现代控制工程(第三章)b
现代控制工程-第3章控制系统稳定性分析
2
第3章 控制系统稳定性分析
3.1 控制系统稳定性定义 3.2 控制系统稳定的条件 3.3 李雅普诺夫稳定判据 3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据
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3.1 控制系统稳定性定义
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况之一： (1)系统的自由响应是有界的； (2)系统的自由响应是无界的； 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐 近稳定的。 如系统不稳定，则系统响应是无界的，或者进入振荡状态。因 此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。作为预备知 识，下面首先介绍范数的概念。
2 2 2 x x1 x2 xn
A
j 1 i 1
n
m
2 aij
5
3.1.2 平衡状态
•系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到 达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时， 这样的状态称为系统的平衡状态。
f ( x) 平衡状态是满足平衡方程 f ( xe ) 0 的 •连续系统 x 系统状态。离散系统 x(k 1) f ( x(k )) 的平衡状态 x e ，是 对所有的k，都满足平衡方程 xe f ( xe , k ) 的系统状态。
x1 (k ) 1k x1 (0) k1k 1 x2 (0)
x2 (k ) 1k x2 (0)
线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： A的所有特征值全部在复平面的单位圆内。
17
3.3 李雅普诺夫稳定判据
李雅普诺夫稳定判据是1892年提出的，它给出了连续非线性系 统渐近稳定的充分条件和连续线性定常系统渐近稳定的充分必 要条件。1958年被推广到离散系统。 很多力学系统是一个能耗系统，其总能量随着时间的变化不断 减少，最后回到它的最小储能状态。因此，能量的度量可以作 为力学系统稳定性的度量。但是，一般系统没有像力学问题那 样有明显的动能和位能的概念。 李雅普诺夫抽象了“能量”的概念，构造了一个类似于“能量” 的正定函数，称为李雅普诺夫函数。通过分析这个表示“能量” 的正定函数是否随着时间的增长而减少，即分析李雅普诺夫函 数的导数是否一个负定的函数，从而可以判别系统的稳定性。
现代控制系统课件第3章
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3．离散时间系统
这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
其中u(k)是标量控制作用，它在(k,k+1)区间内是一个 常值，其能控性定义为：
若存在控制作用序列u(k), u(k-1),…u(l-1)能将第 k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即x(l)=0, 其中l是大于k的有限数，那么就称此状态是能控的。
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3.4 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M
离散时间系统的状态方程如下：
x(k 1) Gx(k) hu(k)
当系统为单输入系统时，式中 u（k）为标量控制作用．控
制阵 h 为n维列矢量；G为系统矩阵（n×n）；x 为状态矢
量（ n×1）。
仿照连续时间系统，记以 M h, Gh, , Gn1h
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在现代控制理论中，能控性和能观性是两个 重要的概念，是卡尔曼在1960年首先提出来 的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
----卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现 代控制理论的主要奠基人之一。
首先引入状态空间分析法，提出能控能 观、最优调节器、卡尔曼滤波、最优控制的 反问题等。
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ym cm1xm cm2 x2 cmn xn
0
n
22
(2)A 为约旦标准型矩阵
1 1 0
A
J
0
1
1
0 0 1
c11 c12 c13 这时，状态方程的解为：
C c21
c22
c23
c31 c32 c33
从而
现代控制理论第三章答案 舒欣梅
可能是因为第三章的内容相对比较简单，总得情况比上两次都要好。
3-1（研究能控性，只需知道系统的内部结构和外部输入对状态的影响，因此只需要A 和B 阵）(1)能控性矩阵[]1100c Q BA B -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()12c rank Q =<，系统不能控(2) 能控性矩阵2120201001026c Q BABAB ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()3c rank Q =，系统能控3-2（需要知道所有的矩阵） (1) 输出能控性判别矩阵[][]11S CBCAB ==()1rank S =，系统输出能控3-3(3) 能观性矩阵213005645054o C Q C A C A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()3o rank Q =，系统能观(4) 系统为对角标准形，其输出矩阵C 中不存在全零列，因此系统能观。
3-6（计算出错） (1) 能控性矩阵[]1117c Q BAB -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()2c rank Q =，系统能控 写出系统的特征多项式：2det()510I A λλλ-=-+ 变换矩阵[]11111516110171021a PBAB ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1116188211344P -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦11105A PAP-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦，01B P B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则系统的能控标准形为0101051x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3-7（将P 和P 非弄反）(1) 能观性矩阵1102o C Q C A -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()2o rank Q =，系统能观 写出系统的特征多项式：2det()22I A λλλ-=-+变换矩阵1121112010100211a C P C A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111020211112P--⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦10212A PAP--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，41B PB ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦，[]101C CP -==则系统的能观标准形为[]02412101x x u y x-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= 3-8(2)首先对分式化简为225()143yu s G s s s +=+++012013,4,1,5,2,1a a a b b d ======，根据式(3-26)与(3-31)写出系统的能控标准形为：[]01034152xx u y x u⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=+ 根据对偶关系，写出系统的能观标准形为：[]03514201xx u y x u-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=+ 计算系统的特征根为121,3λλ=-=-，根据()0i i I A P λ-=，求得相应的特征向量为：1211,13P P ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到转移矩阵11113P -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，31221122P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，此处可根据友矩阵的特性，直接写出转移矩阵（范德蒙矩阵）11003A PAP--⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦，1212B PB ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，[]131C CP -==-系统的对角标准形为： []1102031231xx u y x u⎡⎤⎢⎥-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=-+3-9(不能化简，能控型分解是换列，能观性是换行)能控性矩阵23061311013c Q BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，()23c rank Q =<，系统不能控取c Q 的前两列，再补充一列与其他列线性无关的列，得到1301130010cP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，013001139c P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12113003c cA P AP --⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，100cB P B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]1010c C CP -==则能控子系统动态方程为[]0211130001c c c x x x u y x-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 不能控子系统动态方程为：30c c x x y =-=。
现代控制工程基础第三章习题解答
解：
s5
1
2 11
s4
2
4 10
s3 0(ε)
6
4ε −12
s2
ε
10
s1
−10ε 2 + 24ε − 72 4ε −12
s0
10
当ε→0+时，第一列变了两次符号，故在右半平面
有两个正根。
10
(5) D(s)=s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
解： s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
5
s0 K-8
第一列元素全部大于零，可得
8<K<18
13
3.14 已知单位负反馈的开环传递函数如下，试求系统在
输入信号分别为r(t)=1,t和t2时的稳态误差ess。
(1)
G(s) =
100
(0.1s +1)(0.5s +1)
解：闭环系统特征方程 D(s) = 0.01s2 + 0.6s +101 = 0 稳定的。
Hale Waihona Puke ess=1 1+ Kp
=1 1+ KK1
18
Vr
−
K1
+
K2 s
K Ts +1
Vc
(2) 当K2≠0时，求Vr(t)=1(t)时的稳态误差ess; I型系统，开环传递函数 G(s) = K(K1s + K2)
s(Ts +1)
当Vr(t)=1(t)时，静态位置误差系数
Kp
=
lim G(s)
s→0
=
∞
时速度误差系数为Kv=6？此时的ess为多少？
现代控制工程-第三章
5. Models Developing
a. Mechanism Modeling The differential equations describing the
dynamic performance of a physical system are obtained by utilizing the physical laws of the process.
Using typical test signals as inputs to stimulate the system, and then develop the input-output relationship by analyzing the measured output. This approach is usually adopted when we have no idea about the systems in advance.
They are the start points of control engineering.
Process Modeling
Differential Equations
Solving Solutions
Analyzing
3、Many physical systems from different fields that seem to be far apart may share the same differential equations describing their dynamic behavior. They are called analogous systems. The common differential equations apply equally well to them.
