月球软着陆控制系统综合仿真及分析
月球软着陆控制系统综合仿真及分析 (2)
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要：在世界各国纷纷制定和实施“重返月球”的战略计划之际，我国月球探测工程的展开，对于我国航天技术的创新与发展有着重要的意义。
问题要求我们对嫦娥三号软着陆轨道与控制策略进行最优化设计。
按照问题的要求，本文从以下三个方面进行了研究。
针对问题一：在合理假设基础上，利用物理理论知识、解析几何知识、微元法，构建月心坐标系与舱体坐标系，利用坐标系之间的转换，结合最优控制策略，确定了近月点和远月点的位置。
然后借助开普勒定律、能量守恒定律求解出近、远月点的速度和方向分别为1692.7m/s、85°和1614.4m/s、76°。
针对问题二：将嫦娥三号当做控制系统，对月球软着陆轨道控制过程进行仿真，并分析相关参数变动对软着陆过程的影响。
利用非线性变结构控制与状态反馈相结合控制方法，在Simulink中建立嫦娥三号月球软着陆制导控制系统的仿真模型，从而得出最优控制方案。
针对问题三：本文主要对嫦娥三号系统参数：制动发动机的推力，比冲以及着陆舱的质量对系统的影响进行研究，本文利用Simulink仿真，显示出了每个参数的变化对系统的影响。
关键词：坐标系转换；非线性变结构控制； Simulink仿真；轨道控制优化；1 问题重述1.1问题的背景与简化嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在其四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆,关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
《2024年嫦娥三号自主避障软着陆控制技术》范文
《嫦娥三号自主避障软着陆控制技术》篇一一、引言随着人类对太空探索的深入，月球探测任务逐渐成为航天领域的重要一环。
嫦娥三号作为我国探月工程的重要一环，其自主避障软着陆控制技术是确保任务成功的关键技术之一。
本文将详细探讨嫦娥三号在自主避障软着陆控制技术方面的应用及所取得的成果。
二、嫦娥三号任务背景及意义嫦娥三号是我国探月工程的重要一步，其任务目标是实现月球表面的软着陆，并开展相关科学实验。
在这一过程中，自主避障软着陆控制技术起到了至关重要的作用。
此技术的成功应用，不仅为我国探月工程积累了宝贵经验，同时也为后续的深空探测提供了重要的技术支撑。
三、自主避障软着陆控制技术的核心原理嫦娥三号的自主避障软着陆控制技术主要基于先进的导航系统和精确的飞行控制算法。
导航系统通过获取月球表面的地形数据，为飞行器提供实时的环境信息。
飞行控制算法则根据这些信息，实时计算并调整飞行器的轨迹，确保其在着陆过程中能够避开障碍物，实现精确的软着陆。
四、技术实现过程及关键环节1. 障碍物探测与地形建模：嫦娥三号搭载的高精度雷达和光学设备，能够实时探测月球表面的地形信息，并建立精确的地形模型。
这一环节为后续的避障和软着陆提供了重要的数据支持。
2. 飞行轨迹规划与调整：基于探测到的地形信息和飞行控制算法，嫦娥三号能够实时规划出最佳的飞行轨迹。
在飞行过程中，根据实际情况，不断调整轨迹，确保能够避开障碍物并实现软着陆。
3. 软着陆控制策略：在接近月球表面时，嫦娥三号需采用精确的软着陆控制策略。
这一策略包括减速、稳定、着陆等多个环节，确保飞行器在着陆过程中能够保持稳定，并实现精确的着陆点。
五、技术成果及应用价值嫦娥三号的自主避障软着陆控制技术取得了显著的成果。
首先，此技术成功实现了嫦娥三号在月球表面的软着陆，为我国探月工程积累了宝贵的经验。
其次，此技术的应用提高了探月任务的成功率，降低了任务风险。
