复旦附中2018-2019学年第一学期高一期末数学试卷及答案
2018复附高一数学期末考试卷(含解析)
。
4. 若在等比数列{an} 中， a1 a2 a9 512 ，则 a5
。
5. 方程 (3cos x 1)(cos x 3sin x) 0 的解集是
。
6.
若数列{an} 满足 a1 13 ， an1 an
n ，则 an n
的最小值为
。
7.
若数列{an} 是等差数列，则数列 bn
an1 anm m
。
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心 二. 选择题
选择菁英高中，成就名校梦想
13. “b 是1 3 与1 3 的等差中项”是“b 是 2 3 与 2 3 的等比中项”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
（2）设 Sn 是数列{an} 前 n 项的和，求使得不等式 S2n 20182 成立的最小正整数 n.
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十年
件的所有数列{an} 中， S12 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b
。
12. 用 An 表示所有形如 2r1 2r2 2rn 的正整数集合，其中 0 r1 r2 rn n ， n N* 且
ri N (i N* ) ， bn 为集合 An 中的所有元素之和，则{bn} 的通项公式为 bn
21.（1） an2 an1 an1 an ，即 bn1 bn ， 2(a5 a4 ) a4 a2 ；
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【解析】∵实数满足：∈{1，4，}，∴=1或=4，或=a，解得=﹣2或=2或=﹣1或=1或=0，当=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当=﹣1，或=±2，或=0时，满足题意．∴实数的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．2.函数的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】由题意得，解得．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】由题意得函数的定义域为，又函数在和上单调递减，所以函数的单调减区间是和．故答案为：（∞，0）和（0，+∞）．5.已知为定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________．【答案】【解析】设，则，由已知当时，，当时，可得，．6.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____．【答案】【解析】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x =1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：．7.函数的值域为_______.【答案】【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.8.已知a＞0，b＞0，则的最小值为_____．【答案】4【解析】由题意得，∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为4．故答案为：4．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【解析】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【解析】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．11.若函数，则_____．【答案】1【解析】由题意得．故答案为：1．12.定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【解析】对于①，集合A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集．对于④，集合A=表示以点为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，由x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为，，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．14.已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A. x1＜x2＜x3B. x1＜x3＜x2C. x3＜x1＜x2D. x2＜x3＜x1【答案】B【解析】函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sin x与y=﹣x的图象，如下图所示：由图形可知x1＜0，x2＞0，x3=0，所以x1＜x3＜x2．故选B．15.已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A. 0B. 1C. －1D. 不确定【答案】C【解析】依题意，得当4∈M时，有，从而，，于是集合M的元素只有4，，所有元素之积等于4×（）×=-1．16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A. f（x）的图象关于x=1对称B. f（x）的最大值与最小值之和为2C. 方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D. 当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【解析】由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以．故D不正确．故选C．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2－x－6≤0.(1)若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3；由q为真时，实数x的范围是－2≤x≤3，若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．(2)¬p：x≤a或x≥3a，¬q：x＜－2或x＞3，由¬q是¬p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时¬p¬q，即a的取值范围为(0,1]．18.已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，（1）试求f（﹣2）的值；（2）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（3）求出f（x）的零点．解：（1）∵函数为奇函数，∴．（2）当x＞0时，函数在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（3）当时，由，得，解得，∴是函数的零点．又函数为奇函数，∴也为函数的零点．综上可得函数的零点为和．19.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值，故，即的取值范围为.法二：设，则，当时，取得最小值，所以当时，取得最小值，故时，即的取值范围为.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．21.已知函数，．(1)若函数是奇函数，求实数的值；(2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，即，，显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.上面等式左右两边同时乘以得，化简得，.上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得.（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函数定义域.由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数. 令，显然在区间和均单调递增，又，且，.所以函数在区间和上各有一个零点，即方程在定义域上有2个解，所以函数与函数的图象有2个公共点.（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使在上恒成立，令，则，上式整理得在恒成立.方法一：令，.①当，即时，在上单调递增，所以，恒成立；②当，即时，在上单调递减，只需，解得与矛盾.③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以由，解得，又，所以综合①②③得的取值范围是.方法二：因为在恒成立. 即，又，所以得在恒成立令，则，且，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）即，所以,所以的取值范围是.。
