第四章：格林函数教学文案

[u (M ) (M M 0 ) G (M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（1）的解
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
负号来自内小球面的 法向与矢径方向相反
于 是 有 ：
§4.1 点源函数法回顾
4.1.2 函数
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
2、定义
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§4 格林函数
—— 函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
3、三维 函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
4、 [ ( x)]
k i 1
|
(x xi
( xi )
) |
,
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其
中
xi是
(
x
)
0的 单 根
5、 函 数 是 偶 函 数 ， 函 数 是 奇 函 数
6、 x ( x) 0; x ( x) ( x)
7、 (ax) 1 ( x); ( x) ( x a) (a) ( x a)
等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得 到任意源的场。
这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函 数法，又称为点源函数法或影响函数法。
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
4.1.1 格林函数法的回顾
首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产 生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由 于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加， 利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得 到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。
回顾内容包括：
1、点源函数的性质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径。
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
例如：空间中，静电荷产生的电势问题，
电荷源 M 电荷密度
空间M处的电势满足泊松方程：
Z M
rr rr rr0
2u
Or r0
X
Y
,M
实际上：由静电学可知，位于 rr 0 点的单位正电荷在r处的电势为
的解的积分表达式，首先引入格林公式
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
二、格林公式
设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在区域 直到边界 上
具有连续一阶导数，而在中具有连续的二阶导
数，则由高斯公式有：
化为体积分
uv d (uv)d
uvd u vd
此式称为 格林第一公式
(G u nu G n)du(M 0)G(M ,M 0)h(M )d
——格林函数法（点源法）
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界 条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示， 物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换 为关键是求解点源的相对简单的问题。
u (M ) (M M 0 ) G (M , M 0 )h(M )
对
M（
x,
y,
z)积
分
，
注
意
G
(M
,
M
0
)以
M
为
0
奇
点
（
在M
挖
0
去
1的 小 球
体体积元）
同时利用
第二格林函数，有
这里G就相当于格 林第二公式中的v
(G u u G ) d (G u u G ) d
n
n
第四章：格林函数
第四章 格林函数
1、 点源函数法回顾； 2、 格林函数的引入； 3、 格林函数与 函数； 4、 一维格林函数； 5、 三维格林函数； 6、 格林函数在电磁学中的应用； 7、 并矢格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有 广泛的应用。
从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源
|a|
8、 （ x
x0 )
d dx
H
(x
x0 ),
0 H ( x x0 ) 1
x<x 0 x>x 0
9、 函 数 的 付 氏 变 换 为1， 拉 氏 变 换 也 为 1。
§4.1 点源函数法回顾
4.1.3 泊松方程的边值问题
一、泊松方程的基本形式
§4 格林函数
其中， , 为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2)
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
同理有：
v u d v ud v ud
两式相减，有
(u v v u ) d (uv vu )d
即 ： (u
v n
v u )d n
(uv vu)d
此式称为 格 林 第 二 公 式
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
(MM0)0,,
MM0 MM0
(MM0)dv1
其中 ( M M 0 ) ( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )为三维 函数
且具有性质： ( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) ( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数 也具有一维函数的所有的性质。
§4 格林函数
三、积分公式——格林函数法
目标：求解
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
(3) 由于
其中 r(xx0)2 (yy0)2 (zz0)2为M与M0之间的距离
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
（1） G ( M , M 0 ) u ( M ) (3 )得 ：
G (M ,M 0)u(M ) u(M )G (M ,M 0)
G(rr,rr0)
1
4
|
rr
1 rr0
|
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：
r
u (r r) V4|(r r r 0 )r r0|d V V G (r r,r r0 )(r r0 )d V
表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：
1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函 数（或称点源函数，影响函数） 2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般 源的场—即通过有限积分表示原问题的解。