双曲线及其标准方程

双曲线及其标准方程(1)
福建师大附中苏诗圣
教学目标：理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程，并能熟练写出两类标准
方程；培养学生分析问题能力和抽象概括能力。

学会用辩证的观
点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性，
并从中发现数学曲线的简洁美和对称美，培养学生学习数学的兴
趣。

教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出
双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)
教学难点：双曲线的标准方程的推导
(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导
类比．)
教学方法：启发式
教学过程：复习椭圆的定义及标准方程→新知探索→数学实验→双曲线→展示现实生活中的双曲线→双曲线的定义
→对定义的思考→双曲线标准方程的推导→例与练
→课堂小结→作业→研究性学习
一、复习引入：
前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。

问题1：椭圆的定义是什么？
(板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

二、新知探索
1、思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样
点是否存在？若存在，轨迹会什么？
2、实物拉链演示：双曲线的形成(请同学参与协助画图)
(取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将
其中的一边剪掉一段(长为2a)，两端点分别固定在黑板的两个定点
F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉
笔就画出了一条曲线。

请同学们观察在变化中哪些量在变化，哪些量不变。

)思考如何改
进作图工具？
3、对双曲线有了初步的认识，现实生活中的双曲线的实物图(古代建
筑、现代建筑、冷却塔、北京市区交通图)，这些古今中外与双曲
线有关的图片给人一种对称、简洁、流畅的美的享受。

那么，如何
给双曲线一个科学的定义呢？
4、（请同学回答）双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
(1)定义中“平面内”起到什么作用？
如果没有这个条件，点的轨迹将变为一个立体图形。

(2)将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹是什么？
双曲线的一支，双曲线有两支，丢掉任意一支都是不完整的。

(3)将定义中的常数改为零，动点的轨迹是什么？
F1F2的中垂线。

(4)将定义中的“小于”改为“等于”，动点的轨迹是什么？
两条射线。

(5)将定义中的“小于”改为“大于”，动点的轨迹是什么？
不存在。

(6)将定义中的“小于|F1F2|”去掉，动点的轨迹是什么？
分类讨论
电脑演示(用几何画板制作课件)以上6种情形，在上述基础上，引导学生再次理解双曲线的定义。

2、双曲线标准方程的推导
现在我们可以用类似于求椭圆标准方程的方法求双曲线的标准方程，请同学们思考回忆椭圆标准方程的推导方法，随后引导学生自己推导。

(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，
那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与
F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
cx+a 2=±22)(y c x a +-
化简整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2)．
由双曲线定义，2c ＞2a>0 即c ＞a>0，所以c 2-a 2＞0．
设c 2-a 2=b 2(b ＞0)，代入上式得：b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2．
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 这就是双曲线的标准方程．(从以上推导过程中可知，曲线上的每一点的坐标都满足方程。

若以F 1F 2所在的直线为y 轴，F 1F 2的中垂线为x 轴建立直角坐标系，只须将
方程中的x 、y 对调即得122
22=-b
x a y 两种标准方程的比较(引导学生归纳)： (1) )0,0(122
22>>=-b a b
y a x 表示焦点在X 轴上的双曲线，焦点是F 1(-c ，0)、 F 2（c ，0），这里c 2=a 2+b 2。

(2) )0,0(122
22>>=-b a b
x a y 表示焦点在y 轴上的双曲线，焦点是F 1(0，-c)、 F 2（0，c ），这里c 2=a 2+b 2。

(1)双曲线标准方程中，a ＞0，b ＞0，但a 不一定大于b ；
(2)如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a 、b 、c 的关系是c 2=a 2+b 2，不同于椭圆方程中c 2=a 2-b 2．
三、例与练
例1：判断下列方程是否表示双曲线，若是，写出焦点坐标
(1) 12
22
2=-y x (2) 2y 2-7x 2= -14 是(±2，0) 是(0，3±)
例2(书P105例1)：已知双曲线两个焦点F 1(-5,0)、F 2(5,0)，双曲线上一
点P 到F 1、F 2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

分析：(1)“定位” 中心是否在原点，焦点在哪个轴上，以便确定是哪个
标准方程；
(2)“定量” 双曲线的标准方程中有两个参数，必须有两个相互独立的条件来确定a 和b ；
c=5，2a=6，所以b 2=c 2-a 2=52-32=42．
例3：(书P107练习2)已知方程11
22
2=+--m y m x 表示焦点在x 轴上的双曲线，求m 的取值范围。

分析：(2-m)>0且(m+1)>0
得 -1<m<2
变式一：已知方程11
222=+--m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围。

分析：(2-m)(m+1)>0
得 -1<m<2
变式二：已知方程11
22
2=++-m y m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，求m 的取值范围和焦点坐标。

分析：
变式三：上述方程是否可以表示椭圆和圆？
{20
201>⇒<->+m m m 1
2)2()1(2-=-++=m m m c )
12,0(-±⇒m
焦点为
,)()(2222a y c x y c x =+-⨯++
分析： 2-m>0且m+1>0
得-1<m<2時为椭圆。

当2-m=m+1>0时
得m=2
1时，表示圆。

四、小结
双曲线与椭圆的联系与区别(图表)。

五、布置作业 P 108 1、2、3
六、思考题：将作业第一题改为“△ABC 一边的两个端点是B(a ，0)和C(-a ，
0)，另两边所在直线的斜率之积为常数k ”，求顶点A 的轨迹。

七、研究性问题：平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹是什么？
1、可以进行理论研究
2、可以利用电脑进行研究
3、可以利用文曲星自编BASIC 语言进行研究
4、进行合作探究，相互学习和交流。

设两定点分别为 A （-c , 0）、 B (c , 0 ) , c >0 . 平面上任意一点P ( x , y )到两定点的距离的积为a , 则 当c 2
>a 时，点的轨迹为两个分离的封闭图形，如图1所
当c 2 =a 时，点的轨迹为两个相切的封闭图形，在原点相切，如图2所示。

当c 2 <a 时，点的轨迹为一个封闭图形，我们可称其为“花生形”，如图3所示。

图1 图2 图3
.
4 22222c x a c x y ++--±=化简得
平面内到两个定点的距离之商为定值K的点的轨迹是什么？
当K>0且不等于1时，表示圆，当K等于1 时，表示中垂线。