新苏科版九年级数学下册《几何最值问题》教案_4
初中数学最值问题的教案
初中数学最值问题的教案教学目标：1. 理解最值问题的概念和意义；2. 掌握解决最值问题的基本方法和技巧；3. 能够应用最值问题解决实际问题。
教学重点：1. 最值问题的概念和意义；2. 解决最值问题的基本方法和技巧。
教学难点：1. 解决实际问题的能力和思维转换。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题和答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入最值问题的概念，让学生尝试举例说明；2. 引导学生思考最值问题的意义和应用。
二、讲解（20分钟）1. 讲解最值问题的定义和分类，如最小值、最大值、平均值等；2. 介绍解决最值问题的基本方法和技巧，如列举法、图解法、代数法等；3. 通过具体例题讲解解决最值问题的步骤和思路，如确定变量、建立方程、求解等；4. 引导学生思考如何将实际问题转化为最值问题，并解决。
三、练习（15分钟）1. 分组讨论并解决给定的练习题，鼓励学生提出不同的解决方法和思路；2. 引导学生总结解题经验和技巧，互相交流和分享。
四、应用（10分钟）1. 给学生提供实际问题的情境，让学生尝试应用最值问题解决；2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并应用解决；3. 鼓励学生提出不同的解决方法和思路，并进行讨论和比较。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容和重点；2. 强调解决最值问题的关键步骤和思维方法；3. 鼓励学生在日常生活中发现和解决最值问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解最值问题的概念和意义，掌握解决最值问题的基本方法和技巧，并能够应用解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考和探索，鼓励学生提出不同的解决方法和思路，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
同时，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导，提高学生的学习效果。
解析几何中的最值问题 苏教版精品课件
(2)：S=PA×AC
P
= 17
B
C A
例2变题
变 1．由直线 y x 1上的点 P 向圆 C：(x-3)2+(y+2)2=1 引切
线 PA、PB，求 PA PB 的最小值；
思考：在本题中向量的
数量积用定义式运算还
P
是用坐标运算？
B
C A
例2变题
变 1．由直线 y x 1上的点 P 向圆 C：(x-3)2+(y+2)2=1 引切
线 PA、PB，求 PA PB 的最小值；
解： 设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC d, d 3 2 设APC＝，则APB＝2
sin 1 ，则cos2 1 2sin 2 1 2
解： 设PC d, 设APC＝，则APB＝2
P点2 评： sin 1 ，则cos2 1 2sin 2 1 2 在M本例的解决dP过A程PB中，PA关 P键B是co将s2目标d 2 量值P表。示这P为种1 利PC用长函度(d数d2的的1函) 思数(1想，d研22求)究函d解2数析的d2几2 最 3 何是最如值何A问选题择C在变B解量题。在是PPAA中本什4 P经P题么BBd的的常中？最最6遇d大小的到值值取为为，：值： 51关50825范键围
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
解 析 几 何 中 的 最 值 问 题
初中数学精品教案：几何最值问题
微设计《破解中考数学压轴题（一）0107几何最值问题》学习目标：1、学会怎样通过平行线和直角三角形构造相似三角形.2、理解并会运用二次函数的性质解决几何最值问题.3、学会通过求2x的最值来求x的最值的方法.4、体会数形结合在解决压轴题中的重要作用.学习重点：1、做辅助线构造相似的过程.2、借助变量表示线段长度,建立等量关系的过程.3、运用二次函数求2x的最小值的过程.学习难点：先求2x的最小值，再求x的最小值的过程.学习过程：一、问题背景几何中最值问题是指在一定条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度，角度大小，图形面积）等的最大值或最小值。
几何最值问题近年来广泛出现在中考中，这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确）。
解题时，需要运用动态思维，数形结合，特殊与一般相结合，逻辑推理与合情想象相结合等思想。
二、例题解析16．（5分）如图1，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为．图11. 思路探究问题一：题中所给的已知条件有哪些呢？这些条件可以分为几大类呢？（设计意图：分析题目之前，首先让学生自主理清题目条件，并归类.）问题二：由l 1∥l 2∥l 3 ，你能想到什么？结合∠ABC ＝90° ，你会做怎样的构造？（设计意图：让学生自主通过角相等联想到三角形相似，自主想到添加辅助线的办法.） 问题三：对于条件4=n m 通常情况下怎么处理？ （设计意图：引导学生常用结论的固定处理方式．让学生联想已有结论表示出线段的长度．） 问题四：在⊿AEB ∽⊿BFC 中，能否尽可能多的表示出线段长？（引导学生二次设元，在相似三角形中表示出更多的线段．）问题五：如何能将BD=4这一条件运用到解题中？你能表示出更多的线段吗？（设计意图：引导学生作出另外两条辅助线，构造出另一组相似三角形⊿AGD ∽⊿CHD ，表示出相应的线段长．从而得到关于两个未知数的等式．） 问题六：结合原题所问，你认为怎样处理236442=--yx y 这一条件会更好？ （设计意图：引导学生分离变量，为后面求x 的最小值做好铺垫．）问题七：观察等式91022y y x -=的左边和右边，你认为怎样与求x 的最小值联系起来？ （设计意图：引导学生尝试先求2x 的最小值，再求x 的最小值.）２.解法展示解：如图2，EABCBF ABE EAB CBF ABE ABC BFC AEB Fl E l EF B ∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠∴︒=∠︒=∠=∠⊥则又则于点，交于点作过点9090909031 E G HDB A 1l 2l 3l 图2∵m+n=5x ∴当x 最大时，m+n 最大 .由二次函数的性质可知：当y=5时，2x 有最大值为925，则x 的最大值为 35，m+n 的最大值为325 . 3.方法小结 本题最主要的解题模型是添加了3条辅助线，构造两组三角形相似，这两个相似三角形是常见的“三垂相似型”，“8字相似型”，课件灵活运用基本图形在解决综合题中的起到关键的作用。
