一种模拟月球着陆器低重力着陆试验方法

误差. 为了精确计算配重块质量以消除滑轮转动惯
量的影响, 下面分析滑轮转动惯量对滑轮平衡法实 验结果精度的影响.
图 1 滑轮平衡法示意图 Fig. 1 Diagr ammat ic sketch o f sliding
w heel balanced metho d
图 1 中滑轮系统具有 1 个自由度, 取 m、m1 的
第 39 卷 第 6 期 2005 年 6 月
上海交通 大学学报
JO U RN A L O F SHA N GHA I JIA O T O NG U N IV ERSIT Y
文章编号: 1006-2467( 2005) 06-0989-04
V ol. 39 N o. 6 J un. 2005
m1 =
5wenku.baidu.com7
m
( 3)
由式( 2) 、( 3) 可知, 只要配重块质量 m 1 满足式( 3) , 着陆器 m 的加速度就会等于 g / 6. 这个绳系重物滑
轮系统支架要做得足够大, 才能够实现在地球表面
模拟月球重力场, 在地面模拟月面进行着陆冲击试 验. 但如果忽略 2 个滑轮转动惯量, 则会造成很大的
初始位置为坐标原点和零势能点, 位移 x 为广义坐
标, 则系统在任意位置 x 处的势能为
V = m1g x - mg x
( 4)
系统的动能为
T=
1 2
m
1
x
2 1
+
1 2
I
2+
1 2
I
2+
1 2
mx
2
( 5)
式中: x 1 为 m1 移动速度; x 为 m 移动速度; I 为 2 个
质量、形状尺寸都相同的滑轮转动惯量; 为 2 个滑
An Experiment al Method for Simulating Lunar Lander Low Gravitat ion Landing
W A N G S hao-chun, DE N G Zong-quan, H U Ming, G A O H ai -bo ( Schoo l o f Mechat ronic Eng . , Har bin Inst . of T echnolo gy , Harbin 150001, China)
为配重块质量, 比较式( 2) 、( 11) 可得着陆器加速度
绝对误差为
a= a-
x=
( m - m 1) m2 g ( m + m1) ( m + m 1 +
m2)
加速度的相对误差为
=
ax
x
=
m
m +
2
m
1
g
( 13)
由式( 13) 可知, 若忽略滑轮转动惯量影响计算
配重块质量, 则实际所得的加速度有很大误差. 其相
由于其他星球的重力加速度和地球不同, 航天 着陆器在其他星球上着陆时所受到的星球引力也是
不同的, 如月球的重 力加速度 只是地球 的 1/ 6. 因 此, 要在地球表面模拟月球着陆器的着陆冲击过程, 首先要建立一个具有 g/ 6 重力加速度的重力场. 目 前常用的模拟月球低重力着陆试验方法有: 反冲火 箭 法[ 1, 2] 、降落 伞 法[ 1, 2] 、气 球 浮 力 法[ 3～5] 、水 浮 力 法[ 6] 、计算机仿真法[ 6～8] 、电磁 阻力新方法[ 7] . 在这 些模拟月球低重力着陆试验方法中, 反冲火箭法比
( m + m1 + m2 ) x - ( m - m1) g = 0 整理上式得
x=
m
m +
m1
m1 +
m2g
( 11)
由式( 11) 可知, 质量单元 m 的加速度除了与 m、m1
有关外, 还与滑轮质量 m2 有关. 令
x=
1 6
g
把上式代入式( 11) , 得出使质量单元 m 具有 g/ 6 加
所指为 m 的运动方向, 若忽略滑轮转动惯量、空气 阻力及滑轮摩擦阻力的影响, 则对 m、m1 分别进行
受力分析:
f - m1g = m1 a ( 1)
mg - f = ma
式中, f 为绳的张力. 整理上式得
a=
mm+
m m
1 1
g
( 2)
要模拟月球重力场, 需令 a= g / 6, 并代入式( 2) 得
一种模拟月球着陆器低重力着陆试验方法
王少纯, 邓宗权, 胡 明, 高海波
( 哈尔滨工业大学 机电工程学院, 哈尔滨 150001)