现代控制理论第三章PPT
( A
c1
,bc1 ) 的能控性，其中
1 0 0 0 A c1 0 0 2 5
解：
0 0 1 0 0 1 1 10
0 0 b c1 0 1
0 1 0 0 0 0 1 10 A3 c1b c1 0 1 10 101 1 10 101 1025
若取
u( t ) B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )
tf t0
x( t f ) Φ( t f ,t0 )[ x( t0 )
Φ( t0 ,t )B( t )B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )dt ]
( k 1,2, , n 1 )
假设 F( t ) Φ( t0 ,t )B( t ) 对上式关于时间t求一阶、二阶、直至n-1阶导数 ，可得
(t ) Φ (t , t )B(t ) Φ(t , t )B (t ) F 0 0
(t ) Φ(t0 , t )A(t )B(t ) Φ(t0 , t )B
实现最优控制和最优估值及其它系统综合
与校正的必要条件。
4.1 系统的能控性
[定义]设系统的状态方程为
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
对于任意非零初始状态 x(t0 ) ，如果存在容许控制u(t ) ，在有限时区
t [t0 , t f ] 将其转移到状态空间原点，即 x(t f ) 0 ，则称系统在
(t )] Φ(t0 , t )[A(t )B(t ) B
Φ(t0 , t )B1 (t )
现代控制理论第三章习题解答
第三章习题答案3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。
系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示：图3.16 系统模拟结构图解：由图可得：343432112332211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=∙∙∙∙状态空间表达式为：[]xy ux x x x d c b a x x x x 0100000110001100000043214321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙由于∙2x 、∙3x 、∙4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。
由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式：x d c y ub a x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。
要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。
要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。
3-2时不变系统X y u X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∙111111113113试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：方法一：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2-2-112-2-11AB B M 1111,1111,3113C B A系统不能控。
,21<=rankM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=44221111CA C N 系统能观。
《现代控制工程》
《现代控制工程》目录第1章绪论1.1现代控制工程的发展1.2 本书的内容与安排第2章状态空间数学模型2.1 状态与状态空间的概念2.2 系统的状态空间模型2.2.1 建立状态空间模型的方法2.2.2 由状态空间模型求微分方程2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型2.3.3 状态方程的线性变换2.4 控制系统的实现2.4.1 系统的实现问题2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现2.5 多变量系统的传递矩阵2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵2.5.3 多变量控制系统的结构图简化2.6 控制系统的状态空间模型2.7 MATLAB在状态空间模型建立中的应用2.7.1传递函数转换到状态空间模型2.7.2状态方程的线性变换2.8 本章小结习题第3章控制系统稳定性分析3.1 控制系统稳定性定义3.1.1 范数的概念3.1.2 平衡状态3.1.3 李雅普诺夫稳定性定义3.2 控制系统稳定的条件3.2.1 单变量线性定常连续系统的稳定条件3.2.2 多变量线性定常连续系统的稳定条件3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件3.2.4 多变量线性定常离散系统的稳定条件3.3 李雅普诺夫稳定判据3.3.1 函数的正定性3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据3.5 