定积分教案
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教案标题：定积分概念的引入和初步认识一、教学目标1.了解定积分概念的引入背景和发展历程；2.掌握定积分的基本定义；3.能够应用定积分求解简单的几何和物理问题。
二、教学重点1.定积分引入背景和基本概念；2.定积分的基本定义和求解方法。
三、教学难点2.定积分的应用举例。
四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、粉笔、教材参考书。
2.学生准备：课前预习教材相关内容，笔记本、笔等。
五、教学过程第一步：导入（10分钟）1.引入背景：告诉学生数学是一门从古至今都有许多人致力于研究的学科，其中有很多重要的概念和定理。
本节课我们将要学习的是定积分概念，它是微积分学中的基本概念之一第二步：展示（15分钟）1.介绍定积分的提出背景和发展历程，如牛顿、莱布尼兹等人对定积分的贡献；2.引入定积分的基本概念：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，用Δx表示。
在每个小区间内任取一点ξi（ξi属于[i-1,i]）并计算f(ξi)Δx，然后将这n 个小区间上的和表示为Σf(ξi)Δx；3. 引入定积分的基本定义：当n趋向于无穷大，并且Δx趋向于0时，如果极限lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，且对任意x ∈ [a, b]，极限lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx；4.解释定积分的几何意义：定积分表示曲线与x轴所围成的面积。
通过几何图形进行解释和演示。
第三步：练习（25分钟）1.基本练习：通过一些基本的题目来巩固定积分的基本定义和概念的理解；2.综合练习：通过一些实际问题来应用定积分，如求一段弓形所围成的面积、求物体在一定时间内的位移等。
第四步：讲解与总结（15分钟）1.请学生上台分别讲解几个基本练习题的解题思路和方法；2.强调定积分与不定积分的区别：不定积分结果是一个函数表达式，而定积分结果是一个数值；3.总结定积分的基本概念和定义，强调定积分解决实际问题的重要性。
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
高中数学定积分的概念教案
高中数学定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的概念及其在数学中的重要性；2.掌握定积分的基本性质和计算方法；3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学重点及难点：1.定积分的概念和基本性质；2.定积分的计算方法；3.定积分在实际问题中的应用。
三、教学内容：1.定积分的概念a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.定义定积分的符号表示及含义；c.定积分的几何意义和物理意义。
2.定积分的性质a.定积分的线性性质；b.定积分的可加性质；c.定积分的保号性质。
3.定积分的计算方法a.定积分的基本性质；b.定积分的换元法；c.定积分的分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
四、教学过程：1.引入定积分的概念（10分钟）a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.讲解定积分的符号表示及其含义。
2.定积分的性质（15分钟）a.讲解定积分的线性性质、可加性质和保号性质；b.举例说明定积分性质的运用。
3.定积分的计算方法（20分钟）a.讲解定积分的基本性质和计算方法；b.通过实例演示定积分的换元法和分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用（15分钟）a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
五、教学方法：1.讲授相结合：简洁明了地讲解定积分的概念和性质，结合实例演示计算方法；2.激发思考：通过引入实际问题，激发学生的思考和探究欲望；3.启发式教学：提出问题引导学生独立思考，培养学生的解决问题能力。
六、教学资源：1.教材：教材中相关知识点、例题及练习题；2.多媒体教学：投影仪、电脑等多媒体设备。
七、教学评估：1.课堂练习：课堂上针对性地布置练习，检验学生对定积分的理解和掌握程度；2.作业布置：课后布置练习题，巩固学生对定积分的掌握。
八、课堂小结：通过本节课的学习，相信同学们已经初步了解了定积分的概念、性质和计算方法，并能够运用定积分解决实际问题。
定积分的教案
定积分的教案教案标题：定积分的教案教学目标：1. 理解定积分的概念和基本性质；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念和性质；2. 定积分的计算方法。
教学难点：1. 定积分的应用解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教材、多媒体设备、实例题；2. 学生准备：教材、笔记工具。
教学过程：Step 1: 引入定积分的概念（15分钟）1. 通过引入曲线下面积的概念，引出定积分的定义；2. 通过图示和实例，解释定积分的几何意义和物理意义。
Step 2: 定积分的基本性质（20分钟）1. 介绍定积分的线性性质、区间可加性和保号性；2. 通过实例，演示和讨论这些性质的应用。
Step 3: 定积分的计算方法（40分钟）1. 介绍定积分的基本计算方法，包括用定积分的定义计算、用不定积分计算、用换元法计算等；2. 通过练习题，引导学生掌握不同计算方法的应用。
Step 4: 定积分的应用（25分钟）1. 介绍定积分在几何学、物理学和经济学等领域的应用；2. 通过实例，引导学生应用定积分解决实际问题。
Step 5: 总结与拓展（10分钟）1. 总结定积分的概念、性质和计算方法；2. 提出一些拓展问题，激发学生对定积分更深层次的思考。
教学资源：1. 教材：包含定积分相关知识点的教材章节；2. 多媒体设备：用于展示相关图形和实例计算过程；3. 实例题：包含不同难度和应用场景的定积分题目。