2017年中考复习数学苏科版教学案：平面几何最值问题的解法(含答案)
平面几何最值问题的解法平面几何的最值问题多为在存在动点或者不确定的位置关系的情况下求最值，有两种解题思路，一个是通过几何图形的性质实现对位置的确定，另一个是通过数量关系实现最值问题的解答.一、利用对称性质，实现问题简单化图形经过某一点或者轴对称之后，就会有很多固有的由对称产生的等量关系，不同的对称性(如中心对称、轴对称等)也有独特的对称性质.合理地利用相应的性质会使问题得到简化，这会给解题带来很大的帮助.例 1 在如图所示的平面直角坐标系中，在:轴的正半轴上有一点A ，B 的坐标为，点C 的坐标为1(,0)2，三点构成直角三角形OAB ，斜边OB 上有一个动点P ，求PA PC +的最小值.解析 我们利用对称的性质，会使解题息路得到转化.如右图所示，以OB 为轴，作点A 的对称点D ，连接AD 交OB 于点M .有AP DP =恒成立.利用三角形关系中两边之和大于第三边可得出当P 在DC 连线上时取得最小值，即为图中所示的情形，只要求出CD 的长即可.根据B 点坐标可求出AB =OB =由三角形面积不同求法间的等量关系可得出32AM =.故1322AN AD ==，由C 点坐标可求出1CN =.由勾股定理可求出DC =PA PC +的最小值. 点拨 本题中是作直线的对称点，实现直线同侧点到异侧点的转化，这是我们在解题中常遇到的情况以及常见的解题方法.对称性的应用注重于问题的解题技巧，目的是通过对称性使复杂的问题简单化.二、构造不等关系，巧用基本不等式对于平面几何问题，不等关系的构造是离不开几何图形本身的数量关系的.想要利用基本不等式求解，学生需要在图形中找出满足不等式的条件，这不光对于学生的平面几何知识有考查，还要学生深入理解不等式的相关知识.例2 已知四边形ABCD ，O 点为对角线AC 与BD 的交点，4AOB S =V ，9COD S =V ，求四边形ABCD 的面积S 的最小值解析 题中的四边形为不规则图形，没有直接求此类图形的公式，我们需要将其拆分成几个三角形进行分别求解.题中给出了两个三角形的面积，我们再表示出另两个三角形的面积就可以了.四边形按照此种分解后求面积，我们发现有很多等高的三角形，出现此类三角形，其面积比就只与底的长度有关，这时就可利用此关系计算.即有AOD COD AOB BOC S S S S =V V V V ，设AOD S a =V ，BOC S b =V ，整理得36ab =.又有131325S a b =++≥=，故最小值为25.点拨 本题中对于三角形知识的考察非常深入，将三角形面积间的关系转化为长度关系进行解答是最为关键的步骤，学生要有思维模式的转化才会想出这一解决方法，而后结合不等式知识解题，否则盲目地求面积是不能实现的.三、化为二次函数，列出方程再求解二次函数是初中数学中最重要的一类函数，此处并不是像压轴题那样对二次函数进行全面的考察，而是将所求的量转化为二次函数的形式，利用二次函数的相关性质解题，更加注重于对问题的分析转化能力.例 3 有一三角形ABC ，底边120BC =，高80AD =，如图所示。
江苏省常州市西夏墅中学九年级数学下册《解几何中的最
《解几何中的最值问题》导学案学习目标1、 掌握解析几何中求最值问题的常见方法；2、 通过解析几何中的有关最值问题的处理，体会转化、数形结合等数学思想方法。
一、 课前热身1. 设实数x 、y 满足221x y +=，则x y +最大值为 。
2．动点(,)P x y 在直线20x y +-=上，则22x y +的最小值为 。
3．以椭圆短轴的一端点和椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积为1，则椭圆长轴的最小值为 。
4．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP ⋅的最大值为 。
二、 典例分析例1. 已知圆M 过两点(1,1)-，(1,1)-，且圆心M 在20x y +-=上。
（1） 求圆M 的方程；（2） 设P 是直线3480x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值。
变题：上述条件不变，求PB PA •的最小值。
例2. 椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(4,)A m 在椭圆E 上，且0212=⋅F F AF ，点(2,0)D 到直线1F A 的距离为185DH =。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设点P 位椭圆E 上的任意一点，求PD PF ⋅1的最小值。
三、 课堂巩固1．设实数x 、y 满足191622=+y x ，则34x y +的最大值是 最小值是 。
2. 若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为 。
四、 课堂小结五、 课后巩固（一） 基础练习1. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的点到焦点(,0)F c 的最大距离为 。
2. 直线22x y +=与坐标轴交于A ，B ，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则()max ab = 。
初中数学_几何 《最值(一)》教学设计学情分析教材分析课后反思
几何《最值（一）》教学设计学情分析确定几何图形中的最值始终是一个具有挑战性的问题,也是中考中的“硬骨头”,令喜爱攻克数学难题的同学十分着迷.究其缘由,大致有两个方面:(1)试题凸显新颖,有一定的思维量;(2)动静结合,操作性强.九年级学生对几何已经具备一定的分析·推理能力，对于常用数学思想方法的运用也相对熟练，但缺乏数学建模能力或数学建模思想应用缺失。