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18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题考试范围：必修4(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分)1.sin(-2 055°)等于( )A.6-242+64C. D.2+642-642.若sin α>0且tan α<0,则的终边在( )α2A.第一象限B.第二象限C.第一象限或第三象限D.第三象限或第四象限3.若sin(π-α)=-,且α∈(π,),则sin(+α)等于( )533π2π2A.- B.5353C.- D.23234.已知D 是△ABC 所在平面内一点,=+,则( )→AD 713→AB 613→AC A.= B.=→BD 713→BC →BD 613→BC C.= D.=→BD 137→BC →BD 136→BC5.已知a 与b 的夹角为,a=(1,1),|b|=1,则b 在a 方向上的投影为( )π3A B..2262C. D.12326.函数f(x)=cos(x+)-cos(x-)是( )π4π4A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数7.已知a,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于( )A. B. 710C. D.4138.若tan(π-α)=,α是第二象限角,则等于( )341sin π+α2·sin π-α2A. B.5910C. D.101099.已知α是锐角,a=(,sin α),b=(cos α,),且a∥b,则α为( )3413A.15° B.45°C.75°D.15°或75°10.已知函数y=sin (2x+)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+)的图象( )ϕπ6ϕA.关于点(,0)对称π6B.关于点(,0)对称π3C.关于直线x=对称π6D.关于直线x=对称π311.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,-<<)的部分图象如图所示,则ω,的值ϕπ2ϕπ2ϕ分别是( )A.2,-B.2,-π3π6C.4,-D.4,π6π312.将函数f(x)=2cos 2x-2sin xcos x-的图象向左平移t(t>0)个单位,所33得图象对应的函数为奇函数,则t 的最小值为( )A. B.2π3π3C. D. π2π6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知角α的终边过点(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(,π),则cos α=π214.已知向量a=(-2,3),b=(4,m),若(a+2b)∥(a-b),则实数m= . 15.若函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,π6π2且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称,x 0∈,则x 0= . [0,π2]16.如图,在矩形ABCD 中,AB=,BC=2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,2若·=,则·的值是 .→AB →AF 2→AE →BF三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(1)设tan α=-,求的值;121sin 2α-sinαcosα-2cos 2α(2)已知cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,求cos(15°-α)的值.1318.(本小题满分10分)已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).→OA →OB 3→OC →OA →OB (1)求·,在上的投影;→OA →OB →OA →OB (2)证明A,B,C 三点共线,并在=时,求λ的值;→AB →BC (3)求||的最小值.→OC 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos(2x-)+sin 2x-cos 2x+.π32(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若存在t∈[,]满足[f(t)]2-2f(t)-m>0,求实数m 的取值范围.π12π3220.(本小题满分12分)已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈(,2π),3π2且a⊥b.(1)求tan α的值;(2)求cos(+)的值.α2π321.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)在一个周期内的图象如图所示.ϕϕπ2(1)求函数的解析式;(2)设0<x<π,且方程f(x)=m 有两个不同的实数根,求实数m 的取值范围以及这两个根的和.22.(本小题满分14分)已知向量a=(-sin ,1),b=(1,cos +2),函数f(x)=a·b.3x 2x 232(1)求函数f(x)在x∈[-π,]的单调减区间;5π3(2)当x∈[,π]时,若f(x)=2,求cos 的值.π3x 2。
专题14(5.4 反函数)(解析版)
专题14（*5.4 反函数）一、单选题1．（2019·上海杨浦·复旦附中高一期末）下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ） A ．3y x -=和13y x -=B ．23y x =和()320y xx =≥C ．()20x y x =>和()2log 1y x x => D ．()()lg 11y x x =->和101x y =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y ，即3y x -=和13y x -=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x ∈R ，由()320y xx =≥得320=≥y x，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数. 故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.2．（2019·上海市建平中学高一期末）函数()10y x =≤的反函数是（ ）A ．)1y x =≥- B ．)1y x =≥-C ．)0y x =≥D ．)0y x =≥【答案】B【分析】根据反函数：用原函数中的函数表示自变量，且原函数的值域为定义域，原函数的定义域为值域， 即可求()10y x =≤的反函数；【详解】()10y x =≤，知：值域为[1,)-+∞且x =∴其反函数为)1y x =≥-；故选：B【点睛】本题考查了反函数，从解析式角度写出原函数的反函数，注意用函数表示自变量且定义域、值域互换即为所求反函数解析式；3．（2019·上海徐汇·高一期末）函数()()21122f x x x =+>的反函数是（ ）A ．)13y x =≤<B ．)3y x =>C ．)13y x =≤<D ．)3y x =>【答案】B【分析】先根据原函数的定义域求出值域,再由原函数解析式反解出x ,然后对调,x y 的位置可得反函数的解析式,并写上原函数的值域作为反函数的定义域即可得到. 【详解】因为2x >,所以211()141322f x x =+>⨯+=,由2112y x =+,得222x y =-,又2x >,所以x =对调,x y 的位置可得反函数1()f x -=(3)x >.故选B .【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,特别要注意反函数的定义域,属于基础题.4．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（ ）A ．1sin ([0,])3y x x π=∈B ．1cos ([0,])3y x x π=∈ C ．1sin ([0,])3y x x π=-∈D ．1cos ([0,])3y x x π=-∈【答案】D【分析】根据反三角函数的定义即可求出【详解】函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是1cos 3y x =-，[0,]x π∈， 故选D ．【点睛】本题主要考查反正弦函数的定义和性质，熟记反三角的定义是关键，属于基础题． 5．（2019·松江·上海市延安中学高一期末）若函数()y f x =的图像位于第一、二象限，则它的反函数1()y fx -=的图像位于（ ）A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限【答案】D【分析】结合函数与反函数关于y x =得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可． 【详解】结合函数与反函数关于y x =得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可． 【点睛】本道题考查了函数与反函数的性质，难度中等．6．（2020·徐汇·上海中学高一期末）函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x - C ．()1f x + D ．()1f x -【答案】C【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位， 得到1(1)y f x -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 7．（2020·宝山·上海交大附中高一期末）设1x ，2x 分别是函数()xf x x a-=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则129x x +的取值范围是（ ）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞【答案】D【分析】根据零点定义,可得1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解.结合函数与方程的关系可知1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标,所以可得101x <<,21>x .而x y a =与log a y x =互为反函数,则由反函数定义可得121x x ⋅=.再根据基本不等式,即可求得12x x +的最小值,将129x x +化为1228x x x ++,即可得解. 