摘 要: 针对月球着陆器模拟着陆试验中低重力实现困难的问题, 对国外已有低重力着陆试验方 法进行了分析比较. 在考虑试验成本和试验场地为主要因素时, 得出了滑轮平衡法为经济实用方法 的结论. 在考虑滑轮转动惯量和转轴摩擦的基础上, 应用拉格朗日方程推导了配重块质量及着陆器 加速度相对误差计算公式, 并对所得公式进行了实验验证. 关键词: 月球着陆器; 低重力; 着陆; 试验 中图分类号: V 423. 6 文献标识码: A
收稿日期: 2004-05-26 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 50375032) ; 哈尔滨工业大学校基金资助项目( 2001. 12) 作者简介: 王少纯( 1963-) , 男, 黑龙江省明水县人, 博士, 副教授, 主要从事航天着陆器及减振器方面 的研究. 电话( Tel. ) : 0451-86413803;
E-mail: w an gsc@ h it . edu. cn.
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上 海 交 通 大 学 学 报
第 39 卷
置成本低廉、简单实用, 并可在室内多次重复进行模 拟月球低重力着陆试验.
1 滑轮平衡法
如图 1 所示, 质量单元 m 代表月球着陆器, m1
代表平衡 m 部分重力而加的一个配重块, m 在任意 时刻的加速度为 a. m 通过质量可以忽略的细绳和 配重块 m1 相连, 细绳始终处于张紧状态. 图中箭头
体润滑油存在的孔轴相对转动的阻尼, 可简化为等
效粘性阻尼. 单位面积的摩擦阻力可表示为
f= v
( 17)
式中: 为润滑油运动粘度; 为润滑油比重; v 为滑
轮内孔面和轴外表面之间的相对速度. 滑轮内圆表
面的面积为
A = 2 rl
( 18)
式中, l 为滑轮内孔宽度. 滑轮旋转的总摩擦力为
F= fA
( 19)
先求其齐次线性方程的通解, 然后再求其非齐次线
性方程的特解, 2 个解的和就为二阶常系数非齐次 线性式 ( 25) 的通解. 对于齐次线性方程:
k0x + k1 x = 0
( 26)
其特征方程为
k0 2 + k1 = 0
求解该特征方程得 2 个根为
1= i
k k
1 0
,
2=
-
i
k1 k0
则齐次线性方程式 ( 26) 的通解为
Abstract: Considering t hat it is v ery dif f icul t to f inish l ow gr av ity in simulat ing landing ex periment s of lunar lander, t he ex ist ed l ow gr av it at ion exper im ent met hods used abroad w er e st udied and compared. On t he precondit ion of taking exper im ent al cost and space as major f act or s, it is concluded t hat t he slide-w heel balanced met hod is v ery econom ic and pract ical . On the base of t aking account of t he mom ent of inert ia of slide-w heel and f ricat ion of rot at ing shaft s, t he calculat ion f ormulas o f t he counter w eight mass and t he relativ e err or o f accelerat io n w ere derived w it h L argrange equat io ns, and t he f orm ul as w ere verif ied by exper im ent s. Key words: lunar lander; low gravit ation; landing ; ex periments
k1 k0
C1 sin