每类问题都可以根据相关的数学理论建立相关的解题模型,依照模型可以方便解决相关最值问题，所以应引导他们学会建立数学模型来解决初中几何中常见的最值问题。
经过适当点拨与强化学生可以掌握基本模型，并会运用模型解决常见的几何最值问题。
效果分析这节课，我对材料进行了重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、讨论，通过强化数学模型应用来内化知识的做法是成功的。
首先，我让学生进行知识准备，对常用的几何结论作了复习，并交代最值计算中常使用的方法，学生掌握的较好。
再分段先建立不同的最值数学模型，然后将模型放入组合图形中进行提炼模型，应用模型，不断强化建模—用模解决问题这一思路，通过效果来看学生能较好地使用不同模型解决常见的几何最值问题，图形性质掌握较好，在下面的讨论中学生还有不同的解决方法，真正做到了活学活用。
教师科学设置问题素材，使探究的最值问题具有层次性和探究性，例如在和最小的探究中就设计了两边和最小，三角形周长和最小，四边形周长和最小有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等方面的能力。
教材分析随着新课程的实施，“建立数学模型”解题的意识和要求逐步增强，几何最值问题因能综合考查特殊三角形、特殊四边形、圆、一次函数、二次函数以及轴对称、相似三角形等重要知识,具有较强的灵活性、创新性和挑战性,故一直备受全国各地中考命题者的青睐.但这类问题综合性强，要求学生具备较强的建模能力、数学转化能力，而学生常常难以建立合适的数学模型，无法掌握动态过程中的数量关系,导致对解题造成一定困难. 本节教学就从从轴对称变换——和最小问题；垂线段最短——最短路径问题；三角形三边关系——差最大问题；阐述了平面几何图形的常用最值问题的解法．归纳出解决此类问题的途径。
几何中的最值问题专题复习教学设计
几何中最值问题专题复习教学设计教材分析：几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹”“二次函数最值”等知识源,实现问题的转化与解决.教学目标：知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。
重点知识与命题特点最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面: ①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.核心思想方法由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。
教学过程一、问题导入我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源.二、真题讲解真题示例 11.（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C.3 D．4【题型特征】利用轴对称求最短路线问题【示范解读】此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2），结合其他相关知识加以解决.真题示例2（2016·四川内江）如图1所示，已知点C(1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．【解题策略】1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．真题（组）示例3例3如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4,BC=5,P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为.【题型特征】利用垂线段最短求线段最小值问题真题（组）示例41.（2012宁波）如图2，△ABC 中，60BAC，45ABC ，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为.【示范解读】⊙O的大小随着AD 的变化而变化,在此变化过程中,圆周角∠BAC 的度数始终保持不变,而线段EF 即为⊙O 中60°圆周角所对的弦,弦EF 的大小随⊙O 直径变化的变化而变化,当圆O 的直径最小时，60度圆心角所对的弦长最短，即转化为求AD 的最小值,由垂线段最短得出当AD ⊥BC 时,AD 最短. 【解题策略】1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用“垂线段最短”求出相关线段的最小值. 真题（组）示例 5 （2013?宿迁）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是．(图2)(图3)xy O (图1)CBAE DC 1C2·A草地河流·A·AM N(图2)(2016四川眉山)26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；y=﹣x2﹣x+3；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（5，3）（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．【示范解读】利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可．【题型特征】三角形的三边关系-线段之差最大问题【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段之差最大问题.真题（组）示例7(2016泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P 在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是.真题（组）示例82.（2015?四川乐山）如图3，已知直线y= 34x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．212D．172H H（图1）【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.【解题策略】1. 