【详解】因为1x ,2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点则1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解所以1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标所以交点分别为121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以101x <<,21>x由于函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =都关于y x =对称所以点A 与点B 关于y x =对称因为111,A x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于y x =对称的点坐标为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以121x x =即121x x ⋅=,且12x x ≠ 所以129x x +1228x x x =++28x ≥228x >+,由于12x x ≠,所以不能取等号因为21>x所以2282810x +>+= 即()12910,x x +∈+∞ 故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.二、填空题8．（2018·上海杨浦·复旦附中高一期末）函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1fx -=______．【答案】()1f x -=[]2,3x ∈【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）即可． 【详解】()2210y x x =+-≤≤ []2,3y ∴∈又x =()1fx -∴=[]2,3x ∈故答案为()1f x -=[]2,3x ∈【点睛】本题考查反函数的求解，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．9．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________.【答案】-2【分析】求出反函数与原函数比较可知2a =-．【详解】由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 10．（2019·上海南汇中学高一期末）已知()1f x x x=+，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】1 【分析】令1=21xx+，解方程即得解.【详解】令1=21x x+， 所以1x =.由反函数与原函数的关系得1112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为1【点睛】本题主要考查反函数和原函数的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.11．（2020·上海市控江中学高一期末）设函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，若()13f a -=，则a =__________.【答案】3【分析】由()13f a -=，可得(3)a f =，即可求解.【详解】函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，()13f a -=，则2(3)log 83a f ===. 故答案为:3.【点睛】本题考查互为反函数图像的关系，属于基础题.12．（2020·上海黄浦·高一期末）若函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是________. 【答案】(0,2)-【分析】首先求出函数log (3)a y x =+过的定点，再根据原函数与反函数图象关于y x =对称即可求出点P 的坐标.【详解】令31+=x 得2x =-，此时log 10a y ==，所以函数log (3)a y x =+过定点()2,0-， 所以函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点(0,2)-. 故答案为：(0,2)-【点睛】本题考查对数函数、对数函数的反函数，属于基础题. 13．（2019·上海青浦·高一期末）函数13x y +=的反函数是______． 【答案】31log (0)y x x =-+>【分析】该题考查指数式和对数式的互化及反函数的求法，利用反函数的定义结合指对互化即可获得．【详解】由13x y +=得31log x y +=，即：31log x y =-+， 又原函数的值域是0y >，∴函数()13x y x R +=∈的反函数是31log (0)y x x =-+>．故答案为31log (0)y x x =-+>．【点睛】求反函数，一般应分以下步骤：()1由已知解析式()y f x =反求出()x y =Φ；()2交换()x y =Φ中x 、y 的位置；()3求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域).题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．14．（2019·上海徐汇·高一期末）若函数()()111f x x x =≠-的反函数为()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭___________. 【答案】3【分析】求反函数中自变量为12的函数值,就是求原函数中函数值等于12时的自变量的值. 【详解】令1()1f x x =-12=,解得3x =, 所以函数()f x 的图象过点(13,2),所以反函数1()f x -的图象过点1(,3)2,即11()32f -=.故答案为:3【点睛】本题考查了求反函数值,属于基础题.15．（2019·上海市高桥中学高一期末）若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为_________. 【答案】12x y -=【分析】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，求得2a =，得到21log y x =+，再根据反函数的求法，即可求解. 【详解】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，即41log 8a =+，即log 83a =，解得2a =， 即21log y x =+，所以2log 1x y =-，即12y x -=， 所以函数21log y x =+的反函数为12x y -=. 故答案为12x y -=.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的求解，其中解答中熟记对数的运算性质，熟练应用反函数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．（2019·徐汇·上海中学高一期末）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果. 【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得1x =-； 当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x = 又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.17．（2019·上海市吴淞中学高一期末）已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x 代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握. 18．（2019·上海市第八中学高一期末）函数()()2111x f x x x +=≠-的反函数是()1f x -=______.【答案】()122x x x +≠-. 【分析】令211x y x +=-解得12y x y +=-，将其中的,x y 互换得12x y x +=-，再求出原函数的值域得其反函数的定义域，得解.【详解】令211x y x +=-，得12y x y +=-，将12y x y +=-中,x y 互换得12x y x +=-，所以()112x f x x -+=-， 又因为()2111x y x x +=≠-，2y ≠，所以()112x f x x -+=-中的2x ≠， 所以函数()()2111x f x x x +=≠-的反函数是()()1122x f x x x -+=≠-， 故填：()122x x x +≠-. 【点睛】本题考查求已知函数的反函数，求解反函数的步骤一般是：1、反解x ；2、互换,x y ；3、由原函数的值域得反函数的定义域，属于基础题.19．（2020·上海浦东新·高一期末）设函数()11f x x =-的反函数为()1f x -，则()11f -=_________. 【答案】2【分析】根据原函数与反函数的关系，解方程111x =-，即可. 【详解】令()111f x x ==-解得2x = 函数()11f x x =-的反函数为()1f x -. ∴()112f -=故答案为：2【点睛】本题考查反函数，属于较易题.20．（2019·上海市第二中学高一期中）函数arcsin(1)y x =-的定义域是________. 【答案】[]0,2【分析】利用反正弦函数的定义域即可得到结果. 【详解】由题意可知：111x -≤-≤， ∴02x ≤≤∴函数arcsin(1)y x =-的定义域是[]0,2 故答案为[]0,2【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，考查表达式有意义的条件，考查不等式的解法，属于基础题.21．（2020·上海奉贤·高一期中）已知()32f x x =-，则()1f f x -=⎡⎤⎣⎦______；()1f f x -⎡⎤=⎣⎦______.