教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习题，检查学生对定积分概念、性质和计算方法的掌握情况；2. 实际问题解决能力评估：通过应用题，评估学生运用定积分解决实际问题的能力。
教学延伸：1. 深入学习不同类型的定积分应用，如曲线长度、旋转体体积等；2. 引入定积分的数值计算方法，如梯形法则、辛普森法则等；3. 探索定积分的更高级概念，如广义积分和定积分的微分学基础。
备注：以上教案仅供参考，具体教学内容和方法可根据实际教学情况进行调整和优化。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
定积分的简单应用教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
定积分的简单应用教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决简单应用问题。
二、教学内容：1. 定积分的概念及其性质；2. 定积分的计算方法和基本性质；3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重难点：1. 定积分的概念和计算方法；2. 定积分在实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的好奇和兴趣。
2. 定积分的概念和计算方法（20分钟）a. 介绍定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的值进行求和的极限过程，表示函数在这个区间上的总量。
b. 讲解定积分的计算方法：i. 用一组割线逼近曲线下的面积；ii. 分割区间，用矩形逼近曲线下的面积；iii. 讲解Riemann和Darboux定义；iv. 使用不等式判断积分的上限和下限。
3. 定积分的基本性质（15分钟）a. 讲解定积分的线性性质；b. 讲解定积分的区间可加性；c. 引导学生理解定积分的平均值性质。
4. 定积分在实际问题中的应用（30分钟）a. 通过具体的实际问题，引导学生应用定积分解决问题，如：i. 曲线下的面积计算；ii. 曲线长度计算；iii. 物体在一定时间内的位移计算。
b. 引导学生分析问题，确定所给问题可以通过定积分求解。
5. 拓展与巩固（20分钟）通过课堂练习和教师引导，进一步巩固学生对定积分的理解和应用能力。
六、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对定积分概念的理解和计算方法的掌握；3. 学生对定积分在实际问题中的应用能力。
七、教学反思：本节课通过引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的兴趣，再结合具体的实际问题进行教学，使学生能够理解定积分的概念和计算方法，并能够应用定积分解决简单的实际问题。
同时，通过课堂练习和教师引导，巩固了学生的学习成果。
综上所述，本节课教学效果较好。
定积分的应用 教案
定积分的应用教案教案标题：定积分的应用教案目标：1. 理解定积分的概念和性质。
2. 掌握定积分的计算方法。
3. 学会运用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的定义和性质。
2. 定积分的计算方法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 将实际问题转化为定积分的形式。
2. 运用定积分解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件。
2. 教材《高等数学》相关章节。
3. 计算器和白板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入定积分的概念，通过提问和讨论激发学生对定积分的兴趣和思考。
2. 回顾不定积分的概念和性质，为学生理解定积分做铺垫。
二、概念讲解（15分钟）1. 讲解定积分的定义和性质，包括积分上限、下限的含义、可加性、线性性等。
2. 通过示例演示定积分的计算方法，如基本初等函数的定积分、换元积分法等。
三、定积分的计算（20分钟）1. 给出一些简单的定积分计算题目，引导学生运用所学的计算方法进行解答。
2. 对于较复杂的题目，引导学生分步骤进行计算，并注意化简和变形的技巧。
四、定积分的应用（25分钟）1. 介绍定积分在实际问题中的应用，如面积计算、物理问题中的质量、速度、功率等计算。
2. 给出一些实际问题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并进行求解。
3. 强调解决实际问题时需注意问题的分析和建立数学模型的能力。
五、拓展与巩固（10分钟）1. 给学生一些拓展题目，要求他们运用所学的知识解决更复杂的问题。
2. 总结定积分的应用领域和方法，并鼓励学生在实际生活中运用所学知识。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成，并在下节课前交作业。
2. 鼓励学生积极思考、互相讨论，提高问题解决能力。
教学反思：本节课通过引导学生理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并运用定积分解决实际问题，旨在培养学生的数学思维和应用能力。
教学过程中，通过示例演示和实际问题的引导，帮助学生理解和掌握定积分的应用。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
高中数学定积分内容教案
高中数学定积分内容教案一、教学内容分析：定积分是微积分中的一个重要概念，通过定积分的学习，可以帮助学生深入理解积分的概念和原理，掌握定积分的计算方法，以及应用定积分解决实际问题的能力。
在高中数学中，定积分主要包括定积分的定义、定积分的计算方法、定积分的性质和定积分的应用等内容。
二、教学目标设定：1. 理解定积分的定义和意义；2. 掌握定积分的计算方法，包括不定积分、定积分的性质和定积分的应用；3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学建模能力。
