高中数学一轮复习课件：幂函数的图像和性质

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• y＝x2是幂函数． • y＝2x不是幂函数，是指数函数． • 二者本质的区别在于自变量的位置不同， 幂函数的自变量在底数位置，而指数函数 的自变量在指数位置.
• 2.常用幂函数的图象与性质 函数
特征 性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
函数 特征 性质
y＝x
R
y＝x2
R
y＝x3 y＝x y＝x－1
解：∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称， ∴m2－2m－3 是偶数， 而 22－2×2－3＝－3 为奇数，12－2×1－3＝－4 为偶数， ∴m＝1.
或 0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a. 2 3 解得 a<－1 或3<a<2. 2 3 故 a 的范围为{a|a<－1 或3<a<2}．
• 解析：代入验证． • 答案：－1或2
• 4．已知函数f(x)＝x ，且f(2x－1)<f(3x)， 则x的取值范围是________．
2x－1≥0， 解析：由 2x－1< 3x得：3x>0， 2x－1<3x， 1 ∴x≥ . 2
• 5．已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为 何值时，f(x)是： • (1)正比例函数； • (2)反比例函数； • (3)二次函数； • (4)幂函数．
1．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都经过 点(1,1)． (2)在幂函数 y＝xα(α∈R)中，如果 α>0，则幂函数的图象经 过原点，且函数在(0，＋∞)上是单调递增函数；如果 α<0，则 幂函数在(0，＋∞)上是单调递减函数，且在第一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴；当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴．
(2)∵函数 f(x)经过点(2， 2)， ∴m2＋m＝2，即 m2＋m－2＝0. ∴m＝1 或 m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. 2－a≥0， 由 f(2－a)>f(a－1)得a－1≥0， 2－a>a－1.
3 解得 1≤a< . 2 故 m 的值为 1， 满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范 3 围为[1， )． 2
1 1 2 1 －1 －2 －1 解析：y＝x2＝x ，y＝x ＝2x ，y＝x ＝x ，y＝ x＝x2，y
＝ x－1＝(x－1)2，y＝1≠x0(x≠0)． 可见只有 y＝x ，y＝x ，y＝x2是幂函数．
－2 －1
1
1
• 答案：C
• 【例2】 右图是幂函数y＝xm与y＝xn在 第一象限内的图象，则 ( ) • A．－1<n<0<m<1 • B．n<－1,0<m<1 • C．－1<n<0，m>1 • D．n<－1，m>1
1.了解幂函数的概念．
1 1 考纲要求 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ x，y＝x2的 2 3
图象，了解它们的变化情况. 1.常以 5 种幂函数为载体，考查幂函数的图象及 热点提示 性质； 2．多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他 知识结合在知识交汇点处命题.
• 1．幂函数的定义 y＝xα(α∈R) • 一般地，形如 的函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常 数．对于幂函数，一般只讨论α＝1,2,3，， －1时的情形．
• 解析：此类题有一简捷解决办法，在(0,1) 内取同一x值x0，作直线x＝x0，与各图象 有交点，则“点低指数大”，如右图， ∴0<m<1，n<－1. • 答案：B
• 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象 越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数 的指数越大，图象越远离x轴.
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3 2．已知点 M( ，3 3)在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表 3 达式为 A．f(x)＝x3
1
( B．f(x)＝x－3 D．f(x)＝x
－
)
1 2
C．f(x)＝x2
3α 解析：设 f(x)＝x ，则 3 3＝( ) ，所以 α＝－3， 3
α
即 f(x)＝x－3.
答案：B
1n 1n 3．已知 n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－ ) >(－ ) ，则 n＝ 2 3 ________.
•
变式迁移 2 给出关于幂函数的以下说法： ①幂函数的图象都经过(1,1)点； ②幂函数的图象都经过(0,0)点； ③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函 数； ④幂函数的图象不可能经过第四象限； ⑤幂函数在第一象限内一定有图象； ⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函 数． 其中正确的说法有________．
1
• 答案：①④⑤
【例 3】 比较下列各组值的大小：
• (3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数， 所以0.20.5<0.20.3.又由于幂函数y＝x0.3在 (0，＋∞)是递增函数，所以0.20.3<0.40.3， 故有0.20.5<0.40.3.
有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较．一般地，几种幂值的比较方法如 下： ①幂的底数相同，指数不同型 可以利用指数函数的单调性进行比较． ②幂的底数不同，指数相同型 可以利用幂函数的单调性进行比较． ③幂的底数不同，指数不同型 常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与 中间值的大小，确定两个幂值的大小.
(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的 (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条 件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围．
• 解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， • 而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m2＋ m为偶数． • ∴函数f(x)＝ (m∈N*)的定义 域为[0，＋∞)，并且函数f(x)在其定义域 上为增函数．
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1， ∴m＝－1± 2.
【例 1】 给出下列函数： 1 ①y＝ 3； x ③y＝x ＋x
4 2;
②y＝3x－2； ④y＝ x2， ( ) 3
其中是幂函数的有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：可以对照幂函数的定义进行判断． 1 3 2 2 －3 在所给出的四个函数中，只有 y＝x3＝x 和 y＝ x ＝x3符 合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数．所以选 B.
• 2．利用幂函数和指数函数的单调性比较 幂值的大小 • (1)当幂的底数相同，指数不同时，可以 利用指数函数的单调性比较； • (2)当幂的底数不同，指数相同时，可以 利用幂函数的单调性比较； • (3)当幂的底数和指数都不相同时，一种 方法是作商，通过商与1的大小关系确定 两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介 法，即找到一个中间值，通过比较两个幂 值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；
解：(1)若 f(x)为正比例函数，则
m2＋m－1＝1， 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm ＋2m≠0
⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1， 2 m ＋2m≠0
⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则
m2＋m－1＝2， 2 m ＋2m≠0
－1± 13 ⇒m＝ 2
• 变式迁移 3 设a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝ 0.30.2，则a，b，c的大小关系为 ( ) • A．a>b>c B．a<b<c • C．a<c<b D．b<a<c • 解析：∵y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数且 0.2<0.3，∴0.20.3<0.30.3， • 又∵y＝0.3x在R上是减函数且0.3>0.2， • ∴0.30.3<0.30.2. • 综上，知0.20.3<0.30.3<0.30.2，即a<b<c.
1．设
1 －1，1， ，3，则使函数 α∈ 2
y＝xα 的定义域为 R 且 ( )
为奇函数的所有 α 值为 A．1,3 C．－1,3
B．－1,1 D．－1,1,3
• 解析：∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)， • ∴α＝－1不合题意．排除B、C、D，故 选A. • 答案：A
本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综 合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此 类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称 性)求出 m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函 数的图象求出参数 a 的取值范围.
变式迁移 4 已知幂函数 f(x)＝ 单调性；
R {x|x≥0} {x|x≠0}
定义 域 值域 奇偶 性 单调
R
奇
{y|y≥0}
偶
(－∞，0)减 (0，＋∞)增
R
奇
{y|y≥0}
非奇非偶
y≠0
奇
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
增
增
增
(1,1)
• 幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它 们的定义域、性质和图象也不尽相同．但 它们的图象均不经过第四象限，在其他象 限的图象可由定义域和奇偶性决定.
• (4)比较多个幂值的大小，一般也采用媒 介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组， 然后将同一组内的各数再利用相关方法进 行比较，最终确定各数之间的大小关系．
【例 4】 已知幂函数 f(x)＝xm2