照管。 则A、B、C相互独立，且 P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85 P( A + B + C) = P( ABC) = 1 − P( ABC) = 1 − P( A )P( B)P(C) = 1 − 0.9 × 0.8 × 0.85 = 0.388
(2)若事件A与B独立，则A与B， A与B， A与B中的 每一对事件都相互独立。 证： P( AB) = P( A − AB)
= P( A) − P( AB) =P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))
= P( A)P(B)
由(1)可知，A与B独立。
类似可证其它两对事件独立。
(3)若事件A1,A2,…,An相互独立，则有 P(A1…An)=P(A1)…P(An) 证：P(A1…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1…An-1) 而P(A2|A1)=P(A2),…,P(An|A1…An-1)=P(An) 故P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)
在实际应用中,往往根据问题的实际意义 在实际应用中 往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立. 去判断两事件是否独立 例如 甲命中}, 甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中 乙两人向同一目标射击， 甲命中 B={乙命中 ，A与B是否独立？ 乙命中}， 与 是否独立 是否独立？ 乙命中 由于“甲命中”并不影响“乙命中” 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的 概率，故认为A 独立 概率，故认为 、B独立 . （即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率） 的概率）