最后，此技术为后续的深空探测提供了重要的技术支撑，推动了我国航天事业的发展。
月球着陆器软着陆动力学与半主动控制研究
月球着陆器软着陆动力学与半主动控制研究一、本文概述随着空间探索技术的不断发展，月球着陆器作为实现月球探测任务的关键设备，其软着陆动力学与半主动控制问题日益受到关注。
本文旨在深入研究月球着陆器的软着陆动力学特性，并探讨半主动控制策略在着陆过程中的应用，以期为月球探测任务的安全性与稳定性提供理论支撑和实践指导。
本文将首先概述月球着陆器软着陆动力学研究的重要性和挑战，分析月球特殊环境对着陆器动力学特性的影响。
随后，将详细介绍月球着陆器的动力学建模过程，包括着陆器的运动方程、约束条件以及着陆过程中的各种影响因素。
在此基础上，本文将重点探讨半主动控制策略在月球着陆器软着陆过程中的应用，包括控制策略的设计、优化与仿真验证等方面。
本文的研究内容不仅有助于深入理解月球着陆器的软着陆动力学特性，而且可以为实际工程应用提供有益的参考。
通过优化半主动控制策略，有望提高月球着陆器的着陆精度和稳定性，降低着陆过程中的风险，为未来的月球探测任务奠定坚实的基础。
二、月球着陆器动力学建模月球着陆器的动力学建模是研究其软着陆过程的关键环节。
月球着陆器的动力学模型需要准确地描述着陆器在月球表面软着陆过程中的各种动力学特性，包括着陆器的姿态、速度、加速度、位移以及着陆器与月球表面之间的相互作用力等。
这些动力学特性直接影响着着陆器的着陆性能和安全性。
在建立月球着陆器的动力学模型时，我们首先需要考虑着陆器的质量分布、惯性矩、重心位置等基础参数。
然后，根据着陆器在月球表面的运动状态，可以建立其动力学方程。
这些方程通常包括着陆器的平移运动方程和旋转运动方程，用以描述着陆器在月球表面的位置和姿态变化。
在动力学建模过程中，我们还需要考虑月球表面的特殊环境，如月球表面的重力加速度、地形起伏、土壤力学特性等因素。
这些因素对着陆器的动力学特性有着显著的影响，因此需要在建模过程中进行充分的考虑和处理。
为了更准确地描述着陆器的软着陆过程，我们还需要考虑着陆器与月球表面之间的相互作用力。
月球着陆器软着陆机构着陆稳定性仿真分析
第30卷第5期2009年9月宇 航 学 报Journal o fA stronauticsV o.l 30Septe mberN o .52009月球着陆器软着陆机构着陆稳定性仿真分析朱 汪,杨建中(中国空间技术研究院总体部,北京100094)摘 要:介绍了软着陆机构仿真模型,提出了着陆稳定性判据和稳定性边界的离散化搜寻策略,并以实际算例给出了由着陆器着陆瞬时的竖直速度、水平速度、偏航角和月面倾角等主要影响因素确定的着陆稳定性边界。
分析结果表明:对称着陆比非对称着陆更稳定;横向速度较大时支柱联接点容易发生强度破坏;当着陆面存在坡度时,横向速度沿下坡方向相对于沿上坡方向而言,着陆器更容易翻倒。
关键词:着陆稳定性;着陆冲击;软着陆机构;月球着陆器中图分类号:V 47;TB36 文献标识码:A 文章编号:1000-1328(2009)05-1792-05DO I :10.3873/.j issn .1000-1328.2009.05.008收稿日期:2008-11-27; 修回日期:2009-01-100 引言成功着陆是任何着陆探测任务的先决条件。
月球着陆器进入下降轨道后,先由反推发动机减速,同时通过姿态控制系统调整姿态,到达一定高度后关闭发动机自由下落。
月球探测器的着陆质量从数百千克到数千千克,着陆瞬时速度从几米每秒到几十米每秒。
对于采用软着陆机构进行缓冲的着陆器而言,主/辅缓冲器是吸收并耗散着陆冲击能量的核心组件。
月球着陆器的着陆稳定性是指在着陆过程中,通过软着陆机构的主/辅缓冲器吸收冲击能量,保证着陆器不翻倒的可靠性。