描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静；2. 综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化. 真题（组）示例91．（2016江苏常州）如图6，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x 与二次函数y=x 2+bx 的图象相交于O 、A 两点，点A （3，3），点M 为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ 在线段OA （不包括端点）上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；【题型特征】利用二次函数的性质求最值问题【解题策略】此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相应的最值.1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值.三、专题总结几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．复习时既要注重对基本知识源的理解与建构，更要注重对相关知识源的综合与整合。
几何最值问题专题复习教案
几何最值问题专题复习教案魏岗学校黄小柱一、教学目标：1.知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决最值问题的思考方向。
2.让学生掌握常见几何最值问题的解决方法，体会知识之间的内在联系和知识间的相互转化，提高学生分析问题解决问题的能力。
二、教学重难点：重点：掌握常见几何最值问题的解决方法。
难点：知识的综合运用和知识间的相互转化。
三、教学过程（一）导入：近年来几何最值问题在各地的中考试题中频繁出现，安徽省也不例外，2016年和2017年都出现了几何最值问题，在以往的中考试题中也曾多次出现过几何最值问题.所谓几何最值问题就是：在平面几何问题中，某几何元素在给定的条件变动时，求某几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数等）的最大值和最小值。
同学们请回忆一下我们以往所学的知识中有哪些涉及到最大或者最小值的？（二）新课讲解1运用二次函数的知识求几何最值例题：分析：我们移动E 点的位置可以发现，CF 的长度和BE 的长度有很密切的联系，大家想一想，我们常见的要求线段的长度一般有几种方法？这里有三角形相似吗？如果我们设BE=x ，CF=y ，我们能求出y 关于x 的函数吗？能利用这个函数关系求出CF 的最大值吗？归纳：一般在运用勾股定理或者相似形求线段的长度，以及求图形面积的时候可以尝试用二次函数求最值。
2. 利用垂线段最短求最值例题：分析：我们可以看出PQ 在RT ⊿OPQ 中，而且这个三角形的斜边是定值，那么要PQ 最大，只要OP 的长度最小就可以了，O 为定点，P 在直线BC 上，那么什么时候OP 的值最小？如图，在正方形ABCD 中，AB=6,BC=8E 为BC 上一动点,连接AE,EF ⊥AE 交CD 与F,求CF 长度的最大值。
A（2015中，直径AB=6是弦，∠ABC=30°,点P 在BC 上，点Q 在上，且OP ⊥PQ 。
（2）当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值A归纳：一般涉及到定点到定直线的距离，通常可以用垂线段最短的知识去求最值。
新苏科版九年级数学下册《二次函数的几何最值问题》教案_1
二次函数的几何最值问题【学习目标】1.能根据“两点之间线段最短”，通过作轴对称点求线段之和最小值；2.能根据“垂线段最短”，通过作轴对称点求线段之和最小值；3.理解两种数学模型求最值的实质都是几条线段共线时得到最大值或最小值；4.在二次函数的背景下能灵活运用上述几何模型求最值；当不能依赖几何模型时，能利用相似三角形或三角函数，借助二次函数解析式并结合二次三项式的配方法求最值。
5.体会转化思想和数形结合思想，体会图形变换在解题中的应用.【课前热身】1.正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点E是CD的中点，AB=2，PD+PE的最小值是．2.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF 的最小值是 .【探究应用】问题一：如图，已知抛物线223y x x=--与x轴交于点A、B，与y轴交于点C.⑴点A、B、C的坐标分别是： .⑵若点P为对称轴上一点，写出使△P AC周长最小时点P的坐标.⑶如图，点D是抛物线的顶点，点C与点E关于抛物线的对称轴对称，是否存在x轴上的点M和y 轴上的点N，使四边形DEMN的周长最小？若存在，请求出最小的周长；若不存在，请说明理由.问题二：如图，直线y kx b=+（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线221y x x =-++与y 轴交于点C ．⑴ 写出直线y kx b =+的函数表达式： .⑵ 若点E 在抛物线221y x x =-++的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE +EF 的最小值．⑶若点P （x ，y ）是抛物线221y x x =-++上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标.【课后提升】1. 如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A （﹣3，0），B （﹣2，3），C （0，3），其顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；2.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．3.如图，抛物线y=ax2+bx+c，经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上在第四象限的点，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x 轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．。
