2020年4月联考试卷(参考答案)

2019学年第二学期“山水联盟”返校考试高三年级数学学科参考答案一、选择题1 答案D 解析：{10,1,2,3}A =-，，(0,)B =+∞，={1,2,3}A B ⋂共3个元素，故选择D. 2. 答案D 解析：焦点在x 轴上，22213,1,22a b c ===，故选D 3. 答案A 【解析】可行域如图所示，易知目标函数y x z -=2有最小值0，不存在最大值，故选A 。

4.答案C5. 答案A6. 答案B 【解析】函数3cos sin )(xxx x x f -=是奇函数，并且当+∞→x 时,0)(→x f 恒成立，故选B 。

7.答案D 解析：由()21E X a b c a c =++==和可得()(2)D X D X =-因此做随机变量2X-的分布列。

2Y X =-令()222()()()()=1D Y E Y E Y a c c a a c b =-=+--+=-，则()D X 减小。

故选D8.答案C 9.答案B【解析】令⎩⎨⎧>-≤+=-=0,)1(0,)()()(x x a x e a x ax x f x g x ，则条件等价为方程b x g =)(有3个实数根。

当0≤x 时，)1()('++=a x e x g x .对A 选项分析：当1>a ，0>b 时，)(x g 在()↓+-∞-)1(,a ，()↑+-0),1(a ，↓+∞),0(，)(x g 图像如图所示：，此时方程b x g =)(最多只有1个实数根，所以A 选项错误。

对B 选项分析：当1>a ，0<b 时，)(x g 在()↓+-∞-)1(,a ，()↑+-0),1(a ，↓+∞),0(，)(x g 图像如图所示：，故方程b x g =)(可能会出现3个实数根，所以B 选项正确。

对C 选项分析：当1<a ，0>b 时，)(x g 在↑+∞),0(，)(x g 图像如图所示：，此时方程b x g =)(最多只有2个实数根，所以C 选项错误。

对D 选项分析：当1<a ，0<b 时，)(x g 在()↑+∞,0，)(x g 图像如图所示：，此时方程b x g =)(最多只有2个实数根，所以D 选项错误。

所以，本题的正确选项是B. 10. 答案C解答：1ln 3222-≤=-a a d a ，则122+≥a d .又02>a ，所以0>d ，则430a a <<，故43a a <.1221--≤-=a d a a ，112211+=+≥-=a a a a ，故21a a >.二、填空题11.答案：6,55解析：33(12)3612(12)(12)5i izi i i++===--+，故虚部是65。

55z==12.8,5答案：13.答案：2,4解析：31)(21)n xx+中令1x=可得323108n⋅=，可得2n=。

222323331)(21)=(+2+)(21)x x x x xx--++，22233+2+x x x--中只有一项为有理项，因此展开式中有理项是4个。

14.答案：3,3636333223631)sin(sin322cos,31sin36cos,3362sin6,2,2,:=⨯+⨯=∠+∠=∠∴=∠∴=∠=∠==∠∴=∴==∆ABMBAMAMBBAMBAMABCABCABBCACABCRtΘΘ又中解析AMBABABMAM∠=∠sinsin,由正弦定理336336sinsin=⨯=∠∠⋅=∴AMBABMABAM15.解析：是切线方程为y x m=+，代入椭圆方程可得：22222222()20b a x a mx a m a b+++-=因为相切2220m a b∆=⇒=+，直线y x m=+与圆C(1,b m b b=⇒=+或（舍去）则有2222(12)b a b +=+，因为222b ac =-，所以可得22232(221)(222)2a c e -+=+⇒=16.答案是91.【解析】函数b x ax x f --=3)(在[]1,1-上的最大值是32等价于32)(≤x f 在[]1,1-上恒成立。

所以，32)1(≤f ，32)1(≤-f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤-+-321321b a b a ，两式相加结合绝对值不等式得：341122≤--+-+-≤-b a b a a ，解得3531≤≤a ，又因为31≤a ，所以31=a . 再把31=a 代回到32)1(≤f ，32)1(≤-f 中，解得0=b ，所以9122=+b a . 17. 答案：257①4,4,0a b a b ==⋅=r r r r 且，则90a b o rr 与之间的夹角为；②将22150c a c -⋅+=r r r可以改写成22153520()()01644c a c a c a c a -⋅+=⇒--=r r r r r r r r因此359044c a c a --o rr r r与的夹角为 因此综上条件我们可以做出如下图像,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r35,44CD c a CE c a =-=-u u u r u u u r r r r rC 点在以A 点为圆心，1为半径的圆上动。