三、教学步骤安排：第一步：定积分的定义和意义1. 定积分的概念和意义；2. 定积分的定义及其几何意义；3. 定积分的性质和计算方法。
第二步：定积分的计算方法1. 不定积分与定积分的关系；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的性质和公式。
第三步：定积分的性质和应用1. 定积分的性质及其应用；2. 定积分在实际问题中的应用；3. 综合练习和解题训练。
四、教学方法和手段：1. 讲解教学法：通过教师讲解、示范和分析，引导学生理解和掌握定积分的概念和计算方法；2. 互动探究法：通过问题探讨、讨论和实例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；3. 实践演练法：通过课堂练习、作业布置和实际问题解答，提高学生的运用能力和实际应用能力。
五、评估方法：1. 定期考试和小测验；2. 作业评订和讲评；3. 课堂互动和问题解答。
六、教学资源准备：1. 教材和教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 实例和练习题。
七、教学反馈和改进：1. 定期组织教学反馈和讨论；2. 定期总结和评估学生学习情况；3. 结合学生实际情况，适时调整和改进教学方法和手段。
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《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义2．了解上和与下和及其有关性质3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5．了解积分第一中值定理6．掌握变上限积分及其性质7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。
第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页=i 1。
则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。
数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作：⎰=badxx f J )(其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dxx f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。
定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间作为分法 nb x T i =∆, 取.=.由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数211)(x x f +=在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。
作业：课后1. 2.（1）（2）第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题§ 2 Newton — Leibniz 公式（2学时）教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点应用定积分计算形式的极限课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分⎰b adxx f )(的值只与被积函数)(x f 及积分区间[b a .]有关，而与积分变量所用的符号无关。
二、定积分的计算 （1），按定义计算 （2）应用下列定理Th9.1 （ N — L 公式 ）若函数)(x f y =在【a ，b 】上连续，且存在原函数)(x F ，即),()(x f x F ='],[b a x ∈，则)(x f y = 在【a ，b 】上可积，且b a bax F a F b F dx x f |)()()()(=-=⎰这个公式称作（ N — L 公式 ）( 证明思路 函数函数)(x f y =在【a ，b 】上连续，则一致连续) （根据定积分定义与极限定义证明）证明：（略） 例1求;;例2利用（ N — L 公式 ） 求下列定积分 1）N n dx x ban ∈⎰,，2）,⎰b a x dxe3）,12⎰b a dxx4）,sin⎰b a xdx5）,42⎰-badxxx例3 求.小结：1.利用N-L公式求定积分的步骤。
2.利用定积分定义计算形如的极限时，找被积函数的方法；利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。
练习p.207 第二题作业p206,1.2第页时间---------月---------日星期-----------------课题§3可积条件（2学时）（一）教学目的理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件，熟悉证明可积性的问题的思路和方法.教学重点掌握可积的充要条件教学难点函数可积性问题的证明；课型理论课教学媒体教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点一、必要条件:定理9.2 若函数f(x) [a,b]，f(x)在区间[a,b]上有界.证明方法：反证法回顾f(x)在区间[a,b]上无界的定义，回顾定积分定义中的两个“任意”（插入点任意，介点选取任意）给出证明：例1 讨论Dirichlet函数D(x)在区间[0,1]上的可积性.强调可积与函数有界之间的关系二、充要条件:1.思路与方案:思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和, 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件.复习极限的双逼原理方案: 定义上和S(T)和下和s(T). 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 ..设T={ix ∆n i ,,2,1Λ=}为对[a ,b]的任一分割。
