6-1元素法6-2几何应用_面积,长度_

a
b
第六章 六
§6.2 定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、体积
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一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形 设曲线 边梯形面积为 A , 则 与直线 及 x 轴所围曲
y y = f (x)
oa x
dA = f (x) dx
A = ∫ f (x) dx
a
b
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例7: 设有曲线 y = x −1, 过原点作其切线 , 求 由此曲线、 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 周所得到的旋转体的表面积 点的切线为: 解: 过 (x0, x0 −1) 点的切线为 1 y − x0 −1 = (x − x0 ) 2 x0 −1 y
1 dA = [ϕ(θ )] 2 dθ 2 所求曲边扇形的面积为 1 β 2 A = ∫ ϕ (θ ) dθ 2α
r = ϕ(θ )
dθ
β θ α
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x
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例5. 计算阿基米德螺线 到 2π 所围图形面积 . π
对应 θ 从 0 变
1 2 (a ) d θ θ 解: A = ∫ 0 2 π a2 1 3 2 = θ 2 3 0 4 3 2 = π a 3
a
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b
(2) 曲线弧由参数方程给出 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分 : 弧长元素 弧微分) 弧微分
ds = (dx)2 + (dy)2
′2 (t) +ψ′2 (t) dt = ϕ
因此所求弧长
s=∫
β
α
′2 (t) +ψ′2 (t) dt ϕ
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例11. 求阿基米德螺线 r = a (a > 0) 相应于 0≤θ≤2π θ 一段的弧长 . 解: ds = r 2 (θ ) + r′2 (θ ) d θ
2πa x
= a2θ 2 + a2 dθ
o
r =a θ
= a 1+θ dθ 1+
2
∴ s = a∫
2π
θ 1+θ 2 + 1 ln(θ + 1+θ 2 ) 2π = a 0 2 2
= 4ab ⋅ 1⋅ π = π ab 当 a = b 时得圆面积公式
2 2
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0
例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
=∫ 解: AdA = a (1− cost) ⋅ a (1− cost) d t
0 2 2π =a (1− cos t)2 d t 0 2 2π 4t
i=1
n
并称此曲线弧为可求长的. 并称此曲线弧为可求长的 o 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. 证明略) 光滑曲线弧都是可求长的 定理 任意光滑曲线弧都是可求长的 (证明略)
A= M0
B= Mn
x
光滑曲线的概念:P171 光滑曲线的概念 x(t), y(t) ∈C1(I ) x = x(t) 曲线表示为参数方程 ,(t ∈I ) 且 x′2 (t) + y′2 (t) ≠ 0 y = y(t)
i=1 i=1
n
n
o a x1
xi−1 xi
x x + dx n n 取ξ =x b A = lim ∑∆Ai = lim ∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx ∆A ≈ f (x)dx a λ→0 i=1 λ→0 i=1
4) 取极限 取极限.
ξi
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
确定U 定义的区间[a,b] 第一步 确定 定义的区间 (注:选取不同的积分变量 所定义的区间可能不同 选取不同的积分变量,U 注 选取不同的积分变量 所定义的区间可能不同) 不妨设,选 为积分变量 不妨设 选x为积分变量 求对应于[x,x+dx]上局部量△U 的近似值 上局部量△ 第二步 求对应于 上局部量 微分表达式 dU = f (x) dx 称元素或微元 元素或 第三步以微元为被积表达式在 定义的 区间 以微元为被积表达式在U定义的 区间[a,b] 上积分
(自己验证 自己验证) 自己验证
s=∫
β
α
θ r2 (θ ) + r′2 (θ ) d
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2 3 例8. 计算曲线 y = x2 3
解:
(0 ≤ x ≤1) 的弧长 .
= 1+ x dx
1
3 1 2 2 1+ x dx = (1+ x) 3 0
∴ s=∫
0
2 = [2 2 −1]. 3
o 1 2 x 将(0,0)点代入得 x0 = 2 点代入得, 点代入得 1 则切线方程为: 则切线方程为 y = x 2 则表面积 S = 1 2π 22 +1 + 2 2π x −1 1+ 1 dx ∫1 2 4(x −1)
= 5π + ∫ π 4x − 3dx = 5π + (4x − 3) 1 6
y = x −4
(2, − 2)
x
d A = ( y + 4 − 1 y2 ) dy ∴ A= ∫ 2
−2
4
=18
思考:选 为积分变量 思考 选x为积分变量 A=?
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曲线 举一个例子: 举一个例子 曲线
与
围成平面图形的面积. 围成平面图形的面积
与
围成…S. 围成
解: 两曲线的交点为 两曲线的交点为(-1,1)、(0，0)、(2，4) 、 ， 、 ， 所以
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b x
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例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 (0, 0) , (1, 1)
在第一象限所围
y
y2 = x
2
(1,1)
∴ A = ∫= d A0
1
(
x − x dx
o
)
y = x2
x 1 x +d x
x
1 = 3
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1) 所求量 U 与变量 或…)有关 且定义在区间 , b] 上 ; 与变量x(或 有关 且定义在区间[a 有关,且定义在区间
可推广到无穷区间
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 具有可加性 3)部分量可近似表示为 部分量可近似表示为
即总量等于部分量的和Biblioteka 机动目录上页
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微元法) 二 、定积分应用的元素法 (微元法 微元法
2π
∫
y
∫0 sin 2d t 2 π = 8a ∫ sin4 u d u 0 =16a ∫ sin udu
π
= 4a
o
2π a x
t (令u = ) 2
2
2
4
0
= 3π a2
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2. 极坐标情形 求由曲线 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 及
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例9. 求连续曲线段 解: ∵ cos x ≥ 0, ∴ − π ≤ x ≤ π 2 2
π
的弧长. 的弧长
s = ∫ 2π 1+ y′2 dx
−
2
= 2∫ 2 1+ ( cos x)2 dx
= 2∫
0 π
0
2
π
x = 2 2[2sin 2 ] 2 = 4 0
x 2 cos dx 2
2π
θ
o
dθ
2π a x
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例6. 计算心形线 面积 . 解:
2 π 4θ =a 4cos d θ 0 2
所围图形的
(利用对称性 利用对称性) 利用对称性
1 2 a (1+ cosθ )2 d θ 2
∫
dθ
令t = θ 2
= 8a2 ∫ 2 cos4t dt
3!! π 3 2 = 8a ⋅ ⋅ = π a 4!! 2 2
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出 曲线弧由极坐标方程给出:
令x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , 则得
弧长元素(弧微分 弧长元素 弧微分) : 弧微分
ds = [x′(θ )]2 +[ y′(θ )]2 dθ
= r 2 (θ ) + r′2 (θ ) dθ
因此所求弧长
例2. 计算抛物线 y = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形
2
的面积 . 解: 由
A = ∫ (2 2x)dx + ∫ [ 2x − (x − 4)]dx
0 2
2
8
得交点
(2, − 2) , (8, 4)
y y +d y y
o
y2 = 2x
(8, 4)
为简便计算, 作积分变量, 为简便计算 选取 y 作积分变量 则有
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分 弧长元素 弧微分) : 弧微分