非线性系统的克拉索夫斯基稳定判据3.6 非线性系统的小偏差线性化方法3.6.1 小偏差线性化的基本思想3.6.2小偏差线性化方法3.6.3李雅普诺夫第一法3.7 MATLAB在系统稳定性分析中的应用3.8 本章小结习题第4章线性系统动态性能分析4.1 线性连续定常系统状态方程的求解4.1.1 齐次状态方程的求解4.1.2 非齐次状态方程的求解4.2 线性连续时变系统状态方程的求解4.2.1 齐次状态方程的解4.2.2 状态转移矩阵的性质4.2.3 状态转移矩阵的计算4.2.4 非齐次状态方程的解4.3 线性离散系统状态方程的求解4.3.1 齐次状态方程的解4.3.2 状态转移矩阵的性质4.3.3 状态转移矩阵的计算4.3.4线性定常离散系统非齐次状态方程的求解4.3.5线性时变离散系统状态方程的求解4.4 MATLAB在系统动态性能分析中的应用4.5 本章小结习题第5章线性系统的能控性和能观性分析5.1 能控性和能观性问题5.2 线性定常系统的能控性5.2.1 能控性的定义5.2.2 能控性判别准则5.2.3 能控性第二判别准则5.2.4 输出能控性及其判别准则5.3 线性定常系统的能观性5.3.1 能观性的定义5.3.2 能观性判别准则5.3.3 能观性第二判别准则5.4 状态空间模型的对角线标准型5.4.1 系统的特征值和特征向量5.4.2 化矩阵A为对角阵5.4.3 化矩阵A为约当阵5.4.4 特征值为复数的对角线标准型5.5 状态空间模型的能控标准型与能观标准型5.5.1 第一能控标准型5.5.2 第二能控标准型5.5.3 第一能观标准型5.5.4 第二能观标准型5.6 传递函数的几种标准型实现5.6.1 能控标准型实现5.6.2 能观标准型实现5.6.3 对角线标准型实现5.6.4 约当标准型实现5.7 对偶原理5.8 线性定常系统的规范分解5.8.1 能控性结构分解5.8.2 能观性结构分解5.8.3 系统结构的规范分解5.9 MATLAB在系统能控性和能观性分析中的应用5.9 本章小结习题第6章状态反馈控制与状态观测器设计6.1 状态反馈与输出反馈6.1.1 状态反馈6.1.2 输出反馈6.1.3状态反馈系统的能控性与能观性6.1.4 状态反馈对传递函数的影响6.2 状态反馈设计方法6.2.1 极点配置问题6.2.2 单输入系统的极点配置方法6.2.3 多输入系统的极点配置方法6.3 状态观测器设计方法6.3.1 全维状态观测器设计6.3.2 降维状态观测器设计6.4 带状态观测器的状态反馈系统的设计方法6.5 MATLAB在状态反馈与状态观测器设计中的应用6.6 本章小结习题第7章最优控制7.1 最优控制的概念7.2 变分法与泛函的极值条件7.3 变分法求解无约束最优控制问题7.4 极小值原理7.4.1 连续系统的极小值原理7.4.2 离散系统的极小值原理7.5 线性二次型最优控制7.5.1 线性二次型最优控制问题7.5.2 连续系统有限时间状态调节器7.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器7.5.4 线性离散系统状态调节器7.5.5 线性连续系统输出调节器7.5.6 线性连续系统输出跟随器7.6 本章小结习题第8章系统辨识8.1 系统辨识的概念8.1.1 系统辩识的定义8.1.2系统辩识的基本内容8.2 线性静态模型的最小二乘参数估计8.2.1 参数估计问题8.2.2 最小二乘法的基本算法8.2.3 最小二乘法的性质8.2.4 应用举例8.3 线性动态模型的最小二乘参数估计8.4 最小二乘参数估计的递推算法8.4.1 基本递推算法8.4.2 带有遗忘因子的递推算法8.5 线性系统的结构辨识8.5.1 模型阶次的确定8.5.2 系统纯时滞的辨识8.6 闭环系统的可辨识性8.7 MATLAB在系统辨识中的应用8.8 本章小结习题第9章自适应控制9.1 自适应控制的概念9.1 自校正控制的结构9.2 最小方差控制9.3 自校正调节器9.4 自校正调节器应用实例9.5 本章小结习题第10章预测控制10.1 预测控制的基本原理10.2 动态矩阵控制10.3 炼油厂加氢裂化装置的动态矩阵控制10.4 模型算法控制10.5 催化裂化分馏塔的模型算法控制10.6 广义预测控制10.7 本章小结习题第11章模糊控制11.1 模糊控制的发展11.2 模糊集合11.2.1 模糊集合的定义11.2.2模糊集合的表示方法11.2.3 模糊集合的运算11.3 模糊控制系统的组成11.3.1模糊控制系统的结构11.3.2 模糊控制器的输入输出变量11.3.3 模糊控制器的输入输出变量的模糊化11.4 模糊控制规则11.5 模糊关系与合成11.5.1 模糊关系11.5.2 模糊关系的合成11.6 模糊推理与模糊决策11.6.1 模糊推理11.6.2模糊决策11.7 模糊控制算法的工程实现11.8 模糊PID复合控制11.9 酚醛树脂聚合反应温度模糊控制11.9.1 酚醛树脂聚合反应过程特性分析11.9.2 模糊控制器设计11.10 全自动洗衣机的模糊控制11.10.1 模糊控制洗衣机的检测11.10.2 洗衣机的模糊控制11.11 本章小结习题第12章专家系统与专家控制12.1 专家系统12.1.1 专家系统的概念12.1.2专家系统的一般结构12.1.3 实时专家系统12.2 专家控制系统12.2.1 专家控制系统的概念12.2.2 间接专家控制12.2.3 直接专家控制12.3 专家控制系统的知识表示12.3.1 知识表示12.3.2 产生式知识表示12.3.3 