数值分析试题及答案

数值分析试题

一、 填空题（2 0×2′）

1.

??

????-=?

?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，

f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，

‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代

函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差

商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n

i i x a 0)( 1 ；所以

当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使

20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)

收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残

差r i＝(b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。

13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且

f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为

f(x0)f”(x0)>0 。

14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。

二、判断题（10×1′）

1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。

( ×)

2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

( ?)

3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

( ×)

4、样条插值一种分段插值。

( ?)

5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

( ?)

6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误

差及舍入误差。

( ?)

7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。

( ×)

8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步

迭代计算的舍入误差。

( ×)

9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是

截断误差＝舍入误差。

( ?)

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × )

三、计算题（5×10′）

1、用列主元高斯消元法解线性方程组。 解答：

（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行： L 21=1/5=,l 31=2/5= 方程化为：

（,）最大元在第三行，交换第二与第三行： L32==,方程化为： 回代得：

???

??-===00010.1 99999.500005.33

21x x x 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4(x )，并写出其截断误差的表达式(设f (x )在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

解答： 做差商表

P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。 解答：

交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：

雅克比迭代公式： 《计算机数学基础(2)》数值分析试题 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝…a n

×10s (a 1

?0)的绝对误差?x *－x ??( )．

(A) ×10

s －1－t

(B) ×10 s －t (C) ×10

s ＋1－t

(D) ×10 s ＋t

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．

(A) ????

?????

???------21001210012100

12，

(B)?

?

???

????

???2100141101410125 (C) ?

?

???????

???--2100

14121241

0125 (D) ??

???

??

??

???-513

114120141112

4 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )

(A) ?????≤<+-≤≤+32103201

23

x x x x (B)

??

???≤<+-≤≤+32103201

2

3

2x x x x (C) ?????≤<+-≤≤-3

2103201

23

x x x x (D)

?????≤<+-≤≤+3

24201

2

3

x x x x 4. 等距二点的求导公式是( )

(A) ???

????

-='+-='+++)

(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f

(B) ???

????

-='-='+++)

(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f

??????

?=+-=-+=-+-=+-65 8 4 3 3 1

2431432321421x x x x x x x x x x x x

(C) ???

????

-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f

(D)

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么y p ,y c 分别为( )．

(A) ???+=+=+)

,()

,(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y y (B)

????

?+=+=+),()

,(1p k k c

k k k p y x hf y y y x hf y y

(C) ????

?+=+=),()

,(p k k c k k k p y x f y y y x f y y (D)

????

?+=+=+)

,()

,(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y 二、填空题(每小题3分，共15分) 6. 设近似值x 1,x 2满足?(x 1)=，?(x 2)=，那么?(x 1x 2)= ．

7. 三次样条函数S (x )满足：S (x )在区间[a ,b ]内二阶连续可导，S (x k )=y k (已知)，k =0,1,2,…,n ，且满足

S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是 ．

8. 牛顿－科茨求积公式

∑?

=≈n k k k b

a

x f A x x f 0

)(d )(，则∑=n

k k A 0

＝ .

9. 解方程f (x )=0的简单迭代法的迭代函数?(x )满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是 预报值：

),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ．

三、计算题(每小题15分，共60分) 11. 用简单迭代法求线性方程组

的X (3)．取初始值(0,0,0)T ，计算过程保留4位小数．

12. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶

均差f (4，1，3)．

13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分

?

+3

1

2d 1x x ，计算过程保留4位小数．

14. 用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位小数． 四、证明题(本题10分)

15. 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a =x 0

y (x k +1)?y k +1=y k +

2

h

[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)] 其中h =x k +1－x k (k =0,1,2,…n －1)

《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. A

2. B

3. A

4. B

5. D 二、填空题(每小题3分，共15分)

6. ?x 2?+?x 1?

7. 3次多项式

8. b －a 9. ???(x )??r <1 10. y k +)],(),([2

11+++k k k k y x f y x f h

hf (x k ＋1, 1+k y ) ． 三、计算题(每小题15分，共60分)

11. 写出迭代格式 X (0)=(0,0,0)T .

得到X (1)＝，3，3)T 得到X (2)=， 7， 0)T 得到X (3)= 4， 6， 6)T .

12.

f (0,1,3,4,6)=

15

f (4, 1, 3)=6 13. f (x )=21x +,h =

25.08

2

=．分点x 0=，x 1=，x 2=，x 3=，x 4=，x 5=，x 6=，x 7=，x 8=.