【答案】x x【分析】因为()32f x x =-，所以()123x f x -+=，代入即可. 【详解】因为()32f x x =-，所以()123x f x -+=， 所以()()1232233-+-+===⎡⎤⎣⎦f x x f f x x ，()()11232323--+⎡⎤=-=⋅-=⎣⎦x f f x f x x . 故答案为：x ；x【点睛】本题主要考查反函数的定义，解题的关键是准确找出()32f x x =-的反函数，属于基础题.22．（2020·上海奉贤·高一期中）设()1f x -是函数()()2log 1f x x =+的反函数，若()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，则()f a b +的值是______.【答案】2【分析】先求出()()2log 1f x x =+的反函数，然后根据()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦及可求出3a b +=，代入原函数即可.【详解】解：由()()2log 1f x x =+可得()f x 的反函数为()121xf x -=-，因为()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，所以()()1211218+-⋅+-=a b，即28a b += 所以3a b +=，所以()()2log 312f a b +=+=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查求反函数的方法以及函数求值问题，属于基础题. 23．（2020·上海浦东新·高一期中）已知函数()1f x x =-，则1(0)f -=________ 【答案】1【分析】由原函数的解析式反解出x ，再将x 与y 互换，可得原函数的反函数，进而得解. 【详解】()1f x x =-， 令1y x =-，解得1x y =-， 所以()11f x x -=-， 所以()11100f-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查反函数的求法，属于基础题.一般情况下，求反函数就是从原函数()y f x =，解出()1x f y -=，最后互换x 与y 的位置，得()1y f x -=，同时注意反函数的定义域，即为原函数的值域.24．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）已知()3131-=+x x f x ，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【分析】根据互为反函数的两个函数的性质计算可得；【详解】解：因为()3131-=+x x f x 与()1f x -互为反函数，则()311312x x f x -==+解得1x =即()112f =，则1112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：1【点睛】本题考查反函数的性质，若点(),x y 在原函数上，则(),y x 在反函数上，属于基础题.25．（2020·上海杨浦·复旦附中高一月考）函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________【答案】56π 【分析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解.【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.26．（2019·上海市曹杨中学高一期末）已知函数()y f x =是奇函数,且当0x ≥时,()()2log 1f x x =+.若函数()y g x =是()y f x =的反函数,则()3g -=_______.【答案】7-【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，且反函数与原函数奇偶性一致，即可求解.【详解】解：由函数()y f x =是奇函数,则其反函数()y g x =也为奇函数，则(3)(3)g g -=-，设2log (1)3x +=，则7x =，则(3)7g =，故(3)(3)7g g -=-=-， 故答案为7-.【点睛】本题考查了反函数与原函数奇偶性一致，重点考查了反函数的定义域是原函数的值域，属基础题.27．（2019·上海市曹杨中学高一期末）函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点(2,-2),那么函数()11y f x -=+的图像一定过点________.【答案】()2,3-【分析】利用函数与其反函数的图像关于直线y x =对称的关系即可求得1(2)2f --=，再利用该结论即可得解.【详解】解：因为函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，又(2)2f =-，则1(2)2f --=，所以1(2)13f --+=，即函数1()1y f x -=+的图像一定过点()2,3-， 故答案为()2,3-.【点睛】本题考查了函数与其反函数的图像关于直线y x =对称的性质，重点考查了函数与其反函数图像的关系，属基础题.28．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）下列四个命题中正确的是______． ①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，yA 是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④．【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数， 则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A ，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-， 故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为①②．【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．29．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f =+-⎡⎤⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得到答案．【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称，()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，化为log 21a -， 解得12a，舍去． ②当01a <<时，log a y x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，解得102a <． 综上可得：102a<． 故答案为(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222x xf x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202x xm --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________. 【答案】③【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可．【详解】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同， 如f （x ）＝x 2，x ∈R 与g （x ）＝x 2，x ∈[0，+∞），∴①错误； 对于②： ()222xxf x -=在(),1-∞ 上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增，故②错误；对于③：∵函数()1f x -的定义域为[]0,2，∴111x -≤-≤ ，即()f x 的定义域为[]1,1-， ∴111x -≤+≤，即20x -≤≤，∴函数()1f x +的定义域为[]2,0-，∴③正确；对于④：函数f （x ）1x=在定义域上不单调，但函数f （x ）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：()42222xx f x =+++，令()222,xt =+∈+∞ 则()4f x t t=+在()2,+∞上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x ﹣m |12x -＜0，得|2x ﹣m |12x＜，∴11222x x x m --＜＜， 即112222xx x xm -+＜＜在区间[0，1]内恒成立， ∵函数f （x ）122xx=-在区间[0，1]内单调递增，∴f （x ）的最大值为32；令g （x ）122xx=+，t ＝2x（1≤t ≤2），则y ＝t 1t+在[1，2]上为增函数，由内函数t ＝2x 为增函数，∴g （x ）122xx=+在区间[0，1]内单调递增，g （x ）的最小值为2．∴322m ＜＜．∴⑥错误. 故答案为③【点睛】本题考查了命题真假性的判断问题，考查两个函数相同的条件，复合型函数的单调性，抽象函数的定义域，存在反函数的充要条件，不等式恒成立问题，是综合题．31．（2019·上海市吴淞中学高一期末）已知()2xf x =的反函数为()1y fx -=，()()()1111g x f x f x --=--+，则不等式()0g x <的解集是______.【答案】(0,1)【分析】先计算反函数，代入数据得到21log ()01xx-<+，计算得到答案. 