产生式系统12.3.4 动物识别专家系统12.4 专家控制系统的推理机12.5 专家控制系统的搜索技术12.6 电脑充绒机专家控制系统12.6.1电脑充绒机的工作原理12.6.2高性能称重传感器设计12.6.3电脑充绒机的程序控制12.6.4充绒机羽绒重量专家控制12.7 本章小结习题第13章神经网络控制13.1 神经网络控制概述13.2 神经元与神经网络13.2.1生物神经元结构13.2.2 神经元数学模型13.2.3 神经网络的结构与工作方式13.2.4 神经网络的学习13.3 BP神经网络及其学习算法13.3.1 BP神经网络的结构13.3.2 BP学习算法13.3.3 BP学习算法的实现13.4 基于神经网络的系统辨识方法13.4.1前向模型辨识13.4.2反向模型辨识13.5 基于神经网络的软测量方法13.5.1 软测量技术13.5.2 污水处理过程神经网络软测量模型13.6 基于神经网络的控制方法13.6.1 神经网络控制器13.6.2 神经网络预测控制13.6.3 神经网络模型参考控制13.6.4 神经网络内模控制13.7 单神经元控制器13.8 本章小结习题习题解答参考文献。
现代控制理论3章
3.2.2 状态能观性的判据 已知系统的动态方程
x’(t ) A(t ) x(t )
y C (t ) x(t )
x(0) x0
1、线性定常连续系统能观测性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，C} 状态完全能观测的充要条件是：存在 时刻t1>t0，使如下定义的能观性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
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例：给定线性定常系统的状态方程，判断能控性。
1 x1 1 x1 0 x1 x 2.5 1.5 x 1 u y 1 0 x 2 2 2
解：
1 1 1 0 AB 1 1 2.5 1.5 1 1 rank[ B AB] rank =1 2 系统不能控 1 1 s 1.5 1 1 1 0 s 1 Cadj ( sI A) B s 2.5 1 2.5 g ( s) s 1 sI A ( s 2.5)( s 1) ( s 1) 2.5 s 1.5
0 t1 0
t1
T x0 Wc (t0 , t1 ) x0 [ BT T (t0 , ) x0 ]T BT T (t0 , ) x0 d 0
T x0 Wc
(t0 , t1 ) x0 B (t0 , ) x0 d (t0 , ) x0 0
At k 0 n 1
y (t ) k (t )CAk x(0)
k 0
n 1
y (t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0) n 1 (t )CAn 1 x(0) C CA x(0) y (t ) 0 (t ) 1 (t ) ... n 1 (t ) n 1 CA C CA =n rank n 1 CA
《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态 是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （ 第 3 列 为 保 证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章 作业
参考答案 3-1 （1） 法一：根据系统模拟结构图可以看出； 对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联 系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对 输出 y 不产生任何影响， 于是不能观。 所以系统不能控不能观， 系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。 法二： 由系统模拟图可得状态空间表 达式
Rank ( N ) 3 6 ， 所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。 第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能 观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是
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表明 3)
AΦ (t )
与
Φ (t ) A
& 可交换,且 Φ (0) = A
Φ (t1 t 2 ) = Φ (t1 ) Φ ( ± t 2 ) = Φ ( ± t 2 ) Φ (t1 )
便可证明; 的乘积,
在式 3)中,令 t = t ± t 1 2 表明
Φ (t1 ± t 2 )
可分解为 Φ ( t 1 )与 Φ ( ± t 2 )
2
3.1 线性定常连续系统的自由运动 等号两边对应的系数相等,有
b1 = A b 0 1 1 b2 = A b1 = A 2 b0 2 2! 1 1 3 b3 = A b2 = A b0 3 3! M 1 1 bk = A b k 1 = A k b0 k k! M
3
故
1 2 2 1 k k x (t ) = ( I + At + A t + L + A t + L) x (0) 2 k!