着陆稳定性分析不仅要明确各个影响因素,而且由于着陆器机动性能的局限性和月面地理环境的复杂性,分析过程中必须考虑各影响因素的具体参数在较宽范围内变化时着陆器的响应情况,保证着陆器的稳定着陆。
着陆稳定性的影响因素包括着陆器相关参数、月壤力学特性及月貌分布、发动机关机时延特性及尾喷管撞击月面和燃料储箱的晃液动力学效应等[1]。
《2024年嫦娥三号自主避障软着陆控制技术》范文
《嫦娥三号自主避障软着陆控制技术》篇一一、引言随着中国航天事业的飞速发展，嫦娥三号探测器作为我国探月工程的重要一环，其自主避障软着陆控制技术成为了国内外关注的焦点。
本文将详细介绍嫦娥三号探测器在自主避障软着陆控制技术方面的研究背景、意义及国内外研究现状，旨在为后续的科研工作提供参考。
二、嫦娥三号探测器背景及意义嫦娥三号探测器是我国探月工程二期的重要任务之一，其目标是在月球表面实现软着陆并进行科学探测。
在月球表面着陆过程中，由于月球表面地形复杂，存在大量陨石坑、山体等障碍物，因此如何实现自主避障成为了关键技术之一。
研究嫦娥三号自主避障软着陆控制技术，对于提高我国探月工程的成功率、推动我国航天事业的发展具有重要意义。
三、国内外研究现状目前，国内外对于自主避障软着陆控制技术的研究主要集中在以下几个方面：一是探测器与月球表面的环境感知技术，二是避障算法的研究与优化，三是着陆控制策略的制定与实施。
在环境感知技术方面，国内外学者主要通过雷达、激光、视觉等多种传感器进行探测器与月球表面的信息获取。
在避障算法方面，研究人员通过不断优化算法，提高探测器在复杂地形下的避障能力。
在着陆控制策略方面，研究人员制定了多种控制策略，以适应不同的着陆环境。
四、嫦娥三号自主避障软着陆控制技术嫦娥三号探测器采用了多种技术手段实现自主避障软着陆控制。
首先，探测器搭载了高精度的雷达和视觉传感器，实现了对月球表面环境的精准感知。
其次，探测器采用了先进的避障算法，能够在复杂地形下实现自主避障。
最后，探测器制定了多种着陆控制策略，根据不同的着陆环境选择最合适的策略。
在避障算法方面，嫦娥三号探测器采用了基于人工智能的算法，通过机器学习实现对月球表面环境的自适应识别和避障。
同时，探测器还采用了多种传感器融合技术，提高了信息获取的准确性和可靠性。
在着陆控制策略方面，嫦娥三号探测器制定了多种策略，包括基于模型预测控制的策略、基于滑模变结构的策略等。
月球软着陆飞行动力学和制导控制建模与仿真
⎧tan−1 (Y X ),
X > 0,Y > 0,
αL
=
⎪⎪ ⎨
tan
−1
(Y
X ) + π,
X < 0,
⎪ ⎪⎩
tan
−1
(Y
X ) + 2π,
X > 0,Y < 0,
βL = cos−1 (Z r).
(7)
由(7)式即可求得赤经和赤纬的变化量: ΔαL = αLf −αL0, ΔβL=βLfБайду номын сангаас−βL0. 于是, 由下式即得软着陆初始下 降点的经纬度λL0 和ϕL0, 如下
收稿日期: 2008-08-01; 接受日期: 2008-11-01
摘要 着重对月球软着陆制动段、接近段和着陆段的飞行动力学模型进行了研究, 同时基 于动力学模型对各阶段制导律进行了优化设计. 制动段飞行时间和距离较长, 拟采用均匀球 体模型, 该模型也是软着陆全过程下降轨迹分析和动力学仿真的基础; 制导律设计中考虑到 该段燃料消耗很大, 主要以燃料最优为设计指标. 接近段距离月面较近, 且经姿态调整后接 近垂直下降, 拟采用平面月球模型; 制导律设计采用基于重力转弯技术的最优开关制导律. 着陆段几乎垂直下降, 动力学模型可在平面月球模型的基础上简化为一维垂直下降模型, 制 导律设计拟在垂直方向采用简单的程序制导方式. 最后, 在考虑测量、推力误差以及环境干 扰等影响下对着陆精度进行了初步仿真分析, 结果表明, 给出的软着陆三阶段动力学模型和 制导律是可行的.
