3.1.1 空间向量及其运算
3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学过程： 一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3， 且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？ 是否为F 1→+F 2→+F 3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；F 12方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中 (2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b .由O ，A ，B 三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.ab空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b （三角形法则） OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b （平行四边形法则） BA →＝OA →－OB →＝a －b OP →＝λa (λ∈R )平面向量的线性运算满足下列运算律 运算律：⑴加法交换律：a ＋b ＝b ＋a⑵加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ⑶数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?aλaO PaAOb Ba －b ab ab OABa ＋b(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题? 结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 三.数学运用例1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→; (2)AC →＋CB →＋12AA 1→;(3)AA 1→－AC →－CB → 解：(1)CB →＋BA 1→＝CA 1→(2)因为M 是BB 1的中点, 所以BM →＝12BB 1→，AC →＋CB →＋12AA 1→AOABCabca ＋ba ＋b ＋cb ＋cA /A /又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→.例2.如图，在长方体OADB-CA ’D’B’中，OA ＝3,OB ＝4,OC ＝2,OI ＝OJ ＝OK ＝1,，点E ,F 分别是DB ,D ’B ’的中点，设OI →＝i , OJ →＝j , OK →＝k , ,试用向量i , j , k 表示OE →和OF →解：∵BD →＝OA →＝3OI →＝3i ，∴BE →＝12BD →＝32 i .又OB →＝4OJ →＝4j ,∴OE →＝OB →＋BE →＝32i ＋4j .∵EF →＝ BB ’→＝OC →＝2k ，∴OF →＝OE →＋EF →＝32i ＋4j ＋2k .例3.已知平行六面体ABCD -ABCD .求证：AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →， AB ’→＝AB →＋ AA ’→， AD ’→＝AD →＋ AA ’→，∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋ AA ’→) +(AD →＋ AA ’→)＝2(AB →＋AD →＋ AA ’→). 又∵ AA ’→＝ CC ’→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋ AA ’→＝AB →＋BC →＋ CC ’→＝AC →＋ CC ’→＝ AC ’→， ∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 【课堂练习】已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AB →－12(AB →＋AC →)．BCDMGAABCDA ’B ’C ’D ’四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业3.1.2 共面向量定理教学目标：1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理；2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题． 教学重点、难点：空间向量共面定理的证明及其应用． 教学过程： 一.知识回顾复习空间向量的概念以及空间向量的线性运算和性质． 二.问题情境在同一平面中,向量之间有共线与不共线之分; 在空间中,我们当然要关心向量共面问题.为此首先要明确什么叫做向量共面? 能平移到同一平面的向量叫做共面向量 问题: 空间中两个向量是否共面? 空间中三个向量是否共面?在平面向量中，向量b 与向量a (a ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .那么，空间的任意一个向量p 与两个不共线向量a ,b 共面时，它们之间存在怎样的关系呢？ 三.数学理论共面向量定理：如果两个向量a ,b 不共线，那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b .证明：（必要性）向量a ,b 不共线，当p 与向量a ,b 共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(x ,y )，使得p ＝x a ＋y b ．（充分性）对于空间的三个向量p ,a ,b ，其中a ,b 不共线，如果存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b ，那么在空间任意取一点M ，作MA →＝a , MB →＝b , MA '→＝x a ,过点A ’作A'P →＝y b ,（如图），则MP →＝MA'→＋A'P →＝ x a ＋y b ＝ p ,，于是点P 在平面MAB 内，从而MP →,MA →,MB →共面，即向量p 与向量a ,b 共面．这就是说，向量p 可以由两个不共线的向量a ,b 线性表示．四．数学运用例1．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：MN ∥平面CDE ．分析：要证明MN ∥平面CDE ，只要证明向量NM →可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE →和DC →线性表示．证明：如图，因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →，又CD →＝BA →＝－13AB →，所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝(13DA →＋13AB →)＋BA →＋(13AD →＋13DE →)＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →．又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理，可知MN →,CD →,DE →共面． 由于MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE ．例2．设空间任一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若点P 满足向量关系OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →（其中x ＋y ＋z ＝1），试问：P , A ,B ,C 四点是否共面？分析：类比证明三点共线的方法，要判断P , A ,B ,C 是否共面，可考察三个共起点的向量AP →，AB →，AC →是否共面．解：由x ＋y ＋z ＝1，可得x ＝1－z －y ．则OP →＝(1－z －y )OA →＋yOB →＋zOC →＝OA →＋y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)， 所以OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，即AP →＝yAB →＋zAC →.由A ,B ,C 三点不共线，可知AB →和AC →不共线， 所以AP →，AB →，AC →共面且具有公共起点A ．从而P , A ,B ,C 四点共面．思考：如果将x ＋y ＋z ＝1整体代入，由(x ＋y ＋z ) OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →出发，你能得到什么结论？例3．从□ABCD 所在平面外一点O 作向量OE →＝kOA →,OF →＝kOB →,OG →＝kOC →,OH →＝kOD →, （1）求证：四点E ,F ,G ,H 共面；（2）平面AC ∥平面EG ． 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∵EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝k (OC →－OA →)＝kAC →＝k (AB →＋AD →) ＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →， ∴EG →,EF →,EH →共面且共起点，∴E ,F ,G ,H 四点共面． （2）∵EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，∴EF →∥AB →，∴EF →∥平面AC ，同理EG →∥平面AC ，又EF →∩EG →＝E ，∴平面AC ∥平面EG ． 练习：已知两个非零向量e 1, e 2不共线，如果AB →＝e 1＋ e 2, AC →＝2 e 1＋8 e 2, AD →＝3 e 1－3 e 2. 求证：A ,B ,C ,D 四点共面． 五．回顾小结1．共面向量定理的证明； 2．共面向量定理的简单运用． 六．布置作业3.1.3空间向量基本定理教学目标：1.掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，而且这种表示是唯一 的；3.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量． 教学重点，难点：空间向量基本定理及其推论． 教学过程： 一.知识回顾共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 平面向量基本定理：如果e 1，e 2那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数x ,y ，使a = x e 1+ y e 2 . 二.问题情境平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线的向量来线性表示．对于空间向量是否有相应的结论呢？ 三.数学理论 空间向量基本定理：如果三个向量 e 1, e 2 , e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个惟一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.证明：（存在性）设e 1, e 2 , e 3不共面过点O 作OA →＝e 1, OB →＝e 2, OC →＝e 3, OP →＝p ,， 过点P 作直线PP’平行于OC ，交平面OAB 于点P’， 在平面OAB 内，过点P’作直线P’A’∥OB , P’B ∥OA , 分别与直线OA ,OB 相交于点A ’,B ’，于是，存在三个实数x ,y ,z ，使OA'→＝xOA →＝x e 1，OB'→＝yOB →＝y e 2，OC'→＝zOC →＝z e 3，∴OP →＝OA'→＋OB'→＋OC'→＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝x e 1＋y e 2＋z e 3．1/ （惟一性）假设还存在x’,y’,z’使p＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3，那么x e1＋y e2＋z e3＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3∴(x－x’)e1＋(y－y’)e2＋(z－z’)e3＝0不妨设x≠x’即x－x’≠0，∴e1＝－y－y’x－x’e2－z－z’x－x’e3,∴e1, e2, e3共面此与已知矛盾，∴有序实数组(x,y,z)是惟一的.空间向量基本定理告诉我们，若三向量e1,e2,e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1, e2, e3线性表示，我们把{ e1, e2, e3}叫做空间的一个基底，e1, e2, e3叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示.推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.四.数学运用例1如图，在正方体OADB-CA’D’B’中，，点E是AB与OD的交点,M是OD’与CE的交点，试分别用向量OA→,OB→,OC→表示OD'→和OM→.解：∵OD→＝OA→＋OB→,∴OD'→＝OD→＋DD'→＝OA→＋OB→＋OC→.由△OME∽△D’MC,可得OM＝12MD’＝13OD’,∴OM→＝13OD'→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.例2 .如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→.解：OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→A＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →, ∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.五、回顾总结空间向量基本定理及其证明 六、布置作业§3.1.4 空间向量的坐标表示教学目标（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算； （2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行． 教学重点，难点空间向量的坐标的确定及运算． 教学过程 一.