k 1
et = α0 + α1 (1) , 4t e = α0 + α1 (4)
11
有
4 t 1 4 t α0 = e , e 3 3 α = 1 e t 1 e 4 t 1 3 3
e At = α 0 I + α1 A
4 t 1 4t 1 = ( e e ) 3 3 0
2 0
2 1
1 0
证明:由 x (t 2 ) = Φ (t 2 t 0 ) x (t0 ) 和 得到
x ( t ) = Φ (t t ) x (t )
1 1 0 0
x (t2 ) = Φ (t2 t1 ) x (t1 )
= Φ(t1 t0 ) Φ(t t ) x(t0 )
2 1
= Φ (t t ) x (t0 )
4
2)
拉普拉斯变换法 :
对
& x(t ) = Ax(t )
进行拉氏变换, 进行拉氏反变换,
有:X ( s ) = ( sI A) 1 x(0)
有: x ( t ) = L 1 ( sI A ) 1 x ( 0 ) 有: e =L ( sI A)
At 1 x ( 0 )
2 0
7) 证明: 8) 若 9) 若
[ Φ ( t )] = Φ ( kt )
k
[ Φ ( t )] = ( e ) = e
k At k
kAt
=e
At
A ( kt )
= Φ ( kt )
Bt At
AB = BA
,则
e
( A+ B ) t
=e e =e e
Bt
A = P-1 AP ,则 Φ ( t ) = e At = P -1e At P = P -1Φ ( t ) P
n 1 m =0
Ak = ∑α m Am
( k ≥ n)
推论2 推论2 矩阵指数 e 阶多项式,即:
At
可表为A的(n-1)
e = ∑ α m (t ) A
At m= 0 =
n 1
m
且各系数是线性无关的. 在推论1中用A的特征值替 代A后等式仍能满足:
e
λi t
= ∑ α j (t )λi j
j =0
14
2 0 例3-3 已知 A = ,求 1 2
e
At .
解 先求矩阵 A 的特征值,由得:
λ+2
1
0
λ+2
=0
λ + 4λ + 4 = 0
2
λ1, 2 = 2
α 0 ( t ) = e 2 t (1 + 2 t ) α 1 ( t ) = te 2 t
e 2 t = α 0 + α 1 ( 2) 2 t te = α 1
的闭合形式.
相比
它是
e At
例 3-1
& 设系统状态方程为 x1 (t )
1 x1 (t ) , 0 x (t ) = 2 3 x (t ) 2 &2
试用拉氏变换求解. 解
1 s 1 s 0 0 sI A = 2 3 = 2 s + 3 s 0
18
例3-4 已知状态转移矩阵为 Φ (t ) = ,试求 Φ
1
2e + 2e
t
2e e
t
2 t
2 t
e + 2e
t 2 t
e e
t
2 t
(t), A .