首先需要获得软着陆过程赤经赤纬的变化. 这 里需要利用软着陆下降轨迹设计的一个结论: 软着 陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内.
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型一、本文概述随着航天技术的飞速发展，人类对月球的探索和利用进入了全新的阶段。
嫦娥三号作为我国探月工程的重要组成部分，其成功软着陆于月球表面，不仅标志着我国航天技术的重大突破，也为后续深空探测任务奠定了坚实的基础。
然而，软着陆过程作为探月任务中的关键环节，其轨道设计与控制策略的优化问题一直是航天领域的研究热点和难点。
本文旨在探讨嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型，通过对现有研究成果的综述和深入分析，以期为我国未来探月工程及深空探测任务的轨道设计与控制提供理论支持和实践指导。
本文将对嫦娥三号软着陆任务进行简要介绍，包括任务背景、软着陆过程的关键技术难点以及面临的挑战。
在此基础上，重点阐述轨道设计与控制策略在软着陆过程中的重要性，以及优化模型建立的必要性。
文章将综述国内外在月球软着陆轨道设计与控制策略方面的研究成果，包括轨道优化方法、制导与控制策略、以及着陆精度与稳定性等方面的研究现状。
通过对比分析，总结现有研究成果的优点和不足，为后续的优化模型建立提供理论依据。
本文将提出一种针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型。
该模型将综合考虑轨道动力学特性、制导与控制算法、着陆环境等多因素，通过数学建模和仿真分析，实现对轨道设计与控制策略的优化。
还将对优化模型进行验证和评估，以确保其在实际应用中的可行性和有效性。
本文的研究不仅有助于提升我国探月工程及深空探测任务的技术水平，还可为其他航天器在复杂环境下的轨道设计与控制提供有益的借鉴和参考。
二、月球环境及轨道特性分析在进行嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化之前，首先需要对月球的环境和轨道特性进行深入的分析。
月球，作为地球的唯一天然卫星，其表面环境复杂多变，重力场分布不均，且没有大气层保护，这些特点对嫦娥三号的软着陆轨道设计和控制策略提出了更高的要求。
月球的重力场分布对轨道设计有着直接的影响。
由于月球内部质量分布不均，其重力场呈现出复杂的特性，尤其是月球表面附近的重力梯度变化较大。
月球着陆器着陆稳定性仿真分析
月球着陆器着陆稳定性仿真分析月球着陆器着陆稳定性仿真分析摘要：本文针对月球着陆器的着陆过程进行了稳定性仿真分析，建立了数学模型，并通过有限元分析软件对其进行了模拟验证。
结果表明，在适当的条件下，月球着陆器的着陆稳定性良好，能够成功实现月球着陆任务。
关键词：月球着陆器，稳定性，仿真分析，有限元分析一、引言随着人类对宇宙的探索不断深入，月球作为最近的天体之一，成为人类探索的必经之路。
月球探测任务是航空航天领域研究的重要课题。
而月球着陆器，作为执行月球探测任务的核心载体，必须具备高度的稳定性和安全性。
因此，对月球着陆器着陆稳定性进行仿真分析是十分必要的。
二、文献综述目前，国内外学者对月球着陆器的着陆稳定性进行了大量研究。
欧洲航天局发表了关于月球着陆器的设计、制造和测试的20多篇论文。
美国宇航局对月球探测任务进行了大量的仿真与实验研究。
而我国也在不断加强月球着陆器的研究，并成功执行了嫦娥一号、嫦娥二号等多个月球探测任务。
三、研究方法本文采用有限元分析法对月球着陆器的着陆稳定性进行仿真分析。
首先，建立月球着陆器的数学模型，包括着陆器的结构和着陆时所处的环境条件。
然后，将模型载入有限元分析软件中，对其进行力学仿真分析。
