B树

B-树和B+树的应用：数据搜索和数据库索引分类：数据结构与算法c/c++Mysql2012-07-29 11:272008人阅读评论(0)收藏举报1 .B-树定义B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。

定义：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树：⑴树中每个结点至多有m 棵子树；⑵若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；⑶除根结点之外的所有非终端结点至少有[m/2] 棵子树；⑷所有的非终端结点中包含以下信息数据：（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki<Ki+1，Ai为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1 所指子树中所有结点的关键码均小于Ki(i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的关键码均大于Kn.n为关键码的个数。

⑸所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。

如一棵四阶B-树，其深度为4.B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。

在上图的B-树上查找关键字47的过程如下：1）首先从更开始，根据根节点指针找到*节点，因为*a 节点中只有一个关键字，且给定值47 > 关键字35，则若存在必在指针A1所指的子树内。

2）顺指针找到*c节点，该节点有两个关键字（43和78），而43 < 47 < 78,若存在比在指针A1所指的子树中。

3）同样，顺指针找到*g节点，在该节点找到关键字47,查找成功。

2. 查找算法[cpp]view plaincopyprint?1.typedef int KeyType ;2.#define m 5 /*B 树的阶，暂设为5*/3.typedef struct Node{4.int keynum; /* 结点中关键码的个数，即结点的大小*/5.struct Node *parent; /*指向双亲结点*/6.KeyType key[m+1]; /*关键码向量，0 号单元未用*/7.struct Node *ptr[m+1]; /*子树指针向量*/8.Record *recptr[m+1]; /*记录指针向量*/9.}NodeType; /*B 树结点类型*/10.11.typedef struct{12.NodeType *pt; /*指向找到的结点*/13.int i; /*在结点中的关键码序号，结点序号区间[1…m]*/14.int tag; /* 1:查找成功，0:查找失败*/15.}Result; /*B 树的查找结果类型*/16.17.Result SearchBTree(NodeType *t,KeyType kx)18.{19./*在m 阶B 树t 上查找关键码kx，反回(pt,i,tag)。

若查找成功，则特征值tag=1，*/20./*指针pt 所指结点中第i 个关键码等于kx；否则，特征值tag=0,等于kx 的关键码记录*/21./*应插入在指针pt 所指结点中第i 个和第i+1 个关键码之间*/22.p=t;q=NULL;found=FALSE;i=0; /*初始化，p 指向待查结点，q 指向p 的双亲*/23.while(p&&!found)24.{ n=p->keynum;i=Search(p,kx); /*在p-->key[1…keynum]中查找*/25.if(i>0&&p->key[i]= =kx) found=TRUE; /*找到*/26.else {q=p;p=p->ptr[i];}27.}28.if(found) return (p,i,1); /*查找成功*/29.else return (q,i,0); /*查找不成功，反回kx 的插入位置信息*/30.}3.B-树的插入B-树的生成也是从空树起，逐个插入关键字而得。

但由于B-树结点中的关键字个数必须≥ceil(m／2)-1，因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”，如图（a）为3阶的B-树(图中略去F结点(即叶子结点))，假设需依次插入关键字30，26，85。

1) 首先通过查找确定插入的位置。

由根*a 起进行查找，确定30应插入的在*d 节点中。

由于*d 中关键字数目不超过2（即m-1），故第一个关键字插入完成：如（b）2) 同样，通过查找确定关键字26亦应插入*d. 由于*d节点关键字数目超过2，此时需要将*d分裂成两个节点，关键字26及其前、后两个指针仍保留在*d 节点中，而关键字37 及其前、后两个指针存储到新的产生的节点*d` 中。