知识回顾复习平面向量的坐标表示及运算律：（1）若p ＝x i ＋y j （i ，j 分别是x ，y 轴上同方向的两个单位向量），则p 的坐标为(x , y )； （2）若a ＝(a 1, a 2)，b ＝(b 1, b 2)，则加（减）法：a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2)；a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2) 数乘：λa ＝(λa 1, λa 2)（λ∈R ） 数量积：a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2特别地，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2（λ∈R ）；a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0（3）若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1)． 二.问题情境在平面“解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？ 三．数学理论1．空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x , y , z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ．有序实数组(x , y , z )叫做向量a 在空间直角坐标O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x , y , z )．2．在空间直角坐标O －xyz 中，对于空间任意一点A (x , y , z )，向量OA →是确定的，容易得到OA →＝x i ＋y j ＋z k ，因此，向量OA →的坐标为OA →＝(x , y , z )．这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标． 3．向量坐标运算法则（类似于平面向量的坐标运算） （1）设a ＝(a 1, a 2, a 3)，b ＝(b 1, b 2, b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2, a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2, a 3－b 3) λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3)（λ∈R ）（2）若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)． 4．空间向量平行的坐标表示a ∥b （a ≠0）⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3（λ∈R ） 说明：即对应的坐标成比例（但没有平面向量平行的等积式）四．数学运用 1．例题：【例1】已知a ＝(1, －3, 8)，b ＝(3, 10, －4)，求a ＋b ，a －b ，3a ． 解：a ＋b ＝(1, －3, 8)＋(3, 10, －4)＝(1＋3, －3＋10, 8－4)＝(4, 7, 4)，a －b ＝(1, －3, 8)－(3, 10, －4)＝(1－3, －3－10, 8＋4)＝(－2, －13, 12)， 3a ＝3×(1, －3, 8)＝(3, －9, 24)【例2】已知空间四点A (－2, 3, 1)，B (2, －5, 3)，C (10, 0, 10)和D (8, 4, 9)，求证：四边形ABCD 是梯形．证：依题意OA →＝(－2, 3, 1)，OB →＝(2, －5, 3)，所以AB →＝OB →－OA →＝(2, －5, 3)－(－2, 3, 1)＝(4, －8, 2)同理DC →＝(2, －4, 1)，AD →＝(10, 1, 8)，BC →＝(8, 5, 7) 由AB →＝2DC →可知，AB →∥CD →，|AB →|≠|DC →|，又AD →与BC →不共线，所以四边形ABCD 是梯形． 说明：与平面向量一样，若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)．这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．【例3】已知a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，c ＝(4, 0, 24)，求证：a ，b ，c 共面． 解：因为a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，所以a 与b 不共线．不妨设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝46x －2y ＝0－3x ＋9y ＝24解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，所以c ＝a ＋3b ，所以a ，b ，c 共面．【例4】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是CC 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，试建立空间直角坐标系，证明：平面MNP ∥平面A 1BD ．解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则A1(1, 0, 0)，B (1, 1, 1)，D (0, 0, 1)，B 1(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 0)，N (12, 1, 0)，M (0, 1, 12)，D 1(0, 0, 0)，P (0,12, 0)， 于是A 1B →＝(0, 1, 1)，A 1D →＝(－1, 0, 1)，NM →＝(－12, 0, 12)，PM→＝(0, 12, 12)，显然有NM →＝12A 1D →，PM →＝12A 1B →．所以，NM →∥A 1D →，PM →∥A 1B →，因此平面MNP ∥平面A 1BD ．说明：同平面解析几何坐标法解题一样，关键是如何建立适当的坐标系．当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明． 五．回顾小结：1．会正确的确定空间向量及点的坐标；2．向量的坐标判断两个空间向量平行的方法；六．课外作业：§3.1.5 空间向量的数量积第一课时教学目标1.在充分了解平面向量及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量数量积的概念、性质及运算律．2.掌握空间向量夹角和模的概念，学会用向量数量积求两直线所成的角，能判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）；3.了解空间向量数量积的几何意义． 教学重点，难点 空间向量数量积 教学过程一．问题情境 1.知识回顾（1）平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，有a ·b ＝|a ||b |cos θ，（0≤θ≤π），其中θ是向量a ，b 的夹角，并规定a ·b ＝0．（2）平面向量的夹角：将a →与b →平移至同起点处所成的0≤θ≤π 角．（同起点是关键） 2.问题：我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义，那么类比平面向量知识，空间向量的夹角和数量积怎么定义？ 二.数学理论由于任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义． 