复旦附中高一下期中(2019.4)

复旦大学附属中学2018学年第二学期高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟；满分150分；所有答案均做在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知1690α=︒，()2,0θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ= ．2．已知函数()()tan 04f x ax a π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则a = ．3．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是 弧度．4．已知α是第三象限的角，则()()sin cos cos sin αα⋅的符号是 号．（填正或负） 5．角α终边上有点()(),50P x x <，且cos 13xα=，则cot α= ． 6．若()tan cos 2f x x =，则()2f = ．7．已知函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是其单调区间，则ω的取值范围是 ．8．已知1cos cos 638ππαα⎛⎫⎛⎫+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 2α= ．9．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在A BC △中，,,a b c 分别是角是,,A B C 的对边，已知22,45b A =∠=︒，求边c ．显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是 ．10．函数()1cos sin xf x x-=的值域 ． 11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米， 为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为 米．12．设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2012log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩≤≤，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[]4,5-上零点的个数是8个，则a 的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13．在A BC △中，“1sin 2A =”是“6A π=”的 ． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件BAC第11题14．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，下列结论正确的是 ．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图像C 关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图像C 可由函数()sin 2g x x =的图像向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数15．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是A BC △的三条边长，则下列结论：①对于一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x x a 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③A BC △为钝角三角形，存在()1,2x ∈，使()0f x =．其中正确的个数 为 个．A ．3B ．2C ．1D ．0 16．若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是 ．A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应的置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1题满分7分，第2题满分7分）已知函数()2cos 2f x x x =+． （1）求()y f x =的单调增区间；（2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．18．（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）在A BC △中，已知22sin cos212A BC ++=，外接圆半径2R =． （1）求角C 的大小；（2）试求A BC △面积S 的最大值．19．（本题满分14分，第1题满分7分，第2题满分7分）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0,0,22A ππωϕ>>-<<）的图像与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向左平移()()0,2a a π∈个单 位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值．20．（本题满分16分，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11A A H α∠=． （1）用α表示线段1A H ；（2）设1A H x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式； （3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小．第19题 A CB DEFGH A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1第20题21．（本题满分18分，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分）已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=，和式()()11ni i i f x f x M -=-∑≤恒成立，则称()f x 为[],a b 上的“绝对差有界函数”．注：121ni n i a a a a ==+++∑．（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”；（2）记集合(){A f x =存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x --≤成立}． 求证：集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数()cos ,01,20,0x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩≤不是[]0,1上的“绝对差有界函数”．参考答案一、填空题 1．1118π- 2．12 3．2π-4．负 5．125- 6．35- 7．(]0,1 8351- 9．(2,22 10．()(),00,-∞+∞ 11．23+ 12．()0,1【第10题解析】()()1cos tan ,sin 2x xf x x k k x π-==≠∈Z ，∴其值域为()(),00,-∞+∞【第11题解析】设A C x =，则0.5AB x =-，由余弦定理，得2222142cos601BC A B A C BC A C BC x BC -=+-⋅⋅︒⇒=-， 令1,0t BC t =->，则()2133144422223t x t t tt t+-==++⋅=≥当且仅当3t =时，即31BC =时，AC 取得最小值23 【第12题解析】转化为()y f x =与y a =在区间[]4,5-部分的图像有8个交点时，求a 的取值范围的问题， 数形结合，易得()0,1a ∈ 二、选择题13．B 14．B 15．A 16．C 【第15题解析】令()()1x xxf x a bg x c c c ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易证()g x 在R 上单调递减， ∴当1x <时，()()10a b cg x g c+->=>，【0a b c +->由三角形两边和大于第三边得出】 又0x c >，∴(),1x ∈-∞时，都有()()0x f x c g x =⋅>，∴①正确； 取3,2,3,4x a b c ====，则242764x x x xa b c +=+<=，∴②正确；A BC △为钝角三角形，222222cos 002a b c C a b c ab+-=<⇒+-<， ∴()222220a b c g c +-=<，从而()()2220f c g =⋅<，又()()110f c g =⋅>， ∴()()120f f ⋅<，于是由零点存在性定理，可知③正确【第16题解析】（改编自2018徐汇二模11题）∵()24sin 21x xf x x +=-+为奇函数，∴4M m +=， ∴()4sin 44sin 43333g x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易得4sin 4y x x =+的对称中心为(),4k k k ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，【对称中心为sin40x =时函数图像上的点】4sin 4y x x =+的图像向右平移12π个单位，向上平移3π个单位即得()g x 的图像， ∴()g x 的对称中心为(),4123k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，1,0,5k =分别对应选项A ，B ，D ，∴选C三、解答题17．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()22,2622x k k k πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得(),36x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， ∴()y f x =的单调增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()[]1,2y f x =∈-，∴()f x 的最大值为2，最小值为1-．18．（1）()2222sin cos21cos212sin 2cos 1cos cos 22A B A BC C C A B C +++=⇒=-⇒-=+=-， 解得1cos 2C =或cos 1C =-（舍），∴3C π=； （2）由正弦定理，得2sin c R C ==由余弦定理，得2221122cos 222c a b ab C ab ab ab ==+--⋅=≥， 当且仅当a b ==ab 取得最大值12，∴11sin 1222S ab C =⋅=≤A BC △面积S 的最大值为19．（1）由题意，2A =，1222T πω=⇒=， ()102cos 1cos 2f ϕϕ==⇒=，∵22ππϕ-<<，∴3πϕ=-或3πϕ=（舍，不满足函数图像）， ∴函数()f x 的解析式为()12cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()()12cos 23g x x a π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，∵()y g x =是奇函数，∴()()02cos 02232323a a g k a k k ππππππ⎛⎫=-=⇒-=-⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，又()0,2a π∈，∴53a π=．20．（1）11114sin 4sin tan sin cos 1A H A H A H A H ααααα++=⇒=++，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）14sin 4sin cos 1A H x y x y x ααα=⇒==--++，两边平方并化简，得()()2224840x x y x x y -++-=，显然0y ≠，∴22448x x y x x -=-+，()0,4x ∈；（3）()1122132sin cos 164164162tan sin cos 1A A H x S S ααααα=+=+⋅⋅=+++△，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令(sin cos t αα=+∈，则()()2216132163211t S t t -=+=-++，易证S 在(t ∈上单调递增，∴当t =4πα=时，S 取得最大值64-．21．（选自2016浦东二模试题）（1）因为()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数，所以当1,0,1,2,1i i x x i n +<=-时，有()()1,0,1,2,1i i f x f x i n +<=-，所以()()()11022ni i i f x f x f f π-=⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭∑．从而对区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的任意划分：01102n n x x x x π--=<<<<=，存在2M =，()()112nii i f x f x -=-∑≤成立．综上，函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”．（2）证明：任取()f x A ∈，存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x --≤成立．从而对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=，和式()()()1111n nii ii i i f x f x k xx k b a --==--=-∑∑≤成立．取()M k b a =-，所以集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”． （3）取区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<<<-， 则有：()()211121(21)1212cos 0cos cos coscos2221222222ni i i n n n f x f x n n n πππππ-=--=-+-++--∑1481111111111111244881616222ni i==>++++++++++=+++++∑个个所以对任意常数0M >，只要n 足够大，就有区间[]0,1的一个划分： 111012212n n <<<<<-满足()()11ni i i f x f x M -=->∑． 所以函数()cos ,01,20,0x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩≤不是[]0,1的“绝对差有界函数”．。