【详解】()2xf x =的反函数为()12log y fx x -==()()()112222111log (1)log (1)log ()0log 11xg x f x f x x x x---=--+=--+=<=+ 满足：1010111x x x x ⎧⎪->⎪+>⎨⎪-⎪<+⎩解得：01x <<故答案为(0,1)【点睛】本题考查了反函数，对数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.32．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）设常数a R ∈，函数()()lg f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______.【答案】99【分析】反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得． 【详解】依题意知：f （x ）＝lg （x +a ）的图象过（1，2），∴lg （1+a ）＝2，解得a ＝99． 故答案为99【点睛】本题考查了反函数，熟记其性质是关键，属基础题．33．（2020·上海普陀·曹杨二中高一期末）函数()y f x =的定义域为[1,1]-，其图像如图所示，若()y f x =的反函数为1()y f x -=，则不等式111(())(())022f x f x --->的解集为________【答案】3(,1]4【分析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集. 【详解】根据函数图象可得()f x 图象经过()()1,0,1,1-，所以[]11(),[1,1],()0,122f x x x f x =+∈-∈， 1122y x =+，得21x y =-， 所以()f x 的反函数[]1()21,0,1f x x x -=-∈不等式111(())(())022f x f x --->，[]0,1x ∈即[]110,22210,1x x x ⎛⎫⎛⎫>⎪⎪⎝⎝⎭--∈⎭，解得：3(,1]4x ∈故答案为：3(,1]4【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.34．（2020·上海浦东新·华师大二附中高一期末）已知函数()f x =，]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1g x -的定义域为__________．【答案】2,⎡⎣【分析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.35．（2020·上海奉贤·高一期中）给出下列四个命题： （1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c ；（2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确，由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c，所以0c 是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确；（4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.36．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）函数()13912x x f x +=+-的反函数()1f x -=_______.【答案】()133og 2l f x -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞ 【分析】首先求出原函数的值域即反函数的定义域，再用y 表示x ，从而得到()1f x -.【详解】解：()221573912333123432x xxx x y +⎛⎫=+-=⋅+-- ⎪⎭+=⎝因为30x >，所以12y >-2325734x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∴332x ∴+=233x ∴=33log 2x ⎫∴=⎪⎪⎭()3132log x f-⎫⎪⎪⎭∴=，()12,x ∈-+∞故答案为：()133og 2l f x -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞ 【点睛】本题考查反函数的计算，指数型函数的值域，属于中档题. 37．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）已知函数()1x x a f b -=+（0,1b b >≠）的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，则()1fx -=____.【答案】14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞．【分析】函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)，则()13f =．1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，试求函数1(4)2f a -+=．根据两个方程，求出参数a 、b ．再根据求反函数的方法，求出反函数即可． 【详解】解：函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)，()013f a b ∴=+=，03312a b =-=-=．又函数1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，1(4)2f a -∴+=． ()24426f a ∴=+=+=，即2126b -+=．4b ∴=．故1()24x f x -=+．再求其反函数即得14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞． 故答案为：14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞．【点睛】本题考查反函数的一个重要性质，若()1f a b -=则()f b a =，要灵活使用该性质．在求出反函数后，必须标明反函数的定义域，属于中档题．38．（2019·上海宝山·高一期末）若点P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，则称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，已知函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，则代数式000011()()22x y x y ++的最小值为________.【答案】94【分析】根据函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +=， 代入000011()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2004,t x x =-则914t y t=+-，利用单调性求解. 【详解】因为函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上， 所以00140,0x x y y +=>>，， 代入000011()()22x y x y ++化简得0000000011114()()()()22242x x x y x y x x -++=++- 20020049144x x x x -=+--，令2004,t x x =-由00140,0x x y y +=>>，知004x << ，故04t <≤ 则91361()144t y t t t=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 94y =，故填94.【点睛】本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.三、解答题39．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）设()xf x a b =+同时满足条件()02f =和对任意x ∈R 都有()()121f x f x +=-成立. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在定义域内()()g x f x =，求()1g x -；（3）求函数()()1y g x gx -=+的值域.【答案】（1）()21xf x =+；（2）()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将0x =代入()f x ，解得b 的值；写出恒成立的不等式，令2a -等于0，求出a 的值．（2）写出()g x 的解析式，根据定义域求出值域，即反函数的定义域，再令21x y =+，利用y 表示x 即可求出()1g x -．（3）利用两个增函数的和函数为增函数；利用函数的单调性求出函数的最值． 【详解】解：（1）由(0)2f =，得1b =， 由(1)2()1f x f x +=-，得(2)0x a a -=， 由0x a >得2a =， 所以()21x f x =+．（2）由题意知，当[2,2]x ∈-时，()()21x g x f x ==+．则()5,54g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令21x y =+，5,54y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则2log (1)x y =-，所以2log (1)y x =-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）()21x g x =+，[2,2]x ∈-，()()12log 1gx x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．