由 f(x) 在[a ,b]上有界知，它在每个i x ∆上存在上、下确界：ix x i x f M ∆∈=)(sup ,ix x i x f m ∆∈=)(inf ,n i ,,2,1Λ=.作和∑=∆=ni ii x M T S 1)(，∑=∆=ni ii x m T s 1)(，分别称为 f(x)关于分割T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给i i x ∆∈ξ，n i ,2,1Λ=，显然有)()()(T S x f T s i i ≤∆≤∑ξ.说明：与积分和相比，达布和只与分割T 有关，而与点i ξ的取法无关。
2. Darboux 和:以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界. 并设,其中和分别是函数f(x)在区间[a,b]上的下确界和上确界Darboux 和定义：指出Darboux 和未必是积分和 . 但Darboux 和由分法 唯一确定.分别用S(T)、s(T)和 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值) . 但总有 s(T)S(T)因此有.和的几何意义 .*3. Darboux 和的性质:分点增加，上和不增，下和不减.定理9.3（可积准则）函数f 在],[b a 上可积的充要条件是：对任意的0>ε，总存在相应的分割T ，使得ε<-)()(T s T S（本定理的证明，参见§6） 定理9.3的几何意义设i i i m M -=ω,并称为)(x f 在i x ∆上的振幅，有必要时记为fi ω。
则有ini i x T s T S ∆=-∑=1)()(ω。
定理9.3' 函数)(x f 在],[b a 上可积⇔对0>∀ε，T ∃，使得εω<∆∑=ini i x1。
不等式ε<-)()(T s T S 或εω<∆∑=ini i x1的几何意义：若函数f(x)在 [a,b]上可积，则p.209图9-7中包围曲线)(x f y =的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。
三、小结：可积的必要条件与可积准则可积函数的充分条件（证明函数可积的思路和方法）当函数f(x)在区间[a,b]上含某些点的小区间上振幅作不到任意小时, 可试用f(x)在区间 [a,b]上的振幅 作的估计 , 有. 此时, 倘能用总长小于,否则f(x)为常值函数的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 的一部分分点，在区间 [a,b]的其余部分作分割，使在每个小区间上有<,对如此构造的分法, 有<.作业：p212 1 和2第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页推论2设函数)(xf在区间],[ba上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数)(xf在区间],[ba上可积.例判断题: 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积. ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积. ( )3. 闭区间上的单调函数必可积：定理9.6 若函数)(xfy=是],[ba上的单调函数，则函数)(xfy=在],[ba上可积。
证明思路：（证明过程）例2 用两种方法证明在[0,1]上可积.例3 证明黎曼函数1,(,)1,()00,1(0,1)qx p q q pq pf xx⎧==>⎪=⎨⎪=⎩和内的无理点在区间【0，1】内可积，且1()0f x dx=⎰小结：常见的可积函数类（三类）证明可积函数的方法作业: p212 3此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页说明：当1)(≡xg时，即为积分第一中值定理。
注：事实上，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理中的点ξ必能),(ba∈ξ。
二. 举例: 例1 设. 试证明:⎰∑=∆=→baiiniiTfgdxxgf)()(lim1||||ηξ.其中和是内的任二点, { }, .例2 比较积分的大小.设但. 证明>0.证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式,且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例4.小结：积分的性质定理 和 积分中值定理 课后习题处理：P ．219 1. 5. 作业：p 。
219 2. 3。
注记:1、积分的性质较多,分类记忆方法比较好.2、P 217注意2中的2,10,()1,0 1.xx x x F x e x -⎧--≤<=⎨-+≤≥⎩这里 )(x F 取1xe--+是因为P 207题3要求()F x 连续.第 页第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题 §5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）（一）教学目的掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分.教学重点 变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分 教学难点 变上限的定积分和它的分析性质的应用. 课 型 理论+实践 教学媒体教法选择 讲授+练习教 学 过 程教法运用及板书要点一. 变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出 .1.变限积分:设)(x f 在],[b a 上可积，则对],[b a x ∈∀，)(x f 在],[x a 上也可积，于是，由⎰=Φxa dtt f x )()(， ],[b a x ∈定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。
类似地，可定义变下限的定积分：⎰=ψbxdtt f x )()(，],[b a x ∈)(x Φ和)(x ψ统称为变限积分。