2020年复旦附中高二上学期期中数学试卷

一. 填空题

1. 直线+−=x y 2310的倾斜角是

2. 若矩阵⎝⎭

⎪ ⎪=− ⎪

⎛⎫A 011，=B 121)(，则=AB

3. 行列式−−k 1

4

2

2

543

1

的元素−3的代数余子式的值为7，则=k 4. 已知⎩

=⎨

⎧=y t x m 是增广矩阵为⎝⎭ ⎪⎛⎫

−0123122的二元一次方程组的解，则+=m t

5. 直线=−l y x 4

:13

的一个单位方向向量是

6. 已知直线+−−=l kx k y :(1)301，−++−=l k x k y :(1)(23)202，若⊥l l 12，则=k

7. 已知点P 在直线−=−x y 14

06

上，且点P 到A (2,5)、B (4,3)两点的距离相等，则点P

的坐标是

8. 若+=−→∞−+t

t n n n n n

2lim 2211，则实数t 的取值范围是

9. 已知R ∈a ，则“=a 6

1

”是“两直线+−=l x ay :2101与−−−=l a x ay :(31)102平行”

的 条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 10. 过点−P (3,2)且与直线++=x y 210的夹角为2

arctan

1

的直线的一般式方程是 11. 已知实数a 1、b 1、a 2、b 2满足：−+=a b 1011，−+=a b 1022

，且

+=a a b b )1212其中>a a 12，则以向量a b (,)11为法向量的直线的倾

斜角的取值范围是

12. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），

P 是圆Q 上及其内部的动点，R =+∈BP mBC nBA m n (,)，

则+m n 的取值范围是

2020年复旦附中高二上学期期中数学试卷

二. 选择题

13. 函数()y f x =的图像如图所示，在区间[,]a b 上可 找到n （2n ≥）个不同的数1x , 2x , ⋅⋅⋅ , n x ，使得

1212()()()

n n

f x f x f x x x x ==⋅⋅⋅=

，则n 的范围为（ ） A. {3,4} B. {2,3,4} C. {3,4,5} D. {2,3} 14. 给出下列命题：

① 非零向量a 、b 满足||||||a b a b ==−，则a 与a b +的夹角为30°； ② 将函数|1|y x =−的图像按向量(1,0)a =−平移，得到函数||y x =的图像； ③ 在△ABC 中，若()0AB AC BC +⋅=，则△ABC 为等腰三角形； 其中正确命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

15. 在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A −，(1,0)B ，(0,1)C ，经过原点的直线l 将△ABC

分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则212

2(1)1S S +−取得最小值时，直

线l 的斜率（ ）

A. 等于1

B. 等于1−

C. 等于

1

2

D. 不存在 16. 如图所示，已知0(0,0)A ，1(4,0)A ，对任何n ∈N ，点2n A +按照如下方式生成：

123

n n n A A A π

++∠=

，1211

||||2

n n n n A A A A +++=

，且n A ，1n A +，2n A +按逆时针排列， 记点n A 的坐标为(,)n n a b （n ∈N ），则(lim ,lim )n n n n

a b →∞

→∞

为（ ）

A. 20

(

7 B.

(3,7 C. D. 20(,)78

三. 解答题

17. 已知m ∈R ，直线1l 的方程为(1)(21)3m x m y m +−−=，直线2l 的方程为

(31)(41)54m x m y m +−−=+，当m 变化时，

（

1）分别求直线1

l

和2l 经过的定点坐标；（2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.

18. 已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求： （1）直线l 的方程；

（2）直线l 关于直线:21m y x =−对称的直线方程.

19. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴x 、y 的交点为O ，与x 、 y 轴正方向同向的单位向量分别是i 、j ，且i 与j 的夹角为θ，其中(0,)(,)22ππ

θπ∈，

由平面向量基本定理，对于平面内的向量OP ，存在唯一有序实数对(,)x y ，使得

OP xi y j =+，把(,)x y 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，也叫做向量OP 在斜坐标系

xOy 中的坐标，在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方

程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如45θ=︒时，方程21

45

x y −−=

− 表示斜坐标系内一条过点(2,1)，且方向向量为(4,5)−的直线.

（1）若1

arccos()3

θ=−，(2,1)a =，(,6)b m =，a 与b 夹角为锐角，求实数m 的取值范围； （2）若60θ=，已知点(2,1)A 和直线:320l x y −+=， ① 求l 的一个法向量；② 求点A 到直线l 的距离.