两个函数的公共定义域是5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()1y g x g x -=+2log (1)21xy x ∴=-++，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由于函数()21x g x =+与()()12log 1gx x -=-在区间524⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上均为增函数， 因此当54x =时，5544min 25log 121214y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，当2x =时，()2max 2log 21215y =-++=，所以函数()()1y g x g x -=+，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、反函数的求法、利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．40．（2019·上海市文来中学高一期末）设函数()2(x f x p p =+为常数且)p R ∈. （1）若(3)5,f =求()f x 的解析式.（2）在（1）的条件下，解方程：122()log (1)log (21).f x x x -=++-【答案】（1）()23xf x =-；（2）x =【分析】（1）根据题意(3)5f =代入方程，求出p 的值，从而求出解析式. （2）先求出函数的反函数，然后解对数方程注意定义域优先原则，从而求出所求. 【详解】（1）由题设可得3253p p +=⇒=-，所以()23xf x =-.（2）由（1）可得()()()12log 33f x x x -=+>-，于是方程()2221log 3log (1)log (21)2x x x x ⎛⎫+=++->⎪⎝⎭()()3121x x x ⇒+=+-，解得12x x ==（舍去），所以方程的根为x 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反函数的求法、对数的运算，属于基础题. 41．（2020·上海浦东新·高一期末）已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1f x -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21xg x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点；(3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4.【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可. (2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121x xF x =-+-+，令()0F x =，即()()21212xx -+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11xg x x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t ⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围. 【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)()g x 为R 上的奇函数∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121x g x =-+ 则()()22xF x g x =+- 令()0F x =，即221021xx-+-=+ 则()()()2212121412x x xx -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =. (3)由(2)可知()2121xg x =-+∴()()121log ,1,11xg x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x g x x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x xx-+-++=+=+++令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤又k 为正实数∴(0,4]k ∈.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.42．（2019·上海杨浦·复旦附中高一期末）已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭ ； （2）()[][)1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩. 【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果. 【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ， 所以0x >或322-<<-x ， 因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =； 所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x g x ；当10x -≤<时， 01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ， 所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0xxx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.43．（2020·上海黄浦·格致中学高一期末）已知函数()log a x bf x x b-=+ ()0,0,0a a b >≠≠. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）求()f x 的反函数()1f x -的解析式.【答案】（1）0b >时，()),(,x b b ∈-∞-+∞，0b <时，()),(,x b b ∈-∞-+∞；（2）为奇函数，理由见解析；（3）()11212xxf x b +=⋅-﹣（0x ≠）. 【分析】（1）由0x bx b->+，化为：()()0x b x b -+>，对b 分类讨论即可解出； （2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论； （3）由log ax b y x b -=+，化为：2y x bx b-=+，解得用y 表示x ，把x 与y 互换可得()f x 的反函数()1f x -．【详解】(1)由x bx b->+0，化为：()()0x b x b -+>. 当0b >时，解得x b >或x b <-；0b <时，解得x b >-或x b <. ∴函数()f x 的定义域为：0b >时，()),(,x b b ∈-∞-+∞，0b <时，()),(,x b b ∈-∞-+∞.(2)∵定义域关于原点对称，()()log aa xb x bf x log f x x b x b----==-=--++，∴函数()f x 为奇函数.(3)由log a x b y x b -=+，化为：2yx b x b -=+，解得12 12y yx b +=⋅-. 把x 与y 互换可得：1212xxy b +=⋅-. ∴()f x 的反函数()()112 ,012xx fx b x -+=⋅≠-.【点睛】本题考查了函数的定义域、反函数、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．44．（2020·上海虹口·高一期末）已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-.（1）当1a =时，求()11f -；（2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【分析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f -等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可. （2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定. （3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可. 【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+.。
上海市2018-2019学年复旦附中高一上期末数学期末试卷
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。
【精准解析】上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
∴ m2 2m 3 0 ，且 m2 2m 3 为偶数， m N ，且 a 1=1 . 解得 1 m 3 ， m 0 ，1，2， 且 a=2 , 只有 m 1时满足 m2 2m 3= 4 为偶数. ∴ m 1.
-2-
am3
故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和 等式，求解即可，属于基础题.
5.函数 y log3 x2 x 的递增区间为__________．
【答案】 1,
【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进
而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数 y log3 x2 x 的单调递增区间． 【详解】函数 y log3 x2 x 的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)
所以原函数的定义域为： ,5 ， 故答案为： ,5 .
