2008高等代数
2007-2008《高等代数I》秋季学期期末试卷B
红河学院2007—2008学年秋季学期 《高等代数I 》课程期末考试试卷 卷别：B 卷 考试单位： 考试日期： 题目 一 二 三 四 总分 得分 得分 评卷人 一、判断题(在正确的题后括号内打“Ο”，错误的打“×”，每小题2分，共12分) 1、若n ααα,,,21"与βααα,,,,21n "等价，则β可由n ααα,,,21"线性表出； （ ） 2、可逆矩阵的和仍是可逆矩阵； （ ） 3、零多项式能被任意多项式整除； （ ） 4、设A 、B 为数域上的n 阶方阵，若P ,0=AB 则或； （ ） 0=A 0=B 5、设A 、B 都为数域P 上的阶方阵，则n BA AB =； （ ） 6、若矩阵A 的所有r 阶子式全为零，则A 的秩至多是r 。
（ ） 得分 评卷人 二、填空题(每小题4分,共28分) 1、设),1,,2(),1,1,0(),,1,1(321k k −==−=ααα则321,,ααα线性无关的充要条件为 ；2、在行列式103140211−−中，第二行代数余子式之和为 ；3、设，，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B 1−=A ，1=B ，则B A 32+−= ；4、阶行列式n 210100101−−−−%$$%＝ ； 5、设，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ,12)(2−−=x x x f =)(A f ； 6、设A 、B 为方阵，A 可逆，，则 022=++B AB A =+−1)(B A ；7、设，，b ax x x x f +++=24)(1)(2++=x x x g )())(),((x g x g x f =，则 =a ，=b 。
得分 评卷人三、计算题（第1小题15分，第2小题5分，第3小题10分，共计30分）1、计算行列式(1) nn n n n x x x x x x x x x x x x D +++=λλλ"####"""21212121；(2) n n a n n n a a D +++="#"##""22211121。
全国2008年4月高等教育自学考试
浙02198# 线性代数试题 第 1 页（共 4 页）全国2008年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 为m×n 矩阵，B 为n×m 矩阵，m ≠n, 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是（ ）A.B T A TB.A T B TC.ABAD.BAB 2.设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A.-15B.-6C.6D.153.设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |=（ ）A.(-5)n |A |B.-5|A |C.5|A |D.5n |A |4.设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,则|A *|=（ ） A.-4B.-2C.2D.45.向量组α1，α2…，αS （s>2）线性无关的充分必要条件是（ ）A. α1，α2，…，αS 均不为零向量B. α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例C. α1，α2，…，αS 中任意s-1个向量线性无关D. α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示浙02198# 线性代数试题 第 2 页（共 4 页） 6.设3元线性方程组Ax =b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1+η2=(2,0,4)T ，η1+η3=（1，-2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax =b 的通解为（ ）A.(1,0,2)T +k (1,-2,1)TB.(1,-2,1)T +k (2,0,4)TC.(2,0,4)T +k (1,-2,1)TD.(1,0,2)T +k (1,2,3)T7.设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（） A.E-A B.-E-AC.2E-AD.-2E-A8.设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于（） A.41B.21C.2D.49.设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111 B. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111D. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛33322211110.二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
高等代数课件
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
856高等代数考研真题答案08
河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码： 856 科目名称： 高等代数一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知4阶行列式D 的第3行元素分别为 1,0,2,4-，第4行元素对应的余子式依次是5,10,,4a ，求a 的值。
2、（5分）已知矩阵B A ,满足关系A B AB =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012021B ，求矩阵A 。
3、（5分）设*A 为3阶方阵A 的伴随矩阵，A =2，计算行列式|21)3(|*1A A --。