根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由4COCG=P(15(,0)4G )所构成的圆。

,a b OH a b c CH +=+-=r r u u u r r r r u u u r144()414()4()44c a b c c a b c OC HC CG CH HG ++-=++-=+=+≥=r r r r r r r r三、解答题18.()21cos(2)6:(1)sin ()cos(2))122322311112sin 2)(cos 22)2222111(2sin 2)sin(2)--------422223x f x x x x x x x x x x x πππππ-+=+--=--=--+=-+=-+解析分 2------52T ππ∴==最小正周期分 由Z k k x k ∈+≤+≤+-,223222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+-,12125ππππ5()[,]()-------71212f x k k k Z ππππ∴-++∈的单调递减区间是分 （2）]34,3[32],2,0[ππππ∈+∴∈x xΘsin(2)[3x π∴+∈分1()[2f x ∴-的值域是分19.解：（I ） 2.ABCD BD =平面四边形中，计算得………………2分取AD 中点F ，连,PF BF ，∵,ADP ADB ∆∆都是等边三角形，∴,PF AD BF AD ⊥⊥…………4分又PF FB F =I∴AD ⊥平面PFB ，∵BP ⊂平面PFB ，∴AD BP ⊥………………………6分（II ）法一：ADCB 在直角梯形中,3=BC ……………7分 ∵AD ⊥平面PFB ，AD ⊂平面APD ∴平面PFB ⊥平面APD作BG ⊥PF 交PF 为G ，则BG ⊥平面APD ，AD 、BC 交于H ，∠BHG 为直线C B 与平面P AD 所成的角…………10分由题意得PF =BF =3又∵BP =3 ∴∠GFB =30°，BG =23，……………………12分 ∵90ABC BCD ∠=∠=o，//AB CD ∴,1,2CD AB ==C BH ∴为的中点，∴223BH BC ==……………14分∴3sin 4BG BHG BH ∠==……………………15分 法二：CB CD ⊥Q ，以C 为坐标原点,与平面CBD 垂直的CQ 及CD 、CB 分别为x 轴、y 轴和z 轴建立平面直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,3),(0,1,0)C B D ，2(0,2,3)BA CD A =∴u u u r u u u rQ3932,3,2(,,)24PA PB PD P ===∴Q 又353(0,0,3),(0,1,3),(,,)24CB AD DP ==--=u u u r u u u r u u u r ………………10分设平面ADP 的法向量为(,,)n x y z =r ，03035300244n AD y z n DP x y z ⎧⋅=⇒--=⎪⎨⋅=⇒++=⎪⎩r u u u rr u u u r ， 取(2,3,3)n =-r………………13分直线BC 与平面ADP 所成角α的正弦，3sin 4BC n BC nα⋅==⋅u u u r r u u u r r . ………………15分 20.解析(1)由题意()⎩⎨⎧+=+=++4234321214a a a a a a ，得⎩⎨⎧=+=104423a a a ，即1044=+q q，解得2=q 或21=q ，已知1>q ，故2=q .1231==qa a ，12-=n n a .……………………………………………………………………………………3分当1=n 时，211=b a当2≥n 时，()()1121212--⋅+=⋅--⋅=n n n n n n n n b a则()121-⋅+=n n n n b a ，1+=n b n .………………………………………………………………………6分 (2)nn n c n c c 11++=+ 法1.()()22221112n n n c n n c c ++++=+，()()()1211222221+>+++=-+n c n n c c nn n ………………………9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯>-⨯>-⨯>--n c c c c c c n n 2322221222232122累加得当2≥n ，[]23223222-+=+++>-n n n c n Λ，722++>n n c n 当7,122++==n n c n n2172+>++≥∴n n n c n ………………………………………………………………………………12分()222212321252321+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++>+++n n n n n c c c n ΛΛ………………………………15分法2.先用数学归纳法证明当*∈N n ，21+>n c n . ①当1=n 时，2321,31=+=n c ，左式>右式，不等式成立. ②假设k n =时，不等式成立，即21+>k c k 当1+=k n 时，k k k c k c c 11++=+，因为()xk x x f 1++=在()+∞+,1k 上单调递增，由121+>+>k k c k ，得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+>21k f c f k ，即211211++++>+k k k c k ，可得231+>+k c k ，不等式也成立.③由①②得证当*∈N n ，21+>n c n .………………………………………………………………12分()222212321252321+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++>+++n n n n n c c c n ΛΛ……………………………15分21.解析：（1）因为焦点坐标为（1,0），所以24p = 设直线AB 的方程为1x ty =+（t 为斜率的倒数）2214404x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，则有212|||4(1)8AB y y t =-=+=--------4分 所以1t =±，OAB ∆的面积为1211||2y y ⨯⨯-=== -- --6分另解：O 到直线AB2=，所以OAB ∆的面积为1822⨯⨯=--6分 （2）因为A 在抛物线上可以设2(,2)A a a ，根据第（1）问可知A,B 两点的纵坐标之积为定值为4-，所以212(,)B a a -，则有21||4(1())AB AB k =+，其中42212ABk a a a a==-- 可得：2211||4(1())()2a a AB a a-=+=+-----------------------------------9分 设直线AC 的方程为3x my =+，代入抛物线可得22341204x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以可知A,C 两点的纵坐标之积为-12 所以296(,)C a a -，同理可得23||()3a CD a=+---------------------------12分 综上可知：||||AB CD ⋅=222222131313()()[()()](3)3333a a a a a a a a a a +⋅+=+⋅+=+++所以有2222131256||||(3)(33339a AB CD a ⋅=+++≥++=（等号成立条件23a =） 则有256||||9AB CD ⋅最小值为-----------------15分22.解析：（1）由()x x x x f ln 22-=， 得()()x x x f ln 12--='，（2分）()0112≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''x x f ()x f '在[]e ,1单调递增，()()01='≥'f x f所以：()x f 在[]e ,1单调递增 所以()[]e e xf 2,12-∈.---------6分（2）由题意可得：()a f ≥1，即10≤<a .-------8分 事实上，当10≤<a 时0ln 1212ln 2222≥---⇒-≥-x x ax a x x a x x a x记11≥=at ，设()x x t x t x t g ln 1222---=，则()t g 为关于t 的二次函数，-------10分 定义域为[)+∞,1，其对称轴为2212xx t -=. x x x x x 22241424≥⋅=≥+Θ.12122<-=∴x x t ()()x x x x g t g ln 1212---=≥∴设()x x x x x h ln 12---=，21≥x ()()221211112121xx x x x x x x xx h ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-----=' 当()()x h x h x ,0,1,21<'⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈递增；当()()()x h x h x ,0,,1>'+∞∈递减. 所以：()()01min ==h x h 即()0≥x h ，于是有：()0≥t g 所以:10≤<a ---------15分。