【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于 0 列不等式求解即可，属于基础题.
2.函数 f x x2 1x 1 的反函数为__________．
【答案】 y x 1 ， x 2
【解析】 【分析】 通过函数的方程，求出 x，利用反函数的定义，求出函数的反函数即可．
a m ____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，
可得 m2-2m-3＜0，且 m2-2m-3 为偶数，m∈Z，且 a 1=1 ．解出即可．
【详解】∵幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在 0, 上是减函数，
∵一根大于 2，一根小于 2，
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.2.函数y =的定义域为______.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x xy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．5.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.6.函数0.5()2log 1x f x x =-的零点个数为__________.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.9.当lg lg a b=，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.10.函数()142x f x =-的图象关于点______成中心对称.11.设{}2|M y y x-==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223mm f x xm Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1gx -.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++xxx f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x-=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【分析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果.【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为()1,1【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.2.函数y =的定义域为______.【答案】(],6-∞【分析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞.故答案为(],6-∞【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【分析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果.【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ，即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即=1x -或1x =；又0x ≥，所以1x =.故答案为1【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．【答案】1<a<3【详解】解：因为分段函数在R 上单调增函数，则说明每一段都是增函数，同时第一段的最大值不能大于第二段的最小值，即30(3)4,1(){{1log ,1340a a a x a x f x a x x a a ->--<=∴>≥--≤，故1<a<35.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】[)4,+∞【分析】先求定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意可得：241740-+≥x x ，即(4)(41)0--≥x x ，解得4x ≥或14x ≤；令24174-=+t x x ，则其对称轴为178=x ；因此二次函数24174-=+t x x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在[)4,+∞上单调递增；又y =是增函数，所以当1,4⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦x 时，()()1224174f x x x =-+单调递减；在[)4,+∞上单调递增；即增区间为：[)4,+∞故答案为[)4,+∞【点睛】本题主要考查求复合函数单调区间，熟记基本初等函数单调性即可，属于常考题型.6.函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【分析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10x x -=即0.51|log |2xx =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可.【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是【答案】513a ≤≤【详解】试卷分析：因为函数值域为R ，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a 的范围即可．试卷分析：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：()()2221>0Δ=+1410a a a ---≥⎧⎪⎨⎪⎩解得513a <≤又a=－1，f(x)=0不满足题意，a=1，合题意．所以a 的取值范围是：513a ≤≤考点：一元二次不等式的应用；对数函数的值域与最值；对数函数的图像与性质；对数函数图象与性质的综合应用．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得=1x -；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.9.当lg lg a b =，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,+∞【分析】先lg lg a b =，a b <，得到01a <<，1b >，lg lg a b -=，推出1ab =，122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果.【详解】因为lg lg a b =，a b <，所以01a <<，1b >，lg lg a b -=，即lg lg lg 0a b ab +==，因此1ab =，所以122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，任取121x x <<，则1212121212121211111()()222()()2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x x x x x ，因为121x x <<，所以120x x -<，12120->x x ，因此1212121()()()20⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭f x f x x x x x ，即12()()f x f x <，所以函数1()2=+f x x x在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)3>=f x f ，即2+a b 的取值范围是()3,+∞.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.10.函数()142xf x =-的图象关于点______成中心对称.【答案】12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由题意求出函数定义域为{}2x x ≠，再计算()2(2)++-f x f x ，即可得出结果.【详解】因为240-≠x ，所以2x ≠，即函数()142xf x =-的定义域为{}2x x ≠；又()2112424(12)++==--x x f x ，()2112224424(21)4(12)42--====-----x xx x x xf x ，所以()1212(2)4(12)4(12)4++-=-=--x x x f x f x ，即()2(2)128++-=f x f x ，所以函数()142x f x =-的图象关于点12,8⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.故答案为12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求函数对称中心，熟记对称中心的概念即可，属于常考题型.11.设{}2|M y y x -==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,0-【分析】先化简集合M ，再由()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m 是一次函数，根据N M ⊆，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|0M y y x y y -===>，令()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m ，则()f x 是一次函数，又N M ⊆，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，所以只需(1)0(2)0f f >⎧⎨>⎩，即()(1)1101(2)101f m m f m ⎧=--=->⎪⎨=+>⎪-⎩，解得10m -<<；故实数m 的取值范围是()1,0-.故答案为()1,0-【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞【分析】由题意，分别讨论0a =，0a >，a<0三种情况，根据二次函数单调性即可求出结果.【详解】（1）当0a =时，()41f x x =+，则()()165=+f f x x ，显然不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；（2）当0a >时，()224411⎛⎫=++≥-=- ⎪⎝⎭f x ax x f a a ，若02a <≤，则242110⎛⎫---=-> ⎪⎝⎭a a a ，即241-≥-a a，所以()()241⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭f f x f a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需410-≥a，所以4a ≥（舍）；若2a >，则241-<-a a ，所以()()2444114113⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f x f a a a a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需30-≥a ，所以3a ≥；（3）当a<0时，()241⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭f x f a a ，不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；综上，实数a 的取值范围是[)3,+∞.【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y，即3y x -=和13y x-=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x R ∈，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数.故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x=+ B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--【答案】B 【详解】试卷分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,'0<y ,当lg x e >时'0>y ,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,'0>y ,当lg x e >时，'0<y ,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B.