最后，通过对仿真结果进行比对验证，得出月球着陆器的着陆稳定性。
四、仿真结果分析月球着陆器的着陆稳定性与多种因素相关，包括着陆器的结构设计，降落速度和着陆地面的情况等。
本文仿真分析了这些因素对月球着陆器稳定性的影响。
结果表明，月球着陆器的瞬间加速度、压力和重力会对其稳定性产生影响。
同时，降落速度越低，月球着陆器的稳定性越好。
此外，月球着陆器的结构设计和着陆地面的平整度也会影响其稳定性。
五、结论与展望通过本文的稳定性仿真分析，可以得出月球着陆器在适当的条件下具备优秀的着陆稳定性。
因此，在进行月球探测任务时，应优先考虑降落速度、结构设计以及着陆地面的平整度等因素。
未来，月球探测任务将越来越多地成为航空航天领域的重点研究方向。
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月球软着陆控制系统综合仿真及分析（课程设计）在月球探测带来巨大利益的驱使下，世界各国纷纷出台了自己的探月计划，再一次掀起了新一轮探月高潮。
在月球上着陆分为两种，一种称为硬着陆，顾名思义，就是探测器在接近月球时不利用制动发动机减速而直接撞击月球。
另一种称为软着陆，这种着陆方式要求探测器在距月面一定高度时开启制动系统，把探测器的速度抵消至零，然后利用小推力发动机把探测器对月速度控制在很小的范围内，从而使其在着陆时的速度具有几米每秒的数量级。
显然，对于科学研究，对探测器实施月球软着陆的科学价值要大于硬着陆。
1月球软着陆过程分析目前月球软着陆方式主要有以下两种方式：第一种就是直接着陆的方式。
探测器沿着击中轨道飞向月球，然后在适当的月面高度实施制动减速，最终使探测器软着陆于月球表面。
采用该方案时，探测器需要在距离目标点很远时就选定着陆点，并进行轨道修正。
不难发现，该方法所选的着陆点只限于月球表面上接近轨道能够击中的区域，所以能够选择的月面着陆点的区域是相当有限的。
第二种方法就是先经过一条绕月停泊轨道，然后再伺机制动下降到月球表面，如图17-1所示。
探测器首先沿着飞月轨道飞向月球，在距月球表面一定高度时，动力系统给探测器施加一制动脉冲，使其进入一条绕月运行的停泊轨道；然后根据事先选好的着陆点，选择霍曼变轨起始点，给探测器施加一制动脉冲，使其进入一条椭圆形的下降轨道，最后在近月点实施制动减速以实现软着陆。
主制动段开始点图17-1 月球软着陆过程示意图与第一种方法相比，第二种方法有以下几个方面较大的优越性：1）探测器可以不受事先选定着陆点的约束，可以在停泊轨道上选择最佳的着陆点，具有很大的选择余地。
2）在停泊轨道上，可以对探测器上的设备进行全面的检查、修正，为下一步的霍曼变轨段做好准备。
如果是载人登月，停泊轨道还可以给航天员以充足的准备时间，做好心理等方面的准备。
3）由于可以把轨道舱停留在停泊轨道上，而只控制着陆舱(包括下降发动机、推进剂、GNC系统和在月面上作业的有效载荷等)降到月球表面，故可以减少探测器着陆部分的质量，从而减少着陆过程推进剂的消耗。
4）在载人登月时，如果发生紧急情况，飞船可以从停泊轨道转入返回地球的过渡轨道。
本课程设计以第二种着陆方式为基础，将对主制动段的制导与控制进行建模仿真与分析。
下面将对主制动段作一简要说明，在停泊轨道上，探测器在脉冲制动的作用下，经霍曼变轨，下降到距月面大约15公里的近月点，该近月点就是主制动段的初始制动点。
主制动段以下是障碍检测与规避和最终着陆段。
在主制动段，由于探测器的初始速度很大(1.692km/s)，所以主制动段制导律设计的主要目的就是高效抵消此速度，将探测器导引到期望的末端状态。
垂直下降0mV=0km/s图17-2 探测器软着陆过程示意图在软着陆过程中，主制动段的制导至关重要，关系着探测器软着陆的成功与否。
通过主制动段的制导，探测器被导引到距月面很近的高度(2公里左右)，速度近似为零，姿态尽可能垂直于月球表面。
其次，考虑到探测器所带燃料的有限性，主制动段的制导还要实现燃耗的最优性。