函数值：f = 2，f = 8，f = 8，f = 6，f = 1，f = 2，f = 6，f = 2，f = 3．

))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ (9分)

=

2

25

.0×[ 2+ 3+2× 8+ 8+ 6 + 1+ 2+ 6+ 2)]

=× 5+2× 3)= 1

14. 设x 为所求，即求x 2－115=0的正根．f (x )=x 2－115． 因为f ?(x )=2x ，f ?(x )=2，f (10)f ?(10)=(100－115)×2<0，f (11)f ?(11)=(121－115)×2>0

取x 0=11． 有迭代公式

x k +1=x k －)

()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115

221152

+

=--(k =0,1,2,…) x 1=

11

2115

211?+＝ 3 x 2=

3727.102115

23727.10?+＝ 8 x 3=

8

723.102115

28723.10?+＝ 8

x *? 8

四、证明题(本题10分)

15. 在子区间[x k +1,x k ]上，对微分方程两边关于x 积分，得

y (x k +1)－y (x k )=

?

+1

d ))(,(k k

x x x x y x f

用求积梯形公式，有

y (x k +1)－y (x k )=

))](,())(,([2

11+++k k k k x y x f x y x f h

将y (x k ),y (x k +1)用y k ,y k +1替代，得到

y (x k +1)?y k +1=y k +

2

h

[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)](k =0,1,2,…,n －1) 数值分析期末试题

一、 填空题（20102=

?分）

（1)设????

??????---=283012251

A ，则

=∞A ______13_______。

（2)对于方程组??

?=-=-3

4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?

??

???05.25.20。 （3)

3

*x 的相对误差约是*x 的相对误差的3

1

倍。

（4）求方程)(x f x

=根的牛顿迭代公式是)

('1)

(1n n n n n x f x f x x x +--

=+。

（5）设1)(3

-+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。

（6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21Λ，则矩阵G 的谱半径=

)(G ρi n

i λ≤≤1max 。

（7）已知??

?

???=

1021A ，则条件数=∞)(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2--

x x 改写为)1ln(2++-x x 。

（9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。

（10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(313

1

∑==i i x f y 。

二、 （10分）证明：方程组???

??=-+=++=+-1

2112321

321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。

证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为

J B 的特征多项式为

J B 的特征值为01=λ，i 25.12=λ，i 25.13-=λ，故25.1)(=J B ρ＞1，因而迭代法不收

敛性。

三、 （10分）定义内积

试在{}

x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p 。

解：1)(0≡x ?，x x ≡)(1?，

1),(1

00==

?

dx ??，2

1

),(1

01==

?

xdx ??，3

1),(1

211=

=

?

dx x ??，3

2

),(1

0=

=

?

dx x f ?，5

2),(1

1=

=?

dx x x f ?。 法方程 解得1540=

c ，15

121=c 。所求的最佳平方逼近元素为 x x p 15

12

154)(+=，10≤≤x 四、 （10分）给定数据表

试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。 解:3

32

210)(x c x c x c c x y +++=

?????

??

?????????----=84211111000111118421A ， ?????

?

??????=

130034003401034010001005A A T 法方程

的解为4086.00=c ，39167.01=c ，0857.02=c ，00833.03=c 得到三次多项式

误差平方和为000194.03=σ

五. (10分) 依据如下函数值表

建立不超过三次的Lagrange 插值多项式，用它计算)2.2(f ，并在假设1)()4(≤x f 下，估计计算误差。

解:先计算插值基函数

所求Lagrange 插值多项式为

12

1445411)(3)(23)(9)()()()(2332103

03+-+-

=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f 。

据误差公式))()()((!

4)

()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=

ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：

六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组

解 设

由矩阵乘法可求出ij u 和ij l 解下三角方程组

有51=y ，32=y ，63=y ，44=y 。再解上三角方程组

得原方程组的解为11=x ，12=x ，23=x ，24=x 。

七. (10分) 试用Simpson 公式计算积分 的近似值, 并估计截断误差。

解：

截断误差为

八. (10分) 用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求

81

10--<-k

k k x x x 。

解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。设

则 x x f 11)('-

=， 21

)(''x

x f = Newton 法迭代公式为

1)

ln 1(112ln 1-+=

-

---

=+k k k k

k k k k x x x x x x x x ， Λ,2,1,0=k

取30=x ，得146193221.34=≈x s 。

九. (10分) 给定数表

求次数不高于5的多项式)(5x H ，使其满足条件 其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i 。

解：先建立满足条件

)()(3i x f x p =， 3,2,1,0=i

的三次插值多项式)(3x p 。采用Newton 插值多项式

[][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+

再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ，由 得 解得36059-

=a ，360

161

=b 。 故所求的插值多项式