同时将关键字30 和指示节点*d `的指针插入到其双亲的节点中。

由于*b节点中的关键字数目没有超过2，则插入完成.如（c）(d)3) (e) -(g) 为插入85后;[cpp]view plaincopyprint?1.int InserBTree(NodeType **t,KeyType kx,NodeType *q,int i){2./* 在m 阶B 树*t 上结点*q 的key[i],key[i+1]之间插入关键码kx*/3./*若引起结点过大，则沿双亲链进行必要的结点分裂调整，使*t仍为m 阶B 树*/4.x=kx;ap=NULL;finished=FALSE;5.while(q&&!finished)6.{7.Insert(q,i,x,ap); /*将x 和ap 分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]*/8.if(q->keynum<m) finished=TRUE; /*插入完成*/9.else10.{ /*分裂结点*p*/11.s=m/2;split(q,ap);x=q->key[s];12./*将q->key[s+1…m],q->ptr[s…m]和q->recptr[s+1…m]移入新结点*ap*/13.q=q->parent;14.if(q) i=Search(q,kx); /*在双亲结点*q 中查找kx 的插入位置*/15.}16.}17.if(!finished) /*(*t)是空树或根结点已分裂为*q*和ap*/18.NewRoot(t,q,x,ap); /*生成含信息(t,x,ap)的新的根结点*t,原*t 和ap 为子树指针*/19.}4. B-树的删除反之，若在B-树上删除一个关键字，则首先应找到该关键字所在结点，并从中删除之，若该结点为最下层的非终端结点，且其中的关键字数目不少于ceil(m/2)，则删除完成，否则要进行“合并”结点的操作。

假若所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y替代Ki，然后在相应的结点中删去Y。

例如，在下图图4.1( a)的B-树上删去45，可以*f结点中的50替代45，然后在*f结点中删去50。

因此，下面我们可以只需讨论删除最下层非终端结点中的关键字的情形。

有下列三种可能：(1)被删关键字所在结点中的关键字数目不小于ceil(m/2)，则只需从该结点中删去该关键字Ki和相应指针Ai，树的其它部分不变，例如，从图图4.1( a)所示B-树中删去关键字12，删除后的B-树如图图4.2( a)所示：图4.2( a)(2)被删关键字所在结点中的关键字数目等于ceil(m/2)-1，而与该结点相邻的右兄弟(或左兄弟)结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1，则需将其兄弟结点中的最小(或最大)的关键字上移至双亲结点中，而将双亲结点中小于(或大于)且紧靠该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

[例如]，从图图4.2( a)中删去50，需将其右兄弟结点中的61上移至*e结点中，而将*e结点中的53移至*f，从而使*f和*g中关键字数目均不小于ceil(m-1)-1，而双亲结点中的关键字数目不变，如图图4.2(b)所示。

图4.2(b)(3)被删关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。

假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由双亲结点中的指针Ai所指，则在删去关键字之后，它所在结点中剩余的关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai所指兄弟结点中(若没有右兄弟，则合并至左兄弟结点中)。

[例如]，从图4.2(b)所示B-树中删去53，则应删去*f结点，并将*f中的剩余信息(指针“空”)和双亲*e结点中的61一起合并到右兄弟结点*g中。

删除后的树如图4.2(c)所示。

图4.2(c)如果因此使双亲结点中的关键字数目小于ceil(m/2)-1，则依次类推。

[例如]，在图4.2(c)的B-树中删去关键字37之后，双亲b结点中剩余信息(“指针c”)应和其双亲*a 结点中关键字45一起合并至右兄弟结点*e中，删除后的B-树如图 4.2(d)所示。

图 4.2(d)B-树主要应用在文件系统为了将大型数据库文件存储在硬盘上以减少访问硬盘次数为目的在此提出了一种平衡多路查找树——B-树结构由其性能分析可知它的检索效率是相当高的为了提高B-树性能’还有很多种B-树的变型，力图对B-树进行改进B+树是应文件系统所需而产生的一种B-树的变形树。

一棵m 阶的B+树和m 阶的B-树的差异在于：⑴有n 棵子树的结点中含有n 个关键码；⑵所有的叶子结点中包含了全部关键码的信息，及指向含有这些关键码记录的指针，且叶子结点本身依关键码的大小自小而大的顺序链接。

⑶所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键码。

如图一棵3阶的B+树:通常在B+树上有两个头指针，一个指向根节点，另一个指向关键字最小的叶子节点。

因此可以对B+树进行两种查找运算：一种是从最小关键字起顺序查找，另一种是从根节点开始，进行随机查找。

在B+树上进行随机查找、插入和删除的过程基本上与B-树类似。

只是在查找时，若非终端结点上的关键码等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。

因此，在B+树，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。

B+树在数据库中的应用1. 索引在数据库中的作用在数据库系统的使用过程当中，数据的查询是使用最频繁的一种数据操作。