为了保证机载设备完好，制导律规划的最优或次优轨迹还要尽可能地平缓，以减小对机载设备的过载冲击。
此外，为了有效的实现月球软着陆，所设计的制导律还应对常见误差具有一定的鲁棒性。
2月球软着陆动力学模型首先定义两个月球软着陆坐标系。
第一个是月心惯性坐标系I I I I O x y z ：原点I O 选在月心，I I O x 轴指向动力下降起始点，I I O y 轴垂直于I I O x 轴指向着陆点方向，I I O z 轴按右手法则确定。
探测器在空间的位置可由,,r αβ表示成球坐标的形式，r 为从月心到探测器的距离，,αβ表示月球经度和纬度。
第二个就是探测器轨道坐标系o o o ox y z ：原点选在探测器质心，o ox 轴与从月心到探测器质心的矢径方向重合，背离月心方向为正，o oy 轴垂直于o ox 轴指向运动方向为正，o oz 按右手法则确定。
制动推力F 的方向与探测器本体轴重合，,ψϕ为在轨道坐标系中表示的推力方向角(如图17-3所示)。
假设制动发动机为常推力液体发动机，忽略月球自转，则月球软着陆动力学方程可表示为：3u μm r −F r r =(17-1)其中：()=+2++′′′××××rr ωr ωr ωωr r 是探测器月心距矢径，′′′r ,r 分别表示径向加速度和速度，ω为轨道坐标系相对惯性系的角速度矢量，u 为制动推力开关控制函数，μ为月球引力常数，m 为探表示上述动力学方程可得)()())2222sin cos sin cos tan sin sin tan r u v r w r uFu m r v w r vFu m uv r w r w Fu m uw r v w r mF C βαβψμψϕβψϕβ⎧=⎪=⎪⎪=⎪⎪=−++⎨⎪=−+⎪⎪=−−⎪⎪=−⎩ (17-2) 其中：F 常推力发动机推力大小，ψϕ、为轨道坐标系下推力矢量的方向角；sp E C I g =，sp I 为发动机比冲，E g 为地表重力加速度常数。
推导时，可使用理论力学中的点的速度和加速度在求坐标系下投影的知识。
将式（17-1）投影在球坐标系下可得（17-2）I y 图17-3 软着陆坐标系3月球软着陆制导控制方案在月球软着陆任务中，主制动段制导律设计是整个着陆任务中最重要的一环之一。
首先，本节对探测器在轨道坐标系下建立动力学模型，根据简化动力学方程，提出探测器径向最优轨迹模型，然后根据该模型设计多项式显式制导方法。
在设计过程中，对探测器各速度矢量和加速度矢量之间的几何关系进行分析。
3.1径向最优轨迹模型研究由方程(17-2)可以看出，月球软着陆动力学模型为一非线性系统，为求得显式制导律，有必要在不影响着陆目标的前提下对上述模型再作更进一步的简化。
对于径向运动，假设在软着陆过程中月球引力场是均匀的，且引力加速度为一常值2/L R μ，这里L R 为月球平均半径，则由图17-3可直接列写出径向动力学方程为：2cos Lru F u m R μψ==− (17-3) 其中，r 和u 分别表示垂直方向的位置和速度。
对于探测器，有0/m m Ft C =−(0m 为探测器初始质量)，当0/Ft C m <<时，可对推力加速度做一阶Taylor 展开00(1F F Ft m m m C=+ (17-4) 最优控制方向角可以分为两部分：一部分是用于满足目标点速度矢量所产生的控制角，一部分是用于满足目标点位置矢量所产生的附加控制角，且该部分为小量。
由此，可设最优控制角ψ为012p p t ψψ=++ (17-5)其中0ψ为满足目标点速度矢量部分，1p 和p 2为满足目标点位置矢量所产生的附加控制角量值参数，那么01020cos cos sin sin p p t ψψψψ=−− (17-6)将(17-5)式和(17-6)式代入(17-3)式可得2220010202000001020sin (cos sin sin )(cos sin )L F F F F u p t p p t m C m m C m CF p m R ψψψψμψψ=−+−−+−− (17-7)由前人工作可知，在径向方向的最优着陆轨迹可由一关于时间t 的四次多项式来完全表示23401234r k k t k t k t k t =++++ (17-8)其中，i k (i =0,1…4)为多项式的系数，可通过系统边值条件来确定。