1.空间向量的夹角及其表示：如图，已知两非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b >；范围：0≤<a ,b >≤π，在这种规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且有<a ,b >＝<b ,a >． 若<a ,b >＝0，那么向量a 与b 同向； 若<a ,b >＝π，那么向量a 与b 反向；若<a ,b >＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ．注意：正确使用两个向量夹角的符号<a ,b >．例如：<AB →,AC →>＝∠BAC ． 2.向量的模：设OA →＝a ，则有向线段OA →的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |． 3.向量的数量积：已知a ，b 是空间两个非零向量，则|a ||b |cos<a ,b >叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ,b >．规定：0向量与任何向量的数量积为0．注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量，符号由cos θ的符号所决定． ②零向量与任意向量的数量积等于零． 4.由空间向量数量积定义可知：空间两个非零向量a ·b 的夹角<a ,b >可以由cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |求得．5.空间向量数量积的性质：（1）cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |；（2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0（a ，b 是两个非零向量）；（3）|a |2＝a ·a ＝a 2．注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据； ②性质（3）是求向量的长度（模）的依据。
3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)
答案
→ → → OA，OB，OC是不同在一个平面内的向
量，而我们以前所学的向量都在同一平面内． 结论：在空间，具有大小和方向的量叫空间向量．向量的 大小叫做向量的长度或模．
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
问题 2 用？
空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作
答案
空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既
量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终 点相同，故①错；
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故② 错；
→ → 根据正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，向量AC与A1C1的方向相 → → 同，模也相等，应有AC＝A1C1，故③正确； 命题④显然正确； 空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同，故 不一定相等，故⑤错．
小结 在空间，零向量、单位向量、向量的模、相等（反） 向量的概念和平面向量完全一致，研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
( B )
跟踪训练 1 下列说法中正确的是 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a |＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 → → → D．在四边形 ABCD 中，一定有AB＋AD＝AC
3.1.1
例 1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a， b，满足 |a |＝ |b |，则 a＝ b； → → ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有AC＝A1C1； ④若空间向量 m， n， p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝ p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( C ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向
3.1空间向量及其运算
当堂自测
4．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若 1→ 2→ → → 确定的点 P 与 A，B，C 共面，则 由向量OP＝ OA＋ OB＋λOC 5 3 2 λ＝________ ． 15
向量概念的应用
例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( D ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 → ，CD → 满足|AB → |>|CD → |，则AB → >CD → C．若向量AB → 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD → D．若两个非零向量AB
范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 2 000 m， 再向西行驶 2 500 m， 最后乘电梯上升 30 m 到 10 楼的住处． 在 这个过程中， 范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是 三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如 何刻画这样的位移呢？
复习与预习
当堂自测
1．在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交 → → → 点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列 → 向量中与B 1M相等的向量是 ( A ) 1 1 1 1 A．－ a＋ b＋c B． a＋ b＋c 2 2 2 2 1 1 1 1 C． a－ b＋c D．－ a－ b＋c 2 2 2 2
[解析] (2)若 2ke1－e2 与 e1＋2(k＋1)e2 共线， 则 2ke1－e2＝λ[e1＋2(k
2k＝λ， 1 ＋1)e2]，∴ ∴k＝－ . 2 －1＝2λ（k＋1），
[小结 ] 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线， 这 与利 用平 面向量 基本 定理 判断平 面内 三点共 线是 相似 的．结合共线向量的有关知识可知，要证空间中 E， F， B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可： → → → → → → → → (1)EB＝mEF；(2)AB＝AE＋λEF；(3)AB＝nAE＋(1－n)AF.