考点：函数的图象.16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C 【分析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m --⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错；故选C【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由题意，得到幂函数()f x 单调递增，推出2230-++>m m ，解得312m -<<，根据m Z ∈，得到0m =或1m =；分别将0m =和1m =代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果；（2）先由（1）化简()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦为()2229log 13log =--y x x ，令2log t x =，将函数化为2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，()()12f f <所以()f x 单调递增，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f x x x ，显然是偶函数；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y x x x x ，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，所以2193-=-y t t 在11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 上单调递减，在1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此min 54=-y ；又当1t =-时，11931-==+y ；当1t =时，3591=--=y ；因此max 11y =，所求函数值域为：5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩.【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果.【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ，所以0x >或322-<<-x ，因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =；所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x gx ；当10x -≤<时，01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ，所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .【答案】（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.【分析】（1）设安装n 对轧辊，由题意列出不等式()20120%2-≤n，求解，即可得出结果；（2）根据题意，第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到31600(120%)=⋅-L ，求出3L ，同理即可求出1L ，2L .【详解】（1）设安装n 对轧辊，因为输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，每对轧辊的减薄率不超过20%，则有()20120%2-≤n ，即41510⎛⎫≤ ⎪⎝⎭n ，两边同时取对数可得45111log 10.3110lg 4lg 5lg 52lg 2-≥==≈--n ，所以至少安装11对轧辊；（2）第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，31600(120%)=⋅-L ，所以32000()=L mm ；同理：32(120%)=⋅-L L ，21(120%)=⋅-L L ，所以22500()=L mm ，13125()=L mm .【点睛】本题主要考查指数函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2x y f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =±，偶函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-；（3）1515,153⎛ ⎝⎭.【分析】（1）先由题意得到函数()2x y f =的定义域，再由函数奇偶性的定义，分别讨论21a =与21≠a ，即可判断出结果；（2）先由题意，将问题转化为2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；求出221+=+x y 的最大值，即可得出结果；（3）先假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，求出1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，将对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，转化为()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，作差得到()()()21212121⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭a f t f t t t t t ，分别讨论2109<≤a ，21193<≤a ，2113<<a ，21a ≥四种情况，得出函数单调性，求出最值，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：()2222222-=+=+⋅x xx x x a f a 的定义域为R ，又()2222222----=+=+⋅x xx x x a f a ，当21a =，即1a =±时，()()22-=x x f f ，所以()2xy f =是偶函数；当21≠a ，即1a ≠±时，()2x y f =是非奇非偶函数；（2）由不等式()12242<++x x x f 可得：2212422-<++⋅+x x x x a ，即2221+<+x a ，所以不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，等价于2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；又221+=+x y 在[]0,1x ∈上单调递增，所以59≤≤y 因此，只需29<a ，解得33a -<<；即实数a 的取值范围是()3,3-；（3）假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，则211t x =-++在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2()==+a f g x f t t t；所以对于区间10,2⎡⎤⎢⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，等价于()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，所以120t t -<，12119<<t t 则()()()22212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a f t f t t t t t t t t t ，①当2109<≤a 时，()2121210⎛⎫--< ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12<f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2max (1)1==+f t f a ，()2min 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得222613+>+a a ，解得：2115>a ，所以211159<≤a ；②当21193<≤a 时，易得：()2=+a f t t t 在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 11max ,(1)max 3,1133⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：241>+a a，解得：22-<<+a 所以21193<≤a ；③当2113<<a 时，易得：()2=+a f t t t 在在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 111max ,(1)max 3,13333⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：21433>+a a ，解得：232333<<a ，所以2113<<a ；④当21a ≥时，()2121210⎛⎫--> ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12>f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()2min (1)1==+f t f a ，()2max 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得()2212133+>+a a ，解得253<a ，所以2513≤<a ；综上，215153<<a ，又a 为正数，所以1515,153a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即存在1515,153a ⎛∈ ⎝⎭满足题意.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及由不等式能成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与单调性，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据题意，令1x =，0y =，得到()()()21210=f f f ，再由0x ≠时，()1f x >，即可得出(0)1f =；（2）令0x =，得到()()-=f y f y ，所以()f x 为偶函数；因此1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，令12x y ==得()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，作出，根据二次函数的单调性，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，即()()()21210=f f f ，又0x ≠时，()1f x >，所以()11>f 因此(0)1f =；（2）令0x =，由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=可得：()()()()202()+-==f y f y f f y f y ，所以()()-=f y f y ，因此，函数()f x 为偶函数；所以1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ；令12x y ==得()()211022⎛⎫+= ⎪⎝⎭f f f ，所以()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，因此()221912122811112224⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎡⎤⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫-=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f f f f ，因为0x ≠时，()1f x >，所以112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，因此21192824⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎭-⎝f 在112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 上单调递增，所以2291112492210848⎡⎤⎛⎫->--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎣⎦f .因此()1102⎛⎫ ⎪⎝>⎭-f f ，所以11(1)22⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f .【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，以及比较函数值的大小，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.。