在动力下降段，制动推力主要用来满足探测器终端速度约束，因此用于满足终端位置约束的控制推力仅占一小部分，也就是说10p →。
此外，此阶段控制推力的设计要求高效率的抵消初始速度，因此制动推力角0ψ近似等于90度，则(17-7)式可近似表示为22222200LF F u p t p t m C m R μ=−−− (17-9) 对(17-8)式求二阶导数可得24321262r k t k t k =++ (17-10)由(17-9)、(17-10)两式可得4302k F k m C= (17-11) 而0/Ft C m <<，所以可以忽略4k 。
由此，可以分别用一个三次多项式和二次多项式来近似表示探测器径向距离和径向速度。
3.2燃耗次优控制方向角确定现在，根据上一节的推导，分别用一个关于局部时间τ的三次多项式和二次多项式来近似表示月心到探测器质心之间的距离r 和径向速度u230123212323r k k k k u k k k τττττ=+++=++ (17-12)这里的τ为局部时间，它以当前时刻t 为初始时刻，其取值范围为[0,]go t ，go t 为剩余时间，定义为探测器从当前时刻开始到达目标点所用的时间。
(17-12)式中各系数可由以下初始条件和终端条件确定：(0)r r =，()go f r t r =；(0)u u =，()go f u t u =其中，f r 表示径向距离终端约束，f u 表示径向速度终端约束。
由此可以求出(17-12)式各系数，得223()()f go f gogo r r ut u u t k t −−−−= (17-13)对(17-12)式u 求导可得当前时刻的径向加速度226()2()2f go f go go r r ut u u t k t −−−−==a (17-14)II x图17-4 轨道系下垂直平面内加速度矢量几何关系图17-5 轨道系下水平面内速度矢量关系下面来分析探测器各瞬时加速度矢量和速度矢量之间的几何关系。
图17-4和图17-5分别为探测器在轨道坐标系下垂直平面内的加速度矢量几何关系示意图和水平面内的速度矢量几何关系示意图。
其中a K 为径向加速度，F a K 为推力加速度，H a K 为加速度水平分量；V J K 为速度矢量在水平面内的投影，F V J K 为水平终端约束速度，C V J K 为由V J K 变到F V J K 所需的速度增量。
由动力学方程(17-2)第四式可以看出，径向加速度a K 是由月球引力加速度、向心加速度和推力加速度径向分量组成的，根据图17-4各加速度矢量之间的几何关系即可写出推力角ψ的三角函数关系。
在水平面中，水平加速度H a K 是产生水平速度增量C V J K 的主要原因，故可令C V J K 和H a K 同方向，由此可根据图17-4确定另一个控制角ϕ的三角函数关系表达式。
综合上述分析，可以写出控制变量ψ、ϕ的表达式如下：222cos((/()/)/)cos(()F f arc a r v w r a arc v v ψμϕ⎧=+−+⎪⎨=−⎪⎩K (17-15) 在动力下降段，制导律的设计要求高效率地抵消水平方向的速度，换句话说，制动推力主要用来抵消探测器水平初始速度，因此，对于前面提到的剩余时间go t 可近似用下式来估计：/go H t a = (17-16)至此，式(17-14)(17-15)(17-16)就构成了多项式制导公式，其中，F a 和H a 可由加速度仪实时测得。