人教A版数学选修21-空间向量与立体几何-【完整版】
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.1.1空间向量及其运算
（金戈铁骑 整理制作）
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
减法 运算
减平法 行:四三边角形向形对法法量则于则，空a间,b任,(a意≠0的）两，个b
运 算
加法交换律 a与 ba共b 线a 的充加法要交换条律件a 是b b a 加法结合律 存在实数λ，加法使结合b律= λ a
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
做共线向量(或平行向量),记作
a // b
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a +b = b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
3.1.1空间向量及其加减运算(张用)
内容
概念
空间向量 在平面上，既有大 在空间，具有大 小又有方向的量 小和方向的量
平面向量
用有向线段画出来； 用有向线段画出来； 画法及其表示 表示方式： AB 表示方式： AB 或 a 或 a 长度为零的向量叫 长度为零的向量叫 零向量 做零向量，零向量 做零向量，零向量 的方向是任意的 的方向是任意的
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ；
⑷数乘结合律： λ(μa ) = (λμ) a
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 ( BC1 BD1 ) AD1 D1C1
AC1
A1 D1 B1 C1
问题 1:
F3
新 课 讲 解
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量
……
一．创设情境，提出问题
F
如图，一正三角形钢板，三 顶点用等长的绳子绑起，在 力F的作用下静止，三绳子 的受力情况如何？
解：设M是线段CC’的中点，则
1 AB AD CC ' 2
D’ C’ B’ M
AC CM
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
自主学习 课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0
福建省邵武市第七中学高中数学《3.1.1空间向量及其加减运算》课件新人教A版选修2-1
相反向 量 __方__向____相反且__长__度____相等的向量
空间向量的线性运算
【问题导思】 1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？ 【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边 形法则，减法满足三角形法则．
2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？
【提示】 平面中，实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一 个向量，称为向量的数乘；当 λ＞0 时， λa 与 a 方向相同， 当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反，λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
演示结束
课 1.理解空间向量的概念．(难点) 标 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 解 3.掌握共线向量定理、共面向量定理 读 及推论的应用．(重点、难点)
空间向量的概念
【问题导思】 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量
O→A，O→B，O→C，它们和以前所学的向量有何不同？ 【提示】 O→A，O→B，O→C是不同在一个平面内的向量，
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
如图 3－1－6，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分
图 3－1－6 别为 BB1 和 A1D1 的中点，证明：向量A→1B、B→1C、E→F共 面．
【证明】 E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B ＝12B→1C－A→1B， 由向量共面的充要条件知，A→1B、B→1C、E→F是共面向量.
苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
E C
D
B
A B
D
C
7.练习2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x,y的值.
(2) AE AA x AB y AD
'
A E
D C
B
A B C
D
8.小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
D
G B M
BM MG MB
MG
C
小结
类比、数形结合
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 运算 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律 (a b) c a (b c)
空间向量
具有大小和方向的量
B
A
ē
ā B’
l
A’
3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数 量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：
⑴a· e＝｜a｜· cos＜a,e＞；
⑵a⊥ b a · b＝０
⑶当a与b同向时，a· b＝｜a｜· ｜b｜； 当a与b反向时，a· b＝－｜a｜· ｜b｜. a· a＝｜a｜2或｜a｜＝ a a a2
9.课后作业
P89 练习 1,2,3. P97 习题3.1 A组 2,3.
引入
1. 复习平面向量数量积定义；
2. 平面向量中有两个平面向量的数量 积，与其类似，空间两个向量也有数
量积.