初中几何最值问题教案
初中几何最值问题教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法；3. 能够应用所学的知识解决实际问题。
教学重点：1. 几何最值问题的定义和意义；2. 解决几何最值问题的基本方法。
教学难点：1. 理解和掌握特殊位置及极端位置法；2. 理解和掌握几何定理（公理）法；3. 理解和掌握数形结合法。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：最值问题在实际生活中的应用，如购物时如何选择最优惠的商品等；2. 引导学生思考：如何数学化地表示最值问题；3. 引导学生思考：解决最值问题的基本思路。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解几何最值问题的定义和意义；2. 讲解解决几何最值问题的基本方法：a) 特殊位置及极端位置法；b) 几何定理（公理）法；c) 数形结合法。
3. 通过示例题目，讲解特殊位置及极端位置法的应用；4. 通过示例题目，讲解几何定理（公理）法的应用；5. 通过示例题目，讲解数形结合法的应用。
三、练习与讨论（15分钟）1. 学生独立完成练习题；2. 学生之间进行讨论，共同解决问题；3. 教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
四、总结与反思（5分钟）1. 引导学生总结本节课所学的知识点；2. 引导学生思考如何应用所学的知识解决实际问题；3. 教师进行课堂反思，总结教学效果。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习其他解决几何问题的方法；2. 引导学生参加数学竞赛或研究项目，提高解决几何问题的能力。
教学反思：本节课通过讲解几何最值问题的定义和意义，以及解决几何最值问题的基本方法，使学生了解了最值问题的实质，并能够应用所学的知识解决实际问题。
在教学过程中，通过示例题目和练习题，让学生充分理解和掌握特殊位置及极端位置法、几何定理（公理）法和数形结合法。
同时，通过学生之间的讨论和教师的讲解，提高了学生的解题能力和合作能力。
然而，在教学过程中也存在一些不足之处。
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PB PA 23
几何最值问题（一）
例题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +BP 的最小值．
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：
如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有
＝＝， 又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴
＝，∴PD ＝BP ， ∴AP +BP ＝AP +PD ．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +BP 的最小值为 ．
方法指导：
发现结构特点：动点的轨迹是圆（或弧）
构造“共边共角型相似”的一般步骤：
变式训练：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP +BP 的最小值为 ． 自主学习检测
1．如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的圆O 上运动，
则AP +BP 的最小值是 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，A （-2，0），B(0,1),C(0,3),以O 为圆心，OC 为半径画圆，P 为圆O 上一动点，则 的最小值为 . 1.连：系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连；
2.算：计算这两条线段之比k(往往发现这比值k 与系数有关)；
3.取：连接的两条线段中有一条定线段，在定线段（或其延长线）上取点M ，使得点M 到圆心的距离与半径之比为k ；
BD
AD
3
2
第1题第2题第3题
3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，
则PC+PD的最小值为．
4.（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，
那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为；
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．
挑战题：如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为圆O,P是圆O上一动点，则2PB+PC 的最小值为.
收获或疑惑：
一、合作探究深化学
（一）检查建构
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=4.BC=3,点D为△ABC内一动点，且满足CD=2，
则的最小值为.
（二）深度探究
问题1：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，则2P A+PB的最小值为．
问题2：如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，圆C半径为4，点D是圆C上的动点，连接AD、BD，则2AD+BD的最小值为.
当堂检测
1.在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点
PD PC
21 D ，连接AD ，BD ，CD ，则BD +AD 的最小值是 ．
2.如图，点A 、B 在圆O 上，且OA=OB=12，且OA ⊥OB ，点C 是OA 中点，点D 在OB 上，且OD=10，动点P 在圆O 上，则 的最小值为 .
3.如图，在平面直角坐标系中，A （6，-1），M （4，4），以M 为圆心，22为半径画圆，O
为原点，P 上圆M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为 .。