解：1、因为 31413242334334440a A a A a A a A +++=，(3)L L分这里ij a 和ij A 分别是第i 行第j 列处的元素和该元素的代数余子式，所以有 150102440a -⨯+⨯+⨯-+⨯=（-）（），可得212a =。
(5)L L 分 2、 因为B A AB =-，所以B E B A =-)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-20001210211)(1E B B A ，(5)L L 分 3、|21)3(|*1A A --=111||3A A ---=12||3A --=312()||3A --=427-。
(5)L L 分二、（15分）计算)3(≥n n 阶行列式：0111101010n x xD x x x x =L L LM M M OM L。
（注释：该行列式主对角线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其余的元素都是x 。
要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。
解（法一）：0111101010n x x D x x x x =L L LM M M O M L1(),(2,3,,)i r x r i n ⨯-+=L 0111100100100x x x---L L L M M M O M L(6)L L 分当0x ≠时，再把第j 列的1x倍加到第1列（2,3,,j n =L ），就把n D 化成了上三角行列式 121111000(1)(1)000000n n n n x x D n x x x----==----L LL M M M O M L， (12)L L 分当0x =时，显然有0n D =。
福州大学2008年高等代数考研试题A卷及解答 (1)
福州大学2008年招收硕士研究生入学考试试卷招生学院_______________招生专业________________考试科目________________科目编号________________本卷共十题，每题15分一、填空题（每小题4分，满分20分）1、多项式32()61514f x x x x =-+-的有理根是_________；【答案解析】：22、矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵1A -=_________；【答案解析】：124211221232⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3、设P 为数域，在线性空间[]n P x 中，多项式()f x 在基1{1,(),...,()}n x a x a ---下的坐标是_________；【答案解析】：(1)()()((),(),,...,)2!(1)!n f a f a f a f a n -'''-4、在欧式空间4R 中，向量1(1,2,2,3)α=，2(3,1,5,1)α=的夹角为________；【答案解析】：455、已知1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则nA =________；【答案解析】：101n ⎛⎫⎪⎝⎭二、简答题（每小题5分，满分25分）6、求非齐次线性方程组1231234123412344212357375822268x x x x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+++=⎪⎨-+-=-⎪⎪---=-⎩的通解；【考察重点】：求非齐次线性方程组的通解，属于简单计算题，掌握知识点即可。
【答案解析】：解：142011420110245231570555501111371580555500000222680666600000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知原方程组与下面方程组同解1342342451x x x x x x --=-⎧⎨-++=⎩令340x x ==，得原方程组的一个特解()5100--且原方程组的两个基础解系为()()123010,1001αα=-=-所以原方程组的通解为()()()12510030101001x k k =--+-+-其中1k ，2k 为任意常数。
中山大学2008高代解答
3a − 3 0 −2
(2) + (1) 0 a−1 → 1 1
2 − a − a2 1−a a
3a − 3 0 −2
当a = 1时，方程组有无穷解，其解集为(−2, 0, 0) + k1 (1, −1, 0) + k2 (1, 0, −1). 五、(10分) 在F n 中，设αi = (ai1 , ai2 , · · · , ain ), i = 1, 2, · · · , m, β = (b1 , b2 , · · · , bn ). 证明： 如果线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a x + a x + ··· + a x 21 1 22 2 2n n · · · am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = = = 0 0 0
0 0
列变 → 1 0 0 1 −1 0
λ3 − cλ2 − bλ − a 0 0
,
解法2： 直接计算矩阵的不变因子为D3 = λ3 − cλ2 − bλ − a, D2 = 1 (因为 以所求极小多项式为D3 ÷ D2 = λ3 − cλ2 − bλ − a.
λ −1
= 1), 所
七、(10分) 设A为实对称矩阵，B 为实反对称矩阵，A − B 可逆，且AB = BA. 证明：(A + B )(A − B )−1 是正交矩阵。 证明： 由已知条件可得 ( (A + B )(A − B )−1 )′ ( )′ −1 = (A − B )−1 (A + B )′ = ((A − B )′ ) (A + B )′
2007-2008《高等代数I》秋季学期期末试卷C
1
a1 a2 。 "
an−1
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⎧
2、解方程组
⎪ ⎨
x1 + x2 − 3x3 − x4 + 5x5 = 1 3x1 − x2 − 3x3 + 4x4 − x5 = 0
，（用其导出方程组的基
⎪⎩x1 − 7x2 + 9x3 + 13x4 − 27x5 = −5