et e 2 t t 2t e + 2e
解:根据状态转移矩阵的运算性质有
2et e2t Φ 1 (t ) = Φ (t ) = 2et + 2e 2t
5
( sI A) 1 =
adj ( sI A) sI A 1 s + 3 1 = ( s + 1)( s + 2) 2 s
1 2 s +1 s + 2 = 2 2 + s +1 s + 2
1 1 s +1 s + 2 1 2 + s +1 s + 2
2et e2t et e2t Φ (t) = L1[(sI A)1 ] = t 2t t 2t e + 2e 2e + 2e
6
状态方程的解为 :
x1 (t ) x1 (0) x (t ) = Φ(t ) x (0) 2 2
2e t e 2t = 2e t + 2e 2t
3)
e t e 2t x1 (0) t 2 t e + 2e x2 (0)
凯莱-哈密顿定理 凯莱- 矩阵A满足它自己的特征方程.即若设n阶矩阵A的特征多项式为
k 1
利用上式就可以确定待定系数
α j (t )
:
8
1)
若
λi
互不相等 :
k 1 1
可写出各所构成的n元一次方程组为 : λ1t 2
λ2 t 2 k 1 e = α 0 + α 1 λ 2 + α 2 λ 2 + L + α k 1 λ 2 M λk t 2 k 1 e = α 0 + α 1 λ k + α 2 λ k + L + α k 1 λ k 求解上式,可求得系数 α 0,α1,… α k 1 ,它们都是时间t e
e
At
= α 0 + α 1 λ1 + α 2 λ1 + L + α k 1 λ
的函数,将其代入推论2式后即可得出
.
9
λ1t e e λ2 t M = λn t e
1 1 M 1
1 1 M 1
λ1 λ2
M
2 λ1 2 λ2
L L
M
2 λn
λn
λ1 λ2
M
M n 1 L λn
λ λ λ
2 1 2 2
n 1 λ1 n 1 λ2
α 0 (t ) α 1 (t ) M α (t ) n
n 1 1 1 n 1 2
α0 (t ) α1 ( t ) = M α n 1 ( t )
L L L
M
2 n
λn
M n 1 λn
且 Φ ( t 1 )与 Φ ( ± t 2 ) 是可交换的.
16
3.2 状态转移矩阵的性质 4)
Φ -1 ( t ) = Φ ( t ), Φ -1 ( t ) = Φ ( t )
证明:由性质3)有
Φ (t t ) = Φ (t )Φ ( t ) = Φ ( t )Φ (t ) = Φ (0) = I
第三章
线性系统的运动分析
3.1 线性定常连续系统的自由运动 3.2 状态转移矩阵的性质 3.3 线性定常连续系统的受控运动 3.4 线性定常离散系统的分析 3.5 连续系统的离散化
1
3.1 线性定常连续系统的自由运动 在控制u=0 u=0情况下,线性定常系统由初始条件引起的运 u=0 动称为线性定常系统的自由运动 线性定常系统的自由运动,可由齐次状态方程 齐次状态方程描 线性定常系统的自由运动 齐次状态方程 述 : x (t ) = Ax (t ) & 齐次状态方程求解方法:幂级数法 拉普拉斯变换法和凯莱 幂级数法,拉普拉斯变换法 凯莱 幂级数法 拉普拉斯变换法 哈密顿定理法. -哈密顿定理法
e
At
=e
2t
0 1 0 2 t 2 2t 1 0 (1 + 2t ) + te 1 2 = e t 1 0 1
15
3.2 状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵 Φ (t ) 具有如下运算性质: 1) 2)
Φ (0) = I & Φ (t ) = AΦ (t ) = Φ (t ) A
1 t 2 4 t 3 e + 3 e = 2 e t 2 e 4 t 3 3
0 1 t 1 4t 3 1 +(3e 3e ) 2 2 1
1 t 1 4 t e e 3 3 2 t 1 4 t e + e 3 3
12
e At
2)
阶的(m个重根) (m个重根 若矩阵 A 的特征值是 m 阶的(m个重根): 则求解各系数的方程组的前m个方程可以写成:
n n 1
f ( λ ) = λ I A = λ + a n 1 λ
则有 :
+ L + a1 λ + a 0
f ( A) = A + a n 1 A
n
n 1
+ L + a1 A + a 0 I = 0
7