t
k1 k0
+
C2 cos
t
k1 k0
( 28) 当初始条件 t = 0 时, x = 0、x = 0 代入式 ( 27) 、( 28) 得系数
C1 = -
k2 k1
,
C2
=
0
( 29)
把式 ( 27) 求导得加速度
x=
k1 k0
C2sin
t
k1 k0
( 5) 得
T=
1 2
(
m
+
m1 +
m2) x 2
( 8)
联立公式( 4) 、( 8) 得系统的动势为
L = T - V =
1 2
(
m+
m1+
m2) x 2 - ( m 1- m ) gx
( 9)
适用于保守系统的拉格朗日方程为[ 9]
d dt
L x
-
L x
=
0
( 10)
把式( 9) 代入式( 10) , 得
速度的配重块质量
m1 =
5 7
m
-
1 7
m2
( 12)
式( 12) 是考虑了滑轮转动惯量以后的配重块质
量. 和式( 3) 相比, 配重块质量 m1 的绝对误差为
m1 =
5 7
m
-
5 7
m
-
1 7
m2
=
1 7
m2
由上式可知, m1 的绝对误差与滑轮质量 m2 有
关, 而与着陆器质量 m 无关. 若以式( 3) 所得质量作
x=
( m - m1) R2g - 4 lr3 ( m + m1 + m 2) R 2
x
( 23)
令:
k0 = R 2( m + m1 + m2 )
k1 = 4 L r 3
( 24)
k2 = ( m - m 1) R 2g
并代入式 ( 23) , 整理得
k0x + k1x = k 2
( 25)
式 ( 25) 为二阶常系数线性微分方程. 解该方程要
较接近着陆器在其他星球着陆时的实际情况, 但这 种方法实验费用相当昂贵; 降落伞法同样试验费用 昂贵, 而且加速度大小难易控制; 气球浮力法和水浮 力法试验费用相对较低, 但需要巨大的试验场地; 计 算机仿真法实验费用低、需要试验场地小, 是一种切 实可行的模拟月球低重力着陆试验方法, 但仿真结 果毕竟是虚拟的. 针对这几种方法的缺点与不足, 本 文提出了一种模拟月球低重力着陆试验的创新方法 —— 滑轮平衡法. 该方法具有很强的实用性, 实验装
轮绕中心轴的转动角速度. 由于细绳始终处于张紧
状态且忽略绳的伸长, 故 2 个滑轮的 I 、 相同, 且
x1 = x2, = x/ R
( 6)
式中: R 为滑轮半径; x 为滑轮转动线速度. 滑轮转
动惯量为
I=
1 2
m2R2
( 7)
式中, m2 为单个滑 轮的质量. 把 式( 6) 、( 7) 代 入式
-
L x
=
-
D x
( 14)
式中, D 为耗散功, 表达式为
D = 2Fs
( 15)
式中: F 为滑轮和轴之间的摩擦阻力; s 为滑轮内孔
表面和转轴外表面之间的相对位移; 数字 2 表示 2 个滑轮. s 和着陆器位移 x 之间的关系为
s=
r R
x
( 16)
式中: r 为滑轮内孔半径; R 为滑轮外径. 对于有液
由式( 17) ～( 19) 整理后可得
F = 2 rlv
( 20)
对于滑轮而言, 其内孔、外圆表面具有相同的角速
度, 因此可得
v=
r R
x
( 21)
由式 ( 15) 、( 16) 、( 20) 、( 21) , 可得
D=
4 lr3 xx R2
( 22)
由式 ( 8) 、( 9) 、( 14) 、( 22) , 可得
x = C1 cos t
k1 k0
+
C2sin
t
k1 k0
对于非齐次线性方程式 ( 25) , 其中的一个特解为
x * = k2/ k 1, 故二阶常系数非齐次线性方程式 ( 25)
的通解为
x = C1cos t
k1 k0
+ C2 sin
t
k1 k0
+
k2 k1
( 27)
对上式求导可得速度
x=-
对误差值与滑轮质量 m2 成正比, 与着陆器质量 m
和配重块质量 m1 成反比.
第 6 期
王少纯, 等: 一种模拟月球着陆器低重力着陆试验方法
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2 考虑转轴摩擦的滑轮平衡法
图 1 所示的滑轮系统中, 2 个滑轮的转轴摩擦
对配重块的计算结果也有影响. 对于耗散功的拉格 朗日方程:
d dt
L x