础解系表示其通解）。
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姓 名
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过
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0 0 0"0 1 2
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北京大学2008高等代数
北京大学2008年硕士研究生入学考试试题考试科目：数学基础考试2（高代、几何） 考试时间：2008年1月20日下午 招生专业：数学学院各专业 研究方向：数学学院各方向说明：答题一律写在答题纸上（含填空题、选择题等客观题），写在此页上无效。
注：本试题中()r A 表示A 的秩，A 表示矩阵A 的行列式，'A 表示矩阵A 的转置矩阵。
1.（14分）设A 为一s n ⨯矩阵，（1）若非齐次线性方程组AX β=有解且()r A r =，则AX β=的解向量中线性无关的最多有多少个？并找出一组个数最多的线性无关的解向量。
（2）若线性方程组AX β=对任意非零s 维列向量β都有解，求()r A 。
2.（12分）（1）设A 为一s n ⨯矩阵，B 为一n m ⨯矩阵且满足()()r AB r B =，则对任一m l ⨯矩阵C ，是否一定有()()r ABC r BC =？并说明理由。
（2）设A 为一n 阶实矩阵且A 的每一元素的代数余子式等于此元素，求()r A 。
3.（20分）（1）设,A C 分别为n 阶和m 阶实对称矩阵，B 为一n m ⨯实矩阵，若'A B B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，证明：'A B A C B C ≤⋅且等号成立当且仅当B O =。
（2）设()ij n n A a ⨯=为一n 阶实矩阵且它的每一元素的绝对值1ij a ≤，证明：2n A n ≤。
4.（12分）设()f x 为一整系数多项式且n 不整除(0),(1),...,(1)f f f n -，证明：()f x 无整数根。
5.（12分）设A 为数域K 上一n 阶矩阵，证明：若A 的特征多项式的复数根都属于K ，则A 与上三角矩阵相似。
6.（15分）设V 是数域K 的线性空间，,A B 都是V 上的线性变换。
设A 与B 的最小多项式互素，求满足AC CB =的所有线性变换C 。
7.（15分）设A 是n 维欧氏空间V 上的一正交变换，证明：A 是第一类的当且仅当存在V 上的正交变换B 使得2A B =。
浙大2008高代解答
解：设Dn+1 =
x2 1 ···
−1 xn 1
, 将下列行列式按第一列展开得
1 y ··· D(y ) = y
i−1
1 x2 ···
−1 xi 2 xi 2
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 1
1 xn
−1 xi n xi n
=
n ∑ i=0
(−y )i Di+1 ,
yi ··· y
1 α+1 ,
y1
, 设α = Y T X , A = E + XY T .
则
A(E − kXY T ) = (E + XY T )(E − kXY T ) = E + XY T − kXY T − kαXY T = E, 所以A可逆。 (2) 因为α = −1, 所以A2 = (E + XY T )2 = E + 2XY T + αXY T = E + XY T = A. 于是A的极小 多项式整除λ2 − λ, 故无重根，因而A可相似于对角矩阵。 五、(15分) 设矩阵A = (aij )n×n 是正定阵，证明|A| ≤ a11 a22 · · · ann , 且等号成立的充要条件 是A为对角矩阵。 证明： （归纳法）n = 1时命题显然成立。假设A为n − 1阶矩阵时，|A| ≤ a11 a22 · · · an−1n−1 , 且等号成立当且仅当A是对角阵；当A为n阶正定矩阵时，它的n − 1阶顺序子子阵An−1 也正定，于 是|An−1 | ≤ a11 · · · an−1n−1 , 且等号成立当且仅当An−1 为对角矩阵。设α = (a1n , · · · , an−1n )T , 则 |A| = An−1 α
2008年中山大学考研真题答案精解之高等代数
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：12008年中山大学考研真题答案精解之高等代数【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：22015考研英语写作七大误区词汇与语法错误考研英语写作让很多同学都很头痛，有两点原因：一为词汇，二为语法。
因为英语与汉语的区别是一词多义，非常讲究用词准确而且正式。
同时，英语的词汇非常丰富，一个词语通常都有许多同义词和近义词。
考生如果平时注意积累并加以练习，就能够在考试中熟练地加以运用。
英文写作也同样非常讲究语法，尤其是考研作文作为正式文体，需要注意以下几点小细节：(1)尽量少用缩写形式。
如don't,can't,won't 应写为do not,cannot,will not 等。
(2)用更加正式的否定形式。
如not…any 应写为no,not…much 写为little,not many 写做few 等。
(3)尽量少用"etc.","and so on"等表达方式。
例如：Activities include dancing,singing,etc 。
Activities include dancing,singing,and other fun stuff 。
◎中文式思维模式很多考生在考试过程中把一些中文的成语、谚语翻译成英文，这种做法导致的结果就是文章不仅行文不符合英文的规律，读起来也让人觉得非常不舒服。
纠正中文思维习惯的关键依然在于培养英文语感，同时考生在平时的练习中也要尽量让自己用英文来思考。
如果考生需要用到谚语，名句等，最好的办法是直接掌握英文的谚语、名句，并灵活运用到文章中。
◎注意字数与标点考研英语作文一分钟平均7～8个字，字数多少算个够?自己目测一下，以大作文为例，中等大小一行15字，最起码写到12，13位置,因为阅卷人做的第一件事情就是看你的字数，就看你的位置到没有到。