新课
1.两个非零向量夹角的概念： 已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O， 作OA＝a,OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角, 记作＜a,b＞． A
D A B
C
AC'
练习
练习一：空间四边形ABCD中,M,G分别 是BC,CD边的中点,化简：
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
D G B M
C
解：
(1)原式＝ BM MG AG AB
A
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2
1.回 顾
两向量的和与差
a
b
a
O1
b a+b
a
O2
a-b
O2
a
a-b a+b
b
b
三角形法则：和
1）首尾相联；被加数的起点指向减数的终点。
差
2）起点重合；减数的起点指向被减数的终点。
平行四边形法则：起点重合、表示向量的有向线段为向邻两边；
对角线对应向量为相应和、差。
1.回 顾
a
b
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们.
二、空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 运算 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
空间向量
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b， |a||b|cos＜a,b＞叫做向量a，b的数量积， 记作a· b，即 a· b＝|a||b|cos＜a, b＞.
说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；
⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“×”代替.
2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b， |a||b|cos＜a,b＞叫做向量a、b的数量积， 记作a· b，即 a · b＝|a|| b|cos＜a ,b＞. 几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向 的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上 的射影B′，则A’ B’叫做向量AB在轴l上或在 e方向上的正射影，简称射影．
(1)原式＝ BM MG AG AB
(2)原式
D
G B M
空间四边形ABCD中,M,G分别是 BC,CD边的中点,化简：
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2
1 ＝BM MG ( AB AC ) 2
BM MG MB
MG
C
7.练习2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
D
B
M
G C
4.例题1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 (3) + AB1 + AD1 = xAC1 AC 解(3) AC+ AB1 + AD1 ：
=(AD + AB)+(AA1 + AB)+(AA1 + AD) A1 = 2(AD + AB + AA1 ) = 2AC1
AC’的中心,求下列各式中的x,y的值.
(1) AC x( AB BC CC )
' '
A B
E C
D
(2) AE AA x AB y AD
'
A B C
D
7.练习2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x,y的值.
(1) AC x( AB BC CC )
D
A H E F B G C
7.练习1
空间四边形ABCD中,M,G分别 是BC,CD边的中点,化简：
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
D G B M
C
7.练习1
1 1 (1) AB ( BC BD ) (2) AG ( AB AC ) 2 2 A
例题
ABCD A' B' C ' D'，化简下 例 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA ' .
D’ A’ B’
C’
解： AB BC AC ⑴
⑵AB AD AA'
AC AA' AC CC'
a b
O
A
a b
B
a b
a
O
b
B
说明(1) 0° ≤<a,b >≤180° 当＜a, b＞＝０时，a 与b同向； 当＜a, b＞＝π 时，a 与b反向； π 当＜a, b＞＝ 2 时，称a 与b垂直，记a⊥b．
⑵两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b, a＞. ⑶ ①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同 起点的； ②＜a,b＞≠(a,b) .
a
不共线,则向量p与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对 x, y 使 p xa yb.
要条件是存在有序实数对x,y使
共面向量定理:如果两个向量 a, b 推论:空间一点P位于平面ABC内的充
OP=xAB+yAC
或对空间任一点O,有
OP=OA+xAB+yAC
6.例题4
已知平行四边形 ABCD ，从平面 外 AC 一点O引向量 k OC OE kOA, ， OG ， k OB ，求证： OH k OD OF (1) 四点E, F, G, H共面； O (2)平面EG∥平面AC .
D1 B1 C1
所以x = 2.
A
D B
C
4.例题2
在正方体AC1中,点E是面AC ’ 的中心, 若 AE = AA ' + xAB + y AD ，求实数x,y.
A E B C D
A B C
D
5.共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共
面向量.
O
a
A
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
运 算 律
课后作业
课本：P97
习题3.1 A组 1,2,3.
1.回 顾
1.回顾平面向量的知识：什么是平行向量或共线 向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于 任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 所以平行向量也叫做共线向量．
直线，对空间任意一点O， 点P在直线L上 ⇔ ∃t∈R， OP = OA +ta （） 1 非零向量a叫做直线L的方向向量。 点P在直线L上 ⇔ ∃t∈R， OP = OA +tAB （） 2
O
（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 量唯一确定
A
P 练习 1 